Selvsimilære Fraktaler

Selvsimilære Fraktaler Geir Arne Hjelle Høsten 2001 N T N U Norges Teknisk Naturvitenskapelige Universitet Institutt for Matematiske Fag

Forord There is no permanent place in the world for ugly mathematics G.H.Hardy, A Mathematician s Apology Som alle andre ble jeg fascinert av disse merkelige fraktalbildene som plutselig var overalt på slutten av 80-tallet. Nysgjerrigheten min ble pirret ytterligere da jeg på videregående kom over Tom Lindstrøms artikkel Fraktaler Matematisk Tankespinn med Praktiske Anvendelser? [16]. Likevel ble denne interessen i liten grad fulgt opp inntil professor Kari Hag tilbød meg å skrive en prosjektoppgave innen fraktal geometri. 5. klasse prosjektet Høsten før hovedoppgaven har alle sivilingeniørstudenter ved NTNU et større prosjekt på 7.5 vekttall. Inkludert i dette prosjektet er det en fagdel, som i mitt tilfelle omfatter 2.5 vekttall Reell Analyse (med særlig vekt på målteori). I forbindelse med eksamen i emnemodulen har jeg holdt et kort foredrag om Cantormengder og mangel på kompletthet av rommet av kvadratisk Riemann-integrerbare funksjoner. Manuskriptet til foredraget er vedlagt i Appendiks A. Etter å ha bladd litt i boken Measure, Topology, and Fractal Geometry av Gerald A. Edgar [6] fattet jeg særlig interesse for selvsimilære fraktaler. Samtidig deltok jeg i vår på et seminar om kvasikonforme avbildninger i regi av Kari Hag. Her diskuterte vi blant annet en konstruksjon hvor Frederick W. Gehring og Jussi Väisälä viser at randen til en kvasiball i R n, n 2, kan ha dimensjon vilkårlig nær n [13]. Motivert av deres artikkel vil jeg her beskrive den nødvendige teorien for å bruke selvsimilære fraktaler til beregning av Hausdorffdimensjonen. Denne problemstillingen ble definert i samråd med professor Olli Martio ved Universitetet i Helsinki og Kari Hag. Organisering Jeg har valgt å gi en helhetlig fremstilling av de metoder og begreper som behøves for å bruke selvsimilære fraktaler til å beregne dimensjon. Underveis defineres og bevises grunnleggende begreper og teoremer innen både mål- og dimensjonsteori. Håpet er at oppgaven kan virke som en interessant og lettfattelig innføring i emnet. Den burde være forståelig for matematikkstudenter med bare basale kunnskaper innen reell analyse. Kapittel 1 er en lett introduksjon til fraktaler, hvor hovedvekten er lagt på eksempler. I neste kapittel blir de viktigste begreper som skal brukes senere i oppgaven gjennomgått. Kapitlene 3 og 4 er tilegnet til henholdsvis mål- og dimensjonsteori. Særlig blir Hausdorffmålet og Hausdorffdimensjonen tillagt stor vekt, siden disse har vist seg å ha stor teoretisk gjennomslagskraft. I kapittel 5 utvikles teorien for itererte funksjonssysteiii

mer. Dette er en konsis måte å beskrive selvsimilære fraktaler på. Hovedresultatet i oppgaven, nemlig hvordan Hausdorffdimensjonen til selvsimilære fraktaler enkelt kan beregnes, tar størstedelen av kapittel 6. Figurene underveis er også en viktig del av oppgaven. Fraktaler er stort sett svært uintuitive mengder. Jeg har derfor brukt en del tid på å utvikle dataprogrammer som kan illustrere disse mengdene. Disse programmene er diskutert i Appendiks B. Dette prosjektet er i all hovedsak et litteraturstudium. Jeg presenterer ingen nye, oppsiktsvekkende resultater som ikke allerede er vist andre steder. Min hovedkilde underveis har vært Edgars bok, [6], men også [9] av Kenneth Falconer er flittig brukt. Edgars og Falconers nyere bøker, henholdsvis [8] og [10] er litt mer avanserte, men inneholder mye spennende om emnet og har vært gode inspirasjonskilder. I de litt tidligere delene av oppgaven, særlig i kapittel 2 og 3 var bøkene til Royden [21] og Rudin [22] viktige oppslagsverk. Notasjon All notasjon som er spesiell for emnet innføres underveis. Som vanlig betegner N mengden av de naturlige tall, N = {1, 2, 3,..., mens R og C er henholdsvis de reelle og komplekse tall. Bakerst i oppgaven finnes en oversikt over notasjonen, med sidehenvisninger til hvor notasjonen er innført. Når det gjelder norsk terminologi eksisterer det lite litteratur på området. Så langt det har vært mulig har jeg valgt å følge Tom Lindstrøms ordbruk i artikkelen [16]. Takk Jeg må rette en stor takk til Kari Hag, for at hun har tatt meg inn under sine engasjerte vinger. Som et ledd i forberedelsene til vårens hovedoppgave tilbragte jeg to uker i Helsinki like før jul sammen med henne. Det var svært inspirerende, og ga meg også muligheten til å samtale med fil.dr. Leif Andersson om fraktaler. I tillegg holdt jeg et lite foredrag om selvsimilære fraktaler, noe som var en svært nyttig erfaring å ta med seg videre. Takk også til professor Olli Martio for hjelp ved utarbeidelse av problemstillingen. Instituttleder Kristian Seip fortjener også en takk for sin velvillighet til å legge det administrative til rette for meg i høst. Avslutningsvis sender jeg varme tanker til mine medstudenter, som har gjort datasalen til et trivelig sted å tilbringe høsten. Geir Arne Hjelle, Trondheim, 21. desember 2001. iv

Sammendrag Vi viser at dersom et iterert funksjonssystem tilfredsstiller åpne mengde betingelsen vil Hausdorffdimensjonen til attraktoren falle sammen med similaritetsdimensjonen. Similaritetsdimensjonen er mye enklere å beregne enn Hausdorffdimensjonen. Vi viser dette på flere eksempler, deriblant det generelle Cantorstøvet Beardon diskuterer i [4]. På veien mot åpne mengde betingelsen gjennomgår vi viktige og grunnleggende begreper innen målteori, dimensjonsteori og teorien for selvsimilære fraktaler. Spesielt diskuteres Hausdorffmål og Hausdorffdimensjonen. Vi gjør greie for Metode I for konstruksjon av ytre mål. I tillegg viser vi at den invariante mengden til et iterert funksjonssystem er unik. v

Innhold 1 Innledning 1 1.1 Fraktaler................................... 1 1.2 Eksempler på fraktaler............................ 2 1.3 Forskjellige konstruksjoner av Sierpinskitrekanten............. 8 2 Mengder og rom 13 2.1 Egenskaper til mengder........................... 13 2.2 Kompakte mengder.............................. 14 2.3 Kompletthet................................. 16 2.4 σ-algebraer.................................. 17 3 Målteori 19 3.1 Generelle definisjoner............................. 19 3.2 Lebesguemålet................................ 20 3.3 Konstruksjon av ytre mål.......................... 21 3.4 Hausdorffmålet................................ 23 4 Dimensjonsbegrepet 27 4.1 Det klassiske dimensjonsbegrepet...................... 27 4.2 Hausdorffdimensjonen............................ 29 5 Selvsimilære fraktaler og itererte funksjonssystemer 33 5.1 Banachs fikspunktsats............................ 33 5.2 Itererte funksjonssystemer.......................... 34 5.3 Attraktorer til itererte funksjonssystemer................. 35 5.4 Kollageteoremet............................... 37 5.5 Strengmodeller................................ 40 6 Dimensjonen til selvsimilære mengder 45 6.1 Similaritetsdimensjonen........................... 45 6.2 Åpne mengde betingelsen.......................... 48 6.3 Eksempler................................... 50 7 Etterord 53 A En generalisert Cantormengde og komplettheten av rommet R 2 (I) 55 B Om figurene 61 B.1 Rekursive fraktaler.............................. 61 B.2 Itererte funksjonssystemer.......................... 68 B.3 Mandelbrot.................................. 78 vii

