Først litt repetisjon En relasjon er en mengde av verdipar, der første koordinaten a er fra mengden A og andrekoordinaten b er fra mengden B. Verdiparet beskriver en forbindelse (en relasjon) fra a til b. Eksempel A = {1, 2, 3} og B = {a, b, c} Relasjonen R fra A til B: R = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, b), (3, a), (3, c)} Dette kan illustreres enten grafisk eller med en tabell: Hvis A og B er én og samme mengde har vi en relasjon fra A til A. Da sier vi da at relasjonen R er på A istedenfor fra A til A. Eksempel 1 Gitt relasjonen R på A der A = {1, 2, 3, 4} R = {(a, b) a + b er et partall} R = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)} Grafen G R til R: Matrisen M R til R: 1
Det er kun disse to måtene å illustrere relasjoner på vi kommer til bruke videre. Eksempel 2 La A = {1, 2, 3, 4} og la R være relasjonen på A definert ved R = {(a, b) a < b} R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} Grafen G R til R: Matrisen M R til R: Egenskaper til relasjoner på en mengde A. Refleksivitet Relasjonen er refleksiv hvis (a, a) R for alle a A. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er refleksiv hvis alle punktene i grafen har en sløyfe. 2) Matrisen: R er refleksiv hvis hoved-diagonalen kun inneholder 1 ere. Symmetri Relasjonen R er symmetrisk hvis det for alle a, b A slik at (a, b) R, så (b, a) R. Vi kan se det ut fra: 2
1) Grafen: R er symmetrisk hvis der det går en pil/kant mellom to punkter også går en pil motsatt vei mellom punktene. 2) Matrisen: R er symmetrisk hvis M R er en symmetrisk matrise. Husk: En matrise M er symmetrisk hvis M = M T Eksempel La A = {1, 2, 3, 4} R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 3)} Avgjør om R er refleksiv: R er ikke refleksiv fordi f.eks. (2, 2) R. Vi kan se det ut fra grafen fordi det ikke er en sløyfe på punktene 2 og 4. Vi kan også se det ut fra matrisen fordi det er to 0 er på hoveddiagonalen (altså ikke bare 1 ere). Avgjør om R er symmetrisk: R er symmetrisk fordi det for alle verdipar (a, b) R gjelder at (b, a) R. Vi kan se det ut fra grafen fordi der det går piler mellom punkter går det piler begge veier mellom punktene. Vi kan også se det ut fra matrisen fordi den er symmetrisk om hoveddiagonalen. 3
Antisymmetri En relasjon R på en mengde A er antisymmetrisk hvis det for alle a, b A er slik at (a, b) R så er (b, a) R. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er antisymmetrisk hvis alle piler/kanter i grafen går kun én vei. 2) Matrisen: Hvis det står 1 et sted utenfor hoved-diagonalen, må det stå 0 på motsatt side speilet om hoved-diagonalen. Nytt i dag: Transitivitet En relasjon R på en mengde A er transitiv hvis det for alle (a, b) R og (b, c) R, er slik at også (a, c) R. Dette kalles også for «trekantregelen». Dette betyr at hvis det går en pil/kant fra a til b og det går en pil/kant fra b til c, så går det også en pil/kant fra a til c. OBS! De tre punktene a, b, og c behøver ikke være ulike. Anta at vi har at (a, b) R og (b, a) R. Hvis R skal være transitiv har vi ((a, b) R (b, c) R) (a, c) R. La c = a. Vi setter inn a for c og får: ((a, b) R (b, a) R) (a, a) R. Altså må (a, a) R 4
