Eksempel 1: Bestemmer om tallet som skrives inn er et partall eller et oddetall side 12

Transkript

1 1

2 INNHOLD PROGRAMMERING I MATEMATIKK side 3 MINIKURS I PROGRAMMERING side 4 TRINKET side 5 LØKKER side 6 ARRAYER side 8 GRAFTEGNING MED PYTHON side 10 Eksempel 1: Bestemmer om tallet som skrives inn er et partall eller et oddetall side 12 Eksempel 2: Bestemmer om tallet har 2 eller 3 som faktor side 13 Eksempel 3: Formelregning: Fra celsiusgrader til fahrenheitgrader side 14 Eksempel 4: Formelregning: Prosent side 15 Eksempel 5: Formelregning: Prosent med en enkel if-setning side 16 Eksempel 6: Tegning av graf fra x- og y-verdier side 17 Eksempel 7: Tegning av grafen til et funksjonsuttrykk side 18 Eksempel 8: Beregning av lengden på hypotenusen ved hjelp av pytagorassetningen side 19 Eksempel 9a: Enkel løkke side 20 Eksempel 9b: Løkke med input side 21 Eksempel 9c: Løkke med input og summering side 22 Eksempel 10: Oppgave med array side 23 Eksempel 11: Simulering av terningkast side 24 Forsideillustrasjon: Lars Fiske Vi tar forbehold om trykkfeil Aschehoug Undervisning. Design og sats: Blomqvist Design. Trykk: RK Grafisk. Papir: Edixion Offset 120 g. 2

3 PROGRAMMERING PROGRAMMERING I MATEMATIKK gir muligheter! I dette heftet vil du finne eksempler på hvordan programmering kan brukes i matematikkfaget på trinn. Her finner du også en kort gjennomgang av noen viktige kommandoer. Eksemplene er laget i programmeringsspråket Python. Innholdet er tilpasset deler av dagens læreplan, og kan derfor brukes allerede i dag. Hvordan programmering skal implementeres i matematikk på ungdomsskolen, blir først klart etter at de endelige læreplanene til fagfornyelsen foreligger. Vi siterer her kjerneelementgruppen for matematikk: «For at opplæringen i programmering og algoritmisk tenking skal lykkes og bidra til læring, forståelse og mestring, må temaet integreres i hele skoleløpet og flettes inn i matematikkfaget på matematikkfagets premisser.» PROGRAMMERING PÅ LOKUS På Lokus.no/programmering presenterer vi en løsning som gjør at du kan programmere rett inn i en nettleser. Det betyr at du ikke trenger å installere programvare på maskinen din for å kunne programmere. På dette nettstedet vil du også finne mer informasjon om programmering i matematikk og naturfag. Med eksemplene i dette heftet håper vi å vise deg som ikke har så mye erfaring med å programmere hvilke muligheter tekstbasert programmering kan gi. Vi håper også at du vil få inspirasjon til å lage dine egne oppgaver. Kodene som er brukt i eksemplene etterfølges av en kort forklaring. Forklaringer starter med #, som betyr at den er ment for leseren og ignoreres av Python. Lykke til med programmeringen! 3

4 MINIKURS MINIKURS I PROGRAMMERING Målet med dette heftet er å vise hvordan programmering kan brukes i matematikkfaget. Heftet er ikke ment som en fullstendig grunnopplæring i programmering, men vi starter likevel med en gjennomgang av noen av de viktigste kommandoene. HVOR SKRIVER VI KODEN? For å slippe å installere programvare kan vi bruke den nettbaserte kodeeditoren Trinket (se neste side). Du finner kodeeditoren på nettstedet lokus.no/programmering. UTSKRIFT For å få skrevet ut tekst eller tall i Python kan vi bruke print()-funksjonen: print("hei, verden!") Denne koden vil føre til at teksten «Hei, verden!» vises på skjermen. 4

5 KODEEDITOR Trinket Trinket er et nettbasert verktøy som gjør det lett å komme i gang med programmering. Den lar oss skrive og kjøre Python-kode direkte i nettleseren. Du finner kodeeditoren til Trinket på lokus.no/programmering. Når du velger tekstbasert kodeeditor, kommer du til nettsiden der du skal programmere: Her skriver vi kode Knappen «Run» lar oss kjøre koden Resultatet vil dukke opp her Fra kodeeditoren på lokus.no/programmering 5

