LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D = D N(0, 0.12 ), slik at ˆµ D P ( 0.1/ > k 10 0.1/ k ) = 0.05. Dvs 10 0.1 = z 0.05 = 1.64, der 1.64 er den øvre 0.05 percentilen i standard normalfordelingen. Dette gir forkastningsgrense k = 0.052. 10 10 I vårt eksempel er ˆµ D = 0.09, og H 0 forkastes. Styrkefunksjonen gis ved: P (ˆµ D > 0.052 µ D > 0) = 1 P (ˆµ D < 0.052 µ D > 0) = 1 P (Z < 0.052 µ D 0.1/ 10 ) der Z er standard normalfordelt. For µ D = 0.05 blir styrken 0.48. For µ D = 0.1 blir styrken 0.94. Ønsker at testen stadig skal ha nivå 0.05, og ønsker en styrke på 0.99 i verdien µ D. 1
Kravet om 0.05 nivå gir ligningen k n 0.1 = 1.64. Kravet om 0.99 styrke gir ligningen (k 0.05) n 0.1 = 2.36. Ved å trekke den ene ligningen fra den andre gjenstår en ligning med n. Denne gir n = 63. OPPGAVE 2 X i er målinger med metode A. X i N(µ 1, 0.0008). Vi har fem observajoner fra metode A. Y i er målinger med metode B. Y i N(µ 2, 0.0010). Vi har fire observasjoner fra metode B. Estimator for D = µ 1 µ 2 er ˆD = ˆµ 1 ˆµ 2 = X Ȳ. V ar( ˆD) = V ar( X) + V ar(ȳ ) = 0.0008 4 + 0.0010 5 = 0.0004 H 0 : D = 0 mot alternativet H 1 : D 0. Vi forkaster om ˆD er veldig ulik 0. Om ˆD > k. Størrelsen Z = N(0, 1). Forkastningsgrensen k tilhørende nivå α finnes ved ˆD 0.0004 k 0.0004 = z α/2. z 0.025 = 1.96. Dette gir forkastningsgrense k = 0.039. Innsatt tallmateriale får vi ˆD = 0.04 og vi forkaster H0. Metodene er litt forskjellige. d) Da variansen er ukjent estimeres variansen til ˆD fra tallmateriale ved formelen: s 2 1 4 = 4 + 5 2 ( (X i X) 2 + i=1 2 5 (Y i Ȳ )2 ) i=1
Vi forkaster H 0 dersom T = X Ȳ s 2 4 + s2 5 > t 7,0.025 = 2.36 I tallmaterialet som er oppgitt fås T = 2.33, og vi forkaster H 0. OPPGAVE 3 X j er målte ph verdier med metode A. Y j er målte ph verdier med metode B. j = 1,..., 9. D j = Y j X j, med D j N(µ D, 0.4 2 ). (Dvs standardavvik lik 0.04.) De 9 forsøkene er uavhengige, og sannsynligheten P (D j > 0) = 1 P (D j < 0) = 1 P (Z < µ D 0.4 ) = θ er lik i alle forsøk. Da er antallet, Z, binomisk fordelt med parameter 9 og θ. Vi er interessert i å undersøke om µ D > 0 (At metode A jevnt over gir lavere ph enn metode B. En tradisjonell vinkling vil anta at de to metodene er like, dvs at µ D = 0. Hypotesetesten blir da som følger. H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. I tilfelle 1 forkaster vi H 0 dersom D > k 1. D N(µD, 0.42 9 ). k 1 bestemmes ved: Fra normaldordelingen har vi D P ( 0.4/3 > k 1 0.4/3 ) = 0.09 k 1 0.4/3 = 1.34 som gir k 1 = 0.179. I vårt eksempel er D = 0.21 > 0.179 = k 1, og vi forkaster H 0. 3
I tilfelle 2 forkaster vi H 0 dersom Z k 2. Under H 0 er µ D = 0, og dette gir θ = 0.5. k 2 bestemmes ved: P (Z k 2 θ = 0.5) = 0.09 Fra tabell for binomisk fordeling finner vi at k 2 = 7 oppfyller dette. I vårt eksempel er Z = 6 < 7 = k 2, og vi forkaster ikke H 0. De to metodene gir dermed ulike konklusjoner. d) I tilfelle 1 blir styrken: P ( D > 0.179 µ D = 0.34) = P ( D 0.34 0.4/3 der V N(0, 1). > 0.179 0.34 ) = P (V > 1.21) = 0.887 0.4/3 I tilfelle 2 blir styrken: P (Z 7 µ D = 0.34) = P (Z 7 θ = 0.8) = 0.738 Styrken er høyere for tilfelle 1, og dette betyr at testen basert på D er å foretrekke. OPPGAVE 4 X j N(µ, σ 2 ) er målt svovelinnhold i en oljeprøve fra Nordsjøen, j = 1,..., 8. Y i N(ν, σ 2 ) er målt svovelinnhold i en oljeprøve fra Kuwait, i = 1,..., 10. H 0 : ν µ 3 mot alternativet H 1 : ν µ > 3. 4
H 0 forkastes dersom Ȳ X er stor. Vi vet at Ȳ X N(ν µ, σ2 Variansen σ 2 estimeres fra data: 8 s 2 j=1 = (X i X) 2 + 10 i=1 (Y i Ȳ )2 10 + 8 2 10 + σ2 og vi får at T = Ȳ X (ν µ) s er t fordelt med 8 + 10 2 frihetsgrader. Vi forkaster når T > t 16,0.05 = 1.746. Med tallmaterialet oppgitt er T = 1.689, og vi forkaster ikke H 0 på 0.05 signifikansnivå. 8 ). P ( 2.12 < Ȳ X (ν µ) s < 2.12) = 0.95 P (Ȳ X s 2.12 < ν µ < Ȳ X + s 2.12) = 0.95 Innsatte tall gir 0.95 konfidensintervall for ν µ = (2.94, 3.56). H 0 : µ A = µ B = µ C mot alternativet H 1 : forventningsverdien i gruppene er ulike. SS G = (Y i Ȳ )2 = 1.61 i j SS E = (Y ij Ȳi) 2 = 0.204 i j Vi har tre grupper som gir 3 1 = 2 frihetsgrader for SS G. Vi har totalt 22 målinger, som gir 22 3 = 19 frihetsgrader for SS E. F = SS G/2 SS E /19 = 1.2 p-verdien for 1.2 i Fisher fordelingen med 2, 19 frihetsgrader er 0.322, og vi forkaster ikke H 0. 5