Electrodynamics. Manfred Hammer, Hugo Hoekstra, Lantian Chang, Mustafa Sefünç, Yean-Sheng Yong
|
|
|
- Esther Mikalsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Electrodynamics Lecture D Manfred Hammer, Hugo Hoekstra, Lantian Chang, Mustafa Sefünç, Yean-Sheng Yong Integrated Optical MicroSystems MESA + Institute for Nanotechnology University of Twente, The Netherlands University of Twente, Enschede, The Netherlands Course ), Block 1A, 2013/2014 Department of Electrical Engineering, University of Twente P.O. Box 217, 7500 AE Enschede, The Netherlands Phone: +31/53/ Fax: +31/53/ m.hammer@utwente.nl 1
2 Course overview Electrodynamics A B C D E F G H Introduction, Maxwell equations, brush up on vector calculus, Dirac delta, potentials, Taylor expansion, Fourier transform, Maxwell equations, brush up on electro- and magnetostatics, multipole expansion Maxwell equations, microscopic and macroscopic, time- and frequency domain, differential and integral form, interface conditions, continuity equation, energy and momentum of electromagnetic fields Wave equation, plane waves, plane harmonic electromagnetic waves, refractive index, polarization, energy transport, spherical waves Reflection and transmission at interfaces, lossy materials, wave packets, dispersion, phase and group velocity Maxwell equations, vectorial and scalar Helmholtz equation, 2D configurations intermezzo), mode problems, metallic and dielectric waveguides Scalar and vector potentials, gauge conditions, retarded potentials, electric and magnetic dipole radiation Special relativity; transmission lines 2
3 Wave equation Homogeneous macroscopic Maxwell equations: ρ f = 0, J f = 0) D = 0, E = Ḃ, B = 0, H = Ḋ 3
4 Wave equation Homogeneous macroscopic Maxwell equations: ρ f = 0, J f = 0) D = 0, E = Ḃ, B = 0, H = Ḋ Linear isotropic homogeneous media: ǫr), µr)!) D = ǫ 0 ǫe, B = µ 0 µh 3
5 Wave equation Homogeneous macroscopic Maxwell equations: ρ f = 0, J f = 0) D = 0, E = Ḃ, B = 0, H = Ḋ Linear isotropic homogeneous media: ǫr), µr)!) D = ǫ 0 ǫe, B = µ 0 µh E = 0, E = µ 0 µḣ, H = 0, H = ǫ0ǫė, 3
6 Wave equation Homogeneous macroscopic Maxwell equations: ρ f = 0, J f = 0) D = 0, E = Ḃ, B = 0, H = Ḋ Linear isotropic homogeneous media: ǫr), µr)!) D = ǫ 0 ǫe, B = µ 0 µh E = 0, E = µ 0 µḣ, H = 0, H = ǫ0ǫė, E = ǫ 0 µ 0 ǫµë, H = ǫ 0µ 0 ǫµḧ. 3
7 Wave equation 1 2 ) t 2 E = 0, 1 2 ) t 2 H = 0, speed of light in vacuum: c = 1 ǫ0 µ 0, phase velocity in the medium: c m = 1 ǫ0 µ 0 ǫµ = c = c ǫµ n, refractive index of the medium: n = ǫµ. Shorter: E = 0, H = 0, = 1 2 ) t 2 : Quabla, 4
8 Wave equation 1 2 ) t 2 E = 0, 1 2 ) t 2 H = 0, speed of light in vacuum: c = 1 ǫ0 µ 0, phase velocity in the medium: c m = 1 ǫ0 µ 0 ǫµ = c = c ǫµ n, refractive index of the medium: n = ǫµ. Shorter: E = 0, H = 0, = 1 2 ) t 2 : Quabla, d Alembert operator). 4
9 Plane waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. 5
10 Plane waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. ) ψr,t) = fk r ωt)+bk r +ωt) solves ) for ω 2 = k 2, f, b arbitrary smooth), ω > 0, k = k ) 5
11 Plane waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. ) ψr,t) = fk r ωt)+bk r +ωt) solves ) for ω 2 = k 2, f, b arbitrary smooth), ω > 0, k = k ) Features off appear on planes with k r ωt = ϕ 0 const., i.e. move with velocity c m = ω/k in direction k/k. r k k = ϕ 0 k + ω k t 5
12 Plane waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. ) ψr,t) = fk r ωt)+bk r +ωt) solves ) for ω 2 = k 2, f, b arbitrary smooth), ω > 0, k = k ) Features off appear on planes with k r ωt = ϕ 0 const., i.e. move with velocity c m = ω/k in direction k/k. Features ofbappear on planes with k r +ωt = ϕ 1 const., i.e. move with velocity c m = ω/k in direction k/k. r k k = ϕ 0 k + ω k t r k k = ϕ 1 k ω k t 5
13 Plane waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. ) ψr,t) = fk r ωt)+bk r +ωt) solves ) for ω 2 = k 2, f, b arbitrary smooth), ω > 0, k = k ) Features off appear on planes with k r ωt = ϕ 0 const., i.e. move with velocity c m = ω/k in direction k/k. Features ofbappear on planes with k r +ωt = ϕ 1 const., i.e. move with velocity c m = ω/k in direction k/k. Planes k: wave fronts, phase fronts. r k k = ϕ 0 k + ω k t r k k = ϕ 1 k ω k t 5
