UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF Logiske metoder for informatikk Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Ingen Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Det er mulig å få poeng totalt, og for hver oppgave er det angitt det maksimale antall poeng. Det er mange oppgaver, så pass på at du bruker tiden din godt. Hvis du bruker minutter på poeng, så vil du ha timer og minutter til alle oppgavene, og da vil du ha minutter til å se over alt til slutt. Husk at det faktisk er noen som skal lese veldig nøye det du skriver. Sørg for at det du skriver er klart, tydelig og enkelt å forstå, både når det gjelder form og innhold. Sjekk at begrunnelsene dine er gode. Lykke til! (Fortsettes på side.)
Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B = {,, {}} og C = {,, {}}. (a) [ poeng] Skriv ned alle delmengdene til A. (b) [ poeng] Er følgende påstander sanne eller usanne?. A. {, } A. {, } B. Det finnes en delmengde av A som er et element i C. (c) [ poeng] Regn ut:. A \ B. B \ A. A B. B C (d) [ poeng] Hva er kardinaliteten til (A B) (B C)? Begrunn svaret ditt. Oppgave Utsagnslogikk ( poeng) La M være mengden av følgende formler: (P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) (a) [ poeng] Hvilke formler i M er logisk ekvivalente med (P Q)? (b) [ poeng] Hvilke formler i M er logisk ekvivalente med (P Q)? (c) [ poeng] Sett opp sannhetsverditabellen for F G. (d) [ poeng] Bevis at hvis en formel F G er kontradiktorisk, så er både F og G gyldige formler. (e) [ poeng] Her er noen utsagnslogiske formler. Sett -piler mellom formlene slik at de angir hvilke formler som er logiske konsekvenser av hverandre. Sett en pil fra F til G hvis G er en logisk konsekvens av F. Det er ikke nødvendig å sette en pil fra en formel til seg selv. (P Q) ( P Q) P (P P)
Oppgave Førsteordens logikk ( poeng) Anta at vi har et førsteordens språk med to unære relasjonssymboler, F og V, og ett binært relasjonssymbol L. La Fx representere «x kan forstås». La Vx representere «x kan visualiseres». La Lxy representere «x likner på y». Finn gode og naturlige setninger for følgende førsteordens formler: (a) [ poeng] x(fx Vx) (b) [ poeng] x Fx x Vx (c) [ poeng] x( Vx Fx) (d) [ poeng] x(fx y(lxy Fy)) Finn førsteordens formler som representerer følgende setninger: (e) [ poeng] Alt kan visualiseres. (f) [ poeng] Ingenting kan visualiseres eller forstås. (g) [ poeng] Alt som kan forstås, likner på noe som kan visualiseres. (h) [ poeng] Kun det som kan visualiseres, kan forstås. Anta at M er en modell med domene {,, } som gjør følgende formler sanne:. x ylxy. x y(lxy Lyx) (i) [ poeng] Kan L M være en refleksiv relasjon? Begrunn svaret ditt. (j) [ poeng] Kan L M være en transitiv relasjon? Begrunn svaret ditt. Oppgave Bevis og naturlig deduksjon ( poeng) (a) [ poeng] Hvilket tilleggskrav gjør en utledning til et bevis i naturlig deduksjon? (b) [ poeng] Gi en utledning med konklusjon Q og åpen antakelse (P P). (c) [ poeng] Gi et bevis for formelen (P Q) ( P Q) i naturlig deduksjon.
Oppgave Kombinatorikk ( poeng) (a) [ poeng] Hvor mange strenger over {,, } av lengde finnes det? (b) [ poeng] Hvor mange strenger over {,,, } av lengde finnes det? Følgende figurer viser tre forskjellige «stier» som går fra toppen til bunnen gjennom et trekantet rutenett. Hver trekant har ni punkter i bunnen, og hver sti består av åtte steg. Det er kun lov å gå på skrå mot venstre eller på skrå mot høyre på veien nedover. (c) [ poeng] Hvor mange slike stier finnes det? (d) [ poeng] Anta at hver sti må inneholde minst ett venstresteg og minst ett høyresteg. Hvor mange slike stier finnes det med denne begrensningen? Oppgave Formelle språk og induksjon ( poeng) La A være alfabetet {x, -}. La språket R være den minste mengden slik at følgende holder: Λ R Hvis s R, så er sx- R. Hvis s R, så er sx-- R. (a) [ poeng] Gi et regulært uttrykk som representerer språket R. (b) [ poeng] Gi en regulær grammatikk som representerer språket R. (c) [ poeng] Bevis ved strukturell induksjon at alle strenger i R inneholder minst like mange forekomster av - som x.
Oppgave Grafteori ( poeng) Her følger seks grafer. Alle grafene har samme mengde noder, {,,,..., }, men forskjellige mengder kanter. A B C D E F (a) [ poeng] Er A en sammenhengende graf? Begrunn svaret. (b) [ poeng] Har B en Eulerkrets? Begrunn svaret. (c) [ poeng] Har B en Hamiltonsykel? Begrunn svaret. (d) [ poeng] Avgjør nøyaktig hvilke av disse grafene som er isomorfe, og forklar hvorfor de er det. En graf kalles todelt eller bipartitt hvis mengden av noder kan deles i to disjunkte delmengder U og V slik at enhver kant forbinder en node i U med en node i V. (e) [ poeng] Er C todelt? Er D todelt? Begrunn svarene. Oppgave Relasjoner og definisjoner ( poeng) La T være mengden {,,,,,,,,,,, } av naturlige tall fra til. La + være operasjonen på T som legger sammen tall modulo : For å finne verdien til x + y i T, ser vi på hva resten blir når vi deler på. For eksempel vil + være lik, fordi resten når vi deler på blir. Vi kan også se for oss at tallene er på plassert på en sirkel og at vi går med klokken på følgende måte.
+ (a) [ poeng] Regn ut +. (b) [ poeng] Løs likningen x + =. Vi definerer nå avstanden mellom to tall i T som det minste naturlige tallet n som gjør at vi kan få det ene tallet fra det andre ved å legge til n. For eksempel er avstanden mellom og lik fordi + =, og avstanden mellom og er lik fordi + =. Vi lar funksjonen d fra T T til N være funksjonen som gir oss denne avstanden, det vil si at d(x, y) = n hvis n er det minste tallet slik at x + n = y eller y + n = x. (c) [ poeng] Hva er bildemengden til d, det vil si mengden {d(x, y) x, y T}? Definer relasjonen R n slik at R n (x, y) holder nøyaktig når avstanden mellom x og y er lik n. For eksempel vil R (, ) og R (, ). R R x R y (d) [ poeng] Figurene over representerer R n for tre forskjellige verdier for n. Den første er R. Hva er verdiene til x og y? (e) [ poeng] Tegn en tilsvarende figur for R. (f) [ poeng] Forklar hvorfor R ikke er en transitiv relasjon. (g) [ poeng] Finnes det en n slik at R n er en ekvivalensrelasjon? La T n være den minste mengden slik at T n og hvis x T n, er også x + n T n. (h) [ poeng] Finn T. Du trenger ikke å vise selve utregningen. (i) [ poeng] Finn T. Du trenger ikke å vise selve utregningen. (j) [ poeng] Hva er sammenhengen mellom R n tillukningen av R n er refleksiv.] og T n? [Hint: Den transitive