6 LØKKER OG FEILMELDINGER Løkker Ved å bruke løkker kan vi få datamaskinen til å gjenta en prosess så mange ganger vi ønsker. For å gjenta en prosess bruker vi noe som kalles en løkke. Det finnes flere varianter av løkker, men vi skal bare se på de som kalles for-løkker. En typisk for-løkke ser slik ut: Vi kan også angi et start-tall med range()-funksjonen. Da starter vi å telle med tallet vi angir (i stedet for 0), og teller opp til, men ikke med, det andre tallet vi angir: for i in range(5): print(i) for i in range(2, 6): print(i) Legg merke til at vi har et innrykk foran print(i). Vi gjør det for å vise hvilke linjer i programmet som hører til løkken. Lengden på innrykket har ingenting å si, men her har vi brukt to mellomrom. For å forklare denne løkken må vi først se på hva range(5) betyr. Funksjonen range() gir oss en liste med heltall. Hvis vi bare skriver ett tall i parentesen, så starter vi på 0, og teller opp til, men ikke med, tallet som vi angir. Det betyr at range(5) gir oss tallene 0, 1, 2, 3 og 4. Resultatet ser slik ut: Det er vanlig å bruke bokstavene i, j og k som variabelnavn i løkker, men vi kunne like gjerne ha skrevet koden vår slik (og fått samme resultat): I løkken vår vil variabelen i ta verdiene 0, 1, 2, 3 og 4, én etter én, slik at vi får følgende utskrift: for langtvariabelnavn in range(5): print(langtvariabelnavn) Se eksempel 9a c og 11. 6

7 FEILMELDINGER Når du programmerer, vil du møte mange ulike feilmeldinger. Du bør lese dem grundig, slik at du etter hvert kan kjenne dem igjen. De fleste feilmeldingene skyldes enkle skrivefeil eller manglende tegn. Hvis vi for eksempel skriver print("hallo), vil vi få en slik feilmelding: File "/tmp/sessions/bcd8e5504c7a35ff/main.py", line 1 print("hallo) ^ SyntaxError: EOL while scanning string literal Her får vi vite hvilken linje og hvilken kode som forårsaker feilen. Denne feilen skyldes at Python ikke fant slutten på teksten, fordi vi manglet et avsluttende anførselstegn. Vi får en annen feilmelding hvis vi i stedet skriver print"hallo"): File "/tmp/sessions/d60cf021c327391f/main.py", line 1 print"hallo") ^ SyntaxError: invalid syntax Her er det den første parentesen som mangler. Feilmeldingen forteller oss at det dreier seg om en skrivefeil (en syntaksfeil). 7

8 ARRAY Arrayer 4 Vi kan tenke på en array som en samling med verdier, der verdienes rekkefølge er bestemt. Når vi ønsker å lagre mange verdier, kan vi bruke en array. Vi kan tenke på en array som en samling med verdier, der verdienes rekkefølge er bestemt. For å bruke arrayer i Python må vi importere kode som er skrevet av andre, fordi Python i seg selv ikke har støtte for arrayer. Koden vi ønsker å bruke, finnes i en pakke / et bibliotek som heter pylab. Den importerer vi slik (vi skriver dette helt øverst i koden): from pylab import * Denne linjen betyr at vi importerer alt (*) fra pakken pylab. Vi skal her lage en array på to forskjellige måter. Den første måten lar oss lage en array som inneholder et bestemt antall nuller, og den lager vi med funk sjonen zeros(), slik: minarray = zeros(10) Her har vi laget en array med navnet «minarray» som inneholder 10 nuller. Vi kan skrive ut innholdet av denne for å se hva den inneholder: print(minarray) Resultatet vil da se slik ut: [ ] Her har vi en array med 10 verdier. De kan vi forandre på senere. Punktumene illustrerer at vi har med desimaltall å gjøre, og «0.» er en forkortelse for «0.0». Den andre varianten vi skal se på, lar oss lage en array som inneholder en sekvens av tall. Vi angir sekvensens første tall, sekvensens siste tall og antall tall vi ønsker. Til det bruker vi funksjonen linspace(), slik: enannenarray = linspace(1, 5, 9) Denne koden gir oss følgende array: [ ] Vi har ni jevnt fordelte tall som starter på 1 og slutter på 5. Alle verdiene i en array har sin faste posisjon, og hver posisjon er assosiert med et tall (en indeks). Den første verdien har indeks 0, den andre har indeks 1, osv. Hvis vi ønsker å skrive ut tallet 3 fra arrayen ovenfor, så kan vi skrive: print(enannenarray[4]) 8