14 Plane harmonic waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. 6
15 Plane harmonic waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. frequency domain: ψr,t) = 1 2 ψr) e iωt + c.c., ) + ω2 ψr) = 0, Helmholtz equation) 6
16 Plane harmonic waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. frequency domain: ψr,t) = 1 2 ψr) e iωt + c.c., ) + ω2 ψr) = 0, Helmholtz equation) spatial oscillations: ψr,t) = 1 2 ψ 0 e ik xx e ik y y e ik z z e iωt + c.c., ) k 2 + ω2 ψ 0 = 0, ψ 0 C, only ψ 0 0 is of interest, k = k x,k y,k z ) 6
17 Plane harmonic waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. frequency domain: ψr,t) = 1 2 ψr) e iωt + c.c., ) + ω2 ψr) = 0, Helmholtz equation) spatial oscillations: ψr,t) = 1 2 ψ 0 e ik xx e ik y y e ik z z e iωt + c.c., ) k 2 + ω2 ψ 0 = 0, ψ 0 C, only ψ 0 0 is of interest, k = k x,k y,k z ) ψr,t) = Reψ 0 e ik r ωt). 6
18 Plane harmonic waves ψr,t) = Reψ 0 e ik r ωt) Periodicity in time: angular frequency: ω, period: T = 2π ω, Spatial periodicity: wave vector: k, k = k, wavenumber: k = ω = ω c m c n = k 0n, Electromagnetic spectrum vacuum wavenumber: k 0 = ω c, refractive index: vacuum wavelength: wavelength in the medium: n = ǫµ, λ = 2π k 0 = 2πc ω, λ m = 2π k = 2π k 0 n = λ n. 7
19 Plane harmonic electromagnetic waves E = 0, E = µ 0 µḣ, H = 0, H = ǫ0ǫė, & Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt) skip1/2, Re, c.c.) 8
20 Plane harmonic electromagnetic waves E = 0, E = µ 0 µḣ, H = 0, H = ǫ0ǫė, & Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt) skip1/2, Re, c.c.) or Ẽ = 0, Ẽ = iωµ 0µ H, H = 0, H = iωǫ 0 ǫẽ, & Ẽr) = E 0 e ik r, Hr) = H0 e ik r 8
21 Plane harmonic electromagnetic waves E = 0, E = µ 0 µḣ, H = 0, H = ǫ0ǫė, & Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt) skip1/2, Re, c.c.) or Ẽ = 0, Ẽ = iωµ 0µ H, H = 0, H = iωǫ 0 ǫẽ, & Ẽr) = E 0 e ik r, Hr) = H0 e ik r exercise) k E 0 = 0, k E 0 = ωµ 0 µh 0, k H 0 = 0, k H 0 = ωǫ 0 ǫe 0, E 0 k, H 0 k, E 0 H 0, transverse waves, ωǫ 0 ǫe 0 = H 0 k orthogonal right-hand system{e 0,H 0,k}. 8
22 Plane harmonic electromagnetic waves Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt). Example: k = ke z, E 0 = E 0 e x, H 0 = 1 ωµ 0 µ k E 0 = ǫ0 ǫ µ 0 µ E 0e y E 0 R) 9
23 Plane harmonic electromagnetic waves Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt). Example: k = ke z, E 0 = E 0 e x, H 0 = 1 ωµ 0 µ k E ǫ0 ǫ 0 = µ 0 µ E 0e y E 0 R) ǫ0 ǫ Er,t) = E 0 e x coskz ωt), Hr,t) = µ 0 µ E 0e y coskz ωt). 9
24 Plane harmonic electromagnetic waves Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt). Example: k = ke z, E 0 = E 0 e x, H 0 = 1 ωµ 0 µ k E ǫ0 ǫ 0 = µ 0 µ E 0e y E 0 R) ǫ0 ǫ Er,t) = E 0 e x coskz ωt), Hr,t) = µ 0 µ E 0e y coskz ωt). ˆǫ = ǫr)1, ˆµ = µr)1!) Griffiths, Fig. 9.10, page 379 B = µ 0 µh, Br,t) = E 0 c m e y coskz ωt). 9
25 Polarization Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt). Polarization orientation of the electric part of the wave. Complex notation: E 0,H 0 C 3 in general. k,e 0 given,k E 0 H 0 = ωµ 0 µk E 0. 10
26 Polarization Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt). Polarization orientation of the electric part of the wave. Complex notation: E 0,H 0 C 3 in general. k,e 0 given,k E 0 H 0 = ωµ 0 µk E 0. Assume k = ke z, E 0,x = E 0,x, E 0,y = E 0,y e iδ common phase ine 0,x ande 0,y omitted) Er,t) = E 0,x e x coskz ωt)+ E 0,y e y coskz ωt+δ) 10
27 Polarization k = ke z, E 0,x = E 0,x, E 0,y = E 0,y e iδ Er,t) = E 0,x e x coskz ωt)+ E 0,y e y coskz ωt+δ) ) 11
28 Polarization k = ke z, E 0,x = E 0,x, E 0,y = E 0,y e iδ Er,t) = E 0,x e x coskz ωt)+ E 0,y e y coskz ωt+δ) ) δ = 0, δ = ±π: Er,t) = E 0,x e x + E 0,y e y ) coskz ωt), linear polarized wave, E oscillates in the plane { E 0,x e x + E 0,y e y, k} 11
29 Polarization k = ke z, E 0,x = E 0,x, E 0,y = E 0,y e iδ Er,t) = E 0,x e x coskz ωt)+ E 0,y e y coskz ωt+δ) ) δ = 0, δ = ±π: Er,t) = E 0,x e x + E 0,y e y ) coskz ωt), linear polarized wave, E oscillates in the plane { E 0,x e x + E 0,y e y, k} δ = ±π/2, E 0,x = E 0,y = E 0 : Er,t) = E 0 coskz ωt)e x ±sinkz ωt)e y ) circularly polarized wave, z fixed: Et) describes a circle in time. 11