B.4 Sierpinskitrekanten og Pascals trekant................... 79 Notasjon 81 Bibliografi 83 Register 85 viii

Figurer 1.1 Mandelbrotmengden............................. 3 1.2 Konstruksjonen av Cantormengden..................... 4 1.3 Substitusjonen som brukes i konstruksjonen av Kochkurven....... 4 1.4 Konstruksjonen av Kochkurven ved substitusjon............. 5 1.5 Kochs snøkrystall............................... 5 1.6 Eksempel på avbildninger som kan brukes i konstruksjonen av Cr 2.... 7 1.7 De første iterasjonene i konstruksjonen av Cantorstøvet C 22 / 5....... 7 1.8 Et Cantorstøv med r = 2 / 5.......................... 7 1.9 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved fjerning av trekanter...... 8 1.10 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved avbildninger.......... 9 1.11 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved hjelp av Pascals trekant.... 10 1.12 Pascals trekant modulo henholdsvis 5 og 6................. 10 1.13 Substitusjonene som benyttes i konstruksjonen av Sierpinskitrekanten. 10 1.14 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved hjelp av substitusjoner..... 11 1.15 Kaosspillet med henholdsvis 100, 1000 og 10000 iterasjoner....... 11 4.1 Konstruksjonen av en Peanokurve..................... 27 4.2 Peanokurven konstruert i Eksempel 4.2.................. 28 4.3 Konstruksjonen av en mengde med brudden dimensjon.......... 29 4.4 Mengden konstruert i Eksempel 4.4.................... 29 4.5 Illustrasjon av Teorem 4.5......................... 30 5.1 Cantormengden er invariant under avbildningene f 1 og f 2........ 35 5.2 F anvendt på mengden [0, 1] i Eksempel 5.9............... 35 5.3 F anvendt på mengden [ 1, 1] i Eksempel 5.9.............. 36 5.4 F anvendt på mengden {0 i Eksempel 5.9................ 36 5.5 De tre første iterasjonene på Q i Eksempel 5.12............. 38 5.6 F 4 [Q] sammenlignet med attraktoren K i Eksempel 5.12........ 38 5.7 Enhetskvadratet er en attraktor....................... 38 5.8 Et lite utvalg attraktorer........................... 39 6.1 Enhetskvadratet, Q, er invariant under F................. 47 6.2 Den åpne trekanten, V, oppfyller åpne mengde betingelsen........ 50 A.1 Konstruksjonen av Cantormengden..................... 56 A.2 Konstruksjonen av den generaliserte Cantormengden........... 57 ix

1 Innledning Dette kapittelet vil være en lett innledning til fraktal geometri. Vi vil kort skissere emnets historie, og gi en del eksempler på fraktaler. Forhåpentligvis vil dette gi leseren verdifulle bilder å støtte seg på når teorien utledes i de neste kapitlene. 1.1 Fraktaler Sjelden har et matematisk felt fått så mye allmenn oppmerksomhet som det fraktaler fikk på 80-tallet. I 1975 ga Benoit Mandelbrot ut den banebrytende boken Les Objets Fractals: Forme, Hasard, et Dimension hvor han definerte begrepet fraktal. Denne har senere blitt oversatt og sterkt revidert, og går nå under navnet The Fractal Geometry of Nature [17]. Selv om begrepet fraktal var nytt, var ikke emnet det. Mye av teoriene bak fraktaler ble utviklet på begynnelsen av 1900-tallet. Mandelbrots innsats var at han forente disse inntil da forskjellige teoriene, og viste sammenhengen mellom dem. Samtidig påviste han hvordan mange fraktaler opptrer naturlig i verden rundt oss. En svært viktig grunn til at fraktaler fikk en slik enorm interesse var datamaskinen. Med økt datakraft ble det mulig å tegne fraktaler. Dette gjorde det lettere for matematikere å undersøke fraktalenes egenskaper, samtidig som bildene fascinerte den allmenne befolkningen. Som nevnt ble fraktalbegrepet først definert av Mandelbrot. I [17, side 15] skriver han En fraktal er en mengde hvor Hausdorff-Besicovitch dimensjonen er større enn den topologiske dimensjonen. Dessverre var ikke denne definisjonen helt uten problemer. Noe også Mandelbrot selv var klar over. Han skriver senere i boken [17, side 361] Selv om begrepet fraktal ble definert i kapittel 3, mener jeg fortsatt at vi klarer oss bedre uten en definisjon. Den umiddelbare grunnen er at den gitte definisjonen vil ekskludere visse mengder vi helst skulle inkludert. Flere forsøk er gjort på å redde definisjonen, men man har enda ikke blitt enige om en entydig definisjon av begrepet fraktal. I stedet beskriver man heller egenskaper en fraktal vanligvis besitter. Et eksempel på dette er gitt av Kenneth Falconer. I [10] beskrives en fraktal som en mengde E i et euklidsk rom, som har de fleste eller alle av følgende egenskaper: i) E har en fin struktur, det vil si irregulære detaljer på vilkårlige små skalaer. 1

2 Selvsimilære Fraktaler ii) E er for irregulær til å bli beskrevet ved kalkulus eller tradisjonell geometri, enten lokalt eller globalt. iii) Ofte har E en form for selvsimilaritet eller selvaffinitet, kanskje på en statistisk eller tilnærmet måte. iv) Vanligvis er fraktaldimensjonen til E (definert på en eller annen måte) større enn den topologiske dimensjonen. v) E opptrer ofte på en naturlig måte. I denne oppgaven vil vi konsentrere oss om selvsimilære fraktaler. Vi vil konsentrere oss om fraktaler i euklidske rom, selv om mye av teorien som utledes er gyldig mer generelt. Disse ble første gang studert i et generelt rammeverk av John E. Hutchinson. I artikkelen Fractals and Self Similarity [15] utvikler han en selvstendig og konsistent teori for emnet. Inntil videre vil vi tenke på en selvsimilær fraktal som en mengde bygd opp av skalerte kopier av seg selv. I kapittel 5 vil vi innføre en mer rigorøs definisjon. 1.2 Eksempler på fraktaler Den første fraktalen vi skal se på, er i denne sammenhengen spesiell. Mandelbrotmengden i Eksempel 1.1 er ikke en selvsimilær fraktal, slik vi vil definere begrepet i kapittel 5. Likevel besitter den, som Figur 1.1 viser, selvsimilære egenskaper. Eksempel 1.1 (Mandelbrotmengden) La f(z) = z 2 + c for c, z C. Definer f 2 (z) = f(f(z)) og f n (z) = f(f n 1 (z)). Mandelbrotmengden M består av de c hvor iterasjonen f n (0) ikke divergerer mot, M = {c C : f n (0). La oss undersøke hvordan noen punkter i C oppfører seg under den gitte iterasjonen. For c = 0 blir f n (0) = 0 for alle n. Origo er derfor helt tydelig med i M. Et litt mer spennende punkt er c = 2. De første iterasjonene blir f(0) = 2, f 2 (0) = 2, f 3 (0) = 2,.... Siden f(2) = 2 konvergerer iterasjonen, slik at også c = 2 er med i mengden. Et tredje punkt er c = 1 + i. Nå blir f(0) = 1 + i, f 2 (0) = 1 + 3i, f 3 (0) = 7 + 7i, f 4 (0) = 1 97i,.... Iterasjonen ser ut til å divergere mot. Vi kan konkludere at c = 1 + i ikke er med i Mandelbrotmengden. I Figur 1.1 er Mandelbrotmengden vist til venstre. Venstre endepunkt er c = 2, mens tuppen i kardoiden til høyre er i punktet c = 1 / 4. Til høyre i Figur 1.1 er et lite område rundt punktet c = 0.155 + 1.035i forstørret opp cirka 50 ganger. Her ser vi en liten delmengde av M som ligner ganske mye på hele M.

