Løsningsforslag til utvalgte oppgaver av eksamenen i MAT3600/MAT4600 høsten 2005

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Løsningsforslag til utvalgte oppgaver av eksamenen i MAT3600/MAT4600 høsten 2005"

Brit Dahle
6 år siden
Visninger:

1 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver av eksamenen i MAT3600/MAT4600 høsten 2005 Oppgave 1 La L være førsteordens språket {a,b,f,r} hvor a og b er konstantsymbol, f er et funksjonsymbol med aritet 2 og R er et relasjonsymbol med aritet 1. Oppgave a Gi en L-struktur A hvor grunnmengden A er uendelig. Gi et eksempel på en lukket formel som holder, og et eksempel på en lukket formel som ikke holder, i denne strukturen. Du skal med andre ord gi φ og ψ slik at A = φ og A = ψ. Løsningsforslag a La A = N, a A = 0, b A = 1, f A (x,y) = min(x,y) og R A = {0}. La φ R(a) og ψ R(b). Da har vi A = φ og A = ψ. La Σ være mengden som består av de tre L-formelene 1. R(a) 2. R(b) 3. x y[r(f(x,y)) R(x) R(y)] Oppgave b Gi en L-struktur A slik at (i) grunnmengden A har nøyaktig 2 elementer og (ii) A = Σ. Løsningsforslag b La A være strukturen fra løsningsforslaget til oppgave a. La A være den substrukturen av A man får ved å begrense A til en struktur med grunnmengde {0,1}. (Når alle relasjoner og funksjoner i A begrenses til mengden {0,1}, så har man en L-struktur.) 1

2 Oppgave c Gi en L-struktur A slik at (i) grunnmengden A har nøyaktig 3 elementer og (ii) A = Σ. Løsningsforslag c La A være strukturen fra løsningsforslaget til oppgave a. La A være den substrukturen av A man får ved å begrense A til en struktur med grunnmengde {0,1,2}. (Når alle relasjoner og funksjoner i A begrenses til mengden {0,1,2}, så har man en L-struktur.) Oppgave d Argumenter kort for at det ikke finnes en L-struktur A slik at (i) grunnmengden A har ett element og (ii) A = Σ. Løsningsforslag d La A være en L-struktur der grunnmengden A er {0}. Da har vi a A = b A = 0. Dermed kan vi ikke ha både A = R(a) og A = R(b). Ergo A = Σ. Oppgave e Vis at Σ R(f(a,b)) ved å gi en Σ-utledning av R(f(a,b)). Løsningsforslag e (Claim) La t og u være L-termer. Vi har Σ R(f(t, u)) R(t) R(u). Vi viser (Claim). La φ R(f(x,y)) R(x) R(y). Vi har Dermed har vi vist (Claim). 1. Σ x y[φ] y[φ x t ] logisk aksiom 2. Σ y[φ x t ] [φx,y a,u] logisk aksiom 3. Σ x y[φ] formel i Σ 4. Σ φ x,y t,u 1,2,3,PC 2

3 Vi kan nå løse oppgave e: 1. Σ R(f(a,b)) R(a) R(b) (Claim) 2. Σ R(a) formel i Σ 3. Σ R(f(a,b)) 1,2,PC Oppgave f Vis at Σ R(f(b,b)) ved å gi en Σ-utledning av R(f(b,b)). Løsningsforslag f 1. Σ R(f(b,b)) R(b) R(b) (Claim) 2. Σ R(b) formel i Σ 3. Σ R(f(b,b)) 1,2,PC Oppgave g Vis at vi har Σ R(t) eller Σ R(t) for enhver lukket L-term t. (Hint: induksjon på oppbygningen av t.) Løsningsforslag g La t a. Vi har Σ R(t) siden R(t) Σ. La t b. Vi har Σ R(t) siden R(t) Σ. La t f(t 1,t 2 ). Ved (Claim) har vi Σ R(f(t 1,t 2 )) R(t 1 ) R(t 2 ) ((*)) 3

4 Ved ind. hyp., og et lite resonnement, har vi at det enten er slik at eller at det er slik at (i) Σ R(t 1 ) eller Σ R(t 2 ) (ii) Σ R(t 1 ) og Σ R(t 2 ). I tilfellet (i) har vi Σ R(f(t 1,t 2 )) ved (*) og PC. I tilfellet (ii) har vi Σ R(f(t 1,t 2 )) ved (*) og PC. Oppgave h Vis at vi har for enhver lukket kvantorfri L-formel φ. Løsningsforslag h Σ φ eller Σ φ Her må man anta at vi ikke har likhet i språket. Kandidatene ble gjort oppmerksom på dette under selve eksamenen. Vi viser dette ved induksjon på oppbygningen av φ. La φ R(t) der t er en variabelfri term. Vi har Σ φ eller Σ φ ved oppgave g. La φ φ 1 φ 2. Ind. hyp. gir at vi enten har eller (i) Σ φ 1 eller Σ φ 2 (ii) Σ φ 1 og Σ φ 2. I tilfellet (i) har vi Σ φ ved PC. I tilfellet (ii) har vi Σ φ ved PC. 4