30 Polarization k = ke z, E 0,x = E 0,x, E 0,y = E 0,y e iδ Er,t) = E 0,x e x coskz ωt)+ E 0,y e y coskz ωt+δ) ) δ = 0, δ = ±π: Er,t) = E 0,x e x + E 0,y e y ) coskz ωt), linear polarized wave, E oscillates in the plane { E 0,x e x + E 0,y e y, k} δ = ±π/2, E 0,x = E 0,y = E 0 : Er,t) = E 0 coskz ωt)e x ±sinkz ωt)e y ) circularly polarized wave, z fixed: Et) describes a circle in time. otherwise: elliptical polarization, 11
31 Polarization k = ke z, E 0,x = E 0,x, E 0,y = E 0,y e iδ Er,t) = E 0,x e x coskz ωt)+ E 0,y e y coskz ωt+δ) ) δ = 0, δ = ±π: Er,t) = E 0,x e x + E 0,y e y ) coskz ωt), linear polarized wave, E oscillates in the plane { E 0,x e x + E 0,y e y, k} δ = ±π/2, E 0,x = E 0,y = E 0 : Er,t) = E 0 coskz ωt)e x ±sinkz ωt)e y ) circularly polarized wave, z fixed: Et) describes a circle in time. otherwise: elliptical polarization, ) is the sum of two linearly polarized waves. 11
32 Energy transport u = 1 E D +H B), 2 S = E H, Er,t) = ReẼr) e iωt D,B, H analogously) S, u oscillate in time. 12
33 Energy transport u = 1 E D +H B), 2 S = E H, Er,t) = ReẼr) e iωt D,B, H analogously) S, u oscillate in time. t+t 1 Consider time-averaged quantities: ft) = ft ) dt T t u = 1 ) Ẽ 4 Re D + H B, S = 1 ) Ẽ 2 Re H. exercise) 12
34 Energy transport u = 1 E D +H B), 2 S = E H, Er,t) = ReẼr) e iωt D,B, H analogously) S, u oscillate in time. t+t 1 Consider time-averaged quantities: ft) = ft ) dt T t u = 1 ) Ẽ 4 Re D + H B, S = 1 ) Ẽ 2 Re H. exercise) Specifically: exercise) Er,t) = E 0 e ik r ωt), Hr,t) = H 0 e ik r ωt) u = 1 2 ǫ 0ǫ E 0 2 = 1 2 µ 0µ H 0 2, S = 1 ǫ0 ǫ 2 µ 0 µ E 0 2 k k, S = c mu k k, Intensity S : average power per unit area transported by the wave. 12
35 Spherical waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. 13
36 Spherical waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. ) Spherical coordinatesr,ϑ,ϕ: = 1 r 2 r 2 ) + 1 { 1 r r r 2 sinϑ ϑ sinϑ ) ϑ + 1 sin 2 ϑ 2 } ϕ 2. 13
37 Spherical waves 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0. ) Spherical coordinatesr,ϑ,ϕ: = 1 r 2 r 2 ) + 1 { 1 r r r 2 sinϑ ϑ sinϑ ) ϑ + 1 sin 2 ϑ 2 } ϕ 2. exercise) Spherically symmetric solutions of ): ψr,t) = 1 r f outkr ωt)+ 1 r f inkr+ωt) with ω 2 = k 2 f out, f in arbitrary smooth), ω > 0). 13
38 Spherical waves ψr,t) = 1 r f outkr ωt)+ 1 r f inkr+ωt). 14
39 Spherical waves ψr,t) = 1 r f outkr ωt)+ 1 r f inkr+ωt). Wave fronts: spheres around the origin. 14
40 Spherical waves ψr,t) = 1 r f outkr ωt)+ 1 r f inkr+ωt). Wave fronts: spheres around the origin. Features off out move with velocity c m = ω/k outward, damped 1 r. 14
41 Spherical waves ψr,t) = 1 r f outkr ωt)+ 1 r f inkr+ωt). Wave fronts: spheres around the origin. Features off out move with velocity c m = ω/k outward, damped 1 r. Features off in move with velocity c m = ω/k inward, growing 1 r. 14
42 Spherical waves ψr,t) = 1 r f outkr ωt)+ 1 r f inkr+ωt). Wave fronts: spheres around the origin. Features off out move with velocity c m = ω/k outward, damped 1 r. Features off in move with velocity c m = ω/k inward, growing 1 r. Harmonic spherical electromagnetic waves, Er,t) = E 0 r) 1 r eikr ωt), Hr,t) = H 0 r) 1 r eikr ωt),... as for the plane waves: period, wavenumber, wavelength, phase velocity, transverse waves, {E 0 r),h 0 r),r} form a right-hand system, polarization. 14
43 General solution of the wave equation 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0, ψr,0) = ψ 0 r), t ψr,0) = φ 0 r), 15
44 General solution of the wave equation 1 & ψr,t) = 1 2π) 2 2 ) t 2 ψr,t) = 0, ψr,0) = ψ 0 r), t ψr,0) = φ 0 r), ψk,ω) e ik r ωt) dω d 3 k, 15
45 General solution of the wave equation 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0, ψr,0) = ψ 0 r), t ψr,0) = φ 0 r), & ψr,t) = 1 2π) 2 ψk,ω) e ik r ωt) dω d 3 k, k 2 + ω2 ) ψk,ω) = 0, 15
46 General solution of the wave equation 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0, ψr,0) = ψ 0 r), t ψr,0) = φ 0 r), & ψr,t) = 1 2π) 2 ψk,ω) e ik r ωt) dω d 3 k, k 2 + ω2 ) ψk,ω) = 0, ψk,ω) = a f k)δω ω k )+a b k)δω +ω k ), ω k = c m k, 15
