EKSAMENSOPPGAVER SV SØ 232: METODE II

EKSAMENSOPPGAVER SV SØ 232: METODE II H-1998 Gjør rede for følgende begreper: 1. Stokastisk variabel 2. Sannsynlighet 3. Estimator 4. Estimat 5. Forventning 6. Varians 7. Kovarians Gjør rede for trinnene i hypotesetesting når hypotesen kan testes ved hjelp av en binomialfordeling. Du har et tilfeldig utval av normalfordelte variable med ukjent middelverdi og varians. Hvordan ville du gå frem for å teste hypotesen at middelverdien P P? 0 Anta modellen y D Ex u, i 1,..., n i i i 1. Gjør rede for forutsetningene om restleddet. 2. Utled minste kvadraters metode estimatorer for D og E. 3. La b være estimatoren for E og la Var(b) være variansen til denne estimatoren. Hvordan ville du estimere denne variansen? 4. La SE(b) være kvadratroten av Var(b). Vis at t=b/se(b) er t-fordelt med n-2 frihetsgrader under H 0 : E=0. 5. Anta at b=6.2 og SE(b)=3.1. Hva blir t-verdien? Vil du forkaste nullhypotesen? Hva er motivasjonen for valget ditt? V-1999 Gjør rede for følgende begreper: 1. Median 2. Frihetsgrader 3. Diskret variabel 4. Kontinuerlig variabel 5. Korrelasjonskoeffisient 6. Disjunkte hendelser Gjør rede for sannsynlighetsbegrepet, med spesiell vekt på hvilke lover som må holde for et generelt utfallsrom.

Gjør rede for Bayes teorem. Forklar begrepet styrkefunksjonen til en test. Oppgave 5 Anta modellen y D Ex u, i 1,..., n i i i 1. Gjør rede for forutsetningene om restleddet. 2. Utled minste kvadraters metode estimatorer for D og E. 3. La b være estimatoren for E og la Var(b) være variansen til denne estimatoren. Hvordan ville du estimere denne variansen? 4. Hvordan ville du måle hvor god føyning modellen har til et datasett? V-1999 Utsatt Gjør rede for følgende begreper: 1. Median 2. Frihetsgrader 3. Diskret variabel 4. Kontinuerlig variabel 5. Korrelasjonskoeffisient 6. Disjunkte hendelser Gjør rede for sannsynlighetsbegrepet, med spesiell vekt på hvilke lover som må holde for et generelt utfallsrom. Gjør rede for Bayes teorem. Gjør rede for de relevante trinnene i hypotesetesting når hypotesen kan testes ved hjelp av en binomialfordeling. Oppgave 5 Forklar begrepet styrkefunksjonen til en test.

H-1999 I en butikk er det tilbud på drops som er gått ut på dato. Av de 10 posene som er igjen er 6 i orden og 4 er dårlige. Du kjøper 3 poser. 1. Hvor mange kombinasjoner av de tre posene er mulige uten tilbakelegging? 2. Hvor mange kombinasjoner med to dårlige og en god pose er mulig? 3. Gitt at alle valg er like sannsynlige, hva er sannsynligheten for å kjøpe to dårlige og en god pose? De to diskrete tilfeldige variablene X og Y har den felles sannsynlighetsfordelingen vist nedenfor. Y 1 2 0 4/16 0 X 1 2/16 2/16 2 2/16 6/16 1. Finn de marginale sannsynlighetsfordelingene for X og Y. 2. Definer begrepet forventning. Finn de forventede verdiene til X og Y. 3. Finn den forventede verdien til produktet XY. 4. Definer begrepene varians og standardavvik. Finn variansene og standardavvikene til X og Y. 5. Definer begrepet kovarians. Finn kovariansen mellom X og Y. 6. Definer begrepet korrelasjon. Finn korrelasjonskoeffisienten mellom X og Y. Tolk svaret. Gjør rede for Bayes teorem. Forklar begrepet styrkefunksjon til en test. Oppgave 5 Anta modellen yi = α + βxi + ui, i = 1,..., n 1. Gjør rede for forutsetningene om restleddet. 2. Utled minste kvadraters metode estimatorer for α og β. 3. La b være estimatoren for β og la Var(b) være variansen til denne estimatoren. Hvordan ville du estimere denne variansen? 4. Hvordan ville du måle hvor god føyning modellen har til et datasett?

