Karl Erik Sandvoll m.fl. Sigma1 Helse- og sosialfag Gyldendal undervisning
# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2006 1. utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det yrkesfaglige utdanningsprogrammet service og samferdsel. Printed in Norway by PDC Tangen, 2006 ISBN 978-82-05-34935-3 ISBN 82-05-34935-5 Redaktør: Ellen Semb Bilderedaktør: Sissel Falck Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne Omslagsdesign: Hild Mowinkel Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images Illustratør: Anja Ruud Bilder, illustrasjoner: Side 8: Peter Till/Getty Images, s.14: Scanpix, s.15: Trygve Indrelid/Scanpix, s.18: ø. Ole Moksnes AS, n. George Widman/Scanpix, s.19: Jason Reed/Scanpix, s.20: Terje Mortensen/Scanpix, s.22: Ørn E. Borgen/Scanpix, s. 25: GBA, s.27: Dylan Martinez/Scanpix, s.31: GBA, s.33: Simon Kwong/Scanpix, s.40: Sverre A. Børretzen/ Scanpix, s.44: GBA, s.49: Berit Keilen/Scanpix, s.53: Scanpix, s. 55: Stefano Lemma, s.58: ø. Paul Sigve Amundsen/Samfoto, n. Alexander Nordahl/Scanpix, s. 60: Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s.64: Hugh Sitton/Getty Images, s.77: Halvor F. Johansen, s.80: Ole Moksnes AS, s.82: Berit Roald/Scanpix, s. 83: Anne Langdalen, s. 84: t.h.ulf Carlsson, s.86: Daly & Newton/Getty Images, s.92 n, s.93 ø.t.v. og s.101 n.t.v.: Ulf Carlsson, s.102 t.h. og s.104 ø.t.h.: John Arne Eidsmo, s.110: Jason Reed/Scanpix, s.120: # Trondheim kommune, Kart- og oppmålingskontoret, s.121: Ole Moksnes AS, s.122: ø. GBA, n. Annemor Larsen/Scanpix, s.123: GBA, s.123: Ole Moksnes AS, s.132 og 145 t.h.: M.C.Escher s «Symmetry Drawing E18» #2006 The M.C.Escher Company-Holland. All rights reserved.www.mcescher.com, s.143: #Casterman/Distr.by PIB Copenhagen 2006, s.144: GBA, s.148 ø.t.v.: Unni Brakestad, s.150: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes, 1912. New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje på lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA, Firenze, s.153: Knut Falch/Scanpix, s. 154, 155, 156: Ole Moksnes AS, s.156 n: E.H.Shepard. Copyright under the Berne Convention. # by Reed International Books Ltd, s.157: GBA, s.158: Liv Hegna/Scanpix, s.160: Ole Moksnes AS, s.161: Ragnar Axelsson/Scanpix, s. 168, 170, 172: Ole Moksnes AS, s. 174: Adam Gault/Getty Images, s.176: Ole Moksnes AS, s.184: Trygve Indrelid/Scanpix, s.187: GBA, s.194: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s.206, 207: Diplom-is. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, Interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no
FORORD Denne matematikkboka er skrevet for elever som har valgt det yrkesfaglige utdanningsprogrammet for service og samferdsel. Boka er en alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver. Vi har lagt stor vekt på å gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en dobbeltside. På neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til sammen skal hjelpe deg til å nå målene i læreplanen. Mange oppslag inneholder en utfordring som kan være med på å gjøre faget mer spennende. Her kan du også få utfordret din egen forståelse. Kapitlene blir innledet med læreplanmål og en kort, motiverende tekst. Etter oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det skal hjelpe deg til å sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et sammendrag og test-deg-selv-oppgaver. Til slutt i hvert kapittel finner du flere graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele kapitlet. Denne boka skal hjelpe deg til å løse aktuelle matematiske problemstillinger innen fagområdet service og samferdsel, og i din hverdag i og utenfor skolen. Læreplanmålene sier at du skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster, og at du skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag- og samfunnsområder. Vi har i denne boka valgt å ha med et bredt spekter av oppgaver, alt fra tradisjonelle regneoppgaver til oppgaver som krever andre løsningsstrategier. Miniprosjektene er et eksempel på slike oppgaver. Det kan være å utforske matematiske problemer eller finne informasjon i andre bøker og på nettet. Denne informasjonen må du bearbeide og sammenfatte, for så å presentere for andre. Vi håper dette skal føre til faglige samtaler om matematikk gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for å lære. Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder sider både for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive oppgaver og fordypningsstoff. På lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg, tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag og annet. I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi håper dere griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen kan foregå på en aktiv måte. Vi vil takke konsulenter og andre bidragsytere for konstruktive innspill og gode råd underveis. Oslo, mars 2006 Rubi Skøyum Karin Øiseth Snorre Evjen Wenche Dypbukt Bjørn Fosdahl Arne S. Kaldahl Silja Mustaparta FORORD 3
4
5
INNHOLD Kapittel 1 M LING OG BEREGNINGER 1 Problemløsing... 10 2 Avrunding og overslag... 12 3 Målenheter for lengde... 14 4 Omkrets... 16 5 Flatemål... 18 6 Areal av enkle figurer... 20 7 Areal av sammensatte figurer... 22 8 Målenheter for vekt og volum... 24 9 Sammensatt eksempel... 26 SAMMENDRAG... 28 TEST DEG SELV... 29 Òvingsoppgaver... 30 Kapittel 2 REGNING OG FORMLER 1 Regnerekkefølge... 42 2 Formelregning... 44 3 Veien om 1.... 46 4 Forholdstall og brøker... 48 5 Lag dine egne formler... 50 6 Sammensatte eksempler... 52 SAMMENDRAG... 54 TEST DEG SELV... 55 Òvingsoppgaver... 56 Kapittel 3 PROSENT 1 Når prosenten er ukjent... 66 2 Prosentfaktor... 68 3 Vekstfaktor... 70 4 Når grunnlaget er ukjent... 72 5 Prosentpoeng... 74 6 Sammensatt eksempel... 76 SAMMENDRAG... 78 TEST DEG SELV... 79 Òvingsoppgaver... 80 Kapittel 4 FORHOLD OG GRAFISKE SAMMENLIKNINGER 1 Grafisk presentasjon... 88 2 Noen spesialtilfeller... 90 3 Kan vi stole på grafiske framstillinger?.. 92 4 Proporsjonale størrelser... 94 5 Omvendt proporsjonale størrelser... 96 6 Sammensatt eksempel... 98 SAMMENDRAG... 100 TEST DEG SELV... 101 Òvingsoppgaver... 102 Kapittel 5 MER OM M LING OG AREAL 1 Pytagoras setning... 112 2 Er hjørnet rett?... 114 3 Omkrets og areal ved hjelp av Pytagoras setning... 116 4 Formlikhet... 118 5 Målestokk... 120 6 Det gylne snitt... 122 7 Arbeidstegninger... 124 8 Perspektivtegning... 126 9 Mangekanter... 128 10 Tesselering med regulære mangekanter.. 130 11 Tesselering med andre grunnfigurer... 132 12 Sammensatt eksempel... 134 SAMMENDRAG... 135 TEST DEG SELV... 137 Òvingsoppgaver... 138 6 INNHOLD
