NORSK TEKST Sie av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt uner eksamen: Ingjal Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 970355 EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK I Lørag 4. esember 00 kl. 09.00-3.00 Tillatte hjelpemiler: Gokjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark me uttrykk og formler er velagt. Sensuren faller senest 4. januar 0. Oppgave Det oppgis at bunne tilstaner i et symmetrisk enimensjonalt potensial generelt har velefinert paritet; grunntilstanen er symmetrisk og fri for nullpunkter, første eksiterte tilstan er antisymmetrisk me ett nullpunkt, osv. I enne oppgaven ser vi på en partikkel me masse m som beveger seg i et enimensjonalt potensial som består av to eltafunksjonsbrønner, V x = β[δx a + δx + a] ; β > 0, a > 0. a. Vis at en bunen energiegentilstan for ette systemet må ha formen ψ E = Ce κx, me κ = h me, for x > a. Forklar hvorfor en symmetrisk bunen energiegentilstan kan skrives på formen ψ E = A cosh κx = A eκx + e κx for a < x < a. Forklar også hvorfor ette systemet bare kan ha én slik symmetrisk bunen tilstan, nemlig grunntilstanen.
Sie av 4 b. Mens grunntilstanen for ette systemet er bunen for alle a 0, β > 0, er første eksiterte tilstan ikke nøvenigvis bunen: Finn først hvilken form en eventuell antisymmetrisk bunen tilstan må ha for a < x < a, og forklar ut fra ette at en slik tilstan maksimalt kan ha ett nullpunkt. For at et skal eksistere en slik bunen antisymmetrisk tilstan, må β for en gitt a være større enn en viss grenseveri, β 0. Finn β 0, når et oppgis at en energiegenfunksjon for ette systemet må oppfylle iskontinuitetsbetingelsen ψ a + ψ a = mβ h ψa. Hint: Skissér første eksiterte tilstan for grensetilfellet. Oppgave Figuren viser en boks me siekanter L x, L y og L z, som er elt i to kamre av en skillevegg i avstan a fra origo. Skilleveggen er bevegelig, som et friksjonsfritt stempel. Potensialet er null inne i kamrene, og uenelig utenfor, samt inne i skilleveggen. Tykkelsen av skilleveggen er neglisjerbar i forhol til L x. a. I hvert av kamrene befinner et seg en partikkel me masse m, som befinner seg i grunntilstanen for sitt kammer. Finn likevektsposisjonen a 0 for stempelet, uttrykt ve L x. [Hint: I enne posisjonen er en totale energien til e to partiklene minimal.] b. Anta at stempelet holes fast i en posisjon a ve hjelp av en ytre kraft F x, mens e to partiklene er i grunntilstanene som svarer til enne stempelposisjonen. Hvor stor er enne kraften når stempelet befinner seg i likevektsposisjonen a = a 0? Finn ut hvilken vei kraften peker og hvor stor en er når a = a = L x /3. [Hint: Dersom stempelet beveges et stykke a, utfører kraften F x et arbei F x a, som gjenfinnes som en enring av energien til systemet.] Finn likevektsposisjonen ersom kammer inneholer 8 bosoner og kammer bare ett boson, alle ientiske me masse m. Det forutsettes at ette mangepartikkelsystemet er i grunntilstanen, vs har så lav total energi som mulig.
Sie 3 av 4 Oppgave 3 I enne oppgaven betrakter vi en spinn- -partikkel som befinner seg i et konstant og homogent magnetfelt B rettet i z-retningen. Når vi ser bort fra anre frihetsgraer enn spinnet, kan Hamilton-operatoren for ette systemet skrives på formen Ĥ = ωs z, er vi antar at ω er positiv. Energiegentilstanene til enne Hamilton-operatoren er Paulispinorene χ ± χ ±ẑ, og e stasjonære tilstanene er χ ± t = χ ± exp ie ± t/ h. a. Ve t = 0 foretas et en måling av en viss komponent S ˆn av spinnet som etterlater et i tilstanen cos χ0 = θ sin θ 0 < θ < π. Finn spinnretningen σ 0 umielbart etter enne målingen. Vis at χ0 er en egentilstan til S σ 0, og bestem egenverien. Hvilke konklusjoner kan u ut fra ette trekke om måleresultatet for S ˆn ve prepareringen av tilstanen χ0 og om måleretningen ˆn? b. Finn spinntilstanen χt og spinnretningen σ t ve tien t > 0. c. Ve tien t = π/ω viser et seg at χt = χ0. Hvoran harmonerer ette me resultatet funnet for σ t? Anta at vi ve t = π/ω måler spinnkomponenten S ˆn i retningen ˆn = ˆx sin θ + ẑ cos θ, me måleresultatet S ˆn = h. Angi tilstanen umielbart etter enne målingen, og finn sannsynligheten for ette måleresultatet. Oppgave 4 En partikkel me masse m beveger seg i et toimensjonalt harmonisk oscillatorpotensial V x, y = mω x + y. a. Anta at enne oscillatoren ve et gitt tispunkt befinner seg i en tilstan Ψ som er en egentilstan til operatoren mω a x = h x + i p x, m hω slik at a x Ψ = α Ψ, er α er kompleks. Vis ut fra ette at forventningsveriene av x og p x i enne tilstanen er h m hω x Ψ = mω α + α og p x Ψ = i α α. Finn også usikkerhetene x og p x samt uskarphetsprouktet x p x. Oppgitt: h m hω [a x, a x] =, x = mω a x + a x, p x = i a x a x.