Innledning 3 Figur 1.1 Mandelbrotmengden er vist til venstre. De svarte områdene representerer M. Fargetonene indikerer hvor raskt f n (0) divergerer. Til høyre er en liten del av mengden forstørret kraftig opp. Pilen peker på området som er forstørret. Hvis vi sammenligner med punktene i) til v) på side 1, ser vi lett at M oppfyller de tre første egenskapene. Punkt iv) og v) kan vi ikke si så mye om på bakgrunn av eksempelet. Teorien til M er nært knyttet opp til Julia- og Fatou-mengder. Mandelbrotmengden spiller en viktig rolle innen dynamisk funksjonsteori. De fleste av fraktalbildene som ble populære på 80-tallet er laget ved hjelp av lignende fremgangsmåter som beskrevet i eksempelet ovenfor. For mer informasjon om matematikken bak disse mengdene er [1], [5] og [9] gode referanser. Fra nå av vil vi fullt og helt konsentrere oss om strengt selvsimilære mengder. De resterende eksemplene i dette kapittelet er selvsimilære fraktaler som vil forfølge oss gjennom resten av fremstillingen. Eksempel 1.2 (Cantormengden) Den klassiske Cantormengden, C, består av alle punkter x [0, 1] som kan skrives i tretallssystemet utelukkende ved hjelp av sifrene 0 og 2. For eksempel er 1 4 = (0.02020202...) 3 slik at 1 / 4 C. Vi har at 1 / 3 = (0.1) 3, men siden 1 / 3 også kan skrives er også 1 / 3 C. 1 3 = (0.02222222...) 3 La oss gjennomføre en konstruksjon som gir en litt mer intuitiv følelse for strukturen av C. La C 0 = [0, 1]. Vi konstruerer så C 1 ved å fjerne det åpne intervallet ( 1 / 3, 2 / 3 ) fra C 0 slik at C 1 = [0, 1 / 3 ] [ 2 / 3, 1]. Det vil si at C 1 består av alle punkter

4 Selvsimilære Fraktaler Figur 1.2 Konstruksjonen av Cantormengden x [0, 1] som kan angis i tretallssystemet uten å bruke 1 som første siffer etter komma. Generelt er C n det som blir igjen av C n 1 når den åpne, midterste tredjedelen av hvert intervall fjernes. Dette er illustrert i Figur 1.2. C n består dermed av de punktene som kan angis uten å bruke 1 blant de n første sifrene etter komma. Cantormengden C består av de punktene som aldri blir fjernet ved denne prosedyren. Cantormengden er selvsimilær. Vi ser at både C [0, 1 / 3 ] og C [ 2 / 3, 1] er skalerte kopier av C selv. I tillegg er C unionen av disse to kopiene, C = ( C [0, 1 / 3 ] ) ( C [ 2 / 3, 1] ). C oppfyller dermed vår uformelle definisjon av en selvsimilær fraktal. Cantormengden ble konstruert rundt 1880 av Georg Cantor, altså nesten 100 år før Mandelbrot definerte begrepet fraktal. Disse 100 årene har mengden spilt en viktig rolle, spesielt som moteksempel innen mengdelæren. Noen av egenskapene til C er diskutert nærmere i artikkelen En generalisert Cantormengde og komplettheten av rommet R 2 (I) gjengitt i Appendiks A. I 1904 konstruerte Helge von Koch en kontinuerlig kurve som ikke har en tangent i noe punkt. Denne kurven har senere vært kjent som Kochkurven. Også Kochkurven er en selvsimilær fraktal. Eksempel 1.3 (Kochkurven) Vi vil konstruere Kochkurven stegvis. La K 0 være en rett linje i planet. Dette er utgangspunktet for konstruksjonen. I hvert Figur 1.3 Substitusjonen som brukes i konstruksjonen av Kochkurven

Innledning 5 steg byttes så hver rette linje ut med fire nye linjer, hver linje 1 / 3 så lang som den opprinnelige. Dette er illustrert i Figur 1.3. Dersom substitusjonen gjøres uendelig mange ganger vil kurven konvergere mot Kochkurven K. En annen måte å definere Kochkurven på, er ved å si at den er den invariante kurven under de gitte substitusjonene. Noen steg i konstruksjonen er vist i Figur 1.4. Figur 1.4 Konstruksjonen av Kochkurven ved substitusjon som i Eksempel 1.3 Vanligvis lar man K 0 = [0, 1] Fra Figur 1.3 ser vi at vi i hvert steg bytter ut den midterste, åpne tredjedelen av den opprinnelige linjen. Dette betyr at for K 0 = [0, 1] er punktene på K som også var i K 0 nettopp de punktene som utgjør Cantormengden. Dersom en tilsvarende konstruksjon gjøres med utgangspunkt i en trekant, ender vi i stedet opp med kurven vist i Figur 1.5. Denne fraktalen kalles Kochs snøkrystall. Det er en uendelig lang, lukket kurve som omslutter et endelig areal. Figur 1.5 Kochs snøkrystall

6 Selvsimilære Fraktaler Vårt neste eksempel er de generelle Cantorstøvene i R n. Dette er de samme mengdene Gehring og Väisälä bruker i [13], for å påvise kvasikonforme avbildninger av nesten vilkårlig dimensjon i R n, n 2. Eksempel 1.4 (Cantorstøv i R n ) For hver n N og r ( 0, 1 ) / 2 er Cantorstøvet Cr n definert som følger. La Q (n) være den lukkede, n-dimensjonale enhetskuben, Q (n) = {x = (x 1,..., x n ) : 0 x i 1. Velg 2 n avbildninger f i (x) = rx + a i, a i Q (n), som avbilder Q (n) på 2 n disjunkte, lukkede kuber Q (n) i Q (n) med sidelengde r. La F angi unionen av disse avbildningene, slik at F [Q (n) ] = f 1 [Q (n) ] f 2 [Q (n) ]... f 2 n[q (n) ] = Per konstruksjon vil F [Q (n) ] Q (n) og ved induksjon er 2 n i=1 Q (n) F [Q (n) ] F 2 [Q (n) ] F n [Q (n) ]. f i [Q (n) ]. Cantorstøvet består av de punktene x Q (n) som er inneholdt i F m [Q (n) ] for alle m N. Vi vil senere se at Cantorstøvet er den invariante mengden under avbildningene f i, C n r = 2 n i=1 f i [C n r ] = F [C n r ]. Faktisk vil vi vise at alle selvsimilære fraktaler kan beskrives som den invariante mengden under et sett med avbildninger. Ett eksempel på hvilke avbildninger som kan brukes i konstruksjonen av Cr 2 er f 1 (x) = 2 ( 1 ) 5 x + / 10 3, f / 2 (x) = 2 ( 3 ) 5 5 x + / 5 1, f / 3 (x) = 2 ( ) 0 2 5 x + 1 / 10 og f 4 (x) = 2 5 x + ( 1 / 2 0 Disse avbildningene er vist i Figur 1.6. I Figur 1.7 er de første iterasjonene F n [Q] vist, mens det endelige Cantorstøvet, C 22 / 5, er illustrert i Figur 1.8. ).