Kapittel 6 VOLUM OG OVERFLATE 1 Rommål... 152 2 Volum av prismer og sylindrer... 154 3 Volum av kjegler, kuler og pyramider... 156 4 Volum av sammensatte figurer... 158 5 Overflata av enkle og sammensatte figurer... 160 6 Sammensatt eksempel... 162 SAMMENDRAG... 164 TEST DEG SELV... 165 Òvingsoppgaver... 166 Kapittel 7 ÒKONOMI 1 Indekser... 176 2 Indeksformelen... 178 3 Reallønn og kroneverdi... 180 4 Timelønn og akkord... 182 5 Provisjon, bonusordninger og frynsegoder... 184 6 Lønn, feriepenger og skatt... 186 7 Skatter og avgifter... 188 8 Hva bestemmer prisen på varer? Selvkostmetoden.... 190 9 Hva bestemmer prisen på varer? Bidragsmetoden... 192 10 Sparing... 194 11 Lån... 196 12 Forbruksmuligheter... 198 13 Budsjett og regnskap... 200 14 Sammensatt eksempel... 202 SAMMENDRAG... 204 TEST DEG SELV... 205 Òvingsoppgaver... 206 Fasit... 218 Stikkord... 240 L replan i matematikk... 241 INNHOLD 7
1 M LING OG BEREGNINGER
1.1 ProblemlÖsing Du skal l re ^ forskjellige môter Ô löse matematiske problemer pô For å bli god til å løse matematiske problemer trenger du mye øving. Et problem kan løses på flere måter. Erfaring hjelper deg til å velge en god løsningsmetode. EKSEMPEL 1 Zabi og Petter skal finne omkretsen av et rektangel. Zabi måler alle sidene og legger sammen, mens Petter regner slik: ð2 þ 6; 5Þ2 ¼ 17 STRATEGIER: ^ bruke sunn fornuft ^forenkle ^pröveogfeile ^ lete etter mönster ^v resystematisk ^tegnefigurer ^gôveienom1 ^sepôenheter ^ sortere opplysninger (hva vet jeg, og hva trenger jeg Ô vite) ^ ^ Hvordan tenker Petter? Når du skal finne omkretsen av dette lille rektanglet, er begge løsningene greie. Tenk deg at du skal finne omkretsen av klasserommet ved hjelp av en linjal på 15 cm. Hvordan vil du gå fram? EKSEMPEL 2 Lars, Aslak og Leif har vært sammen med mamma på CABO-sport og kjøpt fotballsko, fotball, keeperhansker og en drikkeflaske til hver. Drikkeflaskene skal de betale selv. Vel hjemme tar de fram kvitteringen for å se hvor mye en drikkeflaske koster. De oppdager at prisen ikke vises. Hva skal de gjøre? Leif regner slik: 1310 750 290 180 ¼ 90 90 : 3 ¼ 30 Kvittering fotballsko... 750,00 fotball... 290,00 keeperhansker... 180,00 3 drikkeflasker... sum 1310,00 Aslak løser problemet på denne måten: 750 þ 290 þ 180 þ 3x ¼ 1310 1220 þ 3x ¼ 1310 3x 3 ¼ 90 3 x ¼ 30 Lars tipper at en drikkeflaske koster 25 kroner. Mamma ringer til butikken for å undersøke prisen. Hva ville du ha gjort? 10 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 3 Tore tenker på et positivt heltall og ganger det med 2. Så tenker han på et annet positivt heltall, som han ganger med 3. Når han legger sammen de to nye tallene, får han 51. Hvilket tall tenker han på? Diskuter mulige løsningsstrategier. Finnes det mer enn én løsning på problemet? Problemet kan formuleres slik: 2u þ 3v ¼ 51. Du kan prøve og feile deg fram til en mulig løsning. Skal du finne alle løsningene, er det lurt å være systematisk. Kanskje det er bedre å lage en tilleggsbetingelse, slik at problemet bare får én løsning? AKTIVITETER Oppgave 1.1 Hva blir de tre neste tallene? a) 2; 4; 6;... b) 1; 4; 7; 10;... c) 1; 4; 9; 16;... Oppgave 1.2 a) Ofte er det lurt å se på enhetene. Fart måler vi i kilometer per time (km=h). Kan du ut fra enheten si hvilke opplysninger som trengs for å finne farten? b) Hva slags sammenheng er det mellom strekning, tid og fart? c) Du kjører i 67 km=h og skal kjøre 11 km. Bruker du mer eller mindre enn én time? Hvor lang tid bruker du? Oppgave 1.3 Ole, Trine og Bente er til sammen 43 år. Ole er dobbelt så gammel som Trine, og Bente er 3 år eldre enn Trine. Hva er alderen til hver av de tre? Oppgave 1.4 Familien til Per driver en kennel, og i hagen har de en stor andedam. Når Per blir spurt om hvor mange hunder og ender de har, svarer han: «Vi har 40 dyr, og de har 116 bein til sammen.» Hjelp hverandre med å finne ut hvor mange hunder og ender de har. Oppgave 1.5 Løs sudokuen slik at alle vertikale og horisontale linjer og alle 3 3-ruter inneholder alle tall fra 1 til 9. 6 2 5 8 2 5 9 6 1 7 9 5 7 3 8 3 7 3 8 4 6 1 3 6 4 8 2 9 4 4 9 2 Oppgave 1.6 Regn ut høyden til et tre, en flaggstang eller skolebygningen din ved hjelp av for eksempel en blyant. Miniprosjekt 1.7 a) Du får utdelt et måleband, en linjal og et litermål. Hvordan vil du gå fram for å finne volumet av en tennisball ved hjelp av hvert av disse hjelpemidlene? Finn volumet. b) Hva ville du gjort for å finne overflata av en basketball? Finn overflata av basketballen. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 11
1.2 Avrunding og overslag Du skal l re ^ Ô avgjöre nôr det er behov for nöyaktighet i matematiske beregninger, og nôr vi kan gjöre overslag ^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nöyaktighet Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene utenat! Men trenger vi alltid å være så nøyaktige? Tenk deg at du er på IKEA og kjøper bilder. Du har dette i handlekurven: «Rød rose»: kr 167;50 «Epler»: kr 218;50 «Solsikke»: kr 107;50 Du har en femhundrelapp på deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet om du har nok penger? Knepet er å gjøre et overslag, det vil si at du runder av tallene. Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Er denne desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi på andre desimal på samme måte, og så videre. TALLET er definert som omkretsen av en sirkel dividert med diameteren ¼ O=d.Vanligvis nöyer vi oss med to desimaler og skriver 3,14. Avrunding av 7,2356 nærmeste titall 10 nærmeste heltall 7 1 desimal 7,2 2 desimaler 7,24 3 desimaler 7,236 EKSEMPEL 4 a) Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for å finne ut om bildene i eksemplet ovenfor koster mer enn 500 kroner? b) Du ønsker å ramme inn «Solsikke» på nytt. Bildet har form som et rektangel med bredde b ¼ 37;43 cm og høyde h ¼ 62; 56 cm. Hvor mange centimeter rammeverk bør du bestille? Løsning: a) Vi runder av oppover til nærmeste titall og legger sammen: 167;50 170 og 218;50 220 og 107;50 110 kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500 Siden vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok! b) Vi runder av til én desimal og legger sammen: 37;43 cm 37;4 cm og 62;56 cm 62;6 cm 2 b þ 2 h ¼ 2 37;4 cmþ 2 62;6 cm¼ 200;0 cm Er 200 cm nok? Burde vi runde av annerledes? 