INF2810: Funksjonell Programmering. Mer om strømmer

Transkript

1 INF2810: Funksjonell Programmering Mer om strømmer Stephan Oepen & Erik Velldal Universitetet i Oslo 19. april 2013

2 Tema 2 Forrige uke Repetisjon: parallelitet Noe helt nytt: strømmer Noe quizzaktivitet Litt mer live-programmering

3 Tema 2 Forrige uke Repetisjon: parallelitet Noe helt nytt: strømmer Noe quizzaktivitet Litt mer live-programmering I dag Mer i dypden om strømmer Hvordan implementere strømmer Kort om memoisering Utvidet Scheme-syntaksen

4 Sekvenser som konvensjonell grensesnitt 3? (car (cdr (filter prime? (interval )))) 103

5 Sekvenser som konvensjonell grensesnitt? (car (cdr (filter prime? (interval )))) 103 Det beregnes en lang sekvens, så én til, men bare fire elementer brukes. Helst ta vare på den elegante strukturen men bare beregne etter behov. Utsatt evaluering (delayed evaluation) og strømmer gir oss begge deler. En strøm (stream) skal ha kontrakt som ligner på vanlige lister: (stream-car (cons-stream x y)) x (stream-cdr (cons-stream x y)) y Men elementene (untatt det første) blir først evaluert når de brukes. (define (stream-filter predicate stream) (cond ((stream-null? stream) the-empty-stream) ((predicate (stream-car stream)) (cons-stream (stream-car stream) (stream-filter predicate (stream-cdr stream)))) (else (stream-filter predicate (stream-cdr stream))))) 3

6 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1))))

7 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1)))) (define integers (integers-starting-from 1))

8 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1)))) (define integers (integers-starting-from 1)) En strøm kan definere en uendelig sekvens uten å faktisk beregne den. Dette kan kombineres med andre strøm-prosedyrer og strømmer, f.eks. (define primes (stream-filter prime? integers))? (stream-ref primes 3)

9 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1)))) (define integers (integers-starting-from 1)) En strøm kan definere en uendelig sekvens uten å faktisk beregne den. Dette kan kombineres med andre strøm-prosedyrer og strømmer, f.eks. (define primes (stream-filter prime? integers))? (stream-ref primes 3) 7

10 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1)))) (define integers (integers-starting-from 1)) En strøm kan definere en uendelig sekvens uten å faktisk beregne den. Dette kan kombineres med andre strøm-prosedyrer og strømmer, f.eks. (define primes (stream-filter prime? integers))? (stream-ref primes 3) 7 (define (add-streams stream1 stream2) (stream-map + stream1 stream2))

11 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1)))) (define integers (integers-starting-from 1)) En strøm kan definere en uendelig sekvens uten å faktisk beregne den. Dette kan kombineres med andre strøm-prosedyrer og strømmer, f.eks. (define primes (stream-filter prime? integers))? (stream-ref primes 3) 7 (define (add-streams stream1 stream2) (stream-map + stream1 stream2)) (define ones (cons-stream 1 ones))

12 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1)))) (define integers (integers-starting-from 1)) En strøm kan definere en uendelig sekvens uten å faktisk beregne den. Dette kan kombineres med andre strøm-prosedyrer og strømmer, f.eks. (define primes (stream-filter prime? integers))? (stream-ref primes 3) 7 (define (add-streams stream1 stream2) (stream-map + stream1 stream2)) (define ones (cons-stream 1 ones))

13 Uendelige strømmer 4 (define (integers-starting-from n) (cons-stream n (integers-starting-from (+ n 1)))) (define integers (integers-starting-from 1)) En strøm kan definere en uendelig sekvens uten å faktisk beregne den. Dette kan kombineres med andre strøm-prosedyrer og strømmer, f.eks. (define primes (stream-filter prime? integers))? (stream-ref primes 3) 7 (define (add-streams stream1 stream2) (stream-map + stream1 stream2)) (define ones (cons-stream 1 ones)) (define integers (cons-stream 1 (add-streams ones integers)))

14 Fibonacci-rekken som en uendelig strøm 5 Vekst i kaninpopulasjon per måned: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Kjenner man til de to siste verdiene, kan neste verdi enkelt beregnes. Igjen, en rekursiv prosedyre som strøm-generator, med to argumenter. Prosedyreargumente tar vare på relevant historie: f (n 2) og f (n 1). (define (fib n) (define (generator x y) (cons-stream x (generator y (+ x y)))) (stream-ref (generator 0 1) n))? (fib 10) 55

15 Fibonacci-rekken som en uendelig strøm 5 Vekst i kaninpopulasjon per måned: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Kjenner man til de to siste verdiene, kan neste verdi enkelt beregnes. Igjen, en rekursiv prosedyre som strøm-generator, med to argumenter. Prosedyreargumente tar vare på relevant historie: f (n 2) og f (n 1). (define (fib n) (define (generator x y) (cons-stream x (generator y (+ x y)))) (stream-ref (generator 0 1) n))? (fib 10) 55 Kan selvfølgelig også skrives som en ekvivalent prosedyre uten strøm. Men den har ikke like godt samsvar med den matematiske definisjonen.

