INF3170 / INF4171 Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet Andreas Nakkerud 15. september 2015
Kripke-modeller Vi ser på modeller for et språk L. Definisjon En Kripke-modell er et kvadruppel K = K, Σ, C, D, hvor K er en ikke-tom, partielt ordnet mengde, C er en funksjon på konstantene i L, D er en funksjon på K og Σ er en funksjon på K, slik at C(c) D(k) for alle k K, D(k) for alle k K, Σ(k) At k for alle k K, hvor At k er mendgen av atomære formler i L med konstanter for elementer i D(k).
Kripke-modeller Definisjon (forts.) D og Σ må oppfylle betingelsene i. k l D(k) D(l). ii. Σ(k) for alle k. iii. k l Σ(k) Σ(l). D(k) kalles domenet til K i k, elementene i K kalles nodene til K. Vi sier at φ har parametre i D(k) hvis alle konstantsymbolene i φ er symboler for konstanter i D(k). Vi krever at konstanter tolkes som de samme elementene i alle domener.
Kripke-modeller Legg merke til at D(k) og Σ(k) sammen definerer en struktur A(k). Vi har at A(k) = D(k), og at a R A(k) hviss R( a) Σ(k). Betingelsene (i) og (iii) gir oss at k l A(k) A(l) og at k l R A(k) R A(l). Vi har også at c A(k) = c A(l).
Kripke-modeller Lemma Σ har en unik udvidelse til en funksjon fra K (også med symbol Σ), slik at Σ(k) SENT k, hvor SENT k er mengden av setninger med parapmetre i D(k), og hvor Σ tilfredsstiller (i) φ ψ Σ(k) φ Σ(k) eller ψ Σ(k) (ii) φ ψ Σ(k) φ Σ(k) og ψ Σ(k) (iii) φ ψ Σ(k) for alle l k (φ Σ(k) ψ Σ(k)) (iv) xφ(x) Σ(k) det finnes en a D(k) slik at φ(a) Σ(k) (v) xφ(x) Σ(k) for alle l k og for alle a D(l) er det slik at φ(a) Σ(l). Hvis φ Σ(k) skriver vi k φ og sier at k tvinger φ.
Kripke-modeller Corollary (i) k φ for alle l k er det slik at l φ. (ii) k φ for alle l k finnes det en p l slik at p φ. k 3 k 1 P(a) k 1 P(a) k 2 k 0 k 0
er monoton Lemma For k l er det slik at k φ l φ. Bevis: Ved induksjon på φ. Vi ser på φ = φ 1 φ 2. Anta at k φ 1 φ 2. La l k, og p l, og la p φ 1. Siden p q har vi at p φ 2 (fra induksjonshypotesen). Det vil si at l φ 1 φ 2.
Notasjon Vi etablerer følgende notasjon for setninger: (i) K φ hvis k φ for alle k K. (ii) φ hvis K φ for alle K. Vi innfører og i metaspråket, og definerer for formler med frie variable Γ φ slik at: ( K)( k K)( a D(k))[( ψ Γ(k φ( a))) k φ( a)]. Vi innfører også forkortelsen K Γ for ( φ Γ)K φ.
Mer om Γ φ Lemma Anta at Γ er endelig, da er det slik at [( ) ] Γ φ Cl ψ φ. ψ Γ Bevis: Merk at tillukningen her er en setning. Vi må vise at ( a D(k))[( ψ Γ(k φ( a))) k φ( a)] er ekvivalent med ([ ] ) k x ψ( x) φ( x). ψ Γ
Sunnhet Theorem Γ φ Γ φ (Sunnhet). Bevis: Ved induksjon på utledningen D av φ fra Γ. Vi fastsetter modellen K. Basissteg: Utledningen består av en formel φ. Da er det slik at φ Γ, og det følger at k Γ( a) k φ( a). Induksjonssteg: Utledningen slutter med en anvendelse av en regel. Vi gjør dette steget for I, I og I.
I D 1 D 2 φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 Induksjonshypotese: k a D(k)[k Γ( a) k φ i ( a)] for i = 1, 2. Velge en k slik at k Γ( a). Da er det slik at k φ 1 ( a) og k φ 2 ( a). Det følger at k (φ 1 φ 2 )( a). Altså har vi at Γ φ 1 φ 2.
I [φ 1 ] D 1 φ 2 φ 1 φ 2 Induksjonshypotese: k a D(k)[(k Γ( a), φ 1 ( a)) k φ 2 ( a)]. La k Γ( a). Anta at l k og at l φ 1 ( a). Siden og D er monotone har vi at l Γ( a), og dermed også at l φ 2 ( a). Det følger at ( l k)(l φ 1 ( a) l φ 2 ( a)). Altså har vi k (φ 1 φ 2 )( a), slik at Γ φ 1 φ 2.
I D φ zφ z er ikke en fri variabel i Γ. Induksjonshypotese: k a, b D(k)[(k Γ( a) k φ( a, b)]. La k Γ( a). Anta l k og b D(l). Siden og D er monotone har vi at l Γ( a) og a D(l). Fra induksjonshypotesen følger det at l φ( a, b). Altså har vi ( l k)( b D(l))l φ( a, b), så k zφ( a, z).
Primateori Definisjon En mengde setninger Γ er en primateori (eng: prime theory) i språket L dersom (i) Γ er lukket under, (ii) φ 1 φ 2 Γ φ 1 Γ eller φ 2 Γ, (iii) xφ(x) Γ φ(c) L for en c L.