Sie 4 av 4 b. Anta at en toimensjonale oscillatoren ve t = 0 er preparert i tilstanen mω /4 Ψ b x, y, 0 = C0 exp[ mωx b / h mωy / h + iy mωb/ h] C 0 =, π h er b > 0. Angi forventningsveriene x 0 og y 0 ve t = 0. Vis at enne begynnelsestilstanen er en egentilstan til posisjonsrepresentasjonen av operatoren a x, mω a pr x = x + h, h mω x og finn egenverien, som u kan kalle α x 0. Vis tilsvarene at Ψ b x, y, 0 også er en egentilstan til a pr y, og vis at egenverien er α y 0 = iα x 0. c. Resultatene ovenfor innebærer i realiteten at tilstanen for t 0 er koherent; et viser seg at Ψ b x, y, t er en egentilstan til a pr x og a pr y me egenverier gitt ve henholsvis α x t = α x 0e iωt og α y t = α y 0e iωt. Bruk ette til å finne forventningsveriene x t og y t ve tien t. Vis også at forventningsverien av posisjonen beveger seg i en sirkelbane. [Det siste kan gjennomføres selv om u skulle være så uhelig å mangle α x 0.] Det toimensjonale potensialet og Hamilton-operatoren i enne oppgaven kan skrives som V = mω x + mω y V x x + V y y og Ĥ = h m x + V x x h m y + V y y Ĥx + Ĥy. Betrakt nå en enimensjonale Schröingerligningen i h t Ψ xx, t = Ĥx Ψ x x, t. Me begynnelsestilstanen Ψ x x, 0 = C 0 exp[ mωx b / h] blir løsningen av enne en koherent tilstan. Tilsvarene blir løsningen av i h t Ψ yy, t = Ĥy Ψ y y, t me begynnelsestilstanen Ψ y y, 0 = C 0 exp[ mωy / h + iy mωb/ h] en koherent tilstan. Vis at en toimensjonale tilstanen vi har iskutert ovenfor kan skrives som prouktet av isse to tilstanene: Ψ b x, y, t = Ψ x x, tψ y y, t.
Velegg: Formler og uttrykk Noe av ette kan u få bruk for. Enimensjonal boks, V x = 0 for 0 < x < L, uenelig utenfor ψ n x = Sannsynlighets-strømtetthet L sin k nx; E n = h k n m ; k n = nπ/l. [ jr, t = Re Ψ r, t h ] Ψr, t. im Målepostulatet i De eneste mulige veriene som en måling av observabelen F kan gi er en av egenveriene f n. ii Umielbart etter målingen av F er systemet i en egentilstan til en tilhørene operatoren F, nemlig en egentilstan som svarer til en målte egenverien f n. Spinn For en partikkel me spinn kan en bruke spinnoperatoren S = hσ = hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, er σ x = 0, σ y = 0 i i 0 er e såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = 0 0 og χ = 0 er a a egentilstaner til S z = hσ z me egenveriene ± h. En normert spinntilstan χ = b kan karakteriseres ve spinnretningen, σ = χ σχ = ê x Rea b + ê y Ima b + ê z a b. Matrisene S x = hσ x osv oppfyller reieimpulsalgebraen, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Viere er S x = S y = S z = h 4 0 og S = 3 h 4 0.
