Forelesning 1-23. januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: { Christian Mahesh Hansen (chrisha@ifi.uio.no) { Roger Antonsen (rantonse@ifi.uio.no) { Kontor 2403, 2. etasje, I Nettside: { http://www.ifi.uio.no/inf3170 Forelesning: { mandag 14:15 { 16:00 { Lille auditorium Gruppeundervisning: { onsdag 12:15-14:00 { grupperom 3A, I { gruppelrer Martin G. Skjveland (martige@ifi.uio.no) 1.2 Obliger og eksamen Obliger og eksamen Obliger Planlagt ca. 4 sma (?) obliger. Se hjemmesiden for tidsfrister. Bedmmes til bestatt/ikke bestatt. Alle obligene ma bestas for a kunne ga opp til eksamen. Eksamen Ingen midttermineksamen. Avsluttende eksamen: muntlig eller skriftlig. Bokstavkarakterer { avsluttende eksamen teller 100%
1.3 Pensum Pensum Denert av det som gjennomgas pa forelesning og gruppeundervisning. Foiler deles ut pa forelesning og legges ut pa nettsiden. Ingen lrebok, men... 1.4 Stttelitteratur Stttelitteratur Ikke pensum i seg selv, frivillig ekstralesing! Referanser [Gallier, 2003] J. Gallier. Logic for Computer Science - Foundations of Automated Theorem Proving Ligger tett opptil forelest pensum i kurset. Oppdatert versjon fra 2003 tilgjengelig for gratis nedlasting. Kun kapitlene 3, 4, 5 og 8 er aktuelle. Detaljerte henvisninger legges ut pa nettsiden. Referanser [Fitting, 1996] M. C. Fitting. First-Order Logic and Automated Theorem Proving 2 Mengdelre 2.1 Mengder Mengdelre Denisjon. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkeflge og antall forekomster av hvert objekt ignoreres. Objektene i en mengde kalles elementer. Hvis a er element i mengden S, skriver vi a 2 S. Hvis a ikke er element i S, skriver vi a 62 S. To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte fa; b; c; dg. a 2 fa; b; cg 2
d 62 fa; b; cg 1 2 fa; 1; ; g 2 62 fa; 1; ; g fa; bg = fb; ag fa; a; bg = fa; bg fa; bg 6= fb; cg (mengdene er ulike) Denisjon (Den tomme mengden). Den tomme mengden er mengden som ikke inneholder noen elementer. Skrives ofte fg eller ;. Denisjon (Singletonmengde). En singletonmengde er en mengde som har nyaktig ett element. Bade fag, fbg og fb; bg er singletonmengder. 2.2 Union Union { sla sammen mengder Denisjon (Union). Hvis S og T er mengder, sa er unionen av S og T mengden som inneholder alle objekter som er element i S eller T. Unionen av S og T skrives ofte S [ T. fa; bg [ fc; dg = fa; b; c; dg fa; bg [ fb; cg = fa; b; cg f1; 2; 3g [ ; = f1; 2; 3g 2.3 Snitt Snitt { nne felles elementer Denisjon (Snitt). Hvis S og T er mengder, sa er snittet mellom S og T, eller S snittet med T, mengden som inneholder alle objekter som er element i bade S og T. S snittet med T skrives ofte S \ T. fa; bg \ fc; dg = ; fa; bg \ fb; cg = fbg f1; 2; 3g \ ; = ; 3
2.4 Dieranse Mengdedieranse Denisjon (Mengdedieranse). Hvis S og T er mengder, sa er mengdedieransen mellom S og T, eller S minus T, mengden som inneholder alle objekter som er element i S men ikke element i T. S minus T skrives ofte S n T. fa; bg n fc; dg = fa; bg fa; bg n fb; cg = fag f1; 2; 3g n ; = f1; 2; 3g ; n fa; b; cg = ; 2.5 Delmengder Delmengde Denisjon (Delmengde). En mengde S er en delmengde av en mengde T hvis alle elementer i S ogsa er elementer i T. Skrives ofte S T. fa; bg fa; b; cg fa; bg fa; bg (enhver mengde er en delmengde av seg selv) fa; b; cg 6 fa; bg ; fa; bg (den tomme mengden er en delmengde av alle mengder) fa; bg 6 ; 2.6 Kryssprodukt Kryssprodukt Denisjon (Kryssprodukt). Hvis S og T er mengder, sa er kryssproduktet av S og T mengden av alle par hs; ti slik at s 2 S og t 2 T. Kryssproduktet av S og T skrives ofte S T. fa; bg fc; dg = fha; ci; ha; di; hb; ci; hb; dig fa; bg fb; cg = fha; bi; ha; ci; hb; bi; hb; cig 4