16 En mellomstor eksamensnøtt 6 Vekst i kaninpopulasjon per måned: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... (define (show x) (display ": ") (display x) (newline) x) (define (fib n) (define (generator x y) (cons-stream x (generator y (show (+ x y))))) (stream-ref (generator 0 1) n))? (fib 5) 5

17 En mellomstor eksamensnøtt 6 Vekst i kaninpopulasjon per måned: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... (define (show x) (display ": ") (display x) (newline) x) (define (fib n) (define (generator x y) (cons-stream x (generator y (show (+ x y))))) (stream-ref (generator 0 1) n))? (fib 5) 5 Hvor mange addisjoner utføres? Og hvilke tall skrives ut av show?

18 En mellomstor eksamensnøtt 6 Vekst i kaninpopulasjon per måned: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... (define (show x) (display ": ") (display x) (newline) x) (define (fib n) (define (generator x y) (cons-stream x (generator y (show (+ x y))))) (stream-ref (generator 0 1) n))? (fib 5) 5 Hvor mange addisjoner utføres? Og hvilke tall skrives ut av show? Tilsammen fem addisjoner. Enhver skriver ut ett tall: 1, 2, 3, 5, 8. For å kunne returnere F(5) = 5 må (generator 5 8) vært oppkalt.

19 Nok en strøm: Sielen til Eratosthenes 7 Også primtallene danner en uendelig sekvens: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Altså en strøm der ingen element er delbart på tidligere elementer. Kan modelleres som lag på lag av strømmer: hvert lag filtrerer videre: (define (sieve stream) (cons-stream (stream-car stream) (sieve (stream-filter (lambda (x) (not (divisible? x (stream-car stream)))) (stream-cdr stream))))) (define primes (sieve (integers-starting-from 2)))

20 Nok en strøm: Sielen til Eratosthenes Også primtallene danner en uendelig sekvens: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Altså en strøm der ingen element er delbart på tidligere elementer. Kan modelleres som lag på lag av strømmer: hvert lag filtrerer videre: (define (sieve stream) (cons-stream (stream-car stream) (sieve (stream-filter (lambda (x) (not (divisible? x (stream-car stream)))) (stream-cdr stream))))) (define primes (sieve (integers-starting-from 2)))? (stream-ref primes 3) 7 7

21 Nok en uendelig strøm (1/3) 8 Suppose we want to [...] produce the stream of pairs of all integers i, j with i j such that i + j is prime. En strøm av primpar : 1, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 2, 5,... Gitt en parstrøm kunne vi kombinert stream-filter med prime? (stream-filter (lambda (pair) (prime? (+ (car pair) (cadr pair)))) (generate-ordered-pairs 1)) 1, 1 1, 2 1, , 2 2, , Hvordan kan vi generere tabellen, dvs. diagonalen i, i og alt øverst?

22 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T

23 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T Med integers som S og T kan den genereres som (pairs S T).

24 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T Med integers som S og T kan den genereres som (pairs S T). Selve tabellen kan så brytes ned rekursivt, i tre deler på hvert nivå.

25 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T Med integers som S og T kan den genereres som (pairs S T). Selve tabellen kan så brytes ned rekursivt, i tre deler på hvert nivå.

26 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T Med integers som S og T kan den genereres som (pairs S T). Selve tabellen kan så brytes ned rekursivt, i tre deler på hvert nivå.

27 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T Med integers som S og T kan den genereres som (pairs S T). Selve tabellen kan så brytes ned rekursivt, i tre deler på hvert nivå.

28 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T Med integers som S og T kan den genereres som (pairs S T). Selve tabellen kan så brytes ned rekursivt, i tre deler på hvert nivå. De første og siste delene er enkle: S i, T i og (pairs S i+1 T i+1 ). Den mellomste delen genereres av S i kombinert med T i+1, T i+2,... (stream-map (lambda (x) (list (stream-car s) x)) (stream-cdr t))

29 Nok en uendelig strøm (2/3) 9 S 0, T 0 S 0, T 1 S 0, T 2... S 1, T 1 S 1, T 2... S 2, T Med integers som S og T kan den genereres som (pairs S T). Selve tabellen kan så brytes ned rekursivt, i tre deler på hvert nivå. De første og siste delene er enkle: S i, T i og (pairs S i+1 T i+1 ). Den mellomste delen genereres av S i kombinert med T i+1, T i+2,... (stream-map (lambda (x) (list (stream-car s) x)) (stream-cdr t)) Kanskje på tide med litt live-programmering?