47 General solution of the wave equation 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0, ψr,0) = ψ 0 r), t ψr,0) = φ 0 r), & ψr,t) = 1 2π) 2 ψk,ω) e ik r ωt) dω d 3 k, k 2 + ω2 ) ψk,ω) = 0, ψk,ω) = a f k)δω ω k )+a b k)δω +ω k ), ω k = c m k, ψr,t) = 1 2π) 2 a f k) e ik r ω kt) +ab k) e ik r +ω kt) ) d 3 k, 15
48 General solution of the wave equation 1 2 ) t 2 ψr,t) = 0, ψr,0) = ψ 0 r), t ψr,0) = φ 0 r), & ψr,t) = 1 2π) 2 ψk,ω) e ik r ωt) dω d 3 k, k 2 + ω2 ) ψk,ω) = 0, ψk,ω) = a f k)δω ω k )+a b k)δω +ω k ), ω k = c m k, ψr,t) = 1 2π) 2 a f k) e ik r ω kt) +ab k) e ik r +ω kt) ) d 3 k, ψr,0) = ψ 0 r), t ψr,0) = φ 0 r)... a f k), a b k). 15
49 Upcoming Next lecture: Reflection and transmission at interfaces, lossy materials, wave packets, phase and group velocity, dispersion 16
Electromagnetic Field Theory for Engineers and Physicists
Electromagnetic Field Theory for Engineers and Physicists Günther Lehner Electromagnetic Field Theory for Engineers and Physicists Translated by Matt Horrer 123 Prof. Dr.rer.nat. Günther Lehner (em.)
Physical origin of the Gouy phase shift by Simin Feng, Herbert G. Winful Opt. Lett. 26, (2001)
by Simin Feng, Herbert G. Winful Opt. Lett. 26, 485-487 (2001) http://smos.sogang.ac.r April 18, 2014 Introduction What is the Gouy phase shift? For Gaussian beam or TEM 00 mode, ( w 0 r 2 E(r, z) = E
Eksamen i fag TFY4205 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 2010 Tid:
Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53, mobil 90 07 51 7 Eksamen i fag TFY405 Kvantemekanikk
Gradient. Masahiro Yamamoto. last update on February 29, 2012 (1) (2) (3) (4) (5)
Gradient Masahiro Yamamoto last update on February 9, 0 definition of grad The gradient of the scalar function φr) is defined by gradφ = φr) = i φ x + j φ y + k φ ) φ= φ=0 ) ) 3) 4) 5) uphill contour downhill
TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells
TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells Forelesning 5: Wave Physics Interference, Diffraction, Young s double slit, many slits. Mansfield & O Sullivan: 12.6, 12.7, 19.4,19.5 Waves! Wave phenomena! Wave equation
Qi-Wu-Zhang model. 2D Chern insulator. León Martin. 19. November 2015
Qi-Wu-Zhang model 2D Chern insulator León Martin 19. November 2015 Motivation Repeat: Rice-Mele-model Bulk behavior Edge states Layering 2D Chern insulators Robustness of edge states Motivation topological
Optical Properties of Plasmas Based on an Average-Atom Model
Optical Properties of Plasmas Based on an Average-Atom Model Walter Johnson, Notre Dame University Claude Guet, CEA/DAM Ile de France George Bertsch, University of Washington Motivation for this work:
melting ECMI Modelling week 2008 Modelling and simulation of ice/snow melting Sabrina Wandl - University of Linz Tuomo Mäki-Marttunen - Tampere UT
and and ECMI week 2008 Outline and Problem Description find model for processes consideration of effects caused by presence of salt point and numerical solution and and heat equations liquid phase: T L
Second Order ODE's (2P) Young Won Lim 7/1/14
Second Order ODE's (2P) Copyright (c) 2011-2014 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or
Positive dispersion: 2 n. λ 2 > 0. ω 2 > 0, Negative dispersion: ω < 0, 2 n
Positive dispersion: 2 n ω 2 > 0, 2 n λ 2 > 0 Negative dispersion: 2 n ω < 0, 2 n 2 λ < 0 2 φ(z,ω) = k ( n ω )z E( z,t)= 1 2π E ( z = 0,ω )e iωt iφ z,ω e ( ) dω φ(z,ω) = k ( n ω )z φ( ω )= φ 0 + ω ω 0
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eam in: FYS 3120/FYS 4120 Classical mechanics and electrodynamics Day of eam: Thursday June 8, 2006 Eam hours: 3 hours, beginning at 14:30
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS 310/FYS 410 Klassisk mekanikk og elektrodynamikk Eksamensdag: Mandag 4. juni 007 Tid for eksamen: kl. 14:30 (3timer) Oppgavesettet
EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 KVANTEFYSIKK Lørdag 9. desember 2006 kl
ENGLISH TEXT and NORWEGIAN Page of 9 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM-
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Eksamen i AST5220/9420 Kosmologi II Eksamensdag: Fredag 11. juni 2010 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg:
Lecture Notes Mek 4320 Hydrodynamic Wave theory
Lecture Notes Mek 4320 Hydrodynamic Wave theory by Bjørn Gjevik, Geir K. Pedersen and Karsten Trulsen Department of Mathematics University of Oslo Fall 2010 2 Contents 1 INTRODUCTION 5 1.1 Characteristic