Noen formler sina + b = sin a cos b + cos a sin b; cosa + b = cos a cos b sin a sin b; sin a = sin a cos a; cosa = cos a sin a = cos a = sin a; sin a = e ia e ia /i, cos a = e ia + e ia /; tan y = cot y = tany + nπ, n = 0, ±, ; sinh y = ey e y ; cosh y = ey + e y ; tanh y = coth y = sinh y cosh y ; cosh y sinh y = ; Harmonisk oscillator sinh y = cosh y; y sinh y = y + Oy 3. cosh y = sinh y; y Energiegenfunksjonene for potensialet V = mω x < x < oppfyller egenveriligningen [ h ] m x + mω x n + hω ψ n x = 0, n = 0,,,..., me løsninger på formen ψ n x = mω /4 / h π h n n! e mωx H n ξ, ξ = H 0 ξ =, H ξ = ξ, H ξ = 4ξ,. Tisutvikling av forventningsverier δ-funksjonen og sprangfunksjonen t F = ī [Ĥ, F ] + F. h t x h/mω ; Θx = δx; x fxδx ax = fa.
ENGLISH TEXT Page of 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt uner eksamen: Ingjal Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 970355 EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK I Lørag 4. esember 00 kl. 09.00-3.00 Tillatte hjelpemiler: Gokjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter The questions are given in English on pages 4, with a formula sheet attache The Norwegian version of the exam is also attache Sensuren faller senest 4. januar 0. Problem Boun states in a symmetric one-imensional potential in general have well-efine parity; the goun state is symmetric with no zeros, the first excite state is antisymmetric with one zero, etc. In this Problem we consier a particle of mass m, moving in a one-imensional potential consisting of two elta-function wells, V x = β[δx a + δx + a] ; β > 0, a > 0. a. Show that a boun energy eigenstate for this system must have the form ψ E = Ce κx, with κ = h me, for x > a. Explain why a symmetric boun energy eigenstate can be written on the form ψ E = A cosh κx = A eκx + e κx for a < x < a. Explain also why this system can only have one such symmetric boun state, namely the groun state.
Pagee of 4 b. While the groun state of this system is boun for all a 0, β > 0, the first excite state is not necessarily boun: Fin first what form a possible antisymmetric boun state must have for a < x < a, an base on this, explain why such a state can at most have one zero. In orer that such a boun antisymmetric state exists, β must for a given a be larger than a certain limiting value, β 0. Fin β 0, given that any energy eigenfunction for this system must satisfy the iscontinuity conition ψ a + ψ a = mβ h Hint: Sketch the first excite state for the limiting case. Problem ψa. The figure shows a box with imensions L x, L y og L z, which is ivie into two chambers by a iviing wall at a istance a from the origin. This wall can move, as a frictionless piston. The potential is zero in both chambers, an infinite outsie the chambers, an also insie the iviing wall. The thickness of this wall is negligible compare to L x. a. In each of the chambers there is a particle of mass m, which is in the groun state of the respective chamber. Fin the equilibrium position a 0 of the piston, expresse in terms of L x. [Hint: In this position, the total energy of the two particles is minimal.] b. Suppose that the piston is hel fixe in a position a by an external force F x, while the two particles are in the groun states corresponing to this position of the piston. How big is this force when the piston is in the equilibrium position a = a 0? Fin out which way the force is irecte an how big it is when a = a = L x /3. [Hint: If the piston is move a istance a, the force F x carries out an amount of work F x a, which is retrieve in the form of an increase of the energy of the system.] Fin the equilibrium position if chamber contains 8 bosons an chamber only one boson, all ientical of mass m. This many-particle system is suppose to be in the groun state, meaning that the total energy is as low as possible.
Problem 3 Page 3 of 4 In this Problem we consier a spin- particle in a constant an homogeneous magnetic fiel B pointing in the z-irection. When we neglect all egrees of freeom except the spin, the Hamiltonian of this system can be written on the form Ĥ = ωs z, where we assume that ω is positive. The energy eigenstates of this Hamiltonian are the Pauli spinors χ ± χ ±ẑ, an the stationary states are χ ± t = χ ± exp ie ± t/ h. a. At t = 0 a measurement is mae of a certain component S ˆn of the spin, leaving it in the state cos χ0 = θ sin θ 0 < θ < π. Fin the spin irection σ 0 immeiately after this measurement. Show that χ0 is an eigenstate of S σ 0, an etermine the eigenvalue. Base on this, which conclusions can you raw concerning the measure value of S ˆn in preparing the state χ0 an the measurement irection ˆn? b. Fin the spin state χt an the spin irection σ t at time t > 0. c. At the time t = π/ω, it turns out that χt = χ0. How oes this agree with the result foun for σ t? Suppose that we at t = π/ω measure the spin component S ˆn in the irection ˆn = ˆx sin θ + ẑ cos θ, with the result S ˆn = h. Write own what the state is immeiately after this measurement, an fin the probability of measuring this value. Problem 4 A particle of mass m is moving in a two-imensional oscillator potential V x, y = mω x + y. a. Assume that this oscillator is at a given point in time in a state Ψ which is an eigenstate of the operator mω a x = h x + i p x, m hω so that a x Ψ = α Ψ, where α is complex. Base on this, show that the expectation values of x an p x in this state are h m hω x Ψ = mω α + α an p x Ψ = i α α. Fin also the uncertainties x an p x together with the prouct x p x. Given: h m hω [a x, a x] =, x = mω a x + a x, p x = i a x a x.