9 Posisjoner (indekser) Denne koden gir oss følgende utskrift: 3.0 Verdier Vi bruker altså hakeparenteser for å hente spesifikke verdier. Her har vi hentet ut verdien med indeks 4, altså det femte tallet i arrayen (fordi vi starter å telle på 0). På samme måte kan vi gjøre om en verdi: enannenarray[2] = 9 Nå vil arrayen se slik ut (verdien med indeks 2 er forandret): [ ] Se eksempel 10 og 11. 9

10 GRAFTEGNING Graftegning med Python La oss for eksempel si at vi skal tegne grafen til funksjonen y = x2. Hvis vi skal tegne denne grafen på papir, så må vi først bestemme oss for hvilke x-verdier vi vil bruke, og så må vi beregne de tilhørende y-verdiene. Hvis vi velger x-verdiene 0, 2, 4, 6, 8 og 10, vil vi få en slik verditabell: x y Hvis vi markerer disse seks punktene i en graf, og trekker rette linjer mellom dem, får vi noe som likner på dette: (8, 64) y X Alle som har sett grafen til y = x2, vet at den er mye glattere enn grafen vi har vist ovenfor. Det kan vi også få til, men da må vi bruke flere punkter. La oss øke antallet x-verdier til 100. Vi lager en array med 100 x-verdier slik: x = linspace(0, 10, 100) En fordel med å bruke arrayer er at vi kan bruke dem direkte i beregninger. Så når vi nå vil beregne y-verdier, kan vi gjøre det slik (i Python betyr ** det samme som «opphøyd i»): y = x**2 Her blir y en ny array, og verdiene blir alle verdiene i x opphøyd i andre. 10

11 Vi har nå to arrayer, hver med 100 verdier. Arrayen x tilsvarer den første raden i verditabellen, og arrayen y tilsvarer den andre raden. Hvis vi tegner disse 100 punktene og trekker rette linjer mellom dem, så får vi et resultat som minner mer om det vi forventer: VARIABLER I PROGRAMMERING y X Vi har allerede nevnt at vi må importere pylab for å lage arrayer. I den samme pakken finner vi det vi trenger for å tegne grafer. Den fullstendige koden for å lage grafen ovenfor ser slik ut (prøv gjerne å variere antall punkter): from pylab import * # importerer pylab Fra matematikken er vi vant til å bruke x og y som variabler. Vi definerer da gjerne y som en funksjon som avhenger av x. Når vi programmerer, er det ikke alltid at vi løser det slik. Alt vi trenger for å tegne en graf er to serier med like mange verdier (slik som våre arrayer i eksemplet). Deretter må vi bestemme hva som skal plasseres langs førsteaksen og hva som skal plasseres langs andreaksen. x = linspace(0, 10, 40) y = x**2 plot(x, y) # tegner opp grafen xlabel("x") # skriver på en tittel langs x-aksen ylabel("y") # skriver på en tittel langs y-aksen grid() # tegner rutenett show() # gjør grafen synlig I eksemplet kunne vi fint ha skrevet plot(y, x) i stedet for plot(x, y), og vi ville likevel ha fått en graf. Prøv selv! Se eksempel 6 og 7. 11

12 EKSEMPEL 1 Bestemmer om tallet som skrives inn er et partall eller et oddetall print("dette programmet bestemmer om tallet du skriver inn er et partall eller oddetall.") # Programmet skriver det som står etter print. # Husk også parentes og anførselstegn. a = int(input("skriv inn et tall etterfulgt av Enter: ")) # Vi ønsker at brukeren skal skrive inn et tall som vi har kalt a. # Til dette bruker vi kommandoen input. # int vil gi oss et heltall. # Her starter vi en if-løkke: if a%2 == 0: # Operasjonen % heter modulus som gir oss resten når vi deler a på 2. # == betyr er lik # Dersom resten er lik null, har vi et partall. # Det vi ønsker at programmet skal gjøre, er skrevet med innrykk. print("dette er et partall.") # Hvis det som står etter if ikke slår til. else: print("dette er et oddetall.") Resultatet kan se slik ut: Dette programmet bestemmer om tallet du skriver inn er et partall eller oddetall. Skriv inn et tall etterfulgt av Enter: 35 Dette er et oddetall. 12