Lecture Notes Mek 4320 Hydrodynamic Wave theory
Lecture Notes Mek 4320 Hydrodynamic Wave theory by Bjørn Gjevik, Geir K. Pedersen and Karsten Trulsen Department of Mathematics University of Oslo Summer 2015 2 Revision history: January 1989: Forelesninger
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON20/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Fredag 2. mai
The Effects of an Extended Neutrino Sphere on Supernova Neutrino Oscillations
The Effects of an Extended Neutrino Sphere on Supernova Neutrino Oscillations max-planck-institut für Kernphysik Heidelberg NDM 2018, IBS, Korea July 2, 2018 1 / 24 Janka et al. 2012 2 / 24 Impact of neutrino
Level Set methods. Sandra Allaart-Bruin. Level Set methods p.1/24
Level Set methods Sandra Allaart-Bruin sbruin@win.tue.nl Level Set methods p.1/24 Overview Introduction Level Set methods p.2/24 Overview Introduction Boundary Value Formulation Level Set methods p.2/24
Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 11
Ma3 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik 7.3. Oppgaver 5.3 5. Find the moment of inertie about the -axis. Eg the value of δ x + y ds, for a wire of constant density δ lying along the curve : r
Key objectives in lighting design
Key objectives in lighting design Qualifications no strong "contrasts" good "color rendering" adequate "light levels" no "disturbing reflections" no direct "glare" Radiometry vs. Photometry absolute (energy)
Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Lørdag 11. august :00 13:00
NTNU Side 1 av 3 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 45 43 71 70 Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Lørdag 11. august 2012 09:00 13:00 Tillatte hjelpemidler:
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember
TFY Fysikk 2. Forelesning 16: Atomic physics
TFY 4170 - Fysikk 2 Forelesning 16: Atomic physics Atomic spectra. Bohr s postulates. Bohr s atomic theory. single-electron atoms. Mansfield & O Sullivan: 19.2,19.3,19.4,19.5. Atomic physics! Atomic models.!
Lattice Simulations of Preheating. Gary Felder KITP February 2008
Lattice Simulations of Preheating Gary Felder KITP February 008 Outline Reheating and Preheating Lattice Simulations Gravity Waves from Preheating Conclusion Reheating and Preheating Reheating is the decay
FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai :15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt)
FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai 2018 14:15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt) Page 1 of 9 Svar, eksempler, diskusjon og gode råd fra studenter (30 min) Hva får dere poeng for? Gode råd fra forelesere
AC Network Analysis. Learning objectives. Ideell Kondensator (Capasitor) Structure of parallel-plate capacitor
AC Network Analysis Learning objectives 1. Compute current, voltage and energy stored in capasitors and inductors 2. Calculate the average and rms value of periodic signals 3. Write the differential equation
Eksamen i FY3466 KVANTEFELTTEORI II Tirsdag 20. mai :00 13:00
NTNU Side 1 av 3 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 eller 45 43 71 70 Eksamen i FY3466 KVANTEFELTTEORI II Tirsdag 20. mai 2008 09:00 13:00 Tillatte
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk 1 Analytisk mekanikk Lagrangefunksjonen Formelsamling (nynorsk) L = L(q, q, t), (1) til eit fysisk system er ein funksjon av dei generaliserte koordinatane
Classical Mechanics and Electrodynamics
Classical Mechanics and Electrodynamics Exercises FYS 3120 Jon Magne Leinaas Department of Physics, University of Oslo December 2009 2 Part I Exercises 3 5 Problem Set 1 Problem 1.1 An Atwood s machine
Existence of resistance forms in some (non self-similar) fractal spaces
Existence of resistance forms in some (non self-similar) fractal spaces Patricia Alonso Ruiz D. Kelleher, A. Teplyaev University of Ulm Cornell, 12 June 2014 Motivation X Fractal Motivation X Fractal Laplacian
Solutions #12 ( M. y 3 + cos(x) ) dx + ( sin(y) + z 2) dy + xdz = 3π 4. The surface M is parametrized by σ : [0, 1] [0, 2π] R 3 with.