Innledning 7 Figur 1.6 Eksempel på avbildninger som kan brukes i konstruksjonen av C 2 r Figur 1.7 De første iterasjonene i konstruksjonen av Cantorstøvet C 22 / 5 Figur 1.8 Et Cantorstøv med r = 2 / 5

8 Selvsimilære Fraktaler 1.3 Forskjellige konstruksjoner av Sierpinskitrekanten Den siste fraktalen vi skal se på i dette kapittelet er Sierpinskitrekanten. Vi vil vise flere forskjellige måter denne fraktalen fremkommer på. Senere vil vi hovedsaklig bruke avbildninger som i Eksempel 1.4 i konstruksjonen av selvsimilære fraktaler. Målet med denne seksjonen er å vise at det kan gjøres på andre måter. Eksempel 1.5 La S 0 være en likesidet trekant i R 2 med hjørner i punktene (0, 0), (1, 0) og ( 1 / 2, 1 / 2 3). Del S0 i 4 mindre trekanter ved å sammenbinde midtpunktene på de tre linjene som avgrenser S 0. S 1 er mengden som blir igjen når vi fjerner den midterste trekanten som på Figur 1.9. Tilsvarende er S k+1 konstruert fra S k ved å fjerne alle slike midterste trekanter. Sierpinskitrekanten S består av de punktene som aldri blir fjernet. Figur 1.9 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved fjerning av trekanter I stedet for å se på fjerning av trekanter, kan vi bruke avbildninger. Fra Figur 1.9 ser vi at S 1 består av tre kopier av S 0 som er skalert og translatert. Tilsvarende består S 2 av tre kopier av S 1. Dette kan uttrykkes hvor S 1 = f V [S 0 ] f H [S 0 ] f O [S 0 ], f V (x) = 1 2 x, f H(x) = 1 ( 1 ) 2 x + / 2 0 og f O (x) = 1 ( 1 ) 2 x + / 4 1. (1.1) / 4 3 Bokstavene V, H og O står for henholdsvis Venstre, Høyre og Opp. Sierpinskitrekanten er tydelig invariant under disse avbildningene, S = f V [S] f H [S] f O [S]. Avbildningene kan også nyttes til å konstruere S. Eksempel 1.6 La avbildningene f V, f H og f O være som definert i (1.1), og la S 0 = {0. S 1 er mengden vi får når vi anvender avbildningene på S 0, S 1 = {f V (0), f H (0), f O (0). Generelt er S k+1 = f V [S k ] f H [S k ] f O [S k ].

Innledning 9 Figur 1.10 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved avbildninger Denne konstruksjonen er vist i Figur 1.10. Samlingen av alle punktene som er i S k for en eller annen k er Sierpinskitrekanten. Vi har nå sett to eksempler hvor avbildningene (1.1) har spilt en viktig rolle. Det neste eksemplet er annerledes. Her utnytter vi istedet en spesiell sammenheng mellom S og Pascals trekant. Eksempel 1.7 I Pascals trekant er hvert tall summen av de to tallene over, 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1... Dersom vi skriver hver sum modulo 2, det vil si at vi skriver 0 for partall og 1 for oddetall, finner vi et kjent mønster. I Figur 1.11 er kun oddetallene vist, og disse er representert ved små, svarte firkanter. En tilsvarende konstruksjon kan gjøres for andre moduli enn 2. Resultatet blir ikke Sierpinskitrekanten, men det er ikke så langt unna. Mye av strukturen er den samme, særlig når vi jobber modulo primtall. I Figur 1.12 er konstruksjonen vist modulo 5 og modulo 6. Nå representerer de svarte boksene alle tallene i Pascals trekant som ikke går opp i henholdsvis 5 og 6. Eksempel 1.8 Sierpinskitrekanten kan også genereres ved hjelp av substitusjoner, på samme måte som Kochkurven ble konstruert i Eksempel 1.3. Generatoren for Sierpinskitrekanten er vist i Figur 1.13. Her byttes hver rette linje ut med tre halvparten så lange linjer. Iterasjonen blir da som i Figur 1.14.

10 Selvsimilære Fraktaler 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 0 0 5 1 1 6 5 0 5 6 1 1 7 1 5 5 1 7 1 1 8 8 6 0 6 8 8 1 1 9 6 4 6 6 4 6 9 1 Figur 1.11 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved hjelp av Pascals trekant. I Pascals trekant er bare siste siffer i hvert tall vist. Figur 1.12 Pascals trekant modulo henholdsvis 5 og 6. Pascals trekant modulo 6 tilsvarer å tegne trekanten modulo 2 og 3 over hverandre. I det siste eksempelet skal vi se på en algoritme som ofte kalles kaosspillet. Denne algoritmen har vist seg svært effektiv i bruk på datamaskin, og flere av figurene i denne oppgaven er laget på denne måten. Implementasjonen av denne algoritmen er vist i Appendiks B.2. Eksempel 1.9 La avbildningene f V, f H og f O være gitt som i (1.1), og velg et punkt x 0 R 2. Fortrinnsvis bør x 0 velges slik at x 0 S, men dette er ikke avgjørende. Figur 1.13 Substitusjonene som benyttes i konstruksjonen av Sierpinskitrekanten i Eksempel 1.8

Innledning 11 Figur 1.14 Konstruksjon av Sierpinskitrekanten ved hjelp av substitusjoner Fra x n 1 finnes nå x n på følgende måte. Velg tilfeldig en av de tre avbildningene f V, f H og f O. La så x n = f n (x n 1 ) hvor f n er avbildningen som ble valgt. Siden hver av de tre avbildningene i (1.1) avbilder S til en delmengde av S, vil x n S for alle n N, hvor N er det minste tallet slik at x N S. I Teorem 5.10 vil vi vise at en slik N må eksistere. Matematikken bak kaosspillet er drøftet i detalj i [8], mens Barnsley diskuterer algoritmen i et mer praktisk perspektiv i [1] under navnet Random Iteration Algorithm. Figur 1.15 Kaosspillet med avbildningene i (1.1) med henholdsvis 100, 1000 og 10000 iterasjoner

2 Mengder og rom Med utgangspunkt i mengder og avbildninger vil vi raskt rekapitulere andre konsepter som vil være viktige i denne oppgaven. For lesere som er ukjente med begrepene som presenteres her, vil vi henvise til til [21] eller [22] for en mer detaljert fremstilling. I denne teksten vil vi arbeide i metriske rom. Det er derfor naturlig å befeste de viktigste egenskapene til disse. Definisjon 2.1 (Metrikk og metrisk rom) La X være en mengde. En metrikk på X er en avbildning d: X X [0, ) hvor følgende holder for hvert element p, q, r X: i) d(p, q) > 0 for alle p q. d(p, p) = 0. ii) d(p, q) = d(q, p). iii) d(p, q) d(p, r) + d(r, q). Paret (X, d) kalles et metrisk rom. Vanligvis skriver vi bare X. Elementene til et metrisk rom kalles punkter. I R n er d 1 (x, y) = x 1 y 1 +...+ x n y n, d 2 (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x n y n ) 2 og d (x, y) = max { x 1 y 1,..., x n y n eksempler på metrikker. Dersom ikke annet er nevnt vil X alltid være et metrisk rom, og d være den Euklidske metrikken d 2 restriktert til X når X R n. 2.1 Egenskaper til mengder Vi gjør i denne seksjonen rede for mye standard terminologi angående mengder. X er et metrisk rom og A X er en mengde i X. Definisjon 2.2 (Ball og omegn om et punkt) Den åpne ballen B med senter i x X og radius r > 0 er mengden B = B r (x) = {y X : d(x, y) < r. Tilsvarende er den lukkede ballen B med senter i x X og radius r > 0 definert ved B = B r (x) = {y X : d(x, y) r. Ballen B r (x) kalles også en omegn om x med radius r. Definisjon 2.3 (Diameter) Diameteren til en mengde A X er diam A = sup d(p, q). p,q A 13

