Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2012 Oppgave 1 (2 poeng) En dag har butikk A følgende tilbud: Du skal kjøpe 1,5 kg druer. I hvilken butikk lønner det seg å handle? Butikk A: 1,5 kg tilsvarer 3 beger, men du betaler for 2. Prisen blir 2 50 100 kr Butikk B: Prisen per kg er 70 kr. For 1,5 kg druer I butikk B betaler du 1,5 70 105 kr Det lønner seg å handle i butikk A. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 1 av 14
Oppgave 2 (1 poeng) Tidligere kostet en vare 50 kroner. Nå koster varen 90 kroner. Hvor mange prosent har prisen økt med? Prisvekst i kroner: 90 kr 50 kr 40 kr Prisvekst i prosent: 40 100% 80% 50 Oppgave 3 (2 poeng) Antall elever 5 10 Pris per elev (kroner) 600 100 Noen elever skal leie en hytte. Prisen per elev er omvendt proporsjonal med antall elever som blir med på hytteturen. a) Tegn av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn tallene som mangler. Antall elever 5 10 30 Pris per elev (kroner) 600 300 100 Beregninger: Total pris er 5 600 kr 3000 kr. Pris per elev ved 10 elever blir 3000 kr 300 kr 10 Antall elever når prisen er 100 kr per elev blir 3000 30 10 b) Hvor mye koster det å leie hytten? Det koster 3000 kr å leie hytten, se beregning i oppgave a). Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 2 av 14
Oppgave 4 (3 poeng) Skriv av, gjør beregninger, og sett inn tallene som mangler i hver av linjene: 20 L 20 dm 0, 02m 3 3 Forutsetter at vi vet at 4,4 h 4 h og 24 min. 3 1 dm 1 L Beregninger: Finner antall minutter slik 0,4 h 60 min/h 24 min 200 m/s 720 km/h Beregninger: 200 m 0,2 km. Det er 60 60 3600 sekunder i en time (h). Farten i km/h blir dermed 0,2 km/s 3600 s/h 720 km/h Oppgave 5 (2 poeng) Ved forrige valg fikk et parti 40 % av stemmene i en kommune. Partiet har etter valget økt oppslutningen med to prosentpoeng ifølge en meningsmåling. Hvor mange prosent har økningen vært på? En økning fra 40 % til 42 % gir en økning på 2 prosentpoeng. Økningen i prosent blir 2 100% 5% 40 Oppgave 6 (2 poeng) Eli hadde en nominell lønn på 500 000 kroner i basisåret. Et annet år var konsumprisindeksen 120. Hvor mye måtte Eli ha tjent dette året dersom hun skulle hatt samme kjøpekraft som i basisåret? I basisåret er konsumprisindeksen 100. Når konsumprisindeksen et år er 120 vil det det si at indeksen Konsumprisindeksen har økt med 20 %, sammenliknet med basisåret. Eli må dermed tjene 500000 1,20 600 000 kroner dette året dersom kjøpekraften skulle opprettholdes. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 3 av 14
Oppgave 7 (4 poeng) I klasse 1A er det 25 elever. 12 av elevene har valgt internasjonal engelsk neste skoleår. 14 av elevene far valgt sosialkunnskap. 4 elever har verken valgt internasjonal engelsk eller sosialkunnskap. a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. Krysstabell: Sosialkunnskap Ikke internasjonal engelsk Internasjonal engelsk 5 7 12 Ikke sosialkunnskap 9 4 13 14 11 25 Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. b) Bestem sannsynligheten for at eleven har valgt både internasjonal engelsk og sosialkunnskap Bruker opplysningene som jeg finner i krysstabellen, se oppgave a) Sannsynligheten for både internasjonal engelsk og sosialkunnskap blir: 5 1 0,2 25 5 Vi velger tilfeldig en elev som har valgt sosialkunnskap. c) Bestem sannsynligheten for at eleven også har valgt internasjonal engelsk. Sannsynligheten for at en som har valgt sosialkunnskap også har valgt internasjonal engelsk blir: 5 14 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 4 av 14
Oppgave 8 (2 poeng) Mike fra England og Arne fra Norge møttes i Litauen. Bruk Arnes og Mikes regneregler til å finne ut hvor mange norske kroner et pund svarte til. 1 litauiske litas er 2,25 norske kroner og 1 litauiske litas er 0,25 engelsk pund. Det betyr at 0,25 engelsk pund tilsvarer 2,25 norske kroner. Et engelsk pund tilsvarer dermed 2,25 9 norske kroner. 0,25 Oppgave 9 (3 poeng) Gjør beregninger og avgjør om påstandene nedenfor er riktige. a) C 83,6 Dette er en likebeint trekant. Vinkel B er dermed lik vinkel A altså 48,2. Vinkel C blir dermed 180 2 48,2 180 96,4 83,6 2 b) Arealet av ABC er mindre enn 20 cm Høyden fra C deler linjestykket AB på midten pga. likebeint trekant. Finner høyden ved Pytagoras setning. 2 2 2 2 h h h 6,0 4,0 20 20. 20 er mindre enn 5 Arealet blir 8,0 20 4 20. Dette må være mindre enn 20, da 20 er mindre enn 5. 2 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 5 av 14
