e Cycle - ème année 8 Juin 5 DYNAIQUE Devoi de synhèse Elémens de coecions y y Eude des mouvemens de angage d une ansmission de puissance d hélicopèe. x y y x y y x, x,, x,, x cinémaique : Equaion de liaison associée à la condiion géoméique imposée pa le conac en. Le conac en impose O.y Avec O a + d y a y + l x d y Soi : d + a a cos + l sin d cos E a sin + l cos + d sin d + a a cos + l sin d cos Il vien égalemen : O λ x a sin + l cos + d sin x E Dynamique :. ise en équaions pemean d obeni les équaions de mouvemen.
.. - Bilan ouvemen de angage d une ansmission de puissance d hélicopèe SCHEA, GAHE, SYSEES y y S k y y Σ Conac en Σ G A x S x G O S Bilan: plan p, spaial s INCONNUES p s EQUAIONS p s CINEAIQUES: DYNAIQUES: pivos essos conac poncuel k ψ, 4 DE LIAISON: l - Géoméique - Cinémaique LOIS DE COOEEN: essos HEOEES GENEAUX - solides 6 oal: 9 oal: 9 DEGE DE OBILIE: d n - l - SYSEE INIU: - équaion de liaison: E - équaions de compoemen: essos--------e E 3-3 équaions pa les héoèmes généaux: Σ S héoème du momen dynamique en A /, -------E 4 Σ S U S héoème du momen dynamique en G /, ------ E 5 5 équaions à 5 inconnues :,, F,, x / / Y x
Les lois de compoemen des essos E e E3 son diecemen inégées dans les équaions développées ci-dessous... D à Σ S / A,, : δ S A., Ex / S A., Cinéique : δ A δ G + AG m J S S G Avec : d Ω J G J G J A + AG + Ω Ω AG a x + a y l x + l y d d µ S G δ S G C,, ca, d G, es une diecion pincipale d ineie de S Soi finalemen : δ S G [ C l la cos sin ],, Bilan des acions mécaniques exéieues : / m g y oids : { / } / A AG / m gl cos / G L : elle que : / A.,, / Y y L : { } / / A A l x d y Y y l cos + d sin Y esso : { } ise en équaion : oids,, / / / / / k x / A A / k l sin d cos C l la cos sin E4 m gl cos + Y l cos + d sin + k l sin d cos..3 D à Σ S S / G,,, : δ S S G.,, Ex / S S G.,, Cinéique : soi finalemen : δ G [ C S + S,, + + δ S G.,, C ca S es en liaison pivo avec S fixe dans le galiléen δ G δ A + G A m J G δ A a y m J S S S G a + C l la cos sin m la cos + sin ],,,,
Bilan des acions mécaniques exéieues : / mg y / m g y oids : { + } + oids / / G / G / + G + GG / m g l cos + a sin L : elle que : / G.,, / Y y L : { } / / / G G / a y + l x d y Y y a sin + l cos + d sin Y λ Y esso : { } esso : { } / / G k / / Exciaion : { } E / ise en équaion : C / / /,, k x,, G G / a y + l x d y k x a cos + l sin d cos k,, a + d k E / E / sin ω,, G sin ω E / E / a + C l la cos + sin m g l cos + a sin + λ Y,, k a + d k,, +,, sin ω. En l absence d exciaion exéieue, la posiion es une posiion d équilibe. Dans ce conexe les équaions écies pécédemmen développées deviennen : E d + a a d E λ λ l E / E3 k x / E4 gl + Y l m g m Y E5 m gl + λ Y Y m g E5,,
oues les équaions son véifiées, cee posiion es bien une posiion d équilibe..3 Acion de conac en e acions mécaniques développées pa les essos e pou la posiion d équilibe. Y m g / / k λ λ x.4 - Equaions linéaisées en e e équaion de mouvemen en. 4 3 4 E d + a a + ε + l + ε d + ε Soi au second ode : a + l + d ce qui mone claiemen que au pemie ode. 3 3 E λ a + ε + l + ε + d + ε Soi au pemie ode avec : λ a + l soi : λ λ + λ avec : E k / E3 / k x kλ x ka x λ a λ l Dans l hypohèses ou les déivées successives de e pa appo au emps peuven êes considéées comme du même ode de gandeu que e, les équaions obenues pécédemmen peuven êes linéaisées de la façon suivane en enan compe de : E4 m gl + Y + Y l k λ d Avec k d k d m g il vien : Y λ a l l Y E5 C a m g l + a + λ + λ Y + λ Y k a + d k λ + sin ω k d Avec λ a, λ l, Y m g e Y a l Il vien : C a k da k a + d k a + sin ω Ce qui peme de déduie l équaion de mouvemen en : C a + k + ka sin ω
.5 - Sabilié de la posiion d équilibe éudiée. uisque C a e k + k a, la posiion d équilibe éudiée es > > incondiionnellemen sable. On pouai d ailleus véifie qu il s agi de la seule posiion d équilibe du mécanisme..6 - ulsaion pope ω e faceu d amoissemen ε. En écivan l équaion de mouvemen en sous la fome + ε ω + ω f, il vien immédiaemen : k + ka ω ε C a f C sin ω a.7 héoème de l énegie cinéique à Σ S + S. Enegie cinéique : S C ca S + Σ S S es en liaison pivo avec S fixe dans le galiléen V G + Ω. I G, S Ω S m.. V G V G V A + Ω AG a x + l y I G, S. Ω C Ω. ca, G, es une diecion pincipale d ineie de S Finalemen : Σ C + C a + l al sin uissance galiléenne développée pa les acions mécaniques exéieues : + + + + + + Ex / Σ oids / oids / L L / / Ex / oids : oids / /. V G ca V G.. / / sin oids V G m g y a x + l y m g a + l cos L e L : ca liaisons pafaies e pas de mouvemen d enaînemen esso : esso : Exciaion : Finalemen : L L / / G. Ω k V k λ / /.. Ω sin ω Ex / E / m g a sin l cos k k λ λ λ sin ω Ex + + / Σ
uissance développée pa les acions mécaniques inéieues : L ca liaison pafaie héoème de l énegie cinéique : C In a + C d Σ d l m al m g a sin + l cos k k Ex + In Il vien : + sin + cos λ + sin ω La linéaisaion de cee équaion au voisinage de la posiion d équilibe éudiée pécédemmen va pemee de eouve l équaion des peis mouvemens en. ouefois, la naue des emes significaifs de cee équaion impose d effecue un développemen au second ode. Dans ce conexe il n es plus possible de considée diecemen que, il fau au conaie eveni à l expession : a + l + d qui coespond au développemen au second ode de l équaion de liaison. Cee expession peme de déduie, pa déivaion, la elaion : a + l + d. Ces deux elaions monen que e son des expession du second ode e pa conséquen que les poduis,,, ec.son du oisième ode e son donc négligeables dans un développemen au second ode. De la même manièe l expession de λ doi êe adapée, il vien : λ a + l + d Ce qui peme de déduie : λ a l + d es λ a _ l + d oues ces expessions éan éablies, le développemen au second ode du héoème de l énegie cinéique condui à : soi : Soi : C a m g a + l k k λ λ + sin ω C a m g a a k k a + sin ω C a + k + k a sin ω Ce qui peme apès division pa de eouve l équaion de mouvemen en, soi : C a + k + ka sin ω