14 Selvsimilære Fraktaler Definisjon 2.4 (Begrenset mengde) Mengden A X er begrenset dersom det eksisterer et tall M > 0 og et punkt q X slik at d(p, q) < M for alle p A. Definisjon 2.5 (Opphopningspunkt og indre punkt) Et punkt p er et opphopningspunkt til mengden A, dersom hver omegn om p inneholder et punkt q p slik at q A. Et punkt p er et indre punkt i mengden A, dersom det eksisterer en omegn om p som er inneholdt i A. Definisjon 2.6 (Åpen og lukket mengde) En mengde A er åpen hvis hvert punkt i A er et indre punkt i A. En mengde A er lukket dersom hvert opphopningspunkt tilhørende A er inneholdt i A. Definisjon 2.7 (Tillukning) La A være mengden av opphopningspunktene til A i X. Tillukningen til A er da mengden A = A A. Definisjon 2.8 (Tette delmengder) Mengden A sies å være tett i mengden B dersom A = B. Definisjon 2.9 (Randpunkt) Et punkt p er et randpunkt i mengden A dersom p A og p ikke er et indre punkt i A. 2.2 Kompakte mengder De viktigste mengdene for oss vil være kompakte mengder i komplette metriske rom. Vi vil derfor nå se på begrepene kompakthet og kompletthet. Definisjon 2.10 (Åpen overdekning) Med en åpen overdekning av en mengde A X mener vi en samling G = {G α av åpne delmengder av X slik at A α G α. Definisjon 2.11 (Kompakt mengde) En delmengde K X sies å være kompakt dersom hver åpen overdekning av K inneholder en endelig overdekning. Alle mengdene vi vil se på vil være kompakte om ikke annet er nevnt. Dersom kompaktheten er et viktig poeng vil vi stort sett benevne mengden med K. K(X) vil være samlingen av alle ikke-tomme, kompakte delmengder av et gitt metrisk rom X. For å bedre den intuitive forståelsen av kompakthet, tar vi med følgende teorem, som er bevist i [6, side 56]. Teorem 2.12 Mengden A R n er kompakt hvis og bare hvis A er lukket og begrenset.

Mengder og rom 15 I generelle metriske rom holder implikasjonen den ene veien. I [12, side 16] er det argumentert for at enhver kompakt mengde er lukket og begrenset. La den åpne δ-omegnen om en mengde A være definert ved for δ > 0. N δ (A) = {y : x A slik at d(x, y) < δ Definisjon 2.13 (Hausdorffmetrikk) For to mengder A og B er Hausdorffmetrikken mellom dem gitt ved D(A, B) = inf {δ : A N δ (B) og B N δ (A). Det finnes andre ekvivalente definisjoner av Hausdorffmetrikken, for eksempel i [1, side 32]. Definisjonen formulert her vil vise seg å være mest nyttig for oss. D er ikke en metrikk uten et passende rom å operere på. Det viser seg at dette rommet er samlingen K(X) av ikke-tomme, kompakte delmengder. Teorem 2.14 D er en metrikk på K(X). Bevis. D(A, B) 0 og D(A, B) = D(B, A) er trivielt oppfylt. Siden A og B er kompakte, er de også begrenset slik at D(A, B) <. Dersom A = B vil A N ε (B) for alle ε > 0, slik at D(A, B) = 0. Omvendt, anta D(A, B) = 0. Dersom x A vil, for alle ε > 0, x N ε (B) slik at inf y B d(x, y) = 0. Siden B er kompakt og derfor lukket er x B slik at A B. Tilsvarende er B A og dermed A = B. For å vise trekantulikheten, la A, B, C K(X) og ε > 0. Dersom x A eksisterer y B slik at d(x, y) < D(A, B) + ε og z C slik at d(y, z) < D(B, C) + ε. Da er A inneholdt i en (D(A, B) + D(B, C) + 2ε)-omegn om C. Tilsvarende er C inneholdt i en (D(A, B) + D(B, C) + 2ε)-omegn om A. Siden ε > 0 var vilkårlig, er D(A, C) D(A, B) + D(B, C). Fra Definisjon 2.1 er D en metrikk på K(X). To av de viktigste egenskapene til kompakte mengder er formulert i de følgende teoremene. Teorem 2.15 La f : X Y være kontinuerlig, og K X være kompakt. Da er f[k] kompakt. Bevis. La G = {G α være en overdekning av f[k]. Siden f er kontinuerlig er f 1 [G α ] åpen for hver åpne delmengde G α G. K er kompakt, slik at n K f 1 [G i ]. i=1

16 Selvsimilære Fraktaler Siden unionen er endelig, er {G i n i=1 G en endelig overdekning av f[k]. Teorem 2.16 Unionen av endelig mange kompakte mengder er kompakt. Bevis. La K 1,..., K n være endelig mange kompakte mengder, og la G være en overdekning av n i=1 K i. Siden K i er kompakt, eksisterer det en endelig overdekning G i G av K i. Da er n n K i G i G, i=1 i=1 hvor unionen av overdekninger er endelig. For funksjoner bruker vi av og til den uniforme metrikken, d u. La X være et kompakt, metrisk rom og la Y være et metrisk rom. La videre f : X Y og g : X Y være kontinuerlige funksjoner. Vi sier at f og g er innen uniform avstand r fra hverandre, dersom d(f(x), g(x)) r for alle x X. Vi definerer så den uniforme metrikken ved d u (f, g) = sup {d(f(x), g(x)) : x X. At dette er en metrikk er vist i [6, side 61]. 2.3 Kompletthet Kompletthet er en viktig egenskap. Vi vil nå vise at rommet K(X) er komplett. Definisjon 2.17 (Cauchyfølge) La (X, d) være et metrisk rom. En følge (x k ) i X er en Cauchyfølge dersom det for hver ε > 0 eksisterer et tall N slik at m, n > N medfører at d(x m, x n ) < ε. Definisjon 2.18 (Komplett metrisk rom) Rommet (X, d) er et komplett, metrisk rom hvis og bare hvis hver Cauchyfølge i X konvergerer i X. Teorem 2.19 La X være et komplett, metrisk rom. Da er K(X) komplett. Bevis. Anta at (A n ) er en Cauchyfølge i K(X). Vi må da vise at (A n ) konvergerer i K(X). Definer A = {x : (x n ) hvor x n A n og x n x. Vi vil vise at D(A n, A) 0 og at A K(X). La ε > 0 være gitt. Da finnes N N slik at n, m N medfører at D(A n, A m ) < ε / 2. Vi vil vise at hvis n N er D(A n, A) ε. Dersom x A eksisterer en følge (x k ) hvor x k A k og x k x. Vi kan derfor velge k slik at d(x k, x) < ε / 2. Dersom k N eksisterer en y A n slik at d(x k, y) < ε / 2. Da blir d(y, x) d(y, x k ) + d(x k, x) < ε

