Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 01 Oppgave 1 ( poeng) Hilde skal kjøpe L melk,5 kg poteter 0,5 kg ost 00 g kokt skinke Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale. L melk:14,95 kr 15 kr 0 kr,5 kg poteter:,58,95 kr,5 10 kr 5 kr 0,5 kg ost: 0,589,95 kr 0,590 kr 45 kr 00 g kokt skinke: 0,199 kr 0,00 kr 40 kr Totalt: 0 kr 5 kr 45 kr 40 kr 140 kr Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 1 av 1
Oppgave ( poeng) En vare koster nå 10 kroner. Prisen er da satt ned med 0 %. Hva kostet varen før prisen ble satt ned? Varen koster nå 70 % av opprinnelig pris (100 %). Finner hvor mye 1 % utgjør. 10 kr kr 70 Pris på varen før den ble satt ned blir 100 kr 00 kr Oppgave ( poeng) En vare kostet 150 kroner i basisåret. I dag er indeksen for varen 110. Hvor mye koster varen i dag dersom vi antar at prisutviklingen har fulgt utviklingen i indeksen? En indeks på 110 betyr at prisen har økt med 10 % siden basisåret. Prisen på varen i dag blir 150 kr1,10 165 kr Oppgave 4 ( poeng) a) Vis at de to trekantene ovenfor er formlike. Finner den siste vinklene i ABC. ABC 180 4,1 101,5 44,4. De to trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike. b) Bestem lengden av sidene AC og DF. Vi bruker forhold mellom samsvarende sider i de to trekantene og finner lengdene av sidene AC og DF. AC AB DF EF DE EF BC AB AC 7,0 DF 9,8 7 4 7,0 9,8 4,0 7,0 49,0 9, AC DF 9,8 7,0 AC 5,0 DF 5,6 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side av 1
Oppgave 5 ( poeng) På en pakke grøtris står følgende opplysninger: a) Hvor mye ris, vann og melk trenger du for å lage 10 porsjoner grøt? Vi finner først hvor mye vi trenger til en porsjon. Til 1 porsjon trenger vi: 0,5 dl ris, 1,0 dl vann og 0,5 L melk. Til 10 personer trenger vi dermed: 5 dl ris, 10,0 dl vann og,5 L melk Du har nok vann og ris, men du har bare 5 L melk. b) Hvor mange porsjoner grøt kan du lage? Vi vet fra oppgave a) at vi trenger,5 L melk til 10 porsjoner. Det betyr at vi kan lage 0 porsjoner grøt med 5 L melk. Oppgave 6 (4 poeng) Et område har form som en halvsirkel med radius r 1,0 m. Et annet område har form som en likebeint ABC, der AB,0 m og høyden h 1,0 m. Se figurene ovenfor. Gjør beregninger og avgjør a) hvilket av de to områdene som har størst areal r 1,0 m,14 Arealet av halvsirkel: m m,0 m1,0 m,0 Arealet av trekant: m Halvsirkelen har størst areal. b) hvilket av de to områdene som har størst omkrets Omkretsen halvsirkel: r r 1,0 m,0 m 5,14 m Sidene (diagonalene) AC og CB er lengre enn halvparten av AB. Omkretsen, AB AC BC, til trekanten er dermed større enn 6,0 m. Trekanten har størst omkrets. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side av 1
Oppgave 7 (5 poeng) I en tank er det 60 L vann. Hver dag tapper vi 5,0 L vann fra tanken. a) Hvor mye vann er det igjen i tanken etter åtte dager? Hvor mange dager går det før tanken er tom? Det er 60 L5,0 L8 60 L40 L 0 L igjen etter åtte dager. Det går 60 L 1 dager før tanken er tom. 5,0 L b) Bestem funksjonsuttrykket f (x) til en funksjon f som viser hvor mange liter vann det er igjen i tanken etter x dager. Det tappes ut 5,0 L vann hver dag fra tanken. Vi har da en lineær funksjon på formen f x ax b der a viser endring i antall liter vann på tanken hver dag. Når vi tapper 5,0 L hver dag blir a 5,0. Tallet b forteller hvor mye vann det var på tanken før vi begynte å tappe vann fra tanken. I vårt tilfelle er det 60 L. Funksjonsuttrykket blir f x 5,0x 60 c) Tegn grafen til f. Vis hvordan du kan bruke grafen til å finne svar på spørsmålene i oppgave 7 a). Finner hvor mange liter det er igjen etter 8 dager ved å gå loddrett opp fra 8 på x aksen og lese av på y aksen hvor mange liter det er igjen. Vi ser at det er 0 L igjen på tanken etter 8 dager. Tanken er tom når kurva skjærer y aksen. Vi ser at skjer etter 1 dager. Begge svarene stemmer med det vi fant i oppgave a). Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 4 av 1