13 EKSEMPEL 2 Bestemmer om tallet har 2 eller 3 som faktor print("dette programmet bestemmer om tallet du skriver inn har 2 eller 3 som faktor.") # Programmet skriver det som står etter print. # Husk også parentes og anførselstegn. a = int(input("skriv inn et tall etterfulgt av Enter: ")) # Kommandoen int vil gi oss et heltall. # Kommandoen input gjør at vi kan skrive inn et tall. if a%2 == 0: # Her har vi startet en if-løkke. # Operasjonen % gir oss resten når vi deler tallet a med 2. # Dersom resten er lik 0, utføres det som er rykket inn nedenfor. # == betyr er lik print("tallet har 2 som faktor.") else: print("tallet har ikke 2 som faktor.") # Skrives dersom resten ikke er lik 0. if a%3 == 0: # Tilsvarende gir a%3 oss resten når vi deler tallet a med 3. print("tallet har 3 som faktor.") # Skrives dersom resten er lik 0. else: print("tallet har ikke 3 som faktor.") # Skrives dersom resten ikke er lik 0. Resultatet kan se slik ut: Dette programmet bestemmer og tallet du skriver inn har 2 eller 3 som faktor. Skriv inn et tall etterfulgt av Enter: 15 Tallet har ikke 2 som faktor. Tallet har 3 som faktor. 13

14 EKSEMPEL 3 Formelregning: Fra celsiusgrader til fahrenheitgrader print("dette programmet gjør om celsiusgrader til fahrenheitgrader.") # print betyr at programmet skriver ut det som står i etterfølgende parentes, og # det som skal skrives ut må stå i anførselstegn. graderc = float(input("hva er temperaturen i celsiusgrader? ")) # Ved å skrive float gir du brukeren mulighet til å skrive inn # enten et desimaltall eller heltall. # Her er omgjøringsformelen fra celsiusgrader til fahrenheitgrader graderf = graderc * (9/5) + 32 # Resultatet skrives ut print("temperaturen i fahrenheitgrader er", graderf) Dersom man skriver inn 20 celsiusgrader, ser resultatet slik ut: Dette programmet gjør om celsiusgrader til fahrenheitgrader. Hva er temperaturen i celsiusgrader? 20 Temperaturen i fahrenheitgrader er

15 EKSEMPEL 4 Formelregning: Prosent print("dette programmet beregner hvor mye en verdi endres i prosent.") print("skriv inn startverdien etterfulgt av Enter, deretter sluttverdien etterfulgt av Enter: ") startverdi = float(input("startverdi = ")) sluttverdi = float(input("sluttverdi = ")) # Kommandoen input gir brukeren mulighet til å skrive inn et tall. # Ved å skrive float kan tallet være et desimaltall eller et heltall. # Her er formelen endring = (sluttverdi - startverdi)/startverdi*100 # Resultatet skrives ut print("prosentvis endring er: ", endring) Resultatet kan se slik ut: Dette programmet beregner hvor mye en verdi endres i prosent. Skriv inn startverdien etterfulgt av Enter, deretter sluttverdien etterfulgt av Enter: startverdi = 200 sluttverdi = 230 Prosentvis endring er:

16 EKSEMPEL 5 Formelregning: Prosent med en enkel if-setning # Dersom vi ikke ønsker et negativt svar, # kan vi utvide programmet med en if-setning som tar hensyn til # om veksten er positiv eller negativ. print("dette programmet beregner hvor mye en verdi endres i prosent.") print("skriv inn startverdien etterfulgt av Enter, deretter sluttverdien etterfulgt av Enter:") startverdi = float(input("startverdi = ")) sluttverdi = float(input("sluttverdi = ")) endring = (sluttverdi - startverdi)/startverdi*100 # Hvis endringen er positiv, har vi en økning. if endring > 0: # Det som skal gjøres, må rykkes inn. print("sluttverdien har økt med", endring, "prosent i forhold til startverdien.") # Hvis endringen er negativ, har vi en nedgang. else: print("sluttverdien har sunket med", -endring, "prosent i forhold til startverdien.") Resultatet kan se slik ut: Dette programmet beregner hvor mye en verdi endres i prosent. Skriv inn startverdien etterfulgt av Enter, deretter sluttverdien etterfulgt av Enter: startverdi = 200 sluttverdi = 150 Sluttverdien har sunket med 25.0 prosent i forhold til startverdien. 16