Page 4 of 4 b. Assume that the two-imensional oscillator is at t = 0 prepare in the state mω /4 Ψ b x, y, 0 = C0 exp[ mωx b / h mωy / h + iy mωb/ h] C 0 =, π h where b > 0. State what the values x 0 an y 0 are at t = 0. Show that this initial state is an eigenstate of the position representation of the operator a x, mω a pr x = x + h, h mω x an fin the eigenvalue, which you may call α x 0. Show in a similar manner that Ψ b x, y, 0 is also an eigenstate of a pr y, an show that the eigenvalue is α y 0 = iα x 0. c. The results above in reality imply that the state for t 0 is coherent; it turns out that Ψ b x, y, t is an eigenstate of a pr x an a pr y with eigenvalues given respectively by α x t = α x 0e iωt an α y t = α y 0e iωt. Use this to fin the expectation values x t an y t at time t. Show also that the expectation value of the position moves in a circular orbit. [This last part can be one even if you have not foun α x 0.] an The two-imensional potential an the Hamiltonian in this Problem can be written as V = mω x + mω y V x x + V y y Ĥ = h m x + V x x h m y + V y y Ĥx + Ĥy. Consier now the one-imensional Schröinger equation i h t Ψ xx, t = Ĥx Ψ x x, t. With the initial state Ψ x x, 0 = C 0 exp[ mωx b / h], the solution of this equation becomes a coherent state. In a similar manner, the solution of i h t Ψ yy, t = Ĥy Ψ y y, t with the initial state Ψ y y, 0 = C 0 exp[ mωy / h+iy mωb/ h] becomes a coherent state. Show that the two-imensional state we have iscusse above can be written as a prouct of these two states: Ψ b x, y, t = Ψ x x, tψ y y, t.
Attachment: Formulae an expressions Some of this may turn out to be useful. One-imensional box, V x = 0 for 0 < x < L, infinite outsie ψ n x = Probability current ensity L sin k nx; E n = h k n m ; k n = nπ/l. Measurement postulate [ jr, t = Re Ψ r, t h ] Ψr, t. im i The only possible result of a precise measurement of an observable F is one of the eigenvalues f n of the corresponing linear operator F. ii Immeiately after the measurement of the eigenvalue f n, the system is in an eigenstate of F, namely, the eigenstate ψ n corresponing to the measure eigenvalue f n. Spinn For a particle with spin one may use the spin operator S = hσ = hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, where 0 0 i σ x =, σ y =, σ i 0 z = 0 0 are the so-calle Pauli matrices. The Pauli spinors χ + = an χ 0 = then are eigenstates of S z = hσ z with the eigenvalues ± h. A normalize spin state a χ = may be charcterize by the spin irection, b σ = χ σχ = ê x Rea b + ê y Ima b + ê z a b. The matrices S x = hσ x etc satisfy the angular momentum algebra, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Furthermore, S x = S y = S z = h 4 0 og S = 3 h 4 0.
Some formulae sina + b = sin a cos b + cos a sin b; cosa + b = cos a cos b sin a sin b; sin a = sin a cos a; cosa = cos a sin a = cos a = sin a; sin a = e ia e ia /i, cos a = e ia + e ia /; tan y = cot y = tany + nπ, n = 0, ±, ; sinh y = ey e y ; cosh y = ey + e y ; tanh y = coth y = sinh y cosh y ; cosh y sinh y = ; Harmonic oscillator sinh y = cosh y; y sinh y = y + Oy 3. cosh y = sinh y; y The energy eigenfunctions for the potential V = mω x < x < satisfy the eigenvalue equation [ h ] m x + mω x n + hω ψ n x = 0, n = 0,,,..., with solutions on the form ψ n x = mω /4 / h π h n n! e mωx H n ξ, ξ = H 0 ξ =, H ξ = ξ, H ξ = 4ξ,. Time evelopment of expectation values δ function an step function t F = ī [Ĥ, F ] + F. h t x h/mω ; Θx = δx; x fxδx ax = fa.