Primateori Lemma La Γ og φ være lukkede, da eer det slik at hvis Γ φ, så finnes det en primateori Γ, i et språk L, som utvider Γ på en slik måte at Γ φ. Bevis: Vi må utvide språket L for Γ med en tellbar mengde konstanter. Vi kaller det nye språket L. Vi konstruerer Γ gjennom en følge av utvidelser Γ 0 Γ 1 Γ 2..., hvor Γ 0 = Γ. Vi må også ha at Γ k φ Vi definerer Γ k+1 som følger: k er et partall: Finn den første formelen på formen xψ(x) som ennå ikke har blitt behandlet, og hvor Γ k xψ(x). La Γ k+1 = Γ k {ψ(c)}, hvor c er den første konstanten som ikke forekommer i Γ k.
k er et oddetall: Finn den første formelen ψ 1 ψ 2 som ikke har blitt behandlet, og som er slik at Γ k ψ 1 ψ 2. Merk at det ikke er mulig at både Γ k, ψ 1 φ og Γ k, ψ 2 φ, da vi med disse og E kunne slutte at Γ k φ. Derfor: { Γ k {ψ 1 }, hvis Γ k, ψ 1 φ Γ k+1 = Γ k {ψ 2 }, ellers. Vi definerer Γ = k 0 Γ k. Vi må vise at Γ φ og at Γ er en primateori.
Γ φ: Vi viser at Γ i φ ved induksjon på i. Vi har antatt at Γ 0 φ. For oddetall i følger induksjonssteget per definisjon av Γ i+1. For partall i, anta at Γ i+1 φ. Da har vi at Γ i, ψ(c) φ. Siden Γ i xψ(x) får vi at Γ i φ ved E. Dette strider imot induksjonhypotesen, så Γ i+1 φ. Det vil si at Γ i φ for alle i 0. Anta nå at Γ φ. Da må det være slik at Γ i φ for en i, og vi har en motsigelse.
Γ er en primateori: (a) La ψ 1 ψ 2 Γ, og la k være det minste tallet slik at Γ k ψ 1 ψ 2. ψ 1 ψ 2 kan ikke ha blitt behandlet før k, og Γ h ψ 1 ψ 2 for alle h k. Formlen må behandles på et steg h k, så vi har enten Γ h+1 ψ 1 eller Γ h+1 ψ 2. Altså har vi enten Γ ψ 1 eller Γ ψ 2. (b) La xψ(x) Γ, og la k være det minste tallet slik at Γ k xψ(x). For en h k har vi at Γ h+1 ψ(c) for en c. Det følger at ψ(c) Γ for en c. (c) Anta Γ ψ. Da har vi at Γ ψ ψ. Fra (a) følger det at ψ Γ.
Modelleksistenslemma Lemma Hvis Γ φ så finnes det en Kripke-modell K med bunn-node k 0 slik at k 0 Γ og k 0 φ. Bevis: Vi utvider Γ til en primateori Γ slik at Γ φ. Γ har språk L med konstanter C. Vi definerer nye konstanter {c i m i, m 0}, og den tellbare familien av tellbare mengder C i = {c i m m 0}. Vi definerer en Kripke-modell der nodene er sekvenser n av naturlige tall. Vi sier at n m hvis n er begynnelsen på m. Bunn-noden er den tomme sekvensen.
La k være n. Definer C( ) = C og, hvis k > 0, C( n) = C( ) C 0... C k 1. L( n) er utvidelsen av L vi får ved å legge til atomene At( n) med konstanter fra C( n). Siden L( n) kun avhenger av lengden n skriver vi ofte L n. Vi lar D( n) = C( n). Vi definerer Σ( n) ved induksjon på lengden av n. Vi definerer samtidig en samling av primateorier Γ( n). Basissteg: Σ( ) = Γ At( n), Γ( ) = Γ.
Induksjonssteg: Anta at Σ( n) og Γ( n) er gitt. Vi ser på en opplisting σ 0, τ 0, σ 1, τ 1, σ 2, τ 2,... av setninger i L n +1 slik at Γ( n), σ i τ i. Vi har nok konstanter i C( n) til å konstruere nye primateorier Γ( n, i) som er utvidelser av Γ( n) slik at σ i Γ( n, i) og Γ( n, i) τ i. La Σ( n, i) = Γ( n, i) At( n, i). Vi ser lett at alle monotonitetkravene for Kripke-modeller er oppfylt. Påstand: n ψ Γ( n) φ. Vi beviser påstanden ved induksjon på ψ. Påstanden holder per definisjon for atomære formler. Viser induksjonsstedet for ψ 1 ψ 2 og xψ(x).
ψ 1 ψ 2 : n ψ 1 ψ 2 n ψ 1 eller n ψ 2 I.H. Γ( n) ψ 1 eller Γ( n) ψ 2 Γ( n) ψ 1 ψ 2 (mot venstre fordi Γ( n) er en primateori).
xψ(x): La n xψ(x), da har vi ( m n)( c C( m))( m ψ(c)). Anta for motsigelse at n xψ(x). La σ i = og τ i = xψ(x), det følger fra definisjonen at Γ( n, i) xψ(x). La c være en konstant i L( n, i) som ikke er i Γ( n, i). Dersom Γ( n, i) ψ(c) vil det følge at Γ( n, i) xψ(x). (Siden c ikke forekommer i Γ( n, i) kunne vi erstatte den med x i utledningen og så gjøre I.) Det følger at Γ( n, i) ψ(c), og ved induksjonshypotesen at n, i ψ(c). Dette er en motsigelse. Anta at Γ( n) xψ(x). Anta så at n xψ(x). Da er det slik at m ψ(c) for en m n og en c D( m). Fra induksjonshypotesen følger det at Γ( m) ψ(c) og dermed også at Γ( m) xψ(x). Motsigelse.
Kripke-kompletthet Theorem Γ i φ Γ φ (Sunnhet og kompletthet). Bevis: : sunnhet. : Anta Γ i φ. Vi bruker modelleksitenslemma til å vise at Γ φ.