17 EKSEMPEL 6 Tegning av graf fra x- og y-verdier # Vi importerer biblioteket pylab for å kunne bruke funksjonen plot. from pylab import * # Dette er x-verdiene for tid. tid = [0, 20, 40, 60, 80, 100] # Dette er y-verdiene for en populasjonsstørrelse. populasjon = [200, 300, 500, 900, 1500, 2400] # Lager grafen plot(tid, populasjon) # Navn på x-aksen xlabel("år") # Navn på y-aksen ylabel("populasjon") # Viser grafen show() Resultatet ser slik ut: Populasjon År 17

18 EKSEMPEL 7 Tegning av grafen til et funksjonsuttrykk # Vi importerer biblioteket pylab for å kunne bruke funksjonen linspace. from pylab import * x = linspace(-3, 3) # linspace(-3, 3) gir x-verdiene, det første tallet er startverdien (-3) og # det andre tallet er sluttverdien (3). # Man kan også legge inn et tredje tall, det vil angi antall punkter på grafen. # (Prøv å legge inn 3 som det siste tallet og se hva slags kurve du får.) # Vi skriver inn funksjonsuttrykket. # Her har vi valgt en andregradsfunksjon, prøv med en hvilken som helst annen funksjon! # ** betyr «opphøyd i» y = x**2 # Tegner grafen plot(x, y) # Navn på x-aksen xlabel("x") # Navn på y-aksen ylabel("y") # Vi kan gi grafen vår et navn. title("eksempel på en andregradsfunksjon") # Viser grafen show() Eksempel på en andregradsfunksjon y X 18

19 EKSEMPEL 8 Beregning av lengden på hypotenusen ved hjelp av pytagorassetningen # Vi importerer biblioteket pylab for å kunne bruke funksjonen sqrt from pylab import * print("dette programmet beregner lengden av hypotenusen.") print("skriv lengden på katet1 i cm etterfulgt av Enter, deretter lengden på katet2 i cm etterfulgt av Enter.") katet1 = float(input("hva er lengden av katet1? ")) # Kommandoen input gir brukeren mulighet til å skrive inn et tall. # Ved å skrive float kan tallet være et desimaltall eller et heltall. katet2 = float(input("hva er lengden av katet2? ")) hypotenus = sqrt(katet1**2 + katet2**2) # Regner ut lengden av hypotenusen. print("lengden på hypotenusen er: ",round(hypotenus, 2), "cm.") # Skriver ut svaret og runder det av til to desimaler Resultatet kan se slik ut: Dette programmet beregner lengden av hypotenusen Skriv lengden på katet1 i cm etterfulgt av Enter, deretter lengden på katet2 i cm etterfulgt av Enter. Hva er lengden av katet1? 5.2 Hva er lengden av katet2? 4.8 Lengden på hypotenusen er: 7.08 cm. 19

20 EKSEMPEL 9a Løkker a) Enkel løkke: print("dette programmet printer ut de 10 første kvadrattallene.") for i in range(1, 10+1): # Betyr "kjør denne løkken for alle tall fra 1 til 10". # Den siste verdien i løkken inkluderes ikke, derfor # Tellevariabelen i er en heltallsvariabel som # øker med 1 for hver runde i løkken. k = i**2 print(k) # Her er det som skal kjøres i løkken for hver verdi av i. # Koden som skal kjøres er markert ved at den er rykket inn # ** betyr "opphøyd i" Resultatet ser slik ut: Dette programmet printer ut de 10 første kvadrattallene

21 EKSEMPEL 9b b) Løkke med input: print("dette programmet printer ut de første kvadrattallene.") # int betyr at man må skrive inn et heltall. n = int(input("hvor mange kvadrattall vil du printe ut? ")) # betyr kjør denne løkken for alle tall fra 1 til n. for i in range(1, n+1): k = i**2 print(k) Resultatet kan se slik ut: Dette programmet printer ut de første kvadrattallene. Hvor mange kvadrattall vil du printe ut?

