Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra et år til det neste størst? Den prosentvise økningen er størst når forholdet mellom økning og opprinnelig verdi er størst. Økningen er på 1000 bøker hvert år, så den prosentvise økningen blir størst fra 2010 til 2011. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 1 av 20

Oppgave 2 (1 poeng) Ifølge en oppskrift trenger du 500 g kjøttdeig for å lage middag til fire personer. Hvor mye kjøttdeig trenger du for å lage middag til ni personer? Jeg går «veien om 1»: 500 9 125 9 1125 4 Jeg trenger 1125 g kjøttdeig for å lage middag til ni personer. Oppgave 3 (2 poeng) I basisåret kostet en vare 600 kroner. I 2013 kostet varen 720 kroner. Vi antar at prisen for varen har fulgt indeksen. Bestem indeksen for varen i 2013. indeks pris indeks pris 2013 basisår 2013 basisår indeks2013 100 720 600 100 indeks2013 720 600 indeks 120 2013 Indeksen for varen i 2013 er 120. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 2 av 20

Oppgave 4 (2 poeng) I en klasse er det seks gutter og fire jenter. To elever velges tilfeldig til å være med i en spørreundersøkelse. Tegn et valgtre, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at én jente og én gutt velges ut. P(gutt) 6 10 P(jente) 4 10 6 4 4 6 4 6 2 2 8 P(gutt og jente) 2 2 10 9 10 9 10 9 5 3 15 Sannsynligheten for at én gutt og én jente velges ut er 8/15. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 3 av 20

Oppgave 5 (2 poeng) Trond påstår at antall kiwi du kjøper i denne butikken, og beløpet du betaler for kiwiene, er proporsjonale størrelser. Therese mener det ikke er grunnlag for å påstå dette. Hvordan kan Trond og Therese argumentere? Trond vil nok hevde at prisen du betaler og antall kiwi du får er proporsjonale, ettersom forholdstallet mellom de to størrelsene er det samme i begge tilfelle. 20 8 20:2 10 2,5 8: 2 4 Therese kan derimot hevde at vi ikke vet at prisen per stk. er 2,5 kroner. Dermed vet vi ikke om prisen ellers stiger jevnt med antall kjøpte kiwi, og har ikke nok informasjon til påstå at størrelsene er proporsjonale. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 4 av 20

Oppgave 6 (3 poeng) I 2006 kostet en vare 600 kroner. I 2014 koster varen 1 000 kroner. a) I løpet av disse åtte årene har prisen økt lineært. Forklar hva det vil si. Det vil si at prisen har økt jevnt, med like stort beløp hvert år. Vi antar at prisen fortsetter å øke lineært. b) Bestem en funksjon f som viser prisen f (x) kroner for varen x år etter 2006. En lineær funksjon er på formen f() x ax b, der a er stigningstallet (økninger per år), og b er skjæringspunktet med y-aksen, altså prisen i 2006 i dette tilfellet. 1000 600 400 a 50 8 8 Funksjonen f blir da: f( x) 50x 600 c) Hvor mye vil varen koste i 2018 ifølge funksjonen i oppgave b)? f (12) 50 12 600 600 600 1200 Ifølge denne funksjonen vil varen koste 1200 kroner i 2018. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 5 av 20

Oppgave 7 (4 poeng) Julie har fått følgende oppgave: «En formiddag i barnehagen var det fem ganger så mange barn ute som inne. Etter lunsj kom tre barn til ut. Da ble det åtte ganger så mange barn ute som inne. Hvor mange barn var det i barnehagen denne dagen?» Hun arbeider med teksten, og setter først opp en tabell: Inne x Ute 5x x 3 5x 3 Så setter hun opp denne likningen: 8( x 3) 5x 3 a) Forklar hvordan Julie kommer fram til uttrykkene som er satt inn i tabellen, og hvordan hun kommer fram til likningen. Utgangspunktet er at hun lar x være antall barn som er inne før lunsj. På det tidspunktet er det fem ganger så mange barn ute som inne så antall barn som er ute blir da 5x. Etter lunsj er det tre barn til som går ut, og dermed blir det 5x + 3 barn ute, og x 3 barn inne. Da er det åtte ganger så mange barn ute som inne, så hun kan sette opp likningen 8( x 3) 5x 3. b) Løs likningen. Hvor mange barn var det i barnehagen denne dagen? 8( x 3) 5x 3 8x 24 5x 3 8x 5x 3 24 3x 27 x 9 Det var 9 barn inne før lunsj, og Det var 54 barn i barnehagen denne dagen. 5 9 45 barn ute, til sammen 9 45 54 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 6 av 20