Mengder og rom 17 slik at A N ε (A n ). Anta nå at y A n. Velg heltall k 1 < k 2 <... slik at k 1 = n og D(A kj, A m ) < 2 j ε for alle m k j. Definer følgen (y k ) med y k A k som følger: For k < n, velg y k A k vilkårlig. Velg y n = y. Dersom y kj er valgt og k j < k k j+1, velg y k A k slik at d(y kj, y k ) < 2 j ε. Da er (y k ) en Cauchyfølge i X slik at den konvergerer. Betegn grensen ved x. Da er x A og d(y, x) = lim k d(y, y k ) < ε. Følgelig er y N ε (A) og dermed A n N ε (A) slik at D(A n, A) ε. Vi må nå vise at A K(X). Vi vil her begrense oss til tilfellet X R n. Da holder det å vise at A er ikke-tom, lukket og begrenset. Edgar gir et bevis som holder for alle komplette, metriske rom X i [6, side 67 68]. La oss begynne med å vise at A. A n K(X) og er derfor lukket og ikke-tom. Vi kan da velge x 1 A 1. Vi velger så x n rekursivt. Gitt x n 1 A n 1 eksisterer x n A n slik at d(x n, x n 1 ) D(A n, A n 1 ). (x n ) er en Cauchyfølge i X siden (A n ) er Cauchy. Siden X er komplett konvergerer (x n ) mot x, som derfor ligger i A slik at A er ikke-tom. Vi viser så at A er en lukket delmengde av X. La x A. Da eksisterer det en følge (y n ) i A slik at d(x, y n ) < 2 n. For hver n eksisterer det et punkt z n A n med d(z n, y n ) < D(A n, A) + 2 n. Da blir d(z n, x) d(z n, y n ) + d(y n, x) < D(A n, A) + 2 n + 2 n. Alle tre leddene på høyre side går mot 0, slik at (z n ) konvergerer mot x. Følgelig ligger x i A. A inneholder dermed alle sine opphopningspunkter og er lukket. For å vise at A er begrenset trenger vi bare å observere at A n er kompakt og følgelig begrenset. Gitt ε > 0 vet vi at det eksisterer n slik at D(A, A n ) < ε. Da må også A være begrenset. Vi vet at D er en metrikk på rommet K(X). I beviset ovenfor bruker vi likevel flere ganger avstanden D(A n, A) før vi har bevist at A K(X). Dette er helt i orden så lenge vi ikke antar at D i disse tilfellene oppfyller metrikkegenskapene i) - iii) i Definisjon 2.1. 2.4 σ-algebraer Vi vil også definere σ-algebra. Dette gir oss en viss struktur på mengdene vi jobber med. Definisjon 2.20 (σ-algebra) En samling F av delmengder av en mengde X, kalles en σ-algebra på X dersom i), X F, ii) A F medfører at X \ A F, iii) A i F for alle i N impliserer at i N A i F.

18 Selvsimilære Fraktaler Siden i N A i = A 1 \ i N (A 1 \ A i ) gjelder også at A i F for alle i N medfører at i N A i F. Proposisjon 2.21 Gitt en vilkårlig samling C av delmengder av X. Da finnes en minste σ-algebra som inneholder C. Denne kalles σ-algebraen generert av C. Bevis. La F være familien av alle σ-algebraer av delmengder av X som inneholder C. La A = {B : B F. Da er C en delsamling av A, siden hver B F inneholder C. Vi viser først at A er en σ-algebra. og X er inneholdt i A siden de er i alle σ-algebraene B. Tilsvarende er X \ A i A for alle A A. Dersom A i A for alle i N, er også A i B for alle B F. Hver B er en σ-algebra slik at i N A i er inneholdt i hver B. Følgelig er også i N A i A. Hvis B er en σ-algebra som inneholder C, er B F og B A = {B : B F. Følgelig er A den minste σ-algebraen som inneholder C. Definisjon 2.22 (Borelmengde) Samlingen B av Borelmengder er σ-algebraen generert av samlingen av de åpne mengdene Alle åpne mengder er trivielt Borelmengder. I tillegg vil alle lukkede mengder være Borelmengder. Royden viser i [21, side 53] også andre eksempler på Borelmengder, men vi vil stort sett klare oss med de åpne og lukkede mengdene.

3 Målteori Til vanlig har vi flere begreper for mål. En linje har en viss lengde, en flate har et areal, mens vi til romlige figurer knytter volum. Hvilket mål vi knytter til de forskjellige geometriske figurene er avhengig av dimensjonen deres. Lengde er et 1-dimensjonalt mål, mens areal er et 2-dimensjonalt mål. Vi vil diskutere dimensjonsbegrepet nærmere i neste kapittel. I dette kapittelet vil vi konsentrere oss om å definere et entydig målbegrep for alle mengder. Eksempel 3.1 Gitt enhetskvadratet Q = {x = (x 1, x 2 ) : 0 x 1, x 2 1. (3.1) Arealet, det vil si det 2-dimensjonale målet til Q er 1. Hvis vi ser på det 1- dimensjonale målet til Q ser vi at det blir. Dersom en linje skal gjennomløpe hele Q må denne være uendelig lang. Enhetskvadratet har ikke noe volum, slik at M 3 (Q) = 0. På grunn av ulike former for normalisering kan M 2 (Q) 1. Det 2-dimensjonale målet av Q vil likevel alltid være positivt og endelig. Vi vet at enhetskvadratet har dimensjon 2. I Eksempel 3.1 ser vi at av de mål vi kjenner, er det kun det 2-dimensjonale målet som gir et nyttig resultat for denne 2-dimensjonale figuren. Vi vil senere vise at dette også holder generelt. 3.1 Generelle definisjoner Vi vil først gi den formelle definisjonen av et mål. I de neste seksjonene vil vi se flere konkrete eksempler på slike. Definisjon 3.2 (Mål) La X være en mengde, og la F være en σ-algebra på X. Et mål på F er en avbildning M: F [0, ] slik at i) M( ) = 0, ii) dersom A n F er en disjunkt følge av mengder, så er ( ) M A n = M(A n ). n N n N Egenskap ii) i Definisjon 3.2 kalles tellbar additivitet. Dette kravet viser seg ofte å være for strengt i praksis. Definisjon 3.3 (Ytre mål) La X være en mengde, og la A være samlingen av alle delmengder av X. Et ytre mål på X er en avbildning M: A [0, ] som tilfredsstiller 19

20 Selvsimilære Fraktaler i) M( ) = 0, ii) dersom A B så er M(A) M(B), iii) dersom A n er en tellbar følge av mengder så er M ( n N A n ) n N M(A n ). (3.2) Egenskap iii) kalles tellbar subadditivitet. Ikke alle mengder er målbare. Vi definerer her målbare mengder ved hjelp av Caratheodorys kriterium. Definisjon 3.4 (Målbar mengde) En mengde A sies å være målbar dersom for alle mengder E. M(E) = M(E A) + M(E \ A) I [21, side 58 61] vises det at samlingen av målbare mengder er en σ-algebra som inneholder de åpne mengdene. Dette betyr spesielt at alle Borelmengder er målbare. Det kan også vises [21, kapittel 12.2] at ytre mål restrikert til målbare mengder, er mål som definert i Definisjon 3.2. Når vi senere ser på konkrete eksempler på mål, vil vi bare vise at disse er ytre mål. Siden alle mengdene vi jobber med i eksempler er Borelmengder, vil vi likevel anta at målene våre oppfyller tellbar additivitetsegenskapen. 3.2 Lebesguemålet Det første konkrete eksempelet på et mål vi skal se er Lebesguemålet. Dette ble konstruert av Henri Lebesgue rundt år 1900. Vi vil først se på det 1-dimensjonale Lebesguemålet. Senere vil vi generalisere dette til p dimensjoner. Definisjon 3.5 (Lebesguemål) Lebesguemålet L av en mengde A R er definert ved { L(A) = inf (b i a i ) : A [a i, b i ). i=1 For intervaller på R ser vi at L faller sammen med lengden av intervallet. Lebesguemålet utvider dette lengdebegrepet til vilkårlige mengder A R. Proposisjon 3.6 Lebesguemålet L er et ytre mål. i=1 Bevis. Vi viser dette ved å bekrefte at L oppfyller de tre egenskapene i Definisjon 3.3.