Oppgave 8 ( poeng) I en eske er det tre røde og to blå kuler. Sondre trekker tilfeldig to av kulene. a) Bestem sannsynligheten for at han trekker to røde kuler. 6 Pto røde kuler 0,0 5 4 0 10 Sannsynligheten for at Sondre trekker to røde kuler er 0 %. b) Bestem sannsynligheten for at de to kulene han trekker, har samme farge. P to like kuler P to røde kuler P to blå kuler 1 0,0 0,10 0,40 10 5 4 10 0 Sannsynligheten for at Sondre trekker to kuler med samme farge er 40 %. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 5 av 1
Oppgave 1 (8 poeng) Ole arbeider på et mekanisk verksted. Han har en timelønn på 195 kroner innenfor vanlig arbeidstid. Nedenfor ser du hvor mange timer han arbeidet en måned. a) Bestem bruttolønna til Ole denne måneden. Bruker Excel Arbeid Antall timer Regnestykke Lønn Vanlig arbeidstid 150 150 195 kr 9 50 Overtid med 50 % tillegg 16 16 195 1,50 kr 4 680 Overtid med 100 % tillegg 6 6 kr 195,00 kr 40 Bruttolønn kr 6 70 Ole betaler % av bruttolønna til en pensjonskasse. b) Hvor mye betalte Ole til pensjonskassen denne måneden Ole må betale kr 670 0,0 kr 75,40 til pensjonskassen denne måneden. Ole betaler 6 % skatt. c) Hvor mye fikk Ole utbetalt etter at skatten var trukket fra, denne måneden? Bruttolønn pensjonstrekk kr 5 544,60 Skatt kr 1 796,06 Utbetalt kr 748,54 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 6 av 1
En periode arbeidet Ole med et prosjekt på kveldstid. For timene han brukte på dette prosjektet, fikk han overtid med 50 % tillegg. Han fikk utbetalt 5045 kroner for arbeidet. d) Hvor mange timer arbeidet han med prosjektet? Finner først skattepliktig lønn. Det vil si lønn etter pensjonstrekk. kr 5045 kr788,81 0,64 Finner så bruttolønn. kr 788,81 kr 804,68 0,98 Antall timer blir: kr 804,68 kr 1951,50 7,50 Ole arbeidet 7,5 timer med prosjektet Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 7 av 1
Oppgave (5 poeng) I en klasse er det 0 elever. Klassen skal arrangere fest. Elevene må bestemme seg for om de vil ha taco eller pizza til middag, og om de vil ha sjokoladekake eller marsipankake til dessert. Hver elev legger en lapp med hvilken middag de ønsker, i én krukke og en lapp med hvilken kake de ønsker, i en annen krukke. Nedenfor ser du hvordan ønskene fordeler seg. For å avgjøre hva menyen skal være, trekker læreren tilfeldig en lapp fra hver krukke. a) Bestem sannsynligheten for at det blir taco til middag. 18 PTaco til middag 0,60 0 5 Sannsynligheten for taco til middag er 60 % b) Bestem sannsynligheten for at det blir taco til middag og marsipankake til dessert. 18 4 4 1 Pmiddag og marsipankake 0,48 0 0 5 5 5 Sannsynligheten for taco til middag og marsipankake til dessert er 48 % 4 elever vil ha pizza og sjokoladekake. Vi trekker tilfeldig ut en elev. c) Bestem sannsynligheten for at eleven vil ha taco og marsipankake. Vi lager en krysstabell. Setter inn tallene som er oppgitt tidligere i oppgaven (svarte tall) Sjokoladekake Marsipankake Sum Taco 16 18 Pizza 4 8 1 Sum 6 4 0 Vi ser at 16 elever vil ha taco og marsipankake. Sannsynligheten for taco og marsipankake blir 16 8 0,5 dvs. 5 %. 0 15 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 8 av 1