Oppgave 8 (4 poeng) a) Hva kjennetegner et annuitetslån? Hva kjennetegner et serielån? I et annuitetslån er terminbeløpene like store hver termin. Renteutgiftene blir lavere og lavere hver termin etter hvert som lånet betales ned, men avdragene øker, slik at alle terminbeløpene blir like store. I et serielån er avdragene like store hver termin, men ettersom renteutgiftene blir lavere og lavere blir terminbeløpet lavere og lavere etter hvert som tiden går. Siv tar opp et annuitetslån på 2 000 000 kroner. Solveig tar opp et serielån på 2 000 000 kroner. Begge får samme rentesats, og de skal betale ned lånene over like lang tid. b) Hvorfor må Siv totalt betale mer tilbake til banken enn Solveig? Fordi ved et annuitetslån betaler man lite avdrag den første tiden slik at renteutgiftene totalt sett blir høyere. c) Hvorfor kan det for noen være gunstig å velge et annuitetslån framfor et serielån? I et serielån er teminbeløpene til å begynne med høyere enn det de vil være i et annuitetslån. Selv om de blir lavere etter hvert, vil det for noen være utfordrende med så høye utgifter i denne perioden, da en kanskje er i en etableringsfase. Oppgave 9 (4 poeng) Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 7 av 20

Figur 1 ovenfor er sammensatt av en trekant og en halvsirkel. Halvsirkelen har radius 5,5. Figur 2 er sammensatt av en trekant og to halvsirkler. Den minste halvsirkelen har radius 2,5 og den største har radius 6,0. a) Vis at linjestykket PQ har lengde 13. Jeg bruker Pytagoras setning: PQ PQ PQ 2 2 2,5 2 6,0 5 12 2 2 2 2 169 2 2 2 13 13 13 169 PQ 13 b) Gjør beregninger, og avgjør hvilken figur som har størst omkrets. O 2 5,5 2 5,5 5,5 1 O 11 11 5,5 1 O 22 5,5 1 O 22 5,5 3 1 O 38,5 1 O 13 2,5 6,0 2 O 13 8,5 2 O 13 8,5 3 2 O 38,5 2 Dersom vi runder π av til 3, blir omkretsene like. π er derimot større enn tre, noe som betyr at O 2 må blir størst, ettersom π her blir multiplisert med 8,5, mens det blir multiplisert med 5,5 i O 1. Figur 2 har størst omkrets. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 8 av 20

Oppgave 1 (4 poeng) Da skatteetaten la ut det foreløpige skatteoppgjøret på nett 19. mars i år, var dette en av overskriftene på nettsidene til Teknisk Ukeblad: Anta at pågangen var like stor hele denne dagen. a) Hvor mange hadde da logget seg på i løpet av én time? 1 t = 60 60 s 3600 s 45 3600 162000 I løpet av én time hadde 162 000 logget seg på. Omtrent 900 000 skattytere fikk skatteoppgjøret sitt elektronisk denne dagen. b) Hvor lang tid ville det gått før alle hadde logget seg på? 900000 20000 45 20000 5,6 3600 Det ville tatt litt over 5 og en halv time før alle hadde logget seg på. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 9 av 20

Nedenfor ser du et annet sitat fra nettet i forbindelse med skatteoppgjøret. Onsdag 19. mars kan nær 900.000 skattytere sjekke selvangivelsen «I denne omgang er det bare elektroniske brukere (e-brukere) som får tilgang til selvangivelsen. Resten, det vil si rundt 3,7 millioner innbyggere, må vente til 1. april før de får skattedommen.» c) Hvor mange prosent av skattyterne i Norge er elektroniske brukere? 900000 0,196 19,6 % 3700000 900000 19,6 % av skatteyterne er elektroniske brukere. Oppgave 2 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 2 f( x) 0,003x 0,005x 0,8 x, 0 x 18 a) Tegn grafen til f. Jeg tegner grafen i GeoGebra: Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 10 av 20