Målteori 21 Den tomme mengden,, kan vi dekke med vilkårlige små intervaller, slik at L( ) = 0. Dersom A B vil enhver overdekning av B også dekke A. Følgelig må L(A) L(B). Vi viser at L er tellbar subadditiv ved induksjon. (3.2) holder trivielt, dersom følgen består av kun en mengde A. Anta ( n ) L A i i=1 n L(A i ). i=1 Da vil mengden ( n i=1 A i) A n+1 = n+1 i=1 A i være inneholdt i unionen av overdekningene av n i=1 A i og A n+1, slik at L ( n+1 i=1 A i ) n n+1 L(A i ) + L(A n+1 ) = L(A i ). i=1 i=1 Eksempel 3.7 La C være Cantormengden definert i Eksempel 1.2, og la C n være mengdene som brukes i konstruksjonen. C n består av 2 n intervaller. Hvert intervall har lengde 3 n. Siden C C n for alle n N er ( ) 2 n L(C) inf = 0. n N 3 Cantormengden har følgelig Lebesguemål 0. 3.3 Konstruksjon av ytre mål Før vi går videre og gir flere eksempler på ytre mål, vil vi vise en generell algoritme for konstruksjonen av dem. Teorem 3.8 (Metode I) La X være en mengde, og A en familie med delmengder av X som dekker X. La C : A [0, ] være en vilkårlig funksjon. Da eksisterer et unikt ytre mål M på X slik at i) M(A) C(A) for alle A A, ii) dersom N er et vilkårlig ytre mål på X med N (A) C(A) for alle A A, så er N (B) M(B) for alle B X. Bevis. For hver delmengde B X, la M(B) = inf A D C(A), (3.3) hvor infimum taes over alle tellbare overdekninger D av B med mengder fra A. Vi vil vise at M definert i (3.3) er et ytre mål som oppfyller i) og ii).

22 Selvsimilære Fraktaler M( ) = 0 siden den tomme mengden kan dekkes av en tom overdekning. Dersom B C er mengder, vil enhver overdekning av C også være en overdekning av B, slik at M(B) M(C). La tilslutt B 1, B 2,... være gitt. Vi må vise at (3.2) holder. Dersom det eksisterer en n slik at M(B n ) = holder ulikheten trivielt. Anta derfor at M(B n ) < for alle n. For hver n, dekk B n med en tellbar overdekning D n med mengder fra A, slik at A D n C(A) M(B n ) + 2 n ε. (3.4) Da vil D = n N D n være en tellbar overdekning av unionen n N B n. Fra (3.3) følger derfor ( ) M B n C(A) A D = n N D= Dn (3.4) M(B n ) + ε. n=1 n N n=1 C(A) A D n M(B n ) + 2 n ε n=1 Siden ε var vilkårlig valgt er ( ) M B n M(B n ), n N slik at M er et ytre mål. La oss videre vise at M oppfyller i) og ii). Dersom A A vil {A være en overdekning av A, slik at M(A) C(B) = C(A). B {A Anta at N er et vilkårlig ytre mål på X slik at N (A) C(A) for alle A A. Da vil for enhver tellbar overdekning D av en mengde B med elementer fra A ( ) N (A) N A N (B). A D C(A) A D Siden dette gjelder for alle D vil A D n=1 M(B) = inf A D C(A) N (B).

Målteori 23 Da gjenstår bare å vise at M er unik. Anta M og M er to ytre mål som begge tilfredsstiller i) og ii). Da vil M(B) M (B) og M(B) M (B) for alle B X slik at M = M. Lebesguemålet L kan konstrueres ved hjelp av Metode I-teoremet. La A være familien av halvåpne intervaller [a, b) R, og definer C([a, b)) = b a. Dette kan generaliseres til p dimensjoner. Eksempel 3.9 La p N være gitt, og la A være familien av hyperrektangler R = [a 1, b 1 ) [a 2, b 2 )... [a p, b p ) R p. Det p-dimensjonale Lebesguemålet L p er det ytre målet definert ved Metode I-teoremet, familien A og funksjonen C(R) = p (b i a i ). i=1 L 2 vil på denne måten være et generalisert areal, mens L 3 på mange måter tilsvarer vårt vanlige volumbegrep. 3.4 Hausdorffmålet Målet som vil vise seg å være det viktigste for oss er Hausdorffmålet. I motsetning til Lebesguemålet er Hausdorffmålet definert for vilkårlige p 0. Definisjon 3.10 (Hausdorffmålet) La X være et metrisk rom, p 0 og δ > 0. For A X, la { H p,δ (A) = inf (diam G i ) p : A G i, diam G i δ, i i hvor infimum taes over alle tellbare overdekninger av A. Det p-dimensjonale ytre Hausdorffmålet av A er H p (A) = lim δ 0 H p,δ (A). Teorem 3.11 H p (A) er et ytre mål. Bevis. La p 0 og δ > 0 være gitt. Dersom A er familien av alle delmengder G α X med diameter mindre eller lik δ, og C(G α ) = (diam G α ) p, vil Metode I-teoremet gi oss at H p,δ er et ytre mål. Siden H p,δ er en kontinuerlig funksjon av δ oppfyller også H p egenskapene i) til iii) i Definisjon 3.3.

24 Selvsimilære Fraktaler I de tilfellene at p er et heltall oppfører Hausdorffmålet seg som vi kan forvente. Det kan vises at for p N er H p = cl p, hvor c er en positiv og endelig konstant (se for eksempel [18, side 56]). Vi vil her nøye oss med å vise sammenhengen for p = 1. Teorem 3.12 I R, faller det endimensjonale Hausdorffmålet H 1 sammen med det endimensjonale Lebesguemålet L 1. Bevis. Dersom A R har endelig diameter r, så er sup A inf A = r, slik at A er inneholdt i et lukket intervall I av lengde r. Gitt δ > 0 sier Metode I-teoremet at H 1,δ er det største ytre målet M slik at M(A) diam A for alle mengder med diameter mindre eller lik δ. Følgelig er H 1,δ (F ) L 1 (F ) for alle mengder F, slik at H 1 (F ) L 1 (F ). Omvendt, la [a, b) være et halvåpent intervall og δ > 0. Da eksisterer punkter a = x 0 < x 1 <... < x n = b med x i x i 1 < δ for alle i. [a, b) kan da bli dekt av den tellbare samlingen {[x i 1, x i ] : 1 i n slik at n diam[x i 1, x i ] = i=1 n (x i x i 1 ) = b a. i=1 Dermed må H 1,δ b a, men ved Metode I-teoremet er L 1 det største ytre målet som oppfyller M([a, b)) b a, slik at L 1 (F ) H 1 (F ). En egenskap som viser seg å være svært nyttig når vi senere skal beregne dimensjon er skaleringsegenskapen. Teorem 3.13 (Skaleringsegenskapen) Dersom A R n og r > 0 er H p (ra) = r p H p (A), hvor ra = {rx : x A er mengden A skalert med en faktor r. Bevis. Dersom {G α er en overdekning av A slik at diam G α < δ for alle G α vil {rg α være en overdekning av ra med diam rg α < rδ for alle G α. Følgelig, H p,rδ (ra) α (diam rg α ) p = r p α (diam G α ) p r p H p,δ (A), siden dette holder for hver overdekning. Ved å la δ 0 får vi H p (ra) r p H p (A). Dersom vi bytter r med 1 / r finner vi på tilsvarende måte H p (ra) r p H p (A).