30 Nok en uendelig strøm (3/3) 10 Med stream-append vil vi aldri komme lengre en den første raden. Skriv en prosedyre interleave som kombinerer to lister elementvis:? (interleave (1 3 5) (2 4 6)) ( )

31 Nok en uendelig strøm (3/3) 10 Med stream-append vil vi aldri komme lengre en den første raden. Skriv en prosedyre interleave som kombinerer to lister elementvis:? (interleave (1 3 5) (2 4 6)) ( ) Elegant løsning: ta ett element fra første liste og bytt ut argumentene. (define (stream-interleave stream1 stream2) (if (stream-null? stream1) stream2 (cons-stream (stream-car stream1) (stream-interleave stream2 (stream-cdr stream1)))))

32 Nok en uendelig strøm (3/3) 10 Med stream-append vil vi aldri komme lengre en den første raden. Skriv en prosedyre interleave som kombinerer to lister elementvis:? (interleave (1 3 5) (2 4 6)) ( ) Elegant løsning: ta ett element fra første liste og bytt ut argumentene. (define (stream-interleave stream1 stream2) (if (stream-null? stream1) stream2 (cons-stream (stream-car stream1) (stream-interleave stream2 (stream-cdr stream1))))) (define (pairs s t) (cons-stream (list (stream-car s) (stream-car t)) (stream-interleave (stream-map (lambda (x) (list (stream-car s) x)) (stream-cdr t)) (pairs (stream-cdr s) (stream-cdr t)))))

33 Hvordan implementere strømmer i Scheme? 11 En strøm utsetter evalueringen av sin cdr inntill den blir etterspurt. Derfor trenger vi en special form delay som kan utsette evaluering.

34 Hvordan implementere strømmer i Scheme? 11 En strøm utsetter evalueringen av sin cdr inntill den blir etterspurt. Derfor trenger vi en special form delay som kan utsette evaluering.? (define promise (delay (display "Hello, world!")))

35 Hvordan implementere strømmer i Scheme? 11 En strøm utsetter evalueringen av sin cdr inntill den blir etterspurt. Derfor trenger vi en special form delay som kan utsette evaluering.? (define promise (delay (display "Hello, world!")))

36 Hvordan implementere strømmer i Scheme? 11 En strøm utsetter evalueringen av sin cdr inntill den blir etterspurt. Derfor trenger vi en special form delay som kan utsette evaluering.? (define promise (delay (display "Hello, world!")))? (force promise) Hello, world!

37 Hvordan implementere strømmer i Scheme? 11 En strøm utsetter evalueringen av sin cdr inntill den blir etterspurt. Derfor trenger vi en special form delay som kan utsette evaluering.? (define promise (delay (display "Hello, world!")))? (force promise) Hello, world! Hvorfor må delay være en special form (enn ikke en vanlig prosedyre)?

38 Hvordan implementere strømmer i Scheme? 11 En strøm utsetter evalueringen av sin cdr inntill den blir etterspurt. Derfor trenger vi en special form delay som kan utsette evaluering.? (define promise (delay (display "Hello, world!")))? (force promise) Hello, world! Hvorfor må delay være en special form (enn ikke en vanlig prosedyre)? Nå kan cons-stream realiseres etter følgende oppskrift: (cons-stream X Y) (cons X (delay Y))

39 Hvordan implementere strømmer i Scheme? 11 En strøm utsetter evalueringen av sin cdr inntill den blir etterspurt. Derfor trenger vi en special form delay som kan utsette evaluering.? (define promise (delay (display "Hello, world!")))? (force promise) Hello, world! Hvorfor må delay være en special form (enn ikke en vanlig prosedyre)? Nå kan cons-stream realiseres etter følgende oppskrift: (cons-stream X Y) (cons X (delay Y)) Resten av strømgrensesnittet kan realiseres som vanlige prosedyrer: (define stream-car car) (define (stream-cdr stream) (force (cdr stream)))