Hvis R skal være transitiv gjelder også: ((b, a) R (a, c) R) (b, c) R. La b = c. Vi setter inn b for c og får: ((b, a) R (a, b) R) (b, b) R. Altså må (b, b) R. Dette betyr at hvis det går piler/kanter begge veier mellom to punkter må begge punktene ha «sløyfer» for at relasjonen skal være transitiv. Eksempel: La A = {1, 2, 3, 4} og R = {(a, b) a b} R kan også skrives helt ut: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3,3), (3, 4), (4, 4)} 1. R er refleksiv 2. R er ikke symmetrisk. 3. R er antisymmetrisk 4. Hvis a, b og c er tre tall slik at a b og b c, så er a c. R er derfor transitiv. 5
Kombinasjoner av relasjoner En relasjon R på A er en delmengde av AxA. La R og S være to relasjoner på A. Da vil også R S, R S, R S, S R og R S være relasjoner på A. La M R og M S være matrisene til henholdsvis R og S. Da har vi at M R S = M R M S M R S = M R M S Sammensetningen av to relasjoner La R og S være to relasjoner på A. Sammensetningen av R og S betegnes som S R = {(a, c) a A, c A slik at det finnes en b A der (a, b) R og (b, c) S} La M R og M S være matrisene til henholdsvis R og S. Da gjelder M S R = M R M S (NB! Legg merke til rekkefølgen av S og R) Eksempel La A = {1, 2, 3}. Relasjonene R og S på A er definert som R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)} S = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 3)} 6
S R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), ( 3, 2)} En vei (eng. path) i en relasjonsgraf Eksempel La A = {a, b, c, d, e } og relasjonen R på A gitt ved R = {(a, b), (a, d), (b, a), (b, c), (b, e), (c, d), (d, e)} Det går en vei fra et punkt til et annet punkt hvis det er mulig å gå fra det første til det andre punktet ved å følge kantene I pilens retning. Veien består av endepunktene (start/slutt) og de punktene vi passerer. Veiens lengde er antall kanter. Spørsmål 1 Hvor mange veier finnes det fra a til e? 1) a, b, e 2) a, d, e 3) a, b, a, d, e osv. Spørsmål 2 Hvilke par (x, y) er det som har en vei fra x til y med lengde 2? 1) (a, a) 7
2) (a, c) 3) (a, e) 4) (b, b) 5) (b, d) 6) (c, e) Vi kan også finne dette ved hjelp av et matriseprodukt: Vi finner at Det går en vei fra x til y hvis det står 1 på plassen til (x, y) i matrisen. Generell regel: La M R [n] = M R M R M R M R Da vil det finnes en vei med lengde n fra x til y hvis det står 1 på plassen til (x, y) i matrisen M R [n]. Utvidelser av relasjoner - tillukninger Hvis en relasjon R på en mengde A ikke er refleksiv, symmetrisk eller transitiv, kan den utvides til å bli henholdsvis refleksiv, symmetrisk eller transitiv ved å legge til nødvendige verdipar for å oppnå egenskapen. 8
1) Den minste mulige utvidelsen som gjør relasjonen R refleksiv kalles den refleksive tillukningen. Den blir refleksiv ved å ta med de parene som mangler, dvs. parene med lik første og andrekoordinat, f.eks. (a, a), (b, b), (c, c) osv. 2) Den minste mulige utvidelsen som gjør relasjonen R symmetrisk kalles den symmetriske tillukningen. Den blir symmetrisk ved å ta med de parene som mangler, dvs. hvis paret (a, b) R, må man legge til (b, a) (hvis paret ikke allerede er med). 3) Den minste mulige utvidelsen som gjør relasjonen R transitiv kalles den transitive tillukningen. Den blir transitiv ved å ta med de parene som mangler, dvs. hvis parene (a, b) R og (b, c) R, må man legge til paret (hvis paret ikke allerede er med). Eksempel på transitiv tillukning av en relasjon. La A = {a, b, c, d} og R = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, c), (c, b), (c, c)} 9
Vi foretar en transitiv tillukning ved å legge til verdiparene (a, c) og (b, b). På slutten av timen ble det gitt samme oppgave som i går: Løsningsforslag: 10
11