Oppgave 10 (3 poeng) Antall hektogram smågodt Pris for påskeegg med smågodt (kroner) 3 5 10 48 60 90 Stian vil kjøpe et påskeegg. Han vil fylle påskeegget med smågodt. Tabellen ovenfor viser sammenhengen mellom hvor mye smågodt han fyller i påskeegget, og hvor mye han må betale. a) Tegn et koordinatsystem med hektogram langs x aksen og kroner langs y aksen. Marker verdiene fra tabellen ovenfor som punkter i koordinatsystemet, og tegn en rett linje som går gjennom punktene. Markerer punktene og tegner linja gjennom punktene i et koordinatsystem b) Bruk linjen i a) til å bestemme prisen for det tomme påskeegget og prisen per hektogram smågodt. Prisen for det tomme påskeegget finner vi der linjen skjærer y aksen. Prisen er 30 kroner. Prisen per hektogram blir 90 kr 30 kr 60 kr 6 kr/hg 10 hg 10 hg c) Hvor mye smågodt er det i et påskeegg som koster 81 kroner? Tegner inn linja y 81 i koordinatsystemet ovenfor. Finner grafisk at det er 8,5 hg smågodt i et påskeegg som koster 81 kroner, se koordinatsystem i a). Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 6 av 14
Oppgave 1 (2 poeng) Sindre er lærling. Han har en timelønn på 90 kroner. Ved overtid får han et tillegg på 60 %. Sindre betaler 18 % skatt av alt han tjener. En måned arbeidet Sindre 160 timer. 10 av disse timene var overtid. Hvor mye betalte Sindre i skatt denne måneden? Samlet lønn denne måneden: 150 90 kr 10 90 kr 1,6 13 500 kr 1 440 kr 14 940kr Skatten denne måneden blir dermed 14 940 kr 0,18 2 689 kr Oppgave 2 (2 poeng) Siri setter inn 12 000 kroner på en ny bankkonto. Hun lar pengene stå urørt og får 4,5 % rente per år. Hvor mye vil hun ha på kontoen etter 15 år? Beløp på kontoen etter 15 år: 15 12 000 kr 1,045 23 223 kr Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 7 av 14
Oppgave 3 (6 poeng) Svein skal bygge hytte. Han skal lage grunnmur og gulv av betong. Se figur ovenfor. Det mørkeblå området er grunnmuren. Denne skal være 0,25 m bred. a) Bestem arealet av det lyseblå og av det mørkeblå området på figuren. Areal av lyseblått område: 14,0 m 2 0,25 m 7,0 m 2 0,25 m 4,0 m 2 0,25 m 1,0 m 13,5 m 6,5 m 3,5 m 1,0 m 87,75 m 3,5 m 91,25 m 2 2 2 Areal av mørkeblått område: Areal av hele grunnflaten areal av lyseblått område. 2 2 2 2 14,0 m 7 m 1,0 m 4,0 m 91,25 m 102 m 91,25 m 10,75 m I det lyseblå området skal Svein legge et 10 cm tykt betonglag. Grunnmuren skal være 40 cm høy. b) Hvor mange kubikkmeter betong trenger han? Antall kubikkmeter betong: Han trenger ca. 14 2 m betong. 2 2 3 91,25 m 0,10 m 10,75 m 0,40 m 13,425 m Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 8 av 14
Oppgave 4 (6 poeng) Tabellen til høyre viser prisindeksen for eneboliger i perioden fra 1989 til 2010. a) Hvor mange prosent har verdien på en enebolig økt med fra 1989 til 2010 ifølge indeksene i tabellen ovenfor? Forskjell i indeks: 177,2 68,5 108,7 I prosent blir dette: 108,7 100% 158,7 % 68,5 Familien Hansen kjøpte en enebolig for 1 700 000 kroner i år 2000. b) Hvor mye ville en tilsvarende bolig kostet i 2006 dersom prisen hadde fulgt indeksen? Prisindeksen var akkurat 100,0 i år 2000. Indeksen i 2006 var 139,7. Det betyr at indeksen har steget med 39,7 % i denne perioden. Tilsvarende enebolig ville ha kostet 1 700 000 1,397 2 374 900 kroner i 2006. I 2010 solgte familien Hansen boligen for 3 400 000 kroner. Sønnen i huset mente at de da hadde tjent 1 700 000 kroner på salget av huset, mens faren påsto at de egentlig ikke hadde tjent mer enn ca. 400 000 kroner på salget. c) Gjør beregninger og forklar hvordan faren har kommet fram til dette. Prisstigningen fra 2000 til 2010 var 77,2 %. Tilsvarende enebolig ville ha kostet 1 700 000 1,772 3 012 400 kroner i 2010. Vi ser da at fortjenesten hadde vært i underkant av 400 000 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 9 av 14
