Løsningsforslag Øving 3 TEP400 Fluidmekanikk, Vår 206 Oppgave 3-86 Løsning En sikkerhetsdemning for gjørmeskred skal konstrueres med rektangulære betongblokker. Gjørmehøyden som får blokkene til å begynne å gli samt gjørmehøyden som får blokkene til å velte skal bestemmes. Antagelser utregningene. Atmosfæretrykket virker på begge sider av demningen og kan derfor utelates i Egenskaper Tetthetene til gjørme og betongblokkene er henholdsvis 400 kg/m 3 og 2700 kg/m 3. Analyse a) Vekten av betongveggen per enhet lengde L = m) og friksjonskraften mellom veggen og bakken er W blokk = ρgv = 2700 kg/m 3 )9.8 m/s 2 )0.25.2 m 3 ) = 7946 N F friksjon = µw blokk = 0.47946 N) = 378 N Den hydrostatiske kraften som virker på demningen fra gjørmen er F H = F x = P avg A = ρgh c A = ρgh/2)a = 400 kg/m 3 )9.8 m/s 2 )h/2) m h) = 6867h 2 N/m 2 Ved å sette den hydrostatiske kraften lik friksjonskraften får vi Ffriksjon F H = F friksjon h = ρg m/2 = 378 N = 0.68 m 6867 N/m 2 b) Angrepslinjen til den hydrostatiske kraften går gjennom trykksenteret, som er 2h/3 under den frie overflaten fordi y p = y c + I xx,c y c A = h 2 + m h3 /2 h/2) m h = h 2 + h 6 = 2 3 h Angrepslinjen til vekten av demningen går gjennom midtpunktet til demningen. Ved å sette momentet om punkt A lik 0 får vi MA = 0 W blokk t/2) = F H h/3) W blokk t/2) = ρg m/2)h 3 /3
Ved å løse for h finner vi gjørmehøyden ) /3 ) /3 3W blokk t 3 7946 0.25 Nm h = = 2 ρg m/2 2 6867 N/m 2 = 0.757 m Diskusjon Betongdemningen vil gli før den velter. Derfor er glidning mer kritisk enn velting i dette tilfellet. For løsning av MatLaboppgave, se MatLab LF3.m på It s Learning Oppgave 3-88 Løsning En kvart-sirkulær luke er hengslet om sin øvre kant og kontrollerer strømmen av vann over en vegg i punktet B, hvor luken holdes på plass av en fjær. Den minste kraften som kreves for å holde luken lukket når vannets høyde øker til A ved den øvre kanten av luken skal bestemmes. Antagelser Hengslene er friksjonsløse. 2 Atmosfæretrykket virker på begge sider av luken og kan derfor utelates i utregningene. 3 Vekten av luken er neglisjerbar. Egenskaper Vi lar tettheten til vann være 000 kg/m 3. Analyse Vi tegner et fritt-legeme diagram av kreftene på væskesøylen avgrenset av den kvart-sirkulære overflaten til luken og de vertikale og horisontale projeksjonene. De hydrostatiske kreftene som virker i vertikal- og horisontalplanet samt vekten av væskesøylen blir: Horisontalkraften på den vertikale flaten: F H = F x = P avg A = ρgh C A = ρgr/2)a = 000 kg/m 3 )9.8 m/s 2 )3/2 m)4 m 3 m) =.766 0 5 N Vertikalkraften på den horisonte flaten oppover): F y = P avg A = ρgh C A = ρgh bunn A = 000 kg/m 3 )9.8 m/s 2 )3 m)4 m 3 m) = 3.532 0 5 N Vekten av væskesøylen per 4 m lengde nedover): W = ρgv = ρg[w πr 2 /4] = 000 kg/m 3 )9.8 m/s 2 )[4 m)π3 m) 2 /4] = 2.774 0 5 N Summen av kreftene i vertikalretning oppover) er derfor F V = F y W = 3.532 0 5 N 2.774 0 5 N = 7.58 0 4 N 2