EKSAMENSOPPGAVE I SV FEL 232: METODE II / VÅR 2000 Eksamensoppgaven består av 5 oppgaver som alle skal besvares. En student skal opp til en eksamen som omfatter 20 emner. Desverre har studenten bare hatt tid til å forberede seg i 10 av disse emnene. Ved eksamen skal studenten trekke ut tilfeldig 3 emner blant de 20. 1. Regn ut sannsynligheten for at studenten trekker 3 emner han ikke har forberedt seg i. 2. Regn ut sannsynligheten for at studenten trekker akkurat 2 emner han har forberedt seg i. 3. Hva er sannsynligheten for at han trekker minst 2 emner som han har forberedt seg i? 4. Vi definerer den tilfeldige variabelen X: Antall emner studenten har forberedt seg i blant de 3 som er trukket ut. Bestem forventningsverdien E(X). Begrunn svarene. La 3 begivenheter være gitt ved A, B og C. 1. Definer begrepene snitt, union og komplement. 2. Hva er sannsynligheten for unionen av A og B? 3. Hva er den betingede sannsynligheten for A gitt B? 4. Vis at P ( ABC) = P( A) P( B A) P( C AB) 5. Forklar Bayes teorem. Gjør rede for de to typer feil i hypotesetesting og forklar styrkefunksjonen til en test. 1. Gjør rede for et Bernoulliforsøk. 2. Gjør rede for Binomialfordelingen. 3. Utled forventning og varians i en binomialfordeling. Oppgave 5 It et tilfeldig utvalg er de tilfeldige variablene X 1,...X n uavhengige, og hver har fordelingen til populasjonen. 1. Finn forventning og varians til hver variabel. 2. Finn forventing og varians til gjennomsnittet. 3. Gjør rede for sentralgrenseteoremet. 4. Forklar utfra sentralgrenseteoremet hvordan en binomialfordeling kan tilnærmes med en normalfordeling.

EKSAMENSOPPGAVE I SV FEL 232: METODE II HØST 2000 Eksamensoppgaven består av 3 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares. Oppgaveteksten er skrevet på norsk og engelsk. En bedrift leverer en type apparater i partier på 20 stykker. Før kvalitetskontrollen regner bedriften med at fordelingen av antall defekte apparater i et vilkårlig parti er gitt ved: Antall defekte 0 1 2 3 4 Sannsynlighet 0.57 0.30 0.09 0.03 0.01 Sannsynligheten for mer enn 4 defekte apparater i et parti anser bedriften så liten at den, for enkelhets skyld, er satt lik 0. a) Hva er sannsynligheten for at et parti inneholder i) minst et defekt apparat? ii) høyst to defekte? b) Om et parti vet man at det inneholder minst et defekt apparat. Hva er sannsynligheten for at det ikke inneholder noen flere defekte? c) Finn forventningen og variansen til antall defekte apparater i et vilkårlig parti. d) Det er dyrt å teste hvert apparat. Derfor foretar bedriften kun følgende begrensete kvalitetskontroll av hvert parti før levering: Fem apparater trekkes tilfeldig fra partiet og testes. Dersom minst ett av de fem er defekt, forkastes partiet (dvs trekkes tilbake fra levering). Hva er sannsynligheten for at et parti som har 4 defekte apparater ikke blir forkastet ved kontrollen (dvs passerer kontrollen)? Beregn også de tilsvarende sannsynlighetene dersom partiet har 0, 1, 2 og 3 defekte apparater henholdsvis. e) Hva er sannsynligheten for at et vilkårlig parti skal passere kontrollen? Tabell 1 er en simultan sannsynlighetsfordeling for hans og hennes høyeste fullførte utdanningsnivå for alle ektepar (og noen samboerpar) i Norge der begge partnerne var født mellom 1900 og 1960, og minst en av partnerne fortsatt levde på tidspunktet for folketellingen 1980. Tallene er basert på et 10% utvalg på 152106 på hvor høyeste utdanning er kjent for begge partnerne. Dette utvalget er så stort at vi skal betrakte tallene i tabellen som om de var kjente sannsyligheter. Kall hans høyeste utdanningsnivå for Y og hennes for X. Vi grupperer utdanningens varighet i 5 trinn som vist i tabell 1.

Y X 7 år 9 år 12 år 16 år > 18 år 7 år 0,426 0,090 0,073 0,023 0,011 9 år 0,072 0,045 0,044 0,020 0,016 12 år 0,018 0,016 0,022 0,014 0,017 16 år 0,007 0,007 0,011 0,015 0,023 >18 år 0,002 0,002 0,003 0,004 0,019 Tabell 1: Andel av par etter lengden på hans og hennes utdanning. Betegn sannsynlighetene i tabellen med π xy slik at for eksempel π 9,12 = 0,044 a) Regn ut de marginale sannsynlighetsfordelingene π x+ og π +y til X og Y og vis at tabellen definerer en sannsynlighetsmodell. b) Beregn forventning til X og Y og vis ad SD(X) = 2,952 og SD(Y) = 3,695. Regn den høyeste utdanningskategorien som akkurat 18 år. c) Vis hvordan du vil regne ut at E(XY) = 90,711 (Ikke gjør regningen). Bruk dette resultatet til å regne ut Cov(X,Y) og korrelasjonen p xy mellom X og Y. d) For et tilfeldig valgt par fra tabellen: Hva er sannsynligheten for at han og hun har samme utdanningsnivå? Hva ville denne sannsynligheten ha vært dersom hans og hennes utdanningsnivå var stokastisk uavhengige? Er det tendens til at krake søker make (dvs at man søker partner som er lik en selv)? e) Beregn sannsynligheten for at han har minst 12 års fullført utdanning. Finn også sannsynligheten for at hun har mindre enn 12 års fullført utdanning gitt at han har minst 12 år. Femten studenter ble bedt om å oppgi hvor mange timer de hadde studert før de gikk opp til eksamen i statistikk. Svarene deres ble deretter sammenlignet med poengene oppnådd på eksamen. Det var mulig å oppnå 100 poeng. Følgende resultat ble observert. Timer 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 Poeng 57 64 59 68 74 76 79 83 85 86 88 89 90 94 96 a) Gjør rede for en modell for å predikere oppnådde poeng med timer studert, der timer studert blir symbolisert med X og oppnådde poeng blir angitt ved Y. b) Estimer og tolk parametrene i modellen. c) Hvor mye av variasjonen i poeng er forklart av modellen? d) Gjør rede for og utfør en test av hypotesen at timer studert ikke kan brukes til å forklare oppnådde poeng. Gå ut fra et signifikansnivå 5%. e) Dersom en student forberedte seg 0,85 timer, hva er studentens predikerte karakter?