40 Og hvordan implementere delay og force? 12 Vi pleier å gå tilbake til universets mest grunnleggende byggeklosser.

41 Og hvordan implementere delay og force? 12 Vi pleier å gå tilbake til universets mest grunnleggende byggeklosser. Evaluering av uttrykket X kan utsettes ved å gjøre X til prosedyrekropp: (delay X) (lambda () X)

42 Og hvordan implementere delay og force? 12 Vi pleier å gå tilbake til universets mest grunnleggende byggeklosser. Evaluering av uttrykket X kan utsettes ved å gjøre X til prosedyrekropp: (delay X) (lambda () X) Dette kan så regnes som et løfte (promise) om å beregne X senere. For å utlyse selve beregningen må prosedyreobjektet bare oppkalles: (define (force promise) (promise))

43 Og hvordan implementere delay og force? 12 Vi pleier å gå tilbake til universets mest grunnleggende byggeklosser. Evaluering av uttrykket X kan utsettes ved å gjøre X til prosedyrekropp: (delay X) (lambda () X) Dette kan så regnes som et løfte (promise) om å beregne X senere. For å utlyse selve beregningen må prosedyreobjektet bare oppkalles: (define (force promise) (promise)) Ved definisjon av cons-stream og delay brukte vi -notasjon. For å egendefinere special forms trengs det noe mer enn define. Syntaktisk omskriving av Scheme-uttrykk: det kommer vi tilbake til.

44 Memoisering og utsatt evaluering 13 I motsetning til i/o- strømmer (ports) støtter strømmer random access. Strømelementer kan brukes om igjen: løfter må innfries flere ganger.

45 Memoisering og utsatt evaluering 13 I motsetning til i/o- strømmer (ports) støtter strømmer random access. Strømelementer kan brukes om igjen: løfter må innfries flere ganger. Memoisering ( dynamisk programmering ) kan bygges inn i delay: (define (memoize procedure) (let ((know? #f) (result 0)) (lambda () (if know? result (begin (set! result (procecure)) (set! know? #t) result))))) (delay X) (memoize (lambda () X))

46 Memoisering og utsatt evaluering I motsetning til i/o- strømmer (ports) støtter strømmer random access. Strømelementer kan brukes om igjen: løfter må innfries flere ganger. Memoisering ( dynamisk programmering ) kan bygges inn i delay: (define (memoize procedure) (let ((know? #f) (result 0)) (lambda () (if know? result (begin (set! result (procecure)) (set! know? #t) result))))) (delay X) (memoize (lambda () X)) Kan være avgjørende for kompleksitet ved trekursive strømdefinisjoner. 13

47 Syntaktisk omskriving: Hygieniske makros (1/2) 14 Scheme har innebygd støtte for det som kalles for hygieniske makros. Opererer på syntaks, i motsetning til tekstuelle makros, f.eks. #define. Et Scheme-uttrykk kan dekomponeres før evaluering, og så omskrives. (cons-stream X Y) (cons X (delay Y)) (delay X) (lambda () X)

48 Syntaktisk omskriving: Hygieniske makros (1/2) 14 Scheme har innebygd støtte for det som kalles for hygieniske makros. Opererer på syntaks, i motsetning til tekstuelle makros, f.eks. #define. Et Scheme-uttrykk kan dekomponeres før evaluering, og så omskrives. (cons-stream X Y) (cons X (delay Y)) (delay X) (lambda () X) Dette kan implementeres ved define-syntax og syntax-rules: (define-syntax cons-stream (syntax-rules () ((cons-stream head tail) (cons head (delay tail))))) syntax-rules definerer mønstre (med parametre ) og ekspansjoner.

49 Syntaktisk omskriving: Hygieniske makros (2/2) 15 (define-syntax identifier (syntax-rules ( keyword * ) ( pattern expansion )...))

50 Syntaktisk omskriving: Hygieniske makros (2/2) 15 (define-syntax identifier (syntax-rules ( keyword * ) ( pattern expansion )...)) identifier vil fra nå av ekspanderes som makro i operatorposisjon. pattern brukes for å bryte opp uttrykket, der parametrene bindes. Så er expansion en oppskrift for å sette sammen bitene igjen. Med keyword kan man deklarere identifiers som må matches literalt.

51 Syntaktisk omskriving: Hygieniske makros (2/2) 15 (define-syntax identifier (syntax-rules ( keyword * ) ( pattern expansion )...)) identifier vil fra nå av ekspanderes som makro i operatorposisjon. pattern brukes for å bryte opp uttrykket, der parametrene bindes. Så er expansion en oppskrift for å sette sammen bitene igjen. Med keyword kan man deklarere identifiers som må matches literalt. (define-syntax when (syntax-rules () ((when condition. body) (if condition (begin. body) #f))))