12 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2006 1. utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det yrkesfaglige utdanningsprogrammet service og samferdsel. Printed in Norway by PDC Tangen, 2006 ISBN 978-82-05-34935-3 ISBN 82-05-34935-5 Redaktør: Ellen Semb Bilderedaktør: Sissel Falck Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne Omslagsdesign: Hild Mowinkel Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images Illustratør: Anja Ruud Bilder, illustrasjoner: Side 8: Peter Till/Getty Images, s.14: Scanpix, s.15: Trygve Indrelid/Scanpix, s.18: ø. Ole Moksnes AS, n. George Widman/Scanpix, s.19: Jason Reed/Scanpix, s.20: Terje Mortensen/Scanpix, s.22: Ørn E. Borgen/Scanpix, s. 25: GBA, s.27: Dylan Martinez/Scanpix, s.31: GBA, s.33: Simon Kwong/Scanpix, s.40: Sverre A. Børretzen/ Scanpix, s.44: GBA, s.49: Berit Keilen/Scanpix, s.53: Scanpix, s. 55: Stefano Lemma, s.58: ø. Paul Sigve Amundsen/Samfoto, n. Alexander Nordahl/Scanpix, s. 60: Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s.64: Hugh Sitton/Getty Images, s.77: Halvor F. Johansen, s.80: Ole Moksnes AS, s.82: Berit Roald/Scanpix, s. 83: Anne Langdalen, s. 84: t.h.ulf Carlsson, s.86: Daly & Newton/Getty Images, s.92 n, s.93 ø.t.v. og s.101 n.t.v.: Ulf Carlsson, s.102 t.h. og s.104 ø.t.h.: John Arne Eidsmo, s.110: Jason Reed/Scanpix, s.120: # Trondheim kommune, Kart- og oppmålingskontoret, s.121: Ole Moksnes AS, s.122: ø. GBA, n. Annemor Larsen/Scanpix, s.123: GBA, s.123: Ole Moksnes AS, s.132 og 145 t.h.: M.C.Escher s «Symmetry Drawing E18» #2006 The M.C.Escher Company-Holland. All rights reserved.www.mcescher.com, s.143: #Casterman/Distr.by PIB Copenhagen 2006, s.144: GBA, s.148 ø.t.v.: Unni Brakestad, s.150: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes, 1912. New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje på lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA, Firenze, s.153: Knut Falch/Scanpix, s. 154, 155, 156: Ole Moksnes AS, s.156 n: E.H.Shepard. Copyright under the Berne Convention. # by Reed International Books Ltd, s.157: GBA, s.158: Liv Hegna/Scanpix, s.160: Ole Moksnes AS, s.161: Ragnar Axelsson/Scanpix, s. 168, 170, 172: Ole Moksnes AS, s. 174: Adam Gault/Getty Images, s.176: Ole Moksnes AS, s.184: Trygve Indrelid/Scanpix, s.187: GBA, s.194: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s.206, 207: Diplom-is. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, Interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no
1.3 MÔlenheter for lengde Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for lengde Den kinesiske mur ble påbegynt rundt 300 f.kr. Muren er om lag 6 000 000 m lang og ca. 1500 cm høy på sitt høyeste. Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer og høyden til meter? PREFIKSER kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 10 centi ¼ 1 100 milli ¼ 1 1000 Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste målenhetene for lengde: mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter mil km m dm cm mm 10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Vi gjør om fra centimeter til meter ved å gå to kolonner mot venstre. Vi flytter altså kommaet to plasser til venstre. Det er det samme som å dele med 100. Den kinesiske mur er altså rundt 1500 cm ¼ 1500 m ¼ 15 m høy. 100 Vi gjør om fra meter til kilometer ved å gå tre kolonner mot venstre. Vi flytter altså kommaet tre plasser til venstre. Det er det samme som å dele med 1000. Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang. LENGDEMÅL Meter er grunnenheten for lengde. Hektometer og dekameter er sv rt lite brukt. 1mil svarer til10 km. EKSEMPEL 6 a) Hvor mange meter er 120 cm? b) Hvor mange meter er 2,7 km? Løsning: a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100: 120 cm ¼ 1;2 m 120 cm ¼ 120 100 m ¼ 1;2 m b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000: 2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m 2;7 km¼ 2;7 1000 m 2700 m OMGJØRING AV ENHETER NÔr vi regner om fra större til mindre môlenheter, bruker vi ofte -tegnet. Det gjör vi fordi större enheter gjerne inneholder usikkerhet. 14 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 7 Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris Moskva på 14 dager. I luftlinje måler denne distansen om lag 2500 km. a) Hvor mange meter svarer det til? b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst? c) En engelsk mile er 1609 m. Hvor lang er distansen Paris Moskva i miles? Løsning: a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde: 2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter b) En mil svarer til 10 km: 2500 km ¼ 2500 mil ¼ 250 mil 10 LØPERKONGEN Mensen Ernst ble födt i Sogn og Fjordane i1795 og döde i Egypt i1843. PÔ1800-tallet ble han beundret for sine löperprestasjoner over hele Europa. Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland og Russland til sammen! c) Vi gjør om fra meter til miles: 2 500 000 2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles 1609 AKTIVITETER Oppgave 1.13 Gjør om til meter: a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles Oppgave 1.14 Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er omtrent 17 m høy. Oppgave 1.15 Gjør alle mål om til centimeter og regn ut: a) 1;2 mþ 2;7 dmþ 320 cm þ 30 mm b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm c) 0;264 km þ 2dmþ 40 mm Oppgave 1.16 Gjør alle mål om til meter og regn ut: a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm b) 0;004 95 km 4;5 dmþ 12 cm þ 30 mm c) 4 km þ 1;243 miles 990 dm Oppgave 1.17 Hva er lengst av 6800 m og 680 000 mm? a) Hvor høy er Monolitten i centimeter? b) Hvor mange bokser med høyde 10 dm må stables oppå hverandre for å få samme høyde som Monolitten? c) Hvor høy er Monolitten omregnet i fot? (1 fot ¼ 0,3048 m) Utfordring 1.18 a) Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst i gjennomsnitt per dag på turen Paris Moskva, når vi antar at han løp 11 timer per dag? b) Finn gjennomsnittsfarten til Ernst i kilometer per time. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 15