22 EKSEMPEL 9c c) Løkke med input og summering: # Vi kan også summere kvadrattallene. print("dette programmet printer ut de første kvadrattallene og summerer dem.") n = int(input("hvor mange kvadrattall vil du printe ut og summere? ")) sum = 0 for i in range(1, n+1): k = i**2 print(k) sum = sum + i**2 print("summen av de", n, "første kvadrattallene er", sum) # Denne siste print-kommandoen er ikke med i innrykket fordi vi kun ønsker sluttsummen. # Hva skjer hvis vi rykker inn den også? Resultatet kan se slik ut: Dette programmet printer ut de første kvadrattallene og summerer dem. Hvor mange kvadrattall vil du printe ut og summere? Summen av de 15 første kvadrattallene er

23 EKSEMPEL 10 Oppgave med array # Vi importerer biblioteket pylab for å kunne bruke array. # Array er en samling med tall med fast posisjon. from pylab import * # Dette er en array med temperaturer. temperatur = array([6,-4,7,-2,8,-3,9]) # Bruker kommandoen max som finner den høyeste temperaturen. print("den største temperaturen var", max(temperatur), "celsiusgrader") # Bruker kommandoen min, som finner den laveste temperaturen. print("den laveste temperaturen var", min(temperatur), "celsiusgrader") # Kommandoen len gir lengden av listen, dvs. her antall temperaturer. print ("Antall målinger vi gjorde var", len(temperatur)) # 0 er første tall i listen. print("temperaturen de 3 første dagene var", temperatur[0:3]) # Begynner på tall nr. 3 og slutter på tall nr. 5. print("temperaturen de 3 midterste dagene var", temperatur[2:5]) Resultatet ser slik ut: Den største temperaturen var 9 celsiusgrader Den laveste temperaturen var -4 celsiusgrader Antall målinger vi gjorde var 7 Temperaturen de 3 første dagene var [ 6-4 7] Temperaturen de 3 midterste dagene var [ 7-2 8] 23

24 EKSEMPEL 11 Simulering av terningkast # Vi importerer biblioteket pylab for å kunne bruke randint. # randint er en kommando som vil velge et tilfeldig tall. from pylab import * # Bruker int for heltall print("dette programmet simulerer terningkast og viser hvor mange seksere du får.") antallkast = int(input("hvor mange ganger vil du kaste terningen? ")) # Her setter vi inn en array med plass til antall kast. # I utgangspunktet er alle verdiene i arrayen lik 0. terning = zeros(antallkast) antallseksere = 0 # Her starter vi løkken som skal kjøres for alle terningkastene. for i in range(0, antallkast): terning[i] = randint(1, 7) # Bytter ut nullene med posisjon i # i arrayen med et tilfeldig tall fra og med 1 til og med 6. # Oppdaterer antall seksere if terning[i] == 6: # == betyr er lik antallseksere += 1 # += betyr antall seksere = antall seksere + 1 print("her er resultatet av terningkastene:", terning) if antallseksere == 1: print("du fikk én sekser.") else: print("du fikk", antallseksere, "seksere.") 24

25 Resultatet kan se slik ut: Dette programmet simulerer terningkast og viser hvor mange seksere du får. Hvor mange ganger vil du kaste terningen? 20 Her er resultatet av terningkastene: [ ] Du fikk 5 seksere. 25

26 26 NOTATER

27 27

28 KONTAKT OSS Vi setter pris på alle til bakemeldinger om heftet, både om innholdet og erfaringer ved utprøving: Kurskveld ONSDAG 27. MARS Programmering 2019 i matematikk og naturfag for trinn Aschehoug Undervisning har gleden av å invitere til kurskveld på Thon hotell, Universitetsgata i Oslo. Vi byr på faglig påfyll, kollegialt samvær og selvfølgelig god mat og kake. Arrangementet er gratis. KARI KLEIVDAL Forlagsredaktør REALFAG tlf kari.kleivdal@aschehoug.no Invitasjon med detaljert program kommer, men hold av datoen allerede nå! Bli med Aschehoug Undervisning inn i fagfornyelsen! LIV BERIT NORMANN Kommunikasjonskonsulent REALFAG tlf liv.berit.normann@aschehoug.no KUNDESERVICE Telefon: marked.u@aschehoug.no 28