Obligatorisk oppgave MAT-INF Lars Kristian Henriksen UiO

Transkript

1 Obligatorisk oppgave MAT-INF 1100 Lars Kristian Henriksen UiO November 6, 013

2

3 Oppgave 1 a) Den generelle tilnærmingen med sekantmetoden: I vårt tilfelle, der a(t) = v (t) får vi f (t) f(t + ) f(t) v (t) v(t + ) v(t) merk at denne tilnærmingen ikke vil fungere i endepunkter der = 0 b) Den generelle skrivemåten for å tilnærme med trapesmetoden er b a f(x)dx (b a) f(a) + f(b) I vårt problem ar vi at a = t 0 = 0 og s(t) er objektets avstand fra nullpunktet. Vi ar da at objektets avstand kan tilnærmes slik: s(t) = t v(s)ds (t t 0 ) vt 0 + v t t 0 (v t 1 + v t0 ) + (v t + v t1 ) ( ) vtn + v tn 1 ( ) n 1 v t0 + v t + v i s(t) = ( ) n 1 v t0 + v t v(s)dt + v i t 0 t

4 Oppgave a) For å løse denne differensialligningen analytisk, observerer vi først at denne er separabel og kan skrives om på følgende måte: som er på formen q(y) y = P (x) x x = 1 x (t) x(t) + 1 = 1 q(y) = 1 x + 1 Vi integrerer så på begge sider og får at: x (t) x(t) + 1 dt = Høyre side: 1dt = t + C P (x) = 1 1dt Venstre side, substituerer u = x(t) og du = x (t)dx: x (t) x(t) + 1 dt = 1 u du = arctan u = arctan x(t) + 1 Kombinerer vi øyre side og venstre side, for så å gange inn tangens på begge sider, får vi: arctan x(t) = t + C x(t) = tan(t + C) b) For å løse ligningen numerisk, finner vi først C ved: Ligningene jeg bruker er som følger: x(0) = tan(0 + C) = 1 tan C = 1 C = arctan 1 = π 4 x 1 = x 0 + f(t 0, x 0 ) (1) x 1/ = x 0 + f(a, x 0) () x 1 = x 0 + f ( a + ), x 1/ (3) 3

5 For å finne de verdier eulers metode gir opp mot eksakte verdier, lager jeg følgende program: from mat import* t = 0.0 N = 0.5 C = (pi/4) i = 0.1 xp = 1 def y(t): return (tan(t+c)) wile (t<=n): x = ((xp)+(0.1*((xp**)+1))) #formel (1) t = t+i print ("Ved %.1f gir Euler foelgende funksjonsverdi:%.5f, mens den eksakte verdien er:%.5f" %(t,x,y(t))) xp = x; c) For å finne de verdier Eulers alveringsmetode gir opp mot eksakte verdier, kan vi programmere slik: from mat import* t = 0.0 N = 0.5 C = (pi/4) i = 0.1 xp = 1 = 0.1 def y(t): return (tan(t+c)) wile (t<=n): x = (xp+((/)*((xp**)+1))) #formel () x = (xp+(*((x**)+1))) #formel (3) t = t+i print ("Ved %.1f gir Euler midtpunkt foelgende funksjonsverdi:%1.5f, mens den eksakte verdien er:%.5f" %(t,x,y(t))) xp = x; 4

6 Dette vil produsere følgende svar, figur 1 som vi så plotter mot verandre som vist i figur. Euler Euler alvering Faktiske verdier Alt metode x0 0,0 1, , , ,00000 x1 0,1 1,0000 1,100 1,305 1,361 x 0, 1, ,5005 1, ,51049 x3 0,3 1,7551 1,879 1, ,90154 x4 0,4,15964,466,46496,48191 x5 0,5,7605 3,8781 3,408 3,46650 x6 0,6 3, ,8919 5, ,63947 Figure 1: Resultater produsert av de to programmene d) Program for alternativ metode: from mat import * t = 0.0 N = 0.5 C = (pi/4) i = 0.1 xp = 1 = 0.1 def y(t): return (tan(t+c)) wile (t<=n): x = ((-(*xp)-(*(sqrt(1-**-*xp*))))/) t=t+i print ("Ved %.1f gir alternativ metode foelgende funksjonsverd: %1.5f, mens den eksakte verdien er:%.5f" %(t,x,y(t))) xp = x; De begrensninger vi ar på ser vi er at ikke kan være null. Den kan eller ikke være stor da dette vil produsere en negativ rot i uttrykket. For å finne vor stor kan være gjør vi følgende: 1 x 0 0 Ser vi på dette som et annengradsuttrykk + x og setter inn i acb-formelen, får vi: = x 0 ± 4x = x 0 x 0 ( + x 0 + x 0 + 1) ( + x 0 x 0 + 1) 0 5

7 Oppgave 3 a) Vi tar utgangspunkt i trapesmetoden som sier Vi deler opp i mindre biter: b a f(x)dx f(a) + f(b) (b a) b a f(x) = n xi x i 1 n i 1 f(x i 1 + f(x i ) (f(x 1) + f(x 0 )) + (f(x ) + f(x 1 )) (f(x n) + f(x n 1 )) ( ) n 1 f(a) + f(b) + f(x i ) Setter vi inn partisjonen {a + i} n i=0 og får: ( ) b f(a) + f(b) n 1 f(x)dx + f(a + i) a b) Vi observerer at både f(a) og f(b) brukes i både I n og I n 1 samtidig som vi for ver nye interpolasjon kan bruke de/det foregående summeledd. I neste omgang trenger vi bare finne de neste odde summeledd. c) Vi ser på formelen: I n = I n 1 n 1 + f(a + (i 1)) Denne formelen bruker den foregående I n som vi ser av I n 1 leddet i formelen. I tillegg trenger vi kun finne de neste n 1 odde ledd som vi kan se vi finner fra siste del av formelen. 6

8 d) import time from mat import * # Funksjonen som skal integreres def f(x): return cos(x) # Integrasjonsfunksjon som bruker trapesmetoden ved aa dele [a,b] i 1,, 4, 8,... # Det ele stopper naar vi kommer til ^M oppdelinger eller estimert relativ feil er mindre # Relativ feil estimeres slik som beskrevet i kompendiet def iterativ_trapes(f,a,b,eps,m): n = 1; = (b-a)/n; I = 0.5**(f(a)+f(b)) abserr = abs(i) j = 1 wile j<m and abserr>=eps*abs(i): j = j + 1 Ip = I n = *n; = (b-a)/n sum = 0.0 for i in range(1,n): x = a + i* sum = sum + f(x) I = 0.5**(f(a)+f(b)+*sum) Her setter vi inn ny formel for I i form av I=0.5*Ip++sum abserr = abs(i-ip) return(i, abserr, j) # Et kort ovedprogram som setter i gang det ele a = 0.0; b = 1.0 eps = 1.0e-1 [I,err,K] = iterativ_trapes(f,a,b,eps,40) # Vi skriver ut resultatene og tidsforbruket. print "Integral: %1.14f, estimert relativ feil: %e, iterasjoner: %i" %(I, err, K) print "\neksakt verdi=%1.14f, eksakt feil=%e" %(sin(b),abs(sin(b)-i)/abs(sin(b))) print "Det ele tok %1.f sekunder" %time.clock() 7

9 8

10 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 Figure : Plott av verdier som produseres ved forskjellige metoder. Blå=Euler, Grønn=Euler Midtpunkt, Gul=Faktiske verdier, Rød=alternativ metode 9