Målteori 25 Eksempel 3.14 Vi vil estimere det 2-dimensjonale Hausdorffmålet til enhetskvadratet Q, definert ved (3.1). La δ = 1 n 2. Q kan da dekkes av n 2 kvadrater med diameter δ, slik at H 2,δ (Q) n 2 ( 1 n 2 ) 2 = 2. Siden vi ved å la n gå mot kan få δ så liten vi vil er H 2 (Q) 2. For å finne en nedre grense for H 2 (Q) observerer vi at dersom G er en overdekning av Q av lukkede mengder, så er A) A G(diam 2 L 2 (Q A ) A G hvor Q A er et kvadrat med sidelengde større eller lik diam A, slik at A Q A. Siden dette gjelder for enhver overdekning er H 2 (Q) A G L 2 (Q A ) (3.2) L 2 ( A G Q G L 2 (Q) = 1, Q A ) slik at 1 H 2 (Q) 2. Estimatet kan forbedres. I [6, side 187 189] viser Edgar at H 2 (Q) = 4 / π.

4 Dimensjonsbegrepet I dette kapittelet vil vi vise at det klassiske dimensjonsbegrepet vi kjenner fra elementær geometri er utilstrekkelig for vårt behov. Vi vil gi mening til brudne dimensjoner, det vil si dimensjoner som ikke er heltall. 4.1 Det klassiske dimensjonsbegrepet Fra elementær geometri kjenner vi til at vi kan assosiere en dimensjon til mengder. Punkter har dimensjon 0, linjer og kurver har dimensjon 1, flater har dimensjon 2 og romfigurer har dimensjon 3. Dette dimensjonsbegrepet kalles ofte topologisk dimensjon, og baserer seg på hvor mange koordinater vi trenger for å beskrive et hvilket som helst punkt i mengden. Siden R n er mengden av alle n-tupler av reelle tall kan et forsøk på å formulere dette klassiske dimensjonsbegrepet matematisk være følgende definisjon. Definisjon 4.1 Gitt en mengde A. Dimensjonen til A er den minste n N slik at A kan settes i en-til-en korrespondanse med en mengde X R n. Dessverre gir denne enkle definisjonen oss problemer. Giuseppe Peano konstruerte i 1890 en kurve som fyller en hel flate, slik at en flate faktisk tilsvarer en linje. Eksempel 4.2 (Peanokurve) Vi vil nå konstruere en Peanokurve, det vil si en kurve som fyller en hel flate. I dette eksempelet vil kurven fylle en firkant, men det finnes eksempler på kurver som fyller hele planet. Start med en rett linje i planet. Denne utgangsmengden kaller vi P 0. Deretter genereres mengden P i+1 ved å bytte ut hver linje i P i med 9 nye linjer som vist i Figur 4.1. Hver av disse nye linjene vil være en tredel så lang som den opprinnelige linjen. Figur 4.1 Konstruksjonen av en Peanokurve 27

28 Selvsimilære Fraktaler Dersom vi nå definerer P til å være mengden n P = lim P i = P i, n i=0 ser vi at denne konverger mot et kvadrat. Vi har altså funnet en kurve som er en-til-en med en flate. P er vist i Figur 4.2. i=0 Figur 4.2 Peanokurven konstruert i Eksempel 4.2 Dette eksemplet viser at Definisjon 4.1 av dimensjon er utilstrekkelig. Ved hjelp av Peanokurven kan man konstruere en en-til-en korrespondanse mellom en flate og R slik at flaten dermed kan sies å ha dimensjon 1. En formulering av topologisk dimensjon som overvinner problemet beskrevet ovenfor, er gitt av Menger og Urysohn og er gjengitt i [14, side 24]. Definisjon 4.3 (Dimensjon n) La X være et metrisk rom. X har dimensjon -1 hvis og bare hvis X =. X har dimensjon n (n 0) i et punkt p dersom p har vilkårlige små omegner hvor randen har dimensjon n 1. Dersom X har dimensjon n i hvert punkt p X er dim X n. X har dimensjon n i et punkt p dersom X har dimensjon n i p, mens X ikke har dimensjon n 1 i p. X har dimensjon n dersom dim X n, mens dim X n 1 ikke holder. dim X = dersom dim X n ikke holder for noen n N. I denne formuleringen får Peanokurven i Eksempel 4.2 dimensjon 2. Likevel er heller ikke denne formuleringen tilstrekkelig for vårt bruk. Eksempel 4.4 (Brudden dimensjon) La oss gjøre en ørliten forandring i Peanokurven fra Eksempel 4.2. La ε > 0 være et lite tall. I konstruksjonen av kurven byttes nå hvert linjestykke av lengde l ut med 8 nye linjestykker av lengde l 3 ε, samt ett noe lengre linjestykke i midten. Denne nye konstruksjonen er vist i Figur 4.3.

Dimensjonsbegrepet 29 Figur 4.3 Konstruksjonen av en mengde med brudden dimensjon Når denne konstruksjonen gjennomføres, ender vi opp med en mengde ˆP som ikke dekker en hel flate. Denne er vist i Figur 4.4. Det blir da naturlig å spørre hva dimensjonen til mengden ˆP er? Intuitivt burde den jo være mindre enn 2, men samtidig fyller jo mengden nesten en flate, slik at dimensjonen på en eller annen måte bør ligge nær opptil 2. Figur 4.4 Mengden konstruert i Eksempel 4.4 I henhold til Definisjon 4.3 har mengden ˆP dimensjonen 1. Vi ser at denne definisjonen blir for grov, når vi skal diskutere størrelsene til mengder som ˆP. Vi vil derfor se på andre formuleringer av dimensjon som tillater at dimensjonen ikke er et heltall. Den viktigste av disse formuleringene er Hausdorffdimensjonen. 4.2 Hausdorffdimensjonen I seksjon 3.4 definerte vi Hausdorffmålet. Vi vil nå utlede Hausdorffdimensjonen fra dette målet. Først gjør vi en observasjon. Teorem 4.5 Dersom H p (A) < så er H q (A) = 0 for alle q > p. Dersom H p (A) > 0 så er H q (A) = for alle q < p. Bevis. Dersom H p (A) < så eksisterer det for hver δ > 0 baller B j med A B j,

30 Selvsimilære Fraktaler Figur 4.5 Illustrasjon av Teorem 4.5. Hausdorffmålet til en mengde A er 0 eller for nesten alle p. diam B j δ og (diam B j ) p H p (A) + 1. For q > p (diam Bj ) q δ q p (diam B j ) p δ q p (H p (A) + 1), slik at H q,δ (A) δ q p (H p (A) + 1) og H q (A) = lim δ 0 H q,δ (A) = 0. Den andre påstanden i teoremet følger direkte fra den første. Dette teoremet sier at H p (A) er 0 eller for nesten alle p. Dette er illustrert i Figur 4.5. I følge teoremet eksisterer det faktisk høyst en p slik at 0 < H p (A) <. På bakgrunn av dette vil en naturlig definisjon av Hausdorffdimensjonen til en mengde være Definisjon 4.6 (Hausdorffdimensjon) Hausdorffdimensjonen til en mengde A er gitt ved dim H A = inf {p 0 : H p (A) = 0 = sup {p 0 : H p (A) =. Teorem 4.5 viser at dim H A er veldefinert. I Eksempel 3.14 viste vi at 1 H 2 (Q) 2. Følgelig har enhetskvadratet Q Hausdorffdimensjon 2. Hausdorffdimensjonen er dessverre ofte vanskelig å beregne. Vanligvis beregnes den ved å finne 0 < a, b < slik at a H p b. Særlig den nedre grensen kan ofte være vanskelig å finne. Eksempel 4.7 La oss finne Hausdorffdimensjonen til Cantormengden, C, definert i Eksempel 1.2. Vi kaller intervallene av lengde 3 n, n = 0, 1, 2,... som utgjør