b) Bestem nullpunktene til f. Bestem toppunktet på grafen til f. Jeg finner nullpunktene ved å skrive kommandoen Nullpunkt[f] i innskrivingsfeltet i GeoGebra. På samme måte finner jeg toppunktet ved å skrive kommandoen Ekstremalpunkt[f]. Nullpunktene er x = 0 og x = 15,5. Toppunktet har koordinatene (8,9, 4,6). En sommernatt begynte det å snø i en fjellbygd. Når f (x) 0 viser funksjonen f snødybden f (x) cm i bygda x timer etter midnatt. c) Hva forteller svarene du fant i oppgave b) om snødybden i fjellbygda? Det begynner å snø ved midnatt. Snødybden er økende fram til ca. kl. 9. Da slutter det å snø, og snøen begynner så å smelte. Ca. kl. 15:30 har alt snøen smeltet. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 11 av 20

Oppgave 3 (5 poeng) I en by abonnerer 39 % av husstandene på lokalavisen, mens 32 % av husstandene abonnerer på regionavisen. 41 % av husstandene abonnerer ikke på noen av de to avisene. a) Systematiser opplysningene ovenfor i et venndiagram eller en krysstabell. Krysstabell: Abonnerer på regionavisen Abonnerer ikke på regionavisen Abonnerer på lokalavisen Abonnerer ikke på lokalavisen Sum 12 % 20 % 32 % 27 % 41 % 68 % Sum 39 % 61 % 100 % Venndiagram: 100 % Abonnerer på lokalavisen 27 % 12 % %% Abonnerer på regionavisen 20 % 41 % En husstand i byen abonnerer på regionavisen. b) Bestem sannsynligheten for at denne husstanden også abonnerer på lokalavisen. 12 P(abonnerer på lokalavisen abonnerer på regionavisen) 100 % 37,5 % 32 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 12 av 20

Tre husstander i byen velges ut tilfeldig. c) Bestem sannsynligheten for at akkurat én av husstandene abonnerer på lokalavisen. Dette kan skje på tre måter; enten kan den første, den andre eller den tredje av de tre husstandene abonnere på lokalvisen. Sannsynligheten for at en husstand abonnerer på lokalavisen er 39 %, og sannsynligheten for at en husstand ikke abonnerer på lokalavisen er 100 % - 39 % = 61 %. P(akkurat én av de tre husstandene abonnerer på lokalavisen) 2 3 0,39 0,61 0,435 43,5 % Oppgave 4 (6 poeng) ABC og BDE er formlike. AB = 4,0 cm AC = 2,4 cm BE = 20,0 cm CD =16,8 cm a) Bestem lengden av DE ved regning. DE BE AC AB BE DE AC AB 20,0 cm DE 2,4 cm 4,0 cm DE 12 cm Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 13 av 20

b) Bestem lengden av BC ved regning. BC AB BD BE BC AB CD BC BE BC 4,0 cm 16,8 cm BC 20,0 cm Jeg løser denne i CAS i GeoGebra: BC 2,8 cm Arealet av ABC er 3,3 cm 2 c) Bestem arealet av BDE ved regning. Finner først forholdet mellom lengdene i de to trekantene: BE 20,0 cm 5,0 AB 4,0 cm Forholdet mellom arealene blir da 2 5,0 25 2 2 Arealet av BDE blir da 25 3,3 cm 82,5 cm Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 14 av 20

Oppgave 5 (4 poeng) Stanley har laget en sopp som skal brukes i en juleutstilling. Soppen er en sylinder med en halvkule på toppen. Sylinderen har radius 2,0 dm, og halvkulen har radius 4,0 dm. Høyden i sylinderen er lik radien i halvkulen. a) Bestem volumet av soppen. V V V sylinder halvkule 1 4 V (2,0 dm) 4,0 dm (4,0 dm) 2 3 3 V 184,3 dm 2 3 Stanley skal male soppen. 1 L maling er nok til 6 m 2. b) Hvor mye maling trenger han? Finner først overflaten til soppen: O O O sylinder halvkule 1 2 2 2 O 2 2,0 dm 4,0 dm 4 (4,0 dm) (4,0 dm) (2,0 dm) 2 2 2 O 188,5 dm 1,885 m 1,885 0,31 6 Stanley trenger 0,31 liter maling. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 15 av 20