![Solutions #12 ( M. y 3 + cos(x) ) dx + ( sin(y) + z 2) dy + xdz = 3π 4. The surface M is parametrized by σ : [0, 1] [0, 2π] R 3 with.](/thumbs/80/81672304.jpg "Solutions #12 ( M. y 3 + cos(x) ) dx + ( sin(y) + z 2) dy + xdz = 3π 4. The surface M is parametrized by σ : [0, 1] [0, 2π] R 3 with.")
Solutions #1 1. a Show that the path γ : [, π] R 3 defined by γt : cost ı sint j sint k lies on the surface z xy. b valuate y 3 cosx dx siny z dy xdz where is the closed curve parametrized by γ. Solution.
Eksamen i TFE4130 Bølgeforplantning
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen Navn: Ulf Österberg Tlf: 46 83 61 43 Eksamen i TFE4130 Bølgeforplantning
HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN
HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN EKSAMEN I FAGET STE 6243 MODERNE MATERIALER KLASSE: 5ID DATO: 7 Oktober 2005 TID: 900-200, 3 timer ANTALL SIDER: 7 (inklusiv Appendix: tabell og formler) TILLATTE
Abstract. i x + a x +. a = (a x, a y ) z γ + 1 γ + z )
Abstract R, Aharonov-Bohm Schrödinger Landau level Aharonov-Bohm Schrödinger 1 Aharonov-Bohm R Schrödinger ( ) ( ) 1 1 L a = i + a = i x + a x + ( ) 1 i y + a y (1). a = (a x, a y ) rot a = ( x a y y a
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 01.. 4.. 1 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ ˆƒƒ Œˆ Œ Š.. ³μ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö ˆ 70 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ 7 ˆ ˆ IFW- ˆˆ ˆ Œ Œ Œ ˆˆ 79 Š ˆ 80 ˆ Š ˆ 81 E-mail: neznamov@vniief.ru
Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.
MIT OpenCouseWae http://ocw.mt.edu 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5 Please use the followng ctaton fomat: Maus Zahn, 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5. (Massachusetts
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS 3120/FYS 4120 Klassisk mekanikk og elektromagnetisme, FYS 202 - Klassisk teoretisk fysikk I Eksamensdag: Onsdag 9. juni 2004
Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl.
1 MAT131 Bokmål Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 09-14 Oppgavesettet er 4 oppgaver fordelt på
Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006
Vedlegg 1 av 9 Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk
Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 2
Ma1 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik Brukernavn: Oistes.1.1 Oppgaver 11. In Exercises 1 4, find the required parametrization of the first quadrant part of the circular arc x + y 1 1. In terms
Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 1
Ma1203 - Flerdimensjonal Analyse Øving 1 Øistein Søvik Brukernavn: Oistes 23.01.2012 Oppgaver 10.1 6. Show that the triangle with verticies (1, 2, 3), (4, 0, 5) and (3, 6, 4) has a right angle. z y x Utifra
Oppgave 1. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk EKSAMEN I: MNFFY 245 INNFØRING I KVANTEMEKANIKK
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk EKSAMEN I: MNFFY 45 INNFØRING I KVANTEMEKANIKK DATO: Fredag 4 desember TID: 9 5 Antall vekttall: 4 Antall sider: 5 Tillatte hjelpemidler:
Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012
NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for fysikk Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 Faglærar: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Institutt for fysikk Telefon:
Lipschitz Metrics for Non-smooth evolutions
Lipschitz Metrics for Non-smooth evolutions Alberto Bressan Department of Mathematics, Penn State University bressan@math.psu.edu Alberto Bressan (Penn State) Nonsmooth evolutions 1 / 36 Well-posedness
Unit Relational Algebra 1 1. Relational Algebra 1. Unit 3.3
Relational Algebra 1 Unit 3.3 Unit 3.3 - Relational Algebra 1 1 Relational Algebra Relational Algebra is : the formal description of how a relational database operates the mathematics which underpin SQL
Eksamen i TMA4190 Mangfoldigheter Onsdag 4 juni, Tid :
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag SOLUTIONS Eksamen i TMA4190 Mangfoldigheter Onsdag 4 juni, 2013. Tid : 09.00 13.00 Oppgave 1 a) La U R n være enhetsdisken x
Graphs similar to strongly regular graphs
Joint work with Martin Ma aj 5th June 2014 Degree/diameter problem Denition The degree/diameter problem is the problem of nding the largest possible graph with given diameter d and given maximum degree
Eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni :00 13:00
NTNU Side av 3 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 eller 45 43 7 70 Eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006 09:00 3:00 Tillatte hjelpemidler:
Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 2010
Løsning, eksamen TFY45 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 1 1a) Det elektriske feltet er [ E = ωk Im ( e x a x + e y a y )e i(kz ωt)] [ = ωk Im ( e + a + + e a )e i(kz ωt)]. Et viktig poeng: E er reell,
