Mekanisert snittsøk i elementær tallteori Gyrd Brændeland Seminaret i matematisk logikk 2003-05-22 1 Hovedpunkter i foredraget 1. Nytt: Tallteori med snitteliminasjon 2. Gangen i beviset for hovedresultatet: K induktiv induktiv elementær 3. Problemet med modifisert subtraksjon, 4. Utvide teorien: vise at er induktiv? 5. Spørsmål: Hvorfor vise at store tall er tall? 2
Bakgrunn Jervell og Zhang [2]s hypotese: f Kalmárelementær f induktiv. Nytt: Kan få korte bevis for N(!( m)) v.h.a snitt. Mål for oppgaven: Definere konkret tallteori for å verifisere Jervell og Zhangs hypotese, gir en bevisteoretisk karakteristikk av de Kalmárelementære funksjonene, K. Idé: Bruke snitt for å korte ned bevis. 3 Korte ned bevis med snitt Finne bevis for N(f( m, n)) med lengde lineær i m, n, v.h.a snitt. Finne induktive predikater fra rekursiv definisjon av funksjon. Induktive predikater brukes i snittformler. Snittene simulerer induksjon. 4
Induktive predikater Jervell og Zhang: Predikatet P er induktivt hvis følgende er utledbart: 0 : P x(x : P S(x) : P) Eks.: Predikatet for addisjon: x : A = x : N y(y : N +(y, x) : N) En funksjon er induktiv hvis den har et induktivt predikat. 5 Direkte vs. indirekte bevis Eksempel.: Direkte bevis for N(60!) i et system med unær notasjon krever 10 80 skritt, mer enn antall atomer i universet. Indirekte bevis krever høyst 125 skritt. Introduksjonen av snitt er en form for abstrahering. Man kan vise N(f( m, n)) uten å regne ut tallet. Direkte bevis for N(f( m, n)) innebærer en utregning av uttrykket. Beviset krever minst f(m, n) skritt. Hvis f vokser eksponensielt i argumentene kan beviset bli uhåndterlig stort. 6
Kalmárelementære funksjoner, K Totale funksjoner fra naturlige tall til naturlige tall. Initialfunksjoner O, S, Ii n, +, Definisjonsskjemaer Komposisjon, Bundet sum (Σ i n f( x, i)), Bundet produkt (Π i n f( x, i)) Modifisert subtraksjon x 0 = x x S(y) = P(x y) Forgjengerfunksjonen P(0) = 0 P(S(x)) = x 7 Hovedresultat i oppgaven For enhver funksjon f i en delmengde av K kan man konstruere bevis for utsagn på formen N(f(m 1,..., m n )) med høyde lineær i m 1,..., m n, i en primitivt rekursiv aritmetikk. Delmengden, kalt K, består av de elementære funksjonene, unntatt. En algoritme for å søke etter snitt ut i fra definisjonen av funksjonen som forekommer i utsagnet man vil bevise. Algoritmen er integrert i en modifisert versjon av den automatiske teorembeviseren PESCA. Hvis det finnes et bevis av N(f(m 1,..., m n )) med høyde lineær i m 1,..., m n, så er f elementær. 8
Resultat forts. Målet var å vise: f induktiv i bestemt tallteori f K. Men: Med rammene gitt hos Jervell og Zhang [2] gikk det ikke å få en full karakteristikk. Modifisert subtraksjon ga problemer. 9 Relatert arbeid Bellantoni og Cook [1]: innførte safe recursion hvor de skiller mellom normale og sikre variable. Gir karakteristikk av PTIME. Leivant [3]: bevisteretisk karakteristik av K v.h.a lagdelt rekursjon. Ostrin og Wainer [6]: bevisteoretisk karakteristikk av K inspirert av skillet mellom sikre og normale variable. Jervell og Zhang [2]: forsøkte på bevisteoretisk karakteristikk K v.h.a. snitt. 10
Nytt: Tallteori med snitteliminasjon Definerer tallteori etter en metode av Negri og von Plato [4, 5]. Aksiomer gjøres om til ikkelogiske regler på form: Gir full snitteliminasjon. A, Γ Γ Reg A Vanlig: Ikkelogiske aksiomer på formen A. Gir ikke full snitteliminasjon. Negri og von Plato: universelle teorier kan gjøres om til regelsystemer som tillater full snitteliminasjon. Universell teori: Aksiomatisert av aksiomer på universalform. En utsagn er på universal-form hvis det er på preneks normalform med bare allkvantorer i prefikset. 11 Teorien PRA+AddAss,TimesAss Klassisk sekventkalkyle+snitt språk funksjonssymboler: +,,,... relasjonssymboler: =, N. ikkelogiske regler; de to første aksiomene i Peano-aritmetikk 0 : N x(x : N S(x) : N); definerende likninger for de primitivt rekursive funksjonene; likhet og transitivitet assosiativitet av + og. 12