1.4 Omkrets Du skal l re ^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest spektakulære pariserhjul, med en radius på 21 meter. Rektangel b l O = 2l + 2b Kvadrat s s O = 4s Parallellogram s g Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette pariserhjulet? Enn etter tolv runder? For å regne ut det må vi finne omkretsen av hjulet. Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske figurer. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 132 m Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du? Etter tolv runder med dette hjulet har du beveget deg 12 O ¼ 12 132 m ¼ 1584 m 1;6 km O = 2s + 2g Trapes c d b a O = a + b + c + d Trekant c b a O = a + b + c Sirkel r O = 2pr Vi gjør om til kilometer og runder av grovere enn ovenfor. Tenk gjennom hvorfor. EKSEMPEL 8 Et rektangel har lengden 40 cm og bredden 2,2 dm. Hvor mange centimeter er omkretsen? Løsning: Vi gjør om bredden fra desimeter til centimeter: 2;2 dm¼ 22 cm HUSK NÔr du skal regne ut omkretsen av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! Omkretsen blir da O ¼ 2 l þ 2 b ¼ 2 40 cm þ 2 22 cm ¼ 124 cm 16 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 9 Karin arbeider i en husflidforretning. Hun har fått i oppdrag å sy et bånd langs kanten av en duk med form som vist på figuren. Hvor mange desimeter kantebånd trenger hun? Løsning: Duken består av et rektangel med en halvsirkel i hver ende. Til sammen utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Dukens omkrets blir derfor summen av omkretsen av en sirkel og omkretsen av rektanglets to langsider: O ¼ 2 l þ 2 r ¼ 2 26 dm þ 2 9dm¼ 108;549 dm 109 dm Her runder vi av oppover. Hvorfor? 18 dm Legg merke til at radien er lik halve diameteren: ¼ 9 dm. 2 Vi tar ikke med kortsidene på rektanglet i dukens omkrets. Studer figuren og finn ut hvorfor! 18 dm 26 dm AKTIVITETER Oppgave 1.19 Regn ut omkretsen i meter av en sirkel der a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm c) d ¼ 0,637 km Oppgave 1.20 Finn omkretsen av et rektangel i centimeter der a) b ¼ 20 cm og l ¼ 40 cm b) b ¼ 30 cm og l ¼ 17 dm Oppgave 1.21 Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvor stor er avstanden i mil mellom to punkter på ekvator som ligger på nøyaktig motsatt side av jordkloden? Oppgave 1.22 Et reisebyrå er nesten ferdig med å pusse opp en avdeling for innenlandsreiser. Det gjenstår listing. Rommet har form som et rektangel med lengde 8,5 m og bredde 4 m. En 70 cm bred dør på den ene kortveggen går inn til pauserommet. På den ene langveggen finnes en tilsvarende dør ut mot gangen. Hvor mange meter listverk bør kjøpes inn? Oppgave 1.23 Regn ut omkretsen av sjokoladekaka: 13 cm Utfordring 1.24 Karin har kjøpt en rull med julegavepapir. Papiret er rullet på en pappsylinder med lengden 80 cm og diameteren 5 cm. a) Dersom lengden av gavepapiret er 10 m, hvor stor er omkretsen av papiret? b) Omtrent hvor mange runder er papiret tvinnet rundt pappsylinderen? c) Tenk gjennom hvilke feilkilder det er i svaret du fikk i b. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 17
1.5 FlatemÔl Du skal l re ^ at areal er et môl for störrelsen av en flate ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for areal En flate er todimensjonal og har ingen tykkelse. En firkantet flate er bare representert ved lengden og bredden. Til å oppgi størrelsen av en flate bruker vi betegnelsen areal. Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for areal. kvadratkilometer kvadrathektometer kvadratdekameter kvadratmeter kvadratdesimeter kvadratcentimeter kvadratmillimeter km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001 For hver kolonne vi flytter oss i tabellen, må vi flytte kommaet to plasser. Når vi skal gjøre om fra m 2 til dm 2,måvi flytte kommaet to plasser mot høyre. Det er det samme som å gange med 100: 14;25 m 2 ¼ 1425 dm 2 eller 14;25 m 2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2 Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved å flytte kommaet seks plasser mot venstre. Det er det samme som å dele med 1 000 000: 70 000 m 2 ¼ 0;07 km 2 70 000 eller 1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2 EUKLIDS DEFINISJONER ^ Et punkt er noe som ikke kan deles. ^ Ei linje er en lengde uten bredde. ^ En ate er noe som bare har lengde og bredde. ENHETER FOR AREAL Kvadratmeter, m 2,er grunnenheten for areal. Kvadratdekameter og kvadrathektometer brukes sv rt sjelden. EKSEMPEL 10 a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2? b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2? b) En serviett har et areal på 4dm 2. Hvor mange kvadratmeter utgjør det? d) New York by har et areal på 787 km 2. Gjør om til kvadratmeter. Løsning: a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre: 17 400 cm 2 ¼ 1;74 m 2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre: 560 000 mm 2 ¼ 0;56 m 2 c) Vi deler på 100: 4dm 2 ¼ 4 100 m2 ¼ 0;04 m 2 d) Vi ganger med 1 000 000: 787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m 2 787 000 000 m 2 18 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 11 a) Arealet av et A4-ark er 624 cm 2. Hvor stort er dette arealet i kvadratmeter? b) En målenhet for arealet av landområder er mål. Dersom vi eier en tomt på 200 mål, hvor mange kvadratkilometer disponerer vi når 1mål er 1000 m 2? A4 Løsning: a) Vi gjør om fra kvadratcentimeter til kvadratmeter: 624 cm 2 ¼ 624 10 000 m2 ¼ 0;0624 m 2 b) Vi gjør om 200 mål til kvadratmeter: 200 mål ¼ 200 1000 m 2 200 000 m 2 Deretter regner vi om til kvadratkilometer: 200 000 m 2 ¼ 0;20 km 2 AKTIVITETER Oppgave 1.25 Gjør om til kvadratmeter: a) 180 cm 2 b) 2500 mm 2 c) 132 dm 2 d) 3;04 km 2 e) 20 500 mm 2 f) 0;002 km 2 c) Pentagonbygningen er verdens største kontorbygning med et indre areal på 0,603 km 2. Oppgave 1.26 Gjør om til kvadratmeter og regn ut: a) 180 cm 2 þ 0; 000 02 km 2 25 000 mm 2 b) 2180 mm 2 þ 305;5 dm 2 þ 0;002 34 km 2 Oppgave 1.27 Arealet av et lite landområde, for eksempel en hustomt, blir ofte oppgitt i mål. Ett mål svarer til 1000 m 2. a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt på 4,5 mål? b) Hvor mange mål er et landområde på 6,3 km 2? Oppgave 1.28 a) Kunstneren David Åberg fra Helsingborg har malt et maleri med et areal på hele 4000 m 2. Dette er verdens største maleri malt på lerret av en kunstner. Hvor mange kvadratcentimeter er arealet av maleriet? b) Arealet av Oslo fylkeskommune er 454 km 2. Hvor mange mål utgjør det? ð1 mål ¼ 1000 m 2 Þ Hvor mange mål er denne bygningen på? Oppgave 1.29 Mjøsa er Norges største innsjø og har et areal på 365 km 2. Hvor mange mennesker er det plass til utpå isen på Mjøsa en vinterdag når vi regner med at ti mennesker får plass på 15 m 2? (Vi forutsetter at isen holder!) Nettoppgave 1.30 a) Bruk Internett eller oppslagsverk til å finne arealet av Moskva by i kvadratmeter. Hvilken by er størst, New York eller Moskva? b) Hvor stor er forskjellen i areal mellom byene målt i kvadratkilometer? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 19
1.6 Areal av enkle figurer Du skal l re ^ Ô regne ut arealet av enkle geometriske figurer Trekanter, firkanter og sirkler er eksempler på enkle geometriske figurer som har vært brukt fra gammelt av, og som også i dag er svært viktige. Bildet nedenfor viser Ishavskatedralen i Tromsø, ferdigstilt i 1965. Rektangel b l A = l b Kvadrat Tabellen i margen viser formler for arealet av noen enkle geometriske figurer. For et kvadrat med side lik 5 cm blir arealet A ¼ s s ¼ s 2 ¼ 5cm 5cm¼ 25 cm 2 For et trapes der a ¼ 4cm,b ¼ 5cm og h ¼ 3 cm, blir arealet A ¼ EKSEMPEL 12 ða þ bþh 2 ¼ ð4cmþ 5cmÞ3cm 2 ¼ 13;5 cm 2 Et spisebord er formet som et rektangel med lengde 2;4 m og bredde 130 cm. a) Hvor stort er arealet av bordet? b) Vi dekker bordet med en duk, slik at duken henger 20 cm ned fra bordkantene på hver side. Hvor stort er arealet av duken? Løsning: a) For å få like enheter på lengden og bredden av bordet gjør vi om bredden fra centimeter til meter: 130 cm ¼ 1;3 m A ¼ l b ¼ 2;4 m 1;3 m¼ 3;12 m 2 b) Vi gjør om fra centimeter til meter: 20 cm ¼ 0;2 m Lengden av duken: l ¼ 2;4 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 2;8 m Bredden av duken: b ¼ 1;3 mþ 0;2 mþ 0;2 m¼ 1;7 m Arealet av duken: A ¼ 2;8 m 1;7 m¼ 4;76 m 2 s s A = s s = s 2 Parallellogram h g A = g h Trapes b h a (a + b) h A = 2 Trekant h g g h A = 2 Sirkel r A = π r 2 HUSK NÔr du skal regne ut arealet av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! 20 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 13 a) En trekant har grunnlinje 1 dm og høyde 6 cm. Hvor stort blir arealet av trekanten? b) I en sirkel er diameteren 1; 4 dm. Hva blir arealet av sirkelen? Løsning: a) Vi gjør om fra desimeter til centimeter for grunnlinja: 1dm¼ 10 cm. Vi bruker formelen for arealet av en trekant: A ¼ g h 2 ¼ 10 cm 6cm 2 ¼ 30 cm 2 6 cm 1 dm b) Radien i en sirkel er halvparten av diameteren: 1;4 dm 2 ¼ 0;7 dm 1,4 dm Vi bruker formelen for arealet av en sirkel: A ¼ r 2 ¼ ð0;7 dmþ 2 ¼ 1;5394 dm 2 1;5 dm 2 AKTIVITETER Oppgave 1.31 a) Regn ut arealet av en sirkel med radius 15 cm. b) Regn ut arealet av en sirkel med diameter 2 dm. c) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje 20 cm og høyde 2 dm. Oppgave 1.32 Et serveringsbrett har form som et rektangel. Sidene er 25 cm og 35 cm. a) Regn ut arealet av brettet. b) Gjør om sidene til desimeter. Regn så ut arealet. Oppgave 1.33 Et lerret har form som et trapes med mål som vist på figuren. Hvor mange kvadratmeter er arealet av lerretet? 55 cm Oppgave 1.34 Ernst skal kjøpe voksduk til et bord. Bordet har form som et kvadrat med side 1;3 m. Hvor stort blir arealet av voksduken dersom den skal henge 15 cm ned fra bordet på hver side? Utfordring 1.35 a) Et kvadrat har arealet 256 cm 2. Regn ut siden i kvadratet. b) En rektangulær duk måler 1;08 m 2. Den ene siden av duken er 120 cm. Hvor lang er den andre siden? Utfordring 1.36 Et rektangel har omkrets 12 cm. Den ene sida er dobbelt så lang som den andre. Hvor lange er sidene? 6 dm 120 cm Utfordring 1.37 Et A4-ark har arealet 624 cm 2 og kan maksimalt brettes sju ganger. (Bare prøv!) Regn ut arealet av et A4-ark som er brettet sju ganger. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 21
1.7 Areal av sammensatte figurer Du skal l re ^ regne ut arealet av sammensatte geometriske figurer Nye Bislett Stadion er et eksempel pa en sammensatt geometrisk figur. REGNING Na r vi skal regne ut arealet av en sammensatt geometrisk figur, ma vi først finne ut hvilke delfigurer den er satt sammen av. Sa regner vi ut arealene av delfigurene hver for seg. Deretter ma vi studere figuren nøye. Noen ganger ma vi legge sammen arealene, andre ganger kan det være lurt a trekke fra. UTEN ENHETER N r du arbeider med litt st rre regnestykker, kan det ofte v re greit sl yfe enhetene underveis, som i eksempel 14. Men det er viktig at du vet hvilken enhet svaret skal ha! EKSEMPEL 14 Svært forenklet kan vi si at arenaen pa Bislett Stadion omfatter et rektangel med lengden 105 m og bredden 90 m pluss en halvsirkel med radien 45 m i hver ende. Hvor stort er arealet av arenaen? 45 m 90 m Løsning: Formelen for arealet av arenaen blir A ¼ Arektangel þ Ahalvsirkel þ Ahalvsirkel 105 m 105 m ¼ Arektangel þ Asirkel ¼ l b þ r 2 Vi setter inn i formelen ovenfor: 90 m A ¼ l b þ r 2 ¼ 105 90 þ 452 ¼ 15 811;725 Arealet av arenaen er om lag 15 800 m2. Her runder vi av mye i svaret. Kan du tenke deg hvorfor? 22 45 m KAPITTEL 1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 15 Kim lager havrekjeks og plasserer dem på et rektangulært brett som måler 60 cm 40 cm. Kjeksen er sirkelformet med diameter lik 5,0 cm. Hvor stort er arealet som ikke er dekket av kjeks? Løsning: Først finner vi hvor mange kjeks det er plass til på brettet: 60 cm I lengden: ¼ 12 stk. 5;0 cm 40 cm I bredden: 5;0 cm ¼ 8 stk. Antallet kjeks blir: 12 8 ¼ 96 stk. Totalt areal av 96 kjeks: A ¼ 96 r 2 ¼ 96 ð2;5 cmþ 2 ¼ 1884;96 1885;0 cm 2 Arealet som ikke er dekket av kjeks: A brett A kjeks ¼ 2400 cm 2 1885;0 cm 2 ¼ 515;0 cm 2 Arealet som ikke er dekket av kjeks, er 515;0 cm 2. AKTIVITETER Oppgave 1.38 Regn ut arealet av disse flatene: a) b) 0,8 dm 7 cm 10 cm 6 cm Oppgave 1.39 Regn ut arealet av den grå ringen: 4,5 cm 3 cm 6 cm 3 cm diameter 40 cm. Hvor mange kvadratcentimeter av bordflata er ikke dekket med bordbrikker? Oppgave 1.41 Et reklamebyrå har fått ny duk på bordet på lunsjrommet. Duken har mål og form som vist på figuren. Regn ut arealet av duken. 90 cm 200 cm 18 dm Utfordring 1.42 Lengdeforholdene i det norske flagget er som vist på figuren. Finn det samlede arealet av de hvite og de blå områdene i flagget når alle mål er i desimeter. 6 6 1 2 1 12 Oppgave 1.40 Et bord har form som et rektangel med lengde 2 m og bredde 120 cm. På bordet er det dekket med seks runde bordbrikker. Hver brikke har 1 2 1 6 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 23
1.8 MÔlenheter for vekt og volum Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for vekt ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for volum De vanligste måleredskapene på kjøkkenet er vekt, litermål, desilitermål, kryddermål, termometer og vanlige kjøkkenredskaper (spiseskje, teskje og kopp). Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom ulike målenheter for vekt: kilogram hektogram dekagram gram desigram centigram milligram kg hg g dg cg mg 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Når vi skal gjøre om fra gram til milligram, må vi gå tre kolonner til høyre. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot høyre. Det er det samme som å gange med 1000: 40;385 g ¼ 40 385 mg eller 40;385 g ¼ 40;385 1000 mg ¼ 40 385 mg Når vi skal gjøre om fra gram til kilogram, må vi gå tre kolonner til venstre. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot venstre. Det er det samme som å dele på 1000: 655 g ¼ 0;655 kg eller 655 g ¼ 655 kg ¼ 0;655 kg 1000 ENHETER FOR VEKT Gram er grunnenheten for vekt. De mest brukte vektenhetene i Norge er gram, kilogram og milligram. 1tonnsvarer til1000kg. EKSEMPEL 16 a) Gjør om til gram 1 2;75 kg 2 265;3mg b) Gjør om til gram og regn ut: 6hgþ 350 g þ 3;5 kgþ 0;8 hg Løsning: a) 1 2;75 kg ¼ 2;75 1000 g ¼ 2750 g 2 265;3 mg¼ 265;3 kg ¼ 0;2653 kg 1000 b) 6hgþ 350 g þ 3;5 kgþ 0;8 hg ¼ 600 g þ 350 g þ 3500 g þ 80 g ¼ 4530 g 24 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for volum: hektoliter dekaliter liter desiliter centiliter milliliter hl l dl cl ml 100 10 1 0,1 0,01 0,001 For å gjøre om fra liter til milliliter må vi gå tre kolonner til høyre. Vi flytter altså kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000: 2;125 l ¼ 2125 ml eller 2;125 l ¼ 2;125 1000 ml ¼ 2125 ml Vi gjør om fra liter til hektoliter: 20;5 l ¼ 0;205 hl eller 20;5 l ¼ 20;5 hl ¼ 0;205 hl 100 ENHETER FOR VOLUM (HULMÅL) Liter er grunnenheten for volum. Dekaliter er sv rt lite brukt. 1000 liter kaller vi ofte ßen kubikký. TETTHET tetthet ¼ vekt volum ð¼ g=cm3 Þ vekt ¼ tetthet volum ð¼ gþ volum ¼ vekt tetthet ð¼ cm3 Þ EKSEMPEL 17 Vann er et unikt stoff som vi finner i tre ulike faser: vanndamp, vann og is. Hvor mye veier 2,5 liter vann når tettheten til vann er 1 g=cm 3? Løsning: Vi gjør om fra liter til kubikkcentimeter: 2;5 l ¼ 2500 ml ¼ 2500 cm 3 Vi regner ut vekta av 2,5 liter vann: 2500 cm 3 1;0 g=cm 3 ¼ 2500 g ¼ 2;5 kg AKTIVITETER Oppgave 1.43 Gjør om til gram: a) 2,670 kg b) 3,75 hg c) 27,4 mg d) 0,14 hg e) 120 mg f) 1,37 tonn Oppgave 1.44 Gjør om til liter: a) 2,670 dl b) 0,34 hl c) 7,3 cl d) 207 ml e) 12,137 hl f) 1,04 dl Oppgave 1.45 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 2;13 l þ 18;08 dl þ 4clþ 740 ml b) 210 mg 0;2 gþ 0;000 50 kg 0;003 hg Oppgave 1.46 Ranger fra største til minste verdi: a) 0,066 l, 6 dl, 70 ml b) 4551 mg, 0,055 hg, 5,21 g Utfordring 1.47 En dose Naproxen for barn over fem år er 5mg=kg kroppsvekt multiplisert med 2. Ole Jørgen er tolv år gammel og veier 32 kg. a) Hvor stor dose bør han få? b) Legemidlet selges i tabletter på 250 mg. Hvor mange tabletter bør Ole Jørgen få hver dag? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 25
1.9 Sammensatt eksempel EKSEMPEL 18 Den ene av de to figurene nedenfor er et kvadrat. Den andre figuren er et tilsvarende kvadrat, men i hvert hjørne er det klipt bort en kvartsirkel. 1 2 1,6 dm 16 cm 0,8 dm 16 cm a) Regn ut arealet og omkretsen av hver figur. Bruk henholdsvis kvadratcentimeter og centimeter som enheter. b) Gjør om arealet av figur 1 til kvadratmeter og omkretsen av figur 2 til meter. Løsning: a) Vi gjør først om fra desimeter til centimeter for to av lengdene: 1;6 dm¼ 16 cm og 0;8 dm¼ 8cm Deretter regner vi ut arealet og omkretsen av figur 1: A ¼ s s ¼ 16 cm 16 cm ¼ 256 cm 2 O ¼ 4 s ¼ 4 16 cm ¼ 64 cm HUSK NÔr du skal regne ut arealet og omkretsen av geometriske figurer, mô alle lengdene ha samme enhet! Figur 2 er litt mer sammensatt enn figur 1. I hvert hjørne er det klipt bort et område som svarer til en kvartsirkel med radius 4 cm. Til sammen er det altså klipt bort et område tilsvarende en hel sirkel med radius 4 cm. Arealet av figur 2 blir dermed A ¼ A kvadrat A sirkel ¼ 16 16 4 2 205;73 205;7 Arealet av figur 2 er tilnærmet lik 205,7 cm 2. Omkretsen av figur 2 består av fire sider med lengde 8 cm og fire kvartsirkler med radius 4 cm. De fire kvartsirklene utgjør til sammen en hel sirkel. REGNING UTEN ENHETER NÔrduarbeidermedlitt större regnestykker, kan det ofte v re greit Ô slöyfe enhetene underveis. Men det er viktig at du vet hvilken enhet svaret skal ha! Omkretsen av figur 2 blir da O ¼ 4 8cmþ 2 4cm 57;13 cm 57;1 cm Omkretsen av figur 2 er tilnærmet lik 57,1 cm. 26 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
b) Når vi skal uttrykke arealet av figur 1 i kvadratmeter, må vi flytte kommaet fire plasser mot venstre. Det er det samme som å dele på 10 000: 256 cm 2 ¼ 0;0256 m 2 256 eller 10 000 m2 ¼ 0;0256 m 2 Når vi skal uttrykke omkretsen av figur 2 i meter, må vi flytte kommaet to plasser mot venstre. Det er det samme som å dele på 100: 57;1 57;1 cm¼ 0;571 m eller 100 m ¼ 0;571 m AKTIVITETER Oppgave 1.48 Regn ut arealet og omkretsen av figurene: a) b) 12 m d) Golvbelegget koster 175 kr=m 2, og møbeltrekket koster 350 kr=m 2. Golvlistene kommer på 22 kr=m. Bedriften tar kr 2000 i arbeidspenger. Hva blir prisen på oppussingen? 12 m 12 m 6 m 6 m 12 m Nettoppgave 1.50 Bildet viser Petersplassen sett fra kuppelen av Peterskirken i Vatikanet. Oppgave 1.49 En ungdomsbedrift har startet en bedrift som tar på seg oppussingsoppdrag. I Bikuben barnehage skal det legges golvbelegg i et rom, og rundt hele rommet skal det listes. Rommet er 5 meter langt og 4 meter bredt. a) Hvor mange kvadratmeter golvbelegg må kjøpes inn når vi regner 2 m 2 ekstra til avskjær? b) Hvor mange meter lister må kjøpes inn? I et hjørne ønsker barna seg en kosekrok der de kan sitte og slappe av eller høre på eventyr. Det skal derfor bygges en trekantet benk der sidene langs veggene er 2 meter. Oppå benken skal det ligge en 10 cm tykk madrass. c) Tegn en skisse av kosekroken. Hvor mye møbelstoff trengs det til madrassen når den skal trekkes rundt det hele? Under begravelsen til pave Johannes Paul 2. i april 2005 var Petersplassen fylt av rundt 300 000 mennesker. Ytterligere 700 000 stod i gatene omkring. a) Klarer du ut fra dette å gjøre et overslag over arealet av Petersplassen? b) Bruk oppslagsverk eller Internett (Vatikanets Internett-adresse er http://www.vatican.va), og prøv å finne Petersplassens virkelige areal. Hvor stort avvik fikk du i svaret ditt i a? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 27
SAMMENDRAG Avrundingsregler Når vi skal runde av et desimaltall til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Dersom denne desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Når vi skal runde av til én desimal, ser vi på andre desimal og gjør tilsvarende, osv. Tallet 6,2736 kan dermed rundes av til 6 6;3 6;27 6;274 Pref kser kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 10 centi ¼ 1 100 milli ¼ 1 1000 MÔlenheter for lengde Meter ðmþ er grunnenheten for lengde. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 m dm cm mm : 10 : 10 : 10 Vi gjør om fra meter til centimeter ved å gange med 100. Det svarer til å flytte kommaet to plasser mot høyre: 6;5 m¼ 6;5 100 cm ¼ 650 cm Vi gjør om fra millimeter til meter ved å dele på 1000. Det svarer til å flytte kommaet tre plasser mot venstre: 378 mm ¼ 378 1000 m ¼ 0;378 m Samsvar mellom enhetene Når vi skal regne ut omkretsen eller arealet av en geometrisk figur, må alle lengdene vi bruker, ha samme enhet. MÔlenheter for areal Kvadratmeter ðm 2 Þ er grunnenheten for areal. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 100. 100. 100 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 : 100 : 100 : 100 Vi gjør om fra kvadratmeter til kvadratmillimeter ved å gange med 1 000 000. Vi flytter altså kommaet seks plasser mot høyre: 0;05 m 2 ¼ 0;05 1 000 000 mm 2 ¼ 50 000;0 mm 2 Vi gjør om fra kvadratcentimeter til kvadratmeter ved å dele på 10 000. Det svarer til å flytte kommaet fire plasser mot venstre: 4020;0 cm 2 ¼ 4020;0 10 000 m2 ¼ 0;4020 m 2 Regning uten enheter Når vi arbeider med litt større regnestykker, kan det ofte være greit å sløyfe enhetene underveis. Men det er viktig at vi vet hvilken enhet svaret skal ha. MÔlenheter for vekt Gram ðgþ er grunnenheten for vekt. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 g dg cg mg : 10 : 10 : 10 Vi gjør om fra gram til milligram ved å gange med 1000. Det svarer til å flytte kommaet tre plasser mot høyre: 1;23 g ¼ 1;23 1000 mg ¼ 1230 mg Vi gjør om fra centigram til gram ved å dele på 100. Det svarer til å flytte kommaet to plasser mot venstre: 12;5 cg¼ 12;5 100 g ¼ 0;125 g MÔlenheter for volum Liter ðlþ er grunnenheten for volum. Vi kan gjøre om mellom de ulike enhetene slik:. 10. 10. 10 l dl cl ml : 10 : 10 : 10 Vi gjør om fra liter til desiliter ved å gange med 10. Det svarer til å flytte kommaet én plass mot høyre: 1;2 l ¼ 1;2 10 dl ¼ 12;0 dl Vi gjør om fra milliliter til liter ved å dele på 1000. Det svarer til å flytte kommaet tre plasser mot venstre: 635 ml ¼ 635 1000 l ¼ 0;635 l 28 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
TEST DEG SELV Test 1.51 En gang i november var natta 5 timer 30 minutter lengre enn dagen. Hvor lang var dagen? Test 1. 52 Pia fikk to ganger mer enn Ellen, som fikk to ganger mer enn Trude. Hvem fikk minst? Test 1. 61 Gjør om til kvadratmeter: a) 700 cm 2 b) 4018 mm 2 c) 2 km 2 Test 1. 62 Regn ut arealet og omkretsen av figurene: a) 15 cm Test 1. 53 Gjør om til meter: a) 120 cm b) 130 mm c) 1,2 km Test 1. 54 Gjør om til meter og regn ut: a) 70 cm þ 0;2 mþ 5dmþ 600 mm b) 334 mm þ 22 cm þ 7dmþ 0;3 m b) 20 cm 0,8 dm Test 1. 55 Irma har 2;8 kg biffkjøtt. Hun beregner 200 g per person. Hvor mange personer kan hun servere? Test 1. 56 Gjør om til gram: a) 1,2 kg b) 4 hg c) 33,2 mg Test 1. 57 Gjør om til liter: a) 200 ml b) 2 dl c) 32 cl Test 1. 58 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 2 l þ 13 dl þ 120 cl þ 3000 ml b) 0;3 kgþ 200 g þ 1302 g þ 20 hg Test 1. 59 Regn ut arealet og omkretsen av en sirkel med a) r ¼ 1,59 dm b) r ¼ 80 cm c) d ¼ 5cm Test 1. 60 Regn ut arealet og omkretsen av et rektangel med a) b ¼ 10 cm og l ¼ 50 cm b) b ¼ 2m og l ¼ 5m Test 1. 63 Rund av til én desimal: a) 1,33 b) 1,55 c) 2,67 Test 1. 64 Rund av til to desimaler: a) 4,234 b) 13,456 c) 19,554 Test 1. 65 a) Regn ut arealet av en trekant med grunnlinje lik 3 cm og høyden 13 cm. b) Regn ut arealet av et kvadrat med side lik 33 m. Test 1. 66 Regn ut arealene av de røde feltene på figurene: a) b) 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 29
Òvingsoppgaver 1.1 ProblemlÖsing A1.67 Hva blir de tre neste tallene? a) 6; 12; 18;... b) 99; 92; 85; 78;... c) 256; 128; 64; 32;... A1.76 A1.68 Finn fire etterfølgende tall som gir summen 26. A1.69 Sett inn regnetegn slik at svarene stemmer: a) 3 3 3 3 ¼ 1 b) 3 3 3 3 ¼ 2 c) 3 3 3 3 ¼ 5 d) 3 3 3 3 ¼ 6 A1.70 En avis har 50 sider. Hele arket med blant annet side 7 er borte. Hvilke andre sidetall mangler? A1.71 Hvordan kan du regne ut pulsen din når vimåler den i hjerteslag=minutt? Hvor mange ganger slår hjertet ditt i løpet av en time? A1.72 Akselerasjon måler vi i m=s 2. Hvilke opplysninger trenger du for å regne ut akselerasjonen? Lag en formel som viser hvordan opplysningene må brukes. A1.73 Trude fikk det dobbelte av Ellen, og Pia fikk fire ganger så mye som Ellen. a) Hvem fikk minst? b) Hvor mye fikk hver av dem når de fikk 35 kroner til sammen? A1.74 La oss si at du vrenger en venstrehanske. Er hansken fortsatt en venstrehanske? A1.75 Sju pærer veier det samme som fire bananer, og fire bananer veier det samme som seks appelsiner. Hvilken frukt veier mest enkeltvis, og hvilken veier minst? Tegn en firkant der ingen sider eller vinkler er like. Del hver side på midten og sett et merke. Lag en ny firkant ved å trekke streker mellom merkene. Hva slags firkant får du? Blir resultatet alltid slik? Diskuter med en medelev. A1.77 Pappa: «Vil du ha pizzaen delt i 6 eller 8 biter?» Silja: «Vær så snill å dele den i seks. Jeg orker ikke å spise åtte biter.» Diskuter svaret til Silja. A1.78 En edderkopp kryper opp innsiden av en brønn som er 9 meter dyp. Om natta kryper edderkoppen 3 meter oppover. Om dagen glir den 2 meter ned. Hvor mange dager bruker den på å komme over kanten? B1.79 Hva blir de tre neste tallene? a) 11; 121; 1331;... b) 1; 3; 6; 10; 15; 21;... B1.80 Finn fire etterfølgende tall som gir summen 178. B1.81 Dette er en praktisk oppgave hvor du har et rektangel som er 3 cm bredt og 8 cm langt. Klipp bort en hel remse langs en av kantene slik at arealet blir 3 av opprinnelig størrelse. 4 30 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
B1.82 Lise, Mia og Ida har brukt 165 kroner. Lise har brukt tre ganger så mye som Ida, og Mia har brukt 15 kroner mer enn Ida. Hvor mye har hver av dem brukt? B1.83 Hvilket tall tenker jeg på når alle sifrene er forskjellige bare ett siffer er oddetall jeg finner sifferet på tusenerplassen når jeg ganger sifferet på tierplassen med seg selv jegfår15når jeg legger sammen alle sifrene det minste sifferet står påenerplassen B1.84 Lars har tre venner. Han tilbyr dem å kjøpe et tv-spill for 60 kroner. Det blir 20 kroner på hver. De synes det er dyrt, men lar seg overtale til å kjøpe spillet. Seinere angrer Lars og bestemmer seg for å gi tilbake 10 kroner. På veien tenker han at det blir vanskelig å dele 10 kroner på 3. Han gir dem 3 kroner hver og beholder resten selv. Vennene har nå betalt 17 kroner hver, i alt 51 kroner. Lars beholdt 1 krone. Til sammen blir det 52 kroner. Hvor er det blitt av de 8 kronene som mangler på 60? Diskuter resonnementet. A1.87 Rund av til to desimaler: a) 7,2346 b) 22,4567 c) 1,5555 d) 8,355 16 e) 0,3278 f) 1,078 99 A1.88 Gjør først overslag og regn deretter ut de eksakte svarene: a) 23 þ 9 þ 48 þ 129 þ 31 b) 347 62 39 117 c) 18 33 A1.89 Du er ansatt av Svada og skal designe en reklameplakat for et firma som leier ut dykkerutstyr. Du har fått denne figuren til rådighet: Plakaten skal være 1;5 m 1;5 m. Bruk linjal og regn ut hvor mange ganger bildet må forstørres. 1.2 Avrundingogoverslag A1.85 Rund av til nærmeste hele tall: a) 3,43 b) 6,55 c) 211,877 d) 9,099 e) 1006,565 f) 0,459 A1.86 Rund av til én desimal: a) 1,44 b) 1,55 c) 2,677 d) 8,951 e) 6,565 f) 1,252 A1.90 Vi skal lage en svinegryte til åtte personer. I ei kokebok finner vi denne oppskriften beregnet på 4personer: 640 g svinekjøtt til kr 110;00 per kg 160 g løk til kr 14;00 per kg 170 g sjampinjong til kr 52;00 per kg 1;5 dl fløte til kr 9;60 per 1 4 l 3 dl rødvin til kr 70;00 per flaske à 0;7 l a) Gjør et overslag over hvor mye denne middagen vil koste. b) Hva blir prisen for middagen? Rund av svaret til nærmeste krone. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 31
A1.91 Du er i dagligvarebutikken og handler mat. I handlekurven har du 1 purreløk: kr 9,50 3 liter melk à kr 9,00 per liter 1 brød: kr 14,50 500 g kjøttdeig: kr 40,50 Du står ved kassa og har bare en hundrelapp i lomma. Gjør overslag og bruk hoderegning til å finne ut om du unngår en pinlig situasjon. B1.92 Ernst har fått sommerjobb på et lakseoppdrettsanlegg og skal finne ut hvor mye laks det er i anlegget. Han merker 80 lakser og slipper dem ut igjen i anlegget. Etter en uke fanger han 150 lakser, seks av dem er merket. a) Omtrent hvor mange lakser er det i dette oppdrettsanlegget? b) Hvilken usikkerhet ligger i tallet du regnet deg fram til? 1.3 MÔlenheter for lengde A1.93 Gjør om til centimeter: a) 112 mm b) 0,457 m c) 12,5 km d) 0,50 mm e) 0,0034 dm A1.94 Gjør om til desimeter: a) 112 mm b) 0,457 m c) 12,5 cm d) 430,50 mm e) 0,0034 km A1.95 Gjør om til en passende enhet og regn ut: a) 0;034 km 20 m þ 205 cm 120 dm b) 12 cm þ 0;58 km 190 mm þ 1dm c) 0;03 mil þ 1km 700 m 5000 dm d) 1 mm þ 1cmþ 1dm 0;110 m A1.96 Johan og Eva gikk mange skiturer i påskeuka og førte opp følgende turer på skikortene sine: Eva Johan Mandag: 3;7 km Tirsdag: 14;2 km Tirsdag: 31 km Onsdag: 1;2 mil Onsdag: 1900 m Torsdag: 1790 m Torsdag: 0;2 mil Fredag: 3450 m Hvem av de to gikk lengst på ski i påsken? A1.97 Golden Gate-brua i San Francisco, ferdigstilt i 1937, er 2,7 km lang. a) Finn lengden av brua i meter og i centimeter. b) Hvor lang er brua i miles? (1 miles ¼ 1609 m) c) Brutårnene er 227 m høye. Hvor mange millimeter svarer det til? d) Bruas hovedspenn er 1280 m. Gjør om til mil. A1.98 Ranger lengdene fra minste til største verdi: a) 225 cm, 6 m, 19,8 dm b) 1 mile, 1,608 km, 530 m c) 0,185 miles, 0,03 mil, 299 m B1.99 Et lysår er den avstanden lyset går i løpet av ett år. Lysets fart er 300 000 km=s. a) Hvor mange kilometer er et lysår? b) Avstanden mellom jorda og sola er 150 000 000 km. Hvor mange ganger lengre enn dette er et lysår? 32 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
B1.100 Verdens høyeste bygg er skyskraperen Taipei 101 i Taiwan. Bygget er 509 m høyt, medregnet et 60 m høyt spir med radiomast, og har 101 etasjer. B1.103 Regn ut omkretsen av figurene: a) b) 2 dm 5 cm 2 dm 1 dm 1 dm c) d) 6 cm 7 cm 12 cm A1.104 Du har bestemt deg for å prøve ut pariserhjulet til Tummelumsk. Radien i hjulet er 21 m. a) Hvor mange meter har du beveget deg etter 30 runder med hjulet? a) Hvor høyt er bygget målt i centimeter? b) Hvor mange fot er spiret med radiomasta? Husk at 1 fot ¼ 30,48 cm. c) Omtrent hvor høy er hver etasje i Taipei 101? Hvilken usikkerhet ligger i svaret du regnet deg fram til? 1.4 Omkrets A1.101 Regn ut omkretsen av et rektangel der a) b ¼ 10 cm og l ¼ 2dm b) b ¼ 2m og l ¼ 500 cm c) b ¼ 240 mm og l ¼ 0,8 m A1.102 Regn ut omkretsen av en sirkel der a) r ¼ 5cm b) r ¼ 8,5 dm c) d ¼ 10 mm London Eye er et av verdens største pariserhjul med en diameter på rundt 130 m. b) Hvor langt har du beveget deg etter sju runder med dette hjulet? c) Hvor mange runder med London Eye tilsvarer 30 runder med Tummelumsk-hjulet? A1.105 Vi skal dekke et bord til 20 personer. Hver person trenger 60 cm bordplass. a) Hvor mange meter bordplass trengs det? b) Vi har to bord som er 3 meter lange og 1 meter brede. Hvor mange personer får vi plass til rundt bordene når de står fritt? c) Borddukene skal være 40 % større enn bordet i bredden og 13 % lengre enn bordet. Hvor lange og hvor brede blir hver av dukene? d) Hvor mange kvadratmeter måler dukene til sammen? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 33