Oppgave 5 (4 poeng) En dag fikk elevene ved en skole servert lunsj. De fikk velge mellom pizza og pølser. 3 4 av elevene valgte pizza. Resten valgte pølser. I tillegg fikk alle tilbud om salat. Halvparten av elevene som valgte pizza, ønsket også salat, men bare 1 5 av elevene som valgte pølse, ønsket salat. Vi velger tilfeldig en elev ved skolen. a) Bestem sannsynligheten for at eleven valgte pølser, men ikke ønsket salat. Pizza og salat: 3 1 3 Pizza men ikke salat: 4 2 8 3 1 3 4 2 8 Pølse og salat: 1 1 1 Pølser men ikke salat: 4 5 20 1 4 4 1 0,20 dvs. 20 % 4 5 20 5 Anta at det er 200 elever ved skolen. b) Hvor mange av disse elevene ønsket salat? Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen ønsket salat? 1 3 17 Andel som ønsket salat: 200 200 17 5 85 elever 20 8 40 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen ønsket salat blir dermed 85 16 0,425. Det betyr at det er 42,5 % sannsynlighet for at denne eleven ønsker salat. 200 40 Alternativ løsning til a). Anta at det er 200 elever ved skolen. Setter opp en krysstabell. Pølser Pizza Sum Uten salat 40 75 115 Med salat Sum 1 50 10 75 85 5 1 200 50 4 3 200 150 200 4 Vi kan lese ut fra tabellen at 40 elever ønsker pølser, men uten salat. Sannsynligheten er dermed 40 1 0,20 dvs. 20 % 200 5 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 10 av 14
Oppgave 6 (6 poeng) Frank deltar i et friidrettsmesterskap. Han kaster et spyd. Grafen til funksjonen f gitt ved 2 f x 0,01x 0,85x 2,20 beskriver banen spydet følger gjennom luften. Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvor Frank står, og over bakken. a) Tegn grafen til f for x 0. Bruker GeoGebra og tegner grafen. f x meter er høyden spydet har b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene. Bestem toppunktet på grafen til f. Bruker grafen og finner svarene, se a) Finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen skjæring mellom to objekt i GeoGebra Skjæringspunktet mellom grafen og x aksen er 87,5 og mellom grafen og y er 2,2. Finner toppunktet ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt polynom i GeoGebra. Toppunktet er 42.5, 20.3 c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet? Frank kaster ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 20 meter og lander på 87,5 meter. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 11 av 14
Oppgave 7 (4 poeng) Til venstre ovenfor ser du et glass med stett. Vi regner at den delen av glasset som fylles med drikke, har form som en kjegle. Diameteren i toppen av kjeglen er 9,0 cm, og sidekantene er 6,0 cm. Se tverrsnittet til høyre ovenfor. a) Bestem høyden i kjeglen. Grunnet likebeint trekant kan vi finne høyden ved hjelp av Pytagoras: 2 2 2 h 6,0 4,5 h 4,0 cm b) Hvor mange centiliter vann er det plass til i glasset? Volumet er gitt ved 2 2 G h r h V 3 3 3 4,5 cm 4,0 cm 84,2 cm 3 0,0842 dm 3 0,0842 L 8,42 cl Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 12 av 14
Oppgave 8 (6 poeng) Per og Kari skal ut å reise. Per skal kjøre en strekning på 300 km med bil. Kari skal reise samme strekning. Hun tar buss første del av turen og deretter tog. Per startet klokka 10.00 og holder en gjennomsnittsfart på 60 km/h. Karis buss går klokka 10.30 og holder en gjennomsnittsfart på 50 km/h. Etter 100 km skifter Kari til tog. Hun må vente 15 minutter på toget. Toget har en gjennomsnittsfart på 100 km/h. a) Vis at Kari når først fram. Tidsbruk til Per: Tidsbruk til Kari: 300 km 5 timer Per er framme kl. 15.00 60 km/h 100 km 200km 15min 2 timer 2 timer 15 min 4 timer 15 minutter 50 km/h 100 km/h Kari er framme kl. 14.45 b) Hvor langt vil Per ha kjørt når Kari går på toget? Når tar toget igjen bilen til Per? Det har gått 2 timer og 15 minutter når Kari går på toget. Per startet 0,5 timer før Kari. Per har da kjørt 60 km/h 2,75 h 165 km Når Kari går på toget, har hun forflyttet seg 100 km. Hun ligger altså 65 km bak Per på dette tidspunktet. Lar x stå for den tiden det tar før toget tar igjen bilen til Per. Setter opp en likning. 60 x 100 x 65 40x 65 x 1,625 Det tar 1,625 timer før toget tar igjen Per. Altså 1 time og 37,5 minutter. Toget tar igjen Per 3 timer og 52,5 minutter 1 t 37,5 min 15 min 2 t etter Kari startet. Det vil si kl.14:22:30 c) Hvilken gjennomsnittsfart må Per holde hvis han skal nå fram samtidig med Kari? Kari var framme 15 minutter før Per. Per må altså kjøre de 300 km på 4 timer og 45 minutter, dvs. 4,75 timer. Gjennomsnittsfarten blir da 300 km 4,75h x x 63,2 km/h Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 13 av 14
Kilder Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 2012 løsning Side 14 av 14