EKSAMENSOPPGAVE I SVFEL 232: METODE II VÅR 2001 Eksamensoppgaven består av 4 oppgaver med delspørsmål som alle skal besvares med utførlige forklaringer. Oppgaveteksten er skrevet på norsk og engelsk. En familie har to barn. a) Et av barna er en gutt. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet er en jente? b) Det eldste barnet er en gutt. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet er en jente? En sykdom opptrer med en sannsynlighet på en halv prosent i befolkningen. En test basert på blodprøve er 99 prosent effektiv i å oppdage forekomsten av sykdommen; det vil si, testen vil gi positivt resultat i 99 prosent av tilfellene der sykdommen faktisk er til stede. Men den gir også falskt positivt resultat i 5 prosent av tilfellene der hvor sykdommen ikke er tilstede. a) Hvis du tar testen og resultatet er negativt, hva er sannsynligheten for at du faktisk ikke har sykdommen? b) Hvis du tar testen og resultatet er positivt, hva er sannsynligheten for at du har sykdommen? Det blir hevdet at et vitamintilskudd hjelper kenguruer til å lære å løpe gjennom en labyrint med høye vegger. For å finne ut om dette er sant blir 20 kenguruer delt inn i 10 par. I hvert par blir en kenguru tilfeldig valgt til å få vitamintilskuddet; den andre får vanlig diett. Deretter tar man tiden på hvor raskt kenguruene lærer å løpe gjennom labyrinten. I 7 av de 10 parene, lærer den behandlede kenguruen å løpe gjennom labyrinten raskere enn sin ubehandlede partner. a) Hvis det faktisk er slik at vitamintilskuddet ikke har noen effekt, slik at hvert dyr i paret er like sannsynlig til å være den raskeste, hva er sannsynligheten for at 7 eller flere av de behandlede dyrene vil lære labyrinten raskere enn sine ubehandlede partnere, bare ved tilfeldigheter? En spørreundersøkelse ble gjort blant 100 kunder i et kjøpesenter. Seksti av de 100 indikerte at de besøkte senteret på grunn av en avisannonse. Resten hadde ikke sett annonsen. Til sammen 40 personer kjøpte noe; av disse hadde 30 sett annonsen. a) Hva er sannsynligheten for at en person som ikke så annonsen kjøpte noe? b) Hva er sannsynligheten for at en person som så annonsen kjøpte noe? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

English Question 1 A family has two children. a) One of the children is a boy. What is the probability that the other child is a girl? b) The oldest child is a boy. What is the probability that the other child is a girl? Question 2 A disease is randomly found in one-half of 1 percent of the general population. A clinical blood test is 99 percent effective in detecting the presence of the disease; that is, it will yield a positive result in 99 percent of the cases where the disease is actually present. But it also yields false-positive results in 5 percent of the cases where the disease is not present. a) If you have the blood test and the result is negative, what is the probability that you actually do not have the disease? b) If you have the blood test and the result is positive, what is the probability that you actually do have the disease? Question 3 It is claimed that a vitamin supplement helps kangaroos learn to run a special maze with high walls. To test whether this is true, 20 kangaroos are divided up into 10 pairs. In each pair, one kangaroo is selected at random to receive the vitamin supplement; the other is fed a normal diet. The kangaroos are then timed as they learn to run the maze. In 7 of the 10 pairs, the treated kangaroo learns to run the maze more quickly than its untreated partner. a) If in fact the vitamin supplement has no effect, so that each animal of the pair is equally likely to be the quicker, what is the probability that 7 or more of the treated animals would learn the maze more quickly than their untreated partners, just by chance? Question 4 A survey was made of 100 customers in a department store. Sixty of the 100 indicated they visited the store because of a newspaper advertisement. The remainder had not seen the ad. A total of 40 customers made purchases; of these customers, 30 had seen the ad. a) What is the probability that a person who did not see the ad made a purchase? b) What is the probability that a person who saw the ad made a purchase? Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.

Merk! Studentene må primært gjøre seg kjent med sensur ved å oppsøke sensuroppslagene. Evt telefoner om sensur må rettes til instituttet eller sensurtelefonen. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike telefoner.