Mangler induksjon I motsetning til teoriene til Leivant og Ostrin og Wainer inneholder PRA+AddAss,TimesAss ikke induksjonsaksiomet: (0 : K x(x : K Sx : K)) x(x : K) Merk at induksjonsaksiomet ikke er på universal-form. Det vanlige snitteliminasjonsteoremet holder ikke for teorier med induksjonsaksiomet. Får en lite uttrykkskraftig teori. Bruker snitt for å simulere induksjon. 13 Enhver funksjon i K er induktiv Gangen i beviset: Vise at de Kalmárelementære initialfunksjonene unntatt er induktive. Vise at de induktive predikatene er lukket under komposisjon, bundet sum og bundet produkt. 14
Lukningsegenskaper med assosiativitet Påstand 1 La f være definert ved primitiv rekursjon over g og h: f(y, 0) = g(y) f(y, Sx) = h(y, f(y, x)) La g være en av initialfunksjonene O, S eller Ii n. La h være assosiativ og la bevissystemet inneholde følgende regel: h(h(a, b), c) = h(a, h(b, c)), Γ Γ La H være et induktivt predikat for h Ass h H(x) = G(x) y(g(y) G(h(x, y)) Da er F induktiv i PRA+Ass h. 15 Induktive funksjoner er elementære Gangen i beviset: Utledninger av N(f( m 1,..., m n )) kan representeres som tall v.h.a primtallskoding. f induktiv finnes utledning, D, av N(f( m 1,..., m n )) med høyde lineær i m 1,..., m n Ved snitteliminasjonsteoremet kan D overføres til en snittfri utledning, D. Snittfri utledning av N(f( m 1,..., m n )) kan overføres til utledning, D, på normalform som inneholder en beregning av f( m 1,..., m n ). Transformasjonene gjøres elementært. 16
Induktive funksjoner er elementære, forts. Det finnes et elementært bånd på kodetallet for D, når høyden av utledningen er elementær i m 1,..., m n. Båndet brukes, sammen med en variant av Kleenes T-predikat som sjekker om et tall koder en utledning av N(f( m 1,..., m n )), til å finne kodetallet for D. Når D er kodet som et tall kan beregningen av f( m 1,..., m n ) plukkes ut fra utledningen v.h.a en elementær algoritme. 17 Modifisert subtraksjon er ikke induktiv Modifisert subtraksjonsfunksjonen,, er ikke induktiv i PRA+AddAss,TimesAss. Standardbevis v.h.a ikkestandardmodeller. Jervell og Zhang [2] ønsker å vise at er induktivt i sitt system ved å legge til aksiomene 0y = 0 Sxy = 0 Sxy = S xy Problemet er at direkte utledninger av N(f( m, n)) utført med disse aksiomene ikke nødvendigvis gir en beregning av f( m, n). Med disse aksiomene kan man vise at ikke-elementære funksjoner er induktive. 18
Bevis for påstand 5.19 19 Et induktivt predikat for? Kan man legge til regler om for å vise at den er induktiv? Induktivt predikat for i en utvidet versjon av PRA+AddAss,TimesAss gir full karakteristikk av K. 20
Mulig utvidelse av PRA+AddAss,TimesAss 21 Spørsmål Kan induktive predikater løse ikke-trivielle spørsmål? Stål Aanderaas eksempel: La A(t, x, y) være sant dersom t = mod(x, y), hvor t representerer et stort tall, x og y er tall. I de tilfelle at dette utsagnet er sant, kan da snitt vesentlig forkorte beviset? Svar: Nei. Gjør det noe om beregningene blir store? Grunnen til at man får korte bevis for N(f( m, n)) v.h.a snitt er at man abstraherer vekk beregningen av f( m, n). Det finnes andre måter å gjøre dette på, som f.eks. deduction modulo [?]. Hvorfor vise at store tall er tall? 22
Referanser [1] S. Bellantoni and S. Cook. A new recursion-theoretic characterization of the polytime functions. Computational Complexity, 2:97 110, 1992. [2] H. R. Jervell and W. Zhang. Cut formulas for Kalmar elementary functions. Report No. 33, 2000/2001, Institut Mittag-Leffler, The Royal Swedish Academy of Sciences, 2000. [3] D. Leivant. Stratified functional programs and computational complexity. In Proceedings of Principles of Programming Languages, pages 325 333, 1993. [4] S. Negri and J. von Plato. Cut elimination in the presence of axioms. The Bulletin of Symbolic Logic, 4(4):418 436, 1998. [5] S. Negri and J. von Plato. Structural Proof Theory. Cambridge University Press, 2001. [6] G. E. Ostrin and S. S. Wainer. Proof theoretic complexity. In H. Schwichtenberg and R. Steinbrüggen, editors, Proof and System-Reliability, volume 62 of NATO Science Series: II: Mathematics, Physics and Chemistry. Kluwer, 2002. 23