The magnetic field of the evolved star W43A
The magnetic field of the evolved star W43A Student: Nikta Amiri Supervisor: Dr. Huib Jan van Langevelde Collaborator: Dr. Wouter Vlemmings Bologna Jan 2009 AGB Stars In the AGB phase the stars are characterized
Numerical Simulation of Shock Waves and Nonlinear PDE
Numerical Simulation of Shock Waves and Nonlinear PDE Kenneth H. Karlsen (CMA) Partial differential equations A partial differential equation (PDE for short) is an equation involving functions and their
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 7. juni
FYS2140 Kvantefysikk. Løsningsforslag for Oblig 7
FYS2140 Kvantefysikk Løsningsforslag for Oblig 7 Oppgave 2.23 Regn ut følgende intgral a) +1 3 (x 3 3x 2 + 2x 1)δ(x + 2) dx (1) Svar: For å løse dette integralet bruker vi Dirac deltafunksjonen (se seksjon
Hvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye)
INF247 Er du? Er du? - Annet Ph.D. Student Hvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) Hvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen,
FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf
Exam in FY3464 QUANTUM FIELD THEORY I Friday november 30th, :00 13:00
NTNU Page 1 of 4 Institutt for fysikk Contact during the exam: Professor Kåre Olaussen Telephone: 9 36 52 or 45 43 71 70 Exam in FY3464 QUANTUM FIELD THEORY I Friday november 30th, 2007 09:00 13:00 Allowed
Jeroen Stil Institute for Space Imaging Science. University of Calgary
Jeroen Stil Institute for Space Imaging Science University of Calgary Origin and evolution of cosmic magnetic fields is a key science goal for the SKA Rotation measures of polarized background sources
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk 1 Analytisk mekanikk Lagrangefunksjonen Formelsamling (bokmål) L = L(q, q, t), (1) er en funksjon av systemets generaliserte koordinater q = {q i ; i = 1,
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk
FYS 3120: Klassisk mekanikk og elektrodynamikk Formelsamling (bokmål) Våren 2014 1 Analytisk mekanikk Lagrangefunksjonen L = L(q, q, t), (1) er en funksjon av systemets generaliserte koordinater q = {q
Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon
Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon Januar 7. 2008 Matematikk 4 M/N Januar 7. 2008 1 / 5 Fourier rekker Joseph Fourier (1768-1830) Fransk matematikker og fysikker. Fourier var den første å bruke
KONTINUASONSEKSAMEN I FAG SIE2010 Informasjons- og signalteori
Side/Page 1 av/of 4 + 2 sider vedlegg + enclosure, 2 pages NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR TELETEKNIKK Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Tor A. Ramstad Tlf.:
Slope-Intercept Formula
LESSON 7 Slope Intercept Formula LESSON 7 Slope-Intercept Formula Here are two new words that describe lines slope and intercept. The slope is given by m (a mountain has slope and starts with m), and intercept
Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk
Formelsamling Side 7 av 15 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:
Data Assimilation. Second Edition
Data Assimilation Second Edition Geir Evensen Data Assimilation The Ensemble Kalman Filter Second Edition 123 Prof. Geir Evensen Statoil Research Centre PO box 7200 5020 Bergen Norway and Mohn-Sverdrup
EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245 KVANTEMEKANIKK I/ TFY425
EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 2008 kl
ENGLISH TEXT Page 1 of 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 3 55 Jon Andreas Støvneng, tel.
Generalization of age-structured models in theory and practice
Generalization of age-structured models in theory and practice Stein Ivar Steinshamn, stein.steinshamn@snf.no 25.10.11 www.snf.no Outline How age-structured models can be generalized. What this generalization
RF Power Capacitors Class kV Discs with Moisture Protection
RF Power Capacitors Class 0-20kV Discs with Moisture Protection T H E C E R A M I C E X P E R T S RF Power Capacitors Class 0-20kV Discs with Moisture Protection The CeramTec Group is a world leader in
Rotation-driven Magnetohydrodynamic Flow Using Local Ensemble Transform Kalman Filtering
Rotation-driven Magnetohydrodynamic Flow Using Local Ensemble Transform Kalman Filtering Kayo Ide 2 ide@umd.edu Sarah Burnett 1 burnetts@math.umd.edu Nathanaël Schaeffer 4 nathanael.schaeffer@ univ-grenoble-alpes.fr
Stationary Phase Monte Carlo Methods
Stationary Phase Monte Carlo Methods Daniel Doro Ferrante G. S. Guralnik, J. D. Doll and D. Sabo HET Physics Dept, Brown University, USA. danieldf@het.brown.edu www.het.brown.edu Introduction: Motivations
Exam in Quantum Mechanics (phys201), 2010, Allowed: Calculator, standard formula book and up to 5 pages of own handwritten notes.
