Notat 1 for MAT1140 høsten 2017

Notat 1 for MAT1140 høsten 2017 0 Innledningsvis 0.1 Om kurset Vi begynner med å introdusere et fundament for matematikk. Hovedtemaene er: Logikk (utsagn, konnektiver, kvantorer, bevis). Mengder (aksiomer for mengdebygging). Hele tall (induksjon, regnearter, kardinalitet). Deretter skal vi se på noen videregående temaer (knyttet til en matematisk struktur kalt ring ): Introduksjon til tall-teori. Aksiomer for de reelle tallene (et fundament for analyse). 0.2 Litteratur Lærebok for kurset er : Tamara J. Lakins, The tools of mathematical reasoning, American Mathematical Society 2016. Pure and applied undergraduate texts. Jeg kommer også til å legge ut notater. 0.3 Metode Heftet Studietips til begynnerstudenter i matematikktunge realfag innholder flere råd og tankevekkere som kan være nyttige for å arbeide seg gjennom dette kurset. Descartes skriver, i sin Discours de la méthode (1637), om sitt søk etter en sann metode for å oppnå sikker kunnskap: Jeg hadde studert litt, da jeg var yngre, i filosofien, logikk, og i matematikken, geometri og algebra, tre kunster eller vitenskaper, som så ut til å ha noe å tilføre min målsetning. Men, når jeg gransket dem, forekom det meg, hva gjaldt logikken, at dens syllogismer og de fleste andre av dens forskrifter, heller brukes til å forklare for andre de tingene man vet, eller 1

til og med, som Lulles kunst 1, å snakke uten omdømme, om dem man ikke kjenner til, enn å lære seg dem. Og selv om den innheholder mange retningslinjer som visst er sanne og gode, er det så mange andre, blandet med dem, som er enten skadelige eller overflødige, at det er nesten like vanskelig å skille dem som å hugge ut en Diane elle Minerva av en ubearbeidet marmorblokk. Dernest, for de eldres geometri og de modernes algebra, foruten at de bare omhandler meget abstrakte emner, som virker ubrukelige, er den første så bundet opp til betrakning av figurer, at den ikke kan trene fatteevnen uten å slite ut forestillingsevnen; og man har, i den andre, i så stor grad underkastet seg visse regler og koder, at man har gjort den til en konfus og obskur kunst, som hindrer tanken, i stedet for en vitenskap som utvikler den. Dette var grunnen til at jeg tenkte at man måtte lete etter en annen metode, som hadde fordelene ved disse tre, men var unntatt fra deres ulemper. Og siden mangfoldighet av lover ofte brukes som dekke for lastefull ferd, slik at en stat er bedre regulert, om den har få, som er desto bedre overholdt; således, i stedet for det store antall regler som logikken består av, har jeg kommet til å tro at jeg vil kunne nøye meg med følgende fire, såfremt jeg er i stand til å ta den faste og varige beslutning, å ikke en eneste gang vike fra dem: Den første er å aldri godta noe som sant, som jeg ikke erkjenner som opplagt sådan: det vil si å nøye unngå forhastelser og forutinntatte slutninger; og ikke inkludere noe mer i mine bedømmelser enn det som forekommer meg så klart og tydelig at jeg ikke har noen anledning til å trekke det i tvil. Den andre er å dele opp alle de vanskeligheter jeg vil undersøke, i så små bestanddeler som mulig, og så mange som kreves for bedre å løse dem. Den tredje er å føre mine tanker i rekke, ved å begynne med de enkleste og mest lettfattelige tingene, for så gradvis å stige mot innsikt i de mest sammensatte; og anta en orden selv mellom dem som ikke naturligvis følger av hverandre. Den siste er i alt å lage oppregninger så fullstendige, og oversikter så generelle, at jeg er sikker på å ikke utelate noe. Følgende sitat fra Pirsigs Zen and the art of motorcycle maintenance (1974) sier også noe vesentlig, ikke bare om bruksanvisninger: 1 Raymond Lulle, 1235 1315, (Ramón Llull på katalansk) beskriver i sin Ars Magna en metode for å gi bevis i filosofiske såvel som teologiske spørsmål, ved hjelp av et abstrakt språk og et logisk maskineri. 2

0.4 Et dikt Dette var tilskuermanualer. [...] Og det forekom meg at ingen manual tar for seg det virkelige anliggendet i motorsykkelvedlikehold, det viktigste av alt. Å bry seg om det man gjør ses enten på som uviktig eller tas for gitt. En matematikers Dao Veien som veilegges Er ikke den endelige vei Navnet som nevnes Er ikke det endelige navn Stillhet er opphav til himmel og jord Kall er mor til multiplisitet I null ser vi unnfangelse I én ser vi fullbyrdelse Disse to : samme kilde Kallet med ulike navn Sammen kaller vi dem mørke I mørkere mørkhet Unnfanges uendelighetene Noen friheter med Daodejing av Lao Tzu 3

