Obligatorisk oppgave MAT-INF1100. Lars Kristian Henriksen UiO

Transkript

1 Obligatorisk oppgave MAT-INF Lars Kristian Henriksen UiO 6. september 3

2 Oppgave a)for å skrive fb 6 i -tallssystem, bruker vi at: Tabell : 6 -tallssystemet a b 3 3 c 3 d 5 5 e f Vi tar følgende verdier ut av tabellen f 6 =, b 6 =, 6 = fb 6 = b) For å konvertere, til -tallsystemet, tar jeg i bruk tabellform og ganger hver brøk med for hvert ledd og ser om vi får er (ikke over ) eller er (over og vi trekker da fra før neste ledd): 3 96 Vi kan dermed ta fra høyre kolonne (fra toppen, siden vi opererer med et tall under ) at: =,

3 c)for å konvertere, til -tallsystemet, tar jeg igjen i bruk tabellform og ganger hver brøk med for hvert ledd og ser om vi får er (ikke over ) eller er (over og vi trekker da fra før neste ledd) Vi ser fra dette at: =,... Vi kan nå også se at vi har en repeterende sekvens, siden vi stadig vil komme tilbake til at =. Den repeterte sekvensen vil da være: d)her skal vi konvertere et tall,,, til -tallsystemet, og jeg begynner da med å konvertere til -tallsystemet: + = Igjen bruker vi tabellform og får at: Her ser vi av høyre kolonne, fra toppen, at, =,... I denne sekvensen vil vi få en repeterende sekvens etter bare tre ledd:...

4 e) I dette tilfellet, skal vi konvertere følgende tall til -tallsystemet: da 6 6 For å gjør dette litt enklere, konverterer vi først til -tallsystemet: = 33 6 Så tar vi: og 33//6 = 33%6 = Derfor må vi ha to tabeller, en for å finne i -tallsystemet, og en for å finne 6 i -tallsystemet: Tabell : Tabell.e Og: Tabell 3: Tabell.e Kombinasjonen av disse to tabellene, med hensyn på at tabell.e. representerer et tall over, og tabell.e. representerer et tall under. da 6 6 =, 3

5 Oppgave Vi har følgen: {x n } = cos(x n ) sin(x n ) for n Vi har også at: x = 3 og x = 3 Vi skal så vise at x n for alle heltall n Det første jeg gjør er å sette n =, siden vi vet fra oppgave teksten at n ( 3 {x } = cos(x ) sin(x ) = cos sin(3) =, 5 ) < x < x = sann ( 3 {x 3 } = cos(x 3 sin(x 3 ) = cos(, 5) sin =..6 ) < x 3 < x 3 = sann Vi antar nå at x n er sann. Er da x n+ sann? Vi setter inn n + for n. ) ) {x n+ } = cos (x ((n+) ) sin (x ((n+) ) = cos (x n ) sin (x n ) Siden vi antar at < x n <, så vil < cos(x n ) < siden cos til et tall mellom og, alltid produserer et tall mellom og. Det samme gjelder for sin(x n ), og to tall, begge med en verdi mellom og, multiplisert med hverandre, vil produsere et svar mellom og. Vi har dermed bevist det vi ønsket.

6 Oppgave 3 Python-programmet jeg skrev for å løse denne oppgaven er som følger n = while (+**n)!=.: n-= # Løkka kjører helt til vi produserer svaret. print (("Når vi har n=%d, vil python produsere tallet.") %(n)) Dette vil produsere svaret: -53 Ut i fra dette programmet, kan vi lese at ved n = 53 vil python produsere tallet,. Fra kompendiet fact. kan vi lese at Python, i et -bit system, er bit reservert eksponenter, og 53bit for signifikanter. Vi vet derfor at vi har har med et bit system å gjøre. 5

7 Oppgave De to formlene vi skal jobbe med: b b ac a b + b ac a Program skrevet i Python: # ABC Formelen from math import* a = float(input("skriv inn verdien for a-leddet:")) b = float(input("skriv inn verdien for b-leddet:")) c = float(input("skriv inn verdien for c-leddet:")) x = ((-b - (sqrt(b**) - (*a*c)))/(*a)) x = ((-b + (sqrt(b**) - (*a*c)))/(*a)) print (("x = %f x = %f") %(x, x)) Så til oppgaven: Hvilke problemer kan vi møte på om vi kjører dette programmet? Som vi vet fra oppgave vil vi ved veldig små tall få en avrundingsfeil, altså det rundes av til. I den klassiske ABC-formelen vil dette få katastrofale følger, siden vi da vil få i nevneren. Om vi får a = et veldig lite tall, vil det være mer fornuftig å bruke en formel der vi dropper a leddet. En formel kan derfor være: bx + c = bx = c x = c b 6

8 Oppgave 5 La meg her forklare hva følgende program gjør: from random import random antfeil = ; N = x = y = z =. feilass = feilass =. for i in range(n): x = random(); y = random(); z = random() ass = (x + y) + z ass = x + (y + z) if ass!= ass: antfeil += x = x; y = y; z = z feilass = ass feilass = ass print (. * antfeil/n) print x, y, z, feilass - feilass der en utskrift ga: e-6 I første ledd importerer vi pakken random. I andre ledd, fra antledd til feilass, setter vi verdier til variablene våre. for i in range (N): er en for-loop som defineres til å gå igjen og igjen opp til N =. Inne i loopen setter vi tilfeldige verdier til x, y, z for så å regne ut to versjoner av uttrykket x+y +z. ass settes til (x+y)+z og ass til x+(y+z). Neste ledd i prossessen er en if-statement som sier at hvis ass ikke er lik ass skal det legges til + i variablen antfeil, for så å endre variablene x, y, z til verdiene x, y, z har i uttrykket som ikke er likt. På godt norsk betyr dette at programmet er laget for å se om datamaskinen klarer å indentifisere de assoiative lovene i matematikken som sier at x+(y +z) = (x+z)+y. Vi kan fort se at dette ikke er noe datamaskinen klarer å indentifisere, så vi legger da inn en tellemekanisme i programmet for å indentifisere hvor ofte denne feilen skjer når vi kjører programmet med tilfeldig valgte tall, ganger. Dette er skuffen antfeil. Til slutt i programmet har vi to linjer med print, der den første linjen identifiserer feilprosenten. Linje skriver ut de verdiene x, y, z har, og differansen mellom ass og ass, altså hvor stor feilen er, ved siste ass ass.