Oppgave (6 poeng) Hansen har hytte på fjellet. I kjelleren har de en beholder der de samler opp regnvann. Beholderen har form som et rett firkantet prisme. Se skissen ovenfor. a) Hvor mange liter rommer beholderen? Volumet av beholderen er gitt ved V l bh,00 m0,70 m1,00 m1,40 m 1400 dm 1 dm 1 L. Beholderen rommer 1 400 L Når det regner, vil alt vannet som treffer hyttetaket, bli ledet ned i beholderen. Hyttetaket er tilnærmet horisontalt og har et areal på 70 m. En dag da familien reiser fra hytta, er beholderen tom. I løpet av den neste uken regner det 1 mm. b) Hvor høyt i beholderen står vannet når familien kommer tilbake etter denne uken? Antall liter vann som har blitt ledet ned i beholderen 1 mm70 m 0,01 m70 m 0,84 m 0,84 m blir h,00 m0,70 m h 0,60m Vannet står 60 cm opp i beholderen når familien kommer tilbake. En annen dag familien reiser fra hytta, står vannet 10 cm høyt i beholderen. Når de kommer tilbake, står vannet 85 cm høyt. c) Hvor mange millimeter har det regnet den tiden de var borte? x 70 m,00 m0,70 m 0,85 m 0,10 m,00 m0,70 m0,75 m x 70 m x 0,015 m Det har regnet 15 mm i denne perioden. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 9 av 1
Oppgave 4 (8 poeng) Funksjonen h gitt ved h t,5t 50t 170t 700 var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990-000. Ifølge modellen var det ht hjort i kommunen t år etter 1. januar 1990. a) Tegn grafen til h for 0 t 10 Tegner grafen i GeoGebra. Bruker kommandoen Funksjon[funksjon, start, slutt]. b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? Bruker kommandoen Ekstremalpunkt[polynom] i GeoGebra og finner toppunktet på grafen til h. Finner at hjortebestanden var størst litt ut i 199. Den var da på 867 dyr. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 10 av 1
c) Løs likningen ht 850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden. Legger inn en linje y 850 i samme koordinatsystem som grafen til h. Finner skjæringspunktene mellom denne linjen og grafen til h ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekt. Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og,9 år etter 1990. Det vil si midt i 1991 til rett før årsskifte 199-1994. d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjort per år i perioden 1. januar 1994 1. januar 1998? Bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finner: Vi finner at hjortebestanden synker i gjennomsnitt med 66 dyr hvert år i denne perioden. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 11 av 1
Oppgave 5 (5 poeng) Ovenfor ser du nedbetalingsplanen for et lån som betales ned i løpet av 10 terminer. Hver termin er 1 år. Renten i prosent er den samme i hele nedbetalingsperioden. a) Forklar hvilken type lån dette er. Summen av renter og avdrag er like stor i alle terminene. Dette er et annuitetslån b) Hvor stort er det totale lånebeløpet? Totalt lånebeløp er summen av alle avdragene. 695 7010 768 840 99 10115 11086 1150 116 14595 100 000 kr c) Hvor mange prosent er renten på? Vi vet at det totale lånebeløpet er på 100 000 kr. Det blir betalt 9 600 kr i renter av dette beløpet i første termin. Renten er den samme i hele perioden. Renten på lånet er dermed 9600 100 % 9,6 % 100000 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 1 av 1
Oppgave 6 (4 poeng) En haug med tørr sand har form tilnærmet lik en kjegle. Radius i kjeglen er 1,5 ganger så stor som høyden i kjeglen. a) Bestem volumet av haugen med tørr sand dersom radius i kjeglen e 1,5 m. r r G r h 1,5 1.5 Volumet av sandkjeglen er gitt ved V 1,718 4,5 Volumet av sanden er ca. 1,7 m. b) Bestem hvor høy kjeglen er dersom haugen med sand har et volum på 8,0 m. Volumet av sandhaugen er gitt ved. r h V h1,5 V,5h V h Løser med hensyn på h : V,5h,5 h V h h 1,50 8,0,5 Sandkjeglen er 1,50 m høy Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 01 løsning Side 1 av 1