fag f1; 2g = fha; 1i; ha; 2ig Notasjon. En mengde kan krysses med seg selv: S S fa; bg fa; bg = fha; ai; ha; bi; hb; ai; hb; big S S S skrives ofte S 3. Generalisert: S S : : : S skrives S }{{} n. n 2.7 Mengdebygger Mengdebygger Notasjon. En denisjon pa formen \mengden av alle elementer x 2 S slik at... " kan skrives pa formen En slik konstruksjon kalles en mengdebygger. fx j x 2 S og betingelse pa xg: Denisjonen av kryssprodukt av S og T kunne vrt skrevet slik: S T = fhs; ti j s 2 S og t 2 T g fn j n 2 N og n er partall g denerer mengden av alle partall. fn j n 2 N og n er oddetall g denerer mengden av alle oddetall. 2.8 Relasjoner Relasjoner Denisjon (Relasjon). En unr relasjon over S er en delmengde av S. En n-r relasjon over mengdene S 1 ; S 2 ; : : : ; S n er en delmengde av kryssproduktet S 1 S 2 : : : S n. Hvis n = 2 sier vi at relasjonen er binr. Hvis S = fa; b; cg, sa er fa; bg en unr relasjon over S. Hvis S = fa; bg og T = f1; 2g, sa er fha; 1i; hb; 2ig en binr relasjon over S og T. Relasjoner over en mengde Denisjon. En n-r relasjon over mengden S er en delmengde av S n. La S = f1; 2; 3g. fh1; 1i; h2; 2i; h3; 3ig er en binr relasjon over S. fh1; 2i; h1; 3i; h2; 3ig er ogsa en binr relasjon over S. 5
2.9 Egenskaper ved binre relasjoner Denisjon (Reeksiv). En binr relasjon R over mengden S er reeksiv hvis hx; xi 2 R for alle x 2 S. La S = f1; 2; 3g. Er R 1 = fh1; 1i; h1; 2i; h1; 3ig reeksiv? Hva med R 2 = fh1; 1i; h2; 2i; h3; 3ig? Denisjon (Symmetrisk). En binr relasjon R er symmetrisk hvis hx; yi 2 R impliserer at hy ; xi 2 R. La S = f1; 2; 3g. Er R 1 = fh1; 2i; h2; 1i; h3; 2i; h2; 3ig symmetrisk? Hva med R 2 = fh1; 2i; h2; 1i; h1; 3ig? Denisjon (Transitiv). En binr relasjon R er transitiv hvis hx; yi 2 R og hy ; zi 2 R impliserer at hx; zi 2 R. Denisjon (Ekvivalensrelasjon). En binr relasjon over mengden S er en ekvivalensrelasjon hvis den er reeksiv, symmetrisk og transitiv. 2.10 Funksjoner Funksjoner Denisjon (Funksjon). En funksjon fra en mengde S til en mengde T er en relasjon f over S og T slik at for alle x 2 S sa nnes en unik y 2 T slik at hx; yi 2 f. 2.11 Operatorer Operator Denisjon (Operator). La S vre en mengde. En unr operator pa S er en funksjon fra S til S. En binr operator pa S er en funksjon fra S S til S. Suksessorfunksjonen (n + 1) er en unr operator pa N. Addisjonsfunksjonen (+) er en binr operator pa N. Subtraksjonsfunksjonen ( ) er en binr operator pa Z. 3 Utsagnslogikk 3.1 Introduksjon Utsagnslogikk Studie av de utsagnslogiske konnektivene. Vi starter med en mengde atomre utsagn, f.eks. 6
{ \parkeringsplassen er stengt" { \IFI2 bygges" Den interne strukturen til atomre utsagn blir ikke analysert. Atomre utsagn er enten sanne eller usanne. Sammensatte utsagn bygges opp fra de atomre utsagnene ved hjelp av de logiske konnektivene: og, eller, ikke, hvis... sa... Eksempel: \IFI2 bygges og parkeringsplassen er stengt" Hvordan avhenger sannhetsverdien til et sammensatt utsagn av sannhetsverdiene til de atomre utsagnene det er bygget opp av? Hvilke utsagn er sanne uavhengig av sannhetsverdiene til de atomre utsagnene? Slike utsagn kalles tautologier. Eksempel: \IFI2 bygges eller IFI2 bygges ikke" Syntaks: et presist denert symbolsprak for a representere utsagnslogiske utsagn. Semantikk: en presist denert tolkning av uttrykk i symbolspraket til sannhetsverdiene sann og usann. Kalkyle: syntaktisk manipulasjon av uttrykk i symbolspraket for a nne bevisbare uttrykk. Sunnhet: alle bevisbare uttrykk er tautologier korrekthet av kalkylen. Kompletthet: alle tautologier er bevisbare kalkylen sterk nok til a fange inn alle interessante uttrykk. 3.2 Syntaks Syntaks Denisjon (Utsagnsvariable). Mengden av utsagnsvariable er en tellbart uendelig mengde V u = fp 1 ; P 2 ; P 3 ; : : :g. Utsagnsvariable representerer atomre utsagn, f.eks. { \IFI2 bygges" { \Forskningsparken er yngre enn IFI1" { \logikk er gy" Notasjon. Vi skriver ofte utsagnsvariable som P; Q; R; : : : For a fange inn sammensatte utsagn, f.eks. \hvis IFI2 bygges, sa er parkeringsplassen stengt," trengs ere symboler i spraket: Denisjon (Utsagnslogisk alfabet). Det utsagnslogiske alfabet bestar av: Utsagnsvariablene i V u. De logiske konnektivene ^, _,! og :. Hjelpesymbolene `(' og `)'. Intuisjon: : skal bety \ikke" ^ skal bety \og" _ skal bety \eller"! skal bety \impliserer" 7
Utsagnslogiske formler Denisjon (Atomr formel). Enhver utsagnsvariabel er en atomr formel. Denisjon (Utsagnslogisk formel). Mengden av utsagnslogiske formler er den minste mengden F u slik at: 1. F u inneholder alle atomre formler. 2. Hvis A 2 F u, sa er :A 2 F u. 3. Hvis A; B 2 F u, sa er (A ^ B), (A _ B) og (A! B) med i F u. 8