Exam in Quantum Mechanics (phys01), 010, There are 3 problems, 1 3. Each problem has several sub problems. The number of points for each subproblem is marked. Allowed: Calculator, standard formula book
BEC in microgravity. W. Herr, Institute for Quantum Optics, Leibniz University of Hanover
BEC in microgravity W. Herr, Institute for Quantum Optics, Leibniz University of Hanover Outline Reminder: Why microgravity? Why BEC? BEC in microgravity: Pilot project, Quantus Results Ongoing activity
RF Power Capacitors Class1. 5kV Discs
RF Power Capacitors Class 5kV Discs T H E C E R A M C E X P E R T S RF Power Capacitors Class 5kV Discs The CeramTec Group is a world leader in the design and manufacture of complex electronic ceramic
9 Spherical box. Systems with cylindrical
TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 1 TILLEGG 9 9 Spherical box. Systems with cylindrical symmetry This Tillegg treats the spherical box potential (section 9.1).
Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ
Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä837 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ Š Œ ƒ Š Š Š ˆŒ ˆ ˆ. Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μë ± Ê É É ³.. Š² ³ É Ì ±μ μ, μë Ö μ Éμ É μ μ
Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
Løsningsforslag til eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006
NTNU Side av 3 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY836 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 6 Dette løsningsforslaget er på 3 sider, pluss et vedlegg
Øving 11. Oppgave 1. E t0 = 2. Her er
FY00/TFY460 Bølgefysi. Institutt for fysi, NTNU. Høsten 0. Veiledning: Mandag 5. og tirsdag 6. november. Innleveringsfrist: Mandag. november l :00. Øving Tema: Dipol-Ståling, reflesjon og transmisjon av
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Date of exam: Tuesday, June 8, 203 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon The problem set covers
EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 Kvantefysikk Tirsdag 13. desember 2005 kl
ENGLISH TEXT (and NORWEGIAN) Page 1 of 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato: 19.5.211 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): Håkon Grønning
Ringvorlesung Biophysik 2016
Ringvorlesung Biophysik 2016 Born-Oppenheimer Approximation & Beyond Irene Burghardt (burghardt@chemie.uni-frankfurt.de) http://www.theochem.uni-frankfurt.de/teaching/ 1 Starting point: the molecular Hamiltonian
Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk
Formelsamling Side 7 av 16 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Date of exam: Friday, May
Løsningsforslag, eksamen FY desember 2017
1 Løsninsforsla, eksamen FY1001 14. desember 017 1 3 områder av t = 4 s, a konstant i hvert omrde. 1 : a 1 = 0; v 0 = 5m/s = x 1 = v 0 t; v 1 = v 0 : a = v/ t = 1.5 m/s = x = x 1 + v 1 t + a t = v 0 t
Speed Racer Theme. Theme Music: Cartoon: Charles Schultz / Jef Mallett Peanuts / Frazz. September 9, 2011 Physics 131 Prof. E. F.
September 9, 2011 Physics 131 Prof. E. F. Redish Theme Music: Speed Racer Theme Cartoon: Charles Schultz / Jef Mallett Peanuts / Frazz 1 Reading questions Are the lines on the spatial graphs representing
Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018
Løsningsforslag for FYS140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 018 Oppgave 1: Materiens bølgeegenskaper a) De Broglie fikk Nobelprisen i 199 for sin hypotese. Beskriv med noen setninger hva den går ut på.
NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Eksamensag: Tirsag 3. juni 2008
NORSK OG ENGELSK TEKST Side 1 av 10
NORSK OG ENGELSK TEKST Side 1 av 10 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
Deepshikha Shukla (Daniel Phillips, Andreas Nogga)
Compton Scattering from He- Deepshikha Shukla (Daniel Phillips, ndreas Nogga) Outline Neutron polarizabilities very brief summary Chiral perturbation theory Our calculation and prediction Summary and future
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)
On multigrid methods for the CahnHilliard equation with obstacle potential
On multigrid methods for the CahnHilliard equation with obstacle potential ubomír Ba as Department of Mathematics Imperial College London Joint work with Robert Nürnberg http://www.ma.ic.ac.uk/~lubo lubo@imperial.ac.uk
Examination paper for TTM Access and Transport Networks
Page 1 of 5 Department of telematics Examination paper for TTM4105 - Access and Transport Networks Academic contact during examination: Associate professor Norvald Stol Phone: 97080077 Examination date:
a) En varebil kjører med konstant fart lik 22,0 m/s på en rett vei. Hvor stor er summen av disse kreftene? Tegn alle kreftene som virker på bilen.
Eksamen FY000 Brukerkurs i fysikk, år 05 Oppgave a) En varebil kjører med konstant fart lik,0 m/s på en rett vei. Hvor stor er summen av disse kreftene? Tegn alle kreftene som virker på bilen. b) Bilen
Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012
NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for fysikk Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 Faglærar: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Institutt for fysikk Telefon:
EXAM IN COURSE TFY4265 AND FY8906 BIOPHYSICAL MICROMETHODS 13. December 2010 Hours:
NORWEGIAN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY DEPARTMENT OF PHYSICS Contact during exam: Associate Professor Marit Sletmoen Department of Physics, Realfagbygget Phone.73593463 / 47280447 EXAM IN COURSE
Fiber Optics Engineering
Fiber Optics Engineering For further volumes: http://www.springer.com/series/6976 Optical Networks Series Editor: Biswanath Mukherjee University of California, Davis Davis, CA Mohammad Azadeh Fiber Optics