Oppgave 6 (4 poeng) År 2010 2011 2012 2013 Konsumprisindeks 128,8 130,4 131,4 134,2 I 2011 flyttet Per inn i ny leilighet. Husleien var da 8000 kroner per måned. I leiekontrakten til Per står det blant annet: Månedsleien justeres én gang per år. Dette skjer i januar i samsvar med konsumprisindeksen fra året før. Månedsleien rundes alltid opp til nærmeste hele krone. a) Vis at månedsleien fra og med januar 2012 var 8100 kroner. Leie Indeks Leie Leie Indeks 2012 2011 2011 2010 Leie Indeks Indeks 2011 2012 2011 2010 8000 kr Leie2012 130,4 128,8 Leie 8099,4 kr Leie 2012 2012 8100 kr Månedsleien fra og med januar 2012 var 8100 kroner. b) Hvor mye betalte Per til sammen i husleie fra og med januar 2012 til og med desember 2013? Jeg finner på samme måte månedsleien i 2013: 8100 kr Leie2013 131,4 8162,1 kr 8163 kr 130,4 Samlet husleie = 12 (8100 kr 8163 kr) 195156 kr Per betalte til sammen 195 156 kr i husleie fra og med januar 2012 til og med desember 2013. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 16 av 20

Oppgave 7 (7 poeng) Arne opprettet en høyrentekonto i banken 1. januar 2014 og satte inn 75 000 kroner. Renten er 1,75 % per år. a) Hvor mye vil han ha i banken 1. januar 2017? Regner i CAS i GeoGebra: Arne vil ha 79 006,81 kroner i banken 1. januar 2017. Eirik opprettet en BSU-konto (boligsparing for ungdom) i banken 1. januar 2014 og satte inn 25 000 kroner. Renten er 4,5 % per år. Eirik vil sette inn 25 000 kroner på kontoen 1. januar 2015 og 1. januar 2016. b) Hvor mye vil han ha i banken 1. januar 2017? Regner i CAS i GeoGebra: Eirik vil ha 81 954,78 kroner på BSU-kontoen 1. januar 2017. Eirik får et skattefradrag på 20 % av beløpet han setter inn på kontoen hvert år. c) Vis at dette betyr at han til sammen betaler 15 000 kroner mindre i skatt i løpet av disse tre årene enn han ellers ville ha gjort. 3 25000 kr 0,20 15000 kr Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 17 av 20

d) Vis at når vi ser på renter og skattefradrag, «tjener» Eirik omtrent 448 % mer enn Arne ved å velge BSU framfor høyrentekonto. Finner først hvor mye hver av dem har fått i renter: Arne: 79006,81 kr 75000 kr 4006,81 kr Eirik: 81954,78 kr 75000 kr 6954,78 kr Differanse = 6954,78 kr 4006,81 2947,97 kr I tillegg «tjener» Eirik 15 000 kr på mindre skatt. 2947,97 kr 15000 kr 100 % 447,9 % 448 % 4006,81 kr Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 18 av 20

Oppgave 8 (2 poeng) Maler Jensen tilbyr en kunde en fast pris for å male et hus. Grafen ovenfor viser sammenhengen mellom antall timer Jensen bruker på jobben, og timelønnen han vil få. Bestem Jensens timelønn dersom han bruker 64 timer på jobben. Dette er en omvendt proporsjonal sammenheng. Denne kan skrives med formelen y k x, der k er den faste priser. Jeg finner den faste prisen ved å multiplisere antall timer med timelønn på et gitt tidspunkt: 20 1400 kr 28000 kr Timelønn ved 64 timers arbeid = 28000 kr 437,5 kr 64 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 19 av 20

Bildeliste Skatteoppgjør: http://www.tu.no/it/2014/03/19/45-palogginger-hvert-sekund-for-a-sjekke-skatten (14.04.2014) http://www.nrk.no/livsstil/far-du-selvangivelsen-i-natt_-1.11611940 (18.03.2014) Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2014 løsning Side 20 av 20