5 Oppgave i La φ x[x = a x = b]. Vis at Σ φ og Σ φ. Løsningsforslag i La A = Σ, og la A stå for antall elementer i grunnmengden til A. Det er lett å se at A = φ A = 2. Fra oppgave c vet vi at det finnes A slik at A = Σ og A = 3. Dermed Σ = φ. Dermed Σ φ ved sunnhetsteoremet for førsteordens logikk. Fra oppgave 2 vet vi at det finnes A slik at A = Σ og A = 2. Dermed Σ = φ. Dermed Σ φ ved sunnhetsteoremet for førsteordens logikk. Oppgave j La Σ = Σ { x[x = a x = b]}. Argumenter kort for at Σ er en fullstendig teori, dvs. at vi har Σ φ eller Σ φ for enhver lukket L-formel φ. (Hint: kompletthetsteoremet for førsteordens logikk.) Løsningsforslag j La A være strukturen fra oppgave b. Det er lett å se at enhver modell for Σ er isomorf med A. Dermed har vi A = ψ Σ = ψ (*). La φ være en vilkårlig lukket L-formel. Det er trivielt at vi enten har (i) A = φ eller (ii) A = φ. I tilfellet (i) har vi A φ ved (*) og kompletthetsteoremet for førsteordens logikk. I tilfellet (ii) har vi A φ ved (*) og kompletthetsteoremet for førsteordens logikk. 5

6 Oppgave 2 Nedenfor finner du to versjoner av kompeletthetsteoremet for første-ordens logikk. Teorem 1. La Σ være en mengde L-formler, og la φ være er L-formel. Vi har Σ φ hvis og bare hvis Σ = φ. Teorem 2. La Σ være en mengde L-formler. Da er Σ konsistent hvis og bare hvis Σ har en modell. Oppgave a Forklar hva det betyr at en mengde formler er konsistent. Forklar hva det betyr at en mengde formler har en modell. Svar kort. Oppgave b Argumenter for at de to versjonene av kompletthetsteoremet er ekvivalente ved å forklare (i) hvordan teorem 1 følger fra teorem 2 og (ii) hvordan teorem 2 følger fra teorem 1. Oppgave c La Σ være en konsistent mengde lukkede formler over et første-ordens språk L, og la φ være en lukket L-formel. Bruk deduksjonsteoremet til å vise at minst en av mengdene Σ {φ} og Σ { φ} er konsistent. Oppgave 3 Språket L NT = {0,S,+,,E,<} er kjent fra læreboka. La N betegne standardmodellen for L NT. Vi kjenner også L NT -aksiomene N fra læreboka. Vi vet at N = N og at N = φ hvis og bare hvis N φ for enhver lukket Σ-formel φ. Vi antar en gödelnummerering av L NT -formlene og lar φ betegne gödelnummeret til L NT -formelen φ. La L 0 være et vilkårlig førsteordens språk og la A være en L 0 -struktur. Vi antar også en gödelnummerering av L 0 -formlene og lar ψ betegne gödelnummeret til L 0 -formelen ψ. La A være en rekursiv mengde L 0 -aksiomer slik at A = A. Oppgave a Forklar hvorfor det finnes en L NT -formel Thm A (x) slik at N = Thm A ( ψ ) hvis og bare hvis A ψ. 6

7 La f : N N være en rekursiv funksjon slik at vi har N = φ hvis og bare hvis A = ψ når f( φ ) = ψ. La F(x,y) være en L NT -formel som representerer f. La N være N utvidet med aksiomet y[f( φ,y) Thm A (y)] φ for enhver lukket L NT -formel φ. Oppgave b Forklar hvorfor N er en konsistent og rekursiv mengde L NT -aksiomer. Oppgave c Forklar hvorfor det finnes en L 0 -formel ψ slik at A ψ og A ψ. Forklaringen skal referere til ett eller flere av de viktigste teoremene i læreboka. Løsningsforslag c Vi antar at vi har A ψ eller ψ A ψ for enhver L 0 -formel, og viser at denne antagelsen sier imot Gödels ufullstendighetsteorem. Siden A = A, så medfører antagelsen at vi har for enhver ψ. Videre så har vi for enhver ψ, og A = ψ A ψ A ψ N Thm A ( ψ ) f( φ ) = ψ N F( φ, ψ ) for enhver φ og ψ. (II) og (III) holder fordi Thm A ( ψ ) og F( φ, ψ ) er lukkede Σ-formler, og som det står i oppgaveteksten, så har vi for enhver lukket Σ-formel φ. N = φ hvis og bare hvis N φ La φ være en vilkårlig L NT -formel, og la f( φ ) = ψ. Da har vi N = φ A = ψ Egenskap ved f gitt i teksten A ψ (I) N F( φ, ψ ) Thm A ( ψ ) (II) og (III) N y[f( φ,y) Thm A (y)] opplagt N φ 7 (I) (II) (III)

8 Den siste implikasjonen holder fordi N er en udvidelse av N, og Dermed har vi vist at N y[f( φ,y) Thm A (y)] φ. N = φ N φ der N er en konsistent og rekursiv mengde L NT -aksiomer. Dette sier imot Gödels ufullstendighetsteorem i den form det er gitt på side 185 i læreboken. 8

Like dokumenter

Oppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ.

Oppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ. Oppgave 1 Beviskalklen i læreboka inneholder sluttningsregelen QR: {ψ φ}, ψ ( xφ). En betingelse for å anvende regelen er at det ikke finnes frie forekomste av x i ψ. Videre så inneholder beviskalklen