0.5 Matematikk, sannhet, bevis, struktur Matematikk har et spesielt forhold til begrepet sannhet. Det som skiller matematikeres omgang med påstander fra for eksempel naturviteres er at sannheten etableres ved hjelp av bevis (heller enn å fremsette hypoteser og konfrontere prediksjoner med fysiske eksperimenter). Matematikere enes på forhånd om hva som er grunnleggende sannheter og hva som utgjør gyldig argumentasjon. Vi er ikke istand til å definere alle matematiske objekter. Noen vil for eksempel si at naturlige tall er et slags urkonsept, som ikke lar seg definere ved hjelp av enklere konsepter. Men vi kan enes om noen grunnleggende egenskaper ved de naturlige tallene (for eksempel Peanos aksiomer) og utlede mer kompliserte påstander (for eksempel at hvert hele tall har en primtallsfaktorisering, hva nå det betyr). Beviste påstander som fremstår som spesielt viktige kalles teoremer. På vei fra aksiomene til teoremene introduseres gjerne nye matematiske objekter ved hjelp av definisjoner. I Hilberts aksiomatisering av den Euklidske geometrien var for eksempel punkter, linjer og plan urkonsepter som ikke lar seg definere. Derimot kan man definere hva en triangel er, ut ifra disse urkonseptene. Det har blitt sagt at aksiomer er definisjoner i forkledning. Et av de mest kjente teoremene er det oppkalt etter Pytagoras. Tolket som en relasjon mellom arealene til tre firkanter knyttet til en triangel med en rett vinkel er ikke påstanden opplagt, og sannheten i påstanden kan fremstå som noe å meditere over. Etymologien til ordet teorem tilsier også det, da theos er gresk for gud. For Pytagoras disipler var ikke religion og vitenskap adskilt som idag. Hva vil det si å bevise Pytagoras teorem? For Pytagoras besto nok argumentet essentielt i en tegning, hvor det ikke er helt klart hva som anses som allerede kjent. Hilberts allerede nevnte aksiomer er en moderne fremstilling av Euklids aksiomer. Euklids verk Elementene inneholder to bevis for Pytagoras teorem. De færreste moderne matematikere ville ha noe å utsette på disse bevisene, men man kan likevel poengtere at Hilbert ryddet litt opp i grunnlaget. Elisha Scott Loomis har skrevet en bok med 367 bevis for Pythogoras teorem. Man kan også jobbe innenfor koordinatgeometrien, og da fremstår Pytagoras teorem nesten som en definisjon: Man tar utgangspunkt i Pytagoras teorem for å definere lengder til linjestykker, og utleder Pytagoras teorem for rettvinklede trekanter, gitt at både lengder og ortogonalitet er definert ved hjelp av skalarprodukt. Grekerne var fortrolige med hele tall. Lengder er ikke akkurat tall i fysikkens verden, der en måleenhet på spesifiseres. Men forhold mellom lengder tilsvarer forhold mellom tall, brøker. Forhold mellom hele tall gir opphav til det vi kaller de rasjonale tallene. Pytagoreerne var nok klar over at forholdet mellom lengde på diagonalen i en firkant og lengden på sidene ikke kunne uttrykkes som et rasjonalt tall. Hva slags tall er det da?vi skal komme til- 4

