1 + γ 2 X i + V i (2)

Transkript

1 Seminaroppgave I en studie av sammenhengen mellom gjennomsnittlig inntekt og utgifter til offentlig skoledrift for ulike amerikanske stater i 1979 estimeres modellen; Y i = β 0 + β 1 X i + β 2 Xi 2 + U i (1) Der Y i er pr. capita utgift og X i pr. capita er inntekt, begge målt i dollar. Hvilke forutsetninger vil du legge til grunn før du estimerer denne modellen med vanlig minste kvadraters metode? 8.1a Gjennomsnittlig pr. capita inntekt i utvalget er $7607. Bruk regresjonsutskriften i til å finne ett estimat for marginaleffekten av økt inntekt pr. capita for en stat med gjennomsnitlig inntekt (merk at e-005 leses som ). Samtlige stater bortsett fra Missisippi har en inntekt pr.capita over $6000. Hva slags gode er utdanning, hvis vi ser bort i fra Missisippi? Figur 1 gir et plot av inntektselastisiteten. Hva slags gode er utdanning for statene med inntekt over gjennomsnittet? 8.1b Figur 2 gir et plot av residualene fra regresjonen mot inntekt pr. capita. Drøft modellens forutsetninger i lys av denne figuren. Vil du nå forholde deg anderledes til størrelsene oppgitt i regresjonsutskriften? 8.1c Regresjonsutskrift gir resultatene fra regresjonen; Y i X i = γ 0 + γ 1 1 X i + γ 2 X i + V i (2) Der X i og Y i er definert som ovenfor. Hva kan du si om variansen til restleddet til U i hvis V i har klassiske egenskaper? Bruk regresjonsutskrift til å utlede punktestimater for parametrene i modell 1. Hvordan vil du forklare at punktestimatene for parametrene har endret seg noe? Regresjonene er gjort på 50 datapunkter. Ville du forvente at parametrene ble forskjellige ved de to metodene hvis antall observasjoner var mye større? Figur 3 gir et plot av residualene fra regresjon mot inntekt. Forsøk å sammenlikne den med figur 2. Er forskjellen stor? Hvilke alternative fremgangsmåter kunne vi valgt? 8.2 I seminaroppgave 5 studerte vi sammenhengen mellom alder og inntekt og var spesielt interessert i å teste hvorvidt sammenhengen var lik for menn og kvinner. Vi ønsker nå også å undersøke om det er forskjeller mellom gifte og ugifte kvinner. Filen kvinner.in7 inneholder gjennomsnittlig inntekt etter alder og sivilstand (gift =1, ugift = 2) for kvinner i alderen 18 til 40 år. (23 observasjoner i hver av de to gruppene) 1

2 Utskrift viser beregninger foretatt på modellen: Y k = α + βx k + V k (3) Her er Y k gjennomsnittlig inntekt for aldersgruppe k, X k er alder og V k er et stokastisk restledd. Anta at følgende modell gjelder for hver enkelt ugift kvinne: Y i = α + βx i + U i (4) Y i er inntekt til kvinne nr i, X i er hennes alder og U i er et stokastisk restledd. A Visatdersomrestleddeti(4)oppfyllerstandardforutsetningene for Gauss-Markov-teoremet så vil den tilfeldige variasjonen i restleddet V i oppgave modell (3) være heteroskedastisk (dvs. at ikke alle restleddene har samme varians). B Finn deretter en transformasjon av (3) som gjør at de transformerte restleddene får konstant varians. Utled minste kvadraters estimatorer for den transformerte modellen. C Beregn den nye, veide, regresjonen i PCgive på tall fra filen Kvinner.in7. D Resultatet av estimeringen er gitt i utskrift nedenfor. For å unngå for store tall i mellomregningen er inntekten regnet i kroner i stedet for kroner i den veide regresjonen. Hvilke størrelser i utskriften er påvirket og hvilke er ikke påvirket av denne nedringen i måle-enhet? Sammenlikn resultatene i utskriftene og og kommenter. E Utskrift viser resultatet når modell (3) er estimert direkte på de individuelle data. Kommenter forskjellen mellom resultatene for utskriftene! 8.3 I seminaroppgave 6 så vi at maksimering av en Stone-Geary nyttefunksjon U (m, x) =(m m) β x 1 β ga opphav til etterspørselsfunksjoner av formen pm =(1 β) p m + βy. a) Anta at husholdninger er heterogene med hensyn til behov for mat slik at for husholning i er m i = M + e i hvor e i er en stokastisk variabel med forventning null, konstant varians og ingen autokorrelasjon. Vis at dette gir den stokastiske spesifikasjonen vi brukte i seminaroppgave 6, nemlig pm i =(1 β) pm + βy i + u i. Hva er sammenhengen mellom e i og u i? b) Anta nå at m er lik for alle husholdninger, men at β i = b + f i hvor f i er en stokastisk variabel med forventning null, konstant varians og ingen autokorrelasjon. Vis at dette også gir en stokastisk spesifikasjon av typen; pm i =(1 β) p m + by i + v i. Hva er sammenhengen mellom f i og v i? c) Hva er egenskapene til estimater fra minste kvadraters metode hvis strukturen i b) er sann? Kan vi gjøre noe for å få bedre estimater? 2

3 1.125e+4 1e elasticity elasticity Figur 1. Residuals Miss. Ark. S.C. Ala. Maine W.Va. Tenn. N.Mex. Vt. N.C. Ky. Utah La. Ga. Idaho S.Dak. Okla. Mont. N.H. Mo. Ariz. Nebr. N.Dak. Fla. R.I. Va. Ind. Texas Pa. Ohio Oreg. Minn. Iowa Colo. Kans. Mass Ṇ.Y. Md. Hawaii Mich. Eash. Del.Ill. N.J. Cal. Ct. Nev. Wyo. D.C. Alaska Figur 2. Residuals Miss. Ark. S.C. Ala. Maine W.Va. Tenn. N.Mex. Vt. N.C. Ky. Utah La. Ga. Idaho S.Dak. Okla. Mont. N.H. Mo. Ariz. Nebr. N.Dak. Fla. R.I. Va. Ind. Texas Pa. Ohio Oreg. Minn. Iowa Colo. Kans. Mass Ṇ.Y. Md. Hawaii Mich. Eash. Del.Ill. N.J. Cal. Ct. Nev. Wyo. D.C. Alaska Figur 3 3

4 Utskrift Modelling expenditure by OLS Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2 Constant ^ e e sigma RSS R^ F(2,47) = [0.000]** log-likelihood DW 2.53 no. of observations 50 no. of parameters 3 mean(expenditure) var(expenditure) Utskrift Modelling (expenditure/) by OLS Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2 Constant ^ e e sigma RSS R^ F(2,47) = [0.016]* log-likelihood DW 2.46 no. of observations 50 no. of parameters 3 mean(expenditure/) var(expenditure/) e-005 Utskrift Uveid regresjon Ugifte kvinner Constant ALDER R^2 = F(1,21) = [0.0000] sigma = DW =

5 Gifte kvinner Constant ALDER R^2 = F(1,21) = [0.0000] sigma = DW = Utskrift Veid regresjon Ugifte kvinner Vd.konst Vd.alder R^2 = sigma = DW = Gifte kvinner Vd.konst Vd.alder R^2 = sigma = DW =

6 Utskrift Regresjon på grunndata SIVILSTAND = UGIFT (3336 observasjoner) R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Coefficient Std. Error t Sig (Constant) ALDER SIVILSTAND = GIFT (8652 observasjoner) R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate B Std. Error t Sig (Constant) ALDER