Størrelsen og retningen på den hydrostatiske kraften som virker på overflaten til den 4 meter lange kvart-sirkulære seksjonen av luken blir F R = FH 2 + F V 2 =.766 0 5 N) 2 + 7.58 0 4 N) 2 =.922 0 5 N tan θ = F V F H = 7.58 04 N = 0.429 θ =.766 0 5 23.2 N Størrelsen på den hydrostatisk kraften som virker på luken er derfor 92.2 kn, og angrepslinjen passerer gjennom sentrum til den sirkulære luken og utgjør en vinkel på 23.2 oppover fra horisontalen. Fjærkraften finnes ved å ta momentet om punktet A, hvor luken er hengslet, og sette dette lik null MA = 0 F R R sin 90 θ) F fjær R = 0 Ved å løse for F fjær finner vi fjærkraften F fjær = F R sin 90 θ) =.922 0 5 N) sin 90 23.2 ) =.77 0 5 N = 77 kn Diskusjon Mange variasjoner av dette designet er mulig. Kan du tenkte deg noen av dem? Oppgave 3-99 Løsning Tettheten til en væske skal bestemmes ved å tegne målelinjer på et hydrometer når det senkes i vann og i væsken og måle avstanden mellom linjene. Egenskaper Vi lar tettheten til rent vann være 000 kg/m 3. Analyse Et hydrometer flyter i vann i statisk likevekt, og oppdriften F B som virker på hydrometeret fra væsken må alltid være lik vekten av hydrometeret, F B = W. F B = ρgv sub = ρgha c hvor h er høyden av den nedsenkede delen av hydrometeret og A c er tverrsnittsarealet som er konstant. I rent vann: I væsken: W = ρ w gh w A c W = ρ væske gh væske A c Vi setter uttrykkene over lik hverandre siden begge er lik vekten av hydrometeret) ρ w gh w A c = ρ væske gh væske A c 3
Deretter løser vi for tettheten til væsken ρ væske = h w h væske ρ w = 0.23 m 0.23 0.003)m 000 kg/m3 ) = 025 kg/m 3 Diskusjon Merk at for et bestemt sylindrisk hydrometer er produktet av fluidets tetthet og høyden av den nedsenkede delen av hydrometeret konstant for alle fluider. Oppgave: Archimedes Oppgave a) Vi gjør to målinger, krone og gullklump, i det samme karet, og vi leser av høyde forskjellene. Massen til gullklumpen = massen til kronen: m = ρ G V G = ρ G 2 V K + ρ S 2 V K = 2 V Kρ G + ρ S ) ρ G Ah G = 2 Ah Kρ G + ρ S ) 2h G = h K + r) h K = 2h G + r Tallverdi: 2 h K h G = + r )h 2 G = ).65 m + 0.55 = 0.48 mm Oppgave b) For både kronen og gullklumpen finner vi snordraget S fra Newton s. lov: 0 = S + Oppdrift mg, der Oppdrift = Volum ρ V g. S G S K = mg V G ρ V g) mg V K ρ V g) = V K V G )ρ V g. En volumforskjell forsterkes med faktoren ρ V g 0000 N/m 3, og en liten kraftforskjell vil få vekten til å tippe. Oppgave c) For et legeme delvis nedsenket i vann bruker vi Archimedes 2 prinsipp: Oppdriftskraft = vekten av fortrengt fluid: 4
Oppdrift = V K + V Stokk under vann )ρ V g = V K + π 4 d2 l)ρ V g. For både kronen of gullklumpen må vi ha balanse mellom tyngdekraft og oppdriftskraft: m Krone + m Stokk )g = V K + π ) 4 d2 l ρ V g, og m Klump + m Stokk )g = V G + π ) 4 d2 l + H) ρ V g Kronen og gullklumpen har samme masse, så venstrsiden er den samme i de to tilfellene: V K + π ) 4 d2 l ρ V g = V G + π ) 4 d2 l + H) ρ V g V K V G = π 4 d2 H Videre har vi at massen til kronen = m Gull + m Sølv. H = πd 2 /4 V K V G ) = πd 2 /4 mgull ρ G = m Sølv πd 2 /4 ρ S = πd 2 /4 V S r). + m Sølv ρ S ρ ) S ρ G m ) Gull + m Sølv ρ G Jo mindre diameter d vi har på stokken, jo større blir forsterkningen av et eventuelt sølvolum V S. Forskjellen H kan således måles med stor nøyaktighet. 5
Oppgave for forberedelse til Lab Karftmomentet om O: Med klokken: F B L + M, mot klokken: F A L hvor M er kraftmomenter fra oppdriftskraften, M = γ V ) arm. Her er V volumet av neddykket legeme, arm er avstanden fra O ut til angrepslinjen. Momentbalanse: F B L + γ V ) arm = F A 2L a) Kvadratisk kloss, A B V = L 2, arm = 2 L F B L + γl 2 2 L = F A 2L eller F B + 2 γl2 = 2F A 2 L b) Rettvinklet trekant, A B V = 2 L2, arm = 3 L F B L + 2 γl2 3 L = F A 2L eller F B + 6 γl2 = 2F a L 3 c) Kvartsirkel, V = 4 πl2, arm = 4L 3π F B L + 4 γπl2 4L 3π = F A 2L eller A 90 B F B + 3 γl2 = 2F a 4L 3 6