bake til 2 senere, både hvordan dette tallet kan defineres fra aksiomer og hvordan det kan bevises at det ikke kan være et rasjonalt tall. Men man behøver ikke gå så langt for å støte på interessante påstander. Både Leibniz og Poincaré har diskutert bevis for utsagnet 2 + 2 = 4. Whitehead og Russel har gitt et bevis for at 1+1 = 2, men det finner jeg mer suspekt! Matematikeres interesse for strukturer er av nyere dato. Vi er vant til at vi kan addere reelle tall. Men vi adderer også polynomer, vektorer og matriser. Man definerer de to siste fra det første, og man kan se på det at man bruker tegnet «+» i begge sammenhenger som et godt valg av notasjon. Men hvor mye har polynom, vektor og matrise addisjon til felles med addisjon av reelle tall? Mange regneregler for reelle tall kan overføres. Ser vi istedet på multiplikasjon, så er det færre regneregler som overføres, men likevel ganske mange. Hvis vi starter med å tenke på disse regnereglene som aksiomer, for en ellers uspesifisert mengde av noe vi tenker på som tall, hva kan vi si generelt om slike tallstrukturer? Slike spørsmål vil vi komme tilbake til senere. Når man tenker struktur, forandres fokus fra hva matematiske objekter er i seg selv, til hva man kan gjøre med dem. 1 1.1 Logikk La oss si vi ønsker å snakke om visse objekter. Det vi ønsker å si om disse objektene uttrykkes som visse utsagn. Utsagn om objekter formuleres som at de har visse egenskaper, eventuelt at det er relasjoner mellom dem. Vi anser at vi ikke kan definere disse konseptene, men la oss likevel gi noen eksempler på hva vi har i tankene og presisere språkbruken. De naturlige tallene 0 og 1 er eksempler på matematiske objekter. Vi vil senere møte andre objekter, som mengder og funksjoner. 0 = 0 er et sant utsagn. Dets sannhetsverdi er altså 1. På en annen side er 0 = 1 et usant utsagn. Dets sannhetsverdi er altså 0. 0 ( : 0 er ikke et usagn, da uttrykket ikke tilfredsstiller kriteriene for korrekt formulert matematikk. 0 2 er et sant utsagn. Man kan tolke det som at «1 er positiv». Her vil «positiv» være en egenskap, og vi påstår at objektet 2 har denne egenskapen. Man kan også tolke det som at «mindre enn» er en relasjon, og at de to objektene 0 og 2 tilfredsstiller denne relasjonen. Senere kan vi møte på mer kompliserte utsagn slik som: 5

57 er et primtall 2. uttrykket «x er et partall og et primtall» er ikke et utsagn med mindre vi har sagt på forhånd hvilket objekt x er. Derimot kan vi snakke om egenskapen som for et gitt tall x sier at x er et partall og et primtall. Det er bare ett tall med den egenskapen. 1729 er det minste tallet som kan uttrykkes som en sum av kuber på to forskjellige måter 3. det finnes uendelig mange primtall. For at dette skal være utsagn må vi være klare på definisjonene spesielt til «primtall» og «uendelig», og de skal vi komme tilbake til. Fokus vil være på hvordan man går fra aksiomer og definisjoner, til slike utsagn, hvordan man argumenterer seg frem, hvordan man beviser sanne utsagn. Utsagn. Et utsagn har en sannhetsverdi, som enten er 0 (usant) eller 1 (sant). Det er ikke viktig hvilke symboler man bruker for usant og sant, man kan for eksempel også bruke og dersom man foretrekker det. Vårt ønske er å bestemme sannhetsverdien til (kompliserte) utsagn. Utsagn kan kombineres ved hjelp av konnektiver, for å danne nye utsagn. De vanligste konnektivene er: negasjon: ( P ) uttales «ikke P». Én og bare én av de to påstandene P og P er sann. konjunksjon: (P Q) uttales «P og Q» og brukes i betydning «både og». disjunksjon: (P Q) uttales «P eller Q» og utelukker ikke at «P og Q» (i motsetning til påstanden «enten P eller Q»). implikasjon: (P = Q) uttales «P impliserer Q» eventuelt «hvis P så Q» eller «P medfører Q». Utsagnet uttrykker at Q er minst like sann som P. ekvivalens: (P Q) uttales «P er ekvivalent med Q» eventuelt «P hvis og bare hvis Q». Utsagnet uttrykker at Q er akkurat like sann som P. Logiske konnektiver har en sannhetstabell. Dersom er et konnektiv, vil sannhetstabellen bestemme sannhetsverdien til utsagnet P Q, for alle de 2 Dette kalles på spøk for Grothendiecks primtall, se Wikipedia! 3 En anekdote fra livet til Ramanujan, se filmen The man who knew infinity. 6

mulige sannhetsverdiene til usagnene P og Q. P Q P Q P Q P = Q P Q 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 (1) Sannhetstabellen til negasjon er: P P 0 1 1 0 (2) Matematisk implikasjon oppfører seg noen ganger forskjellig fra det vi måtte oppfatte som kausalitet. Ta for eksempel: 0 = 1 = RH. (3) Dette utsagnet er sant, uansett hva Riemann Hypotesen (RH) er. Legg merke til at når P er usant så er (P = Q) alltid sant, og at (P = Q) er usant bare når P er sant mens Q er usant. Utsagn kan kombineres trinnvis, for å danne sammensatte utsagn. Dersom P og Q er utsagn kan vi for eksempel danne (P (P = Q)) og (P (P = Q)) = Q. I en slik kontekst kaller vi P og Q for grunnutsagn. Vi får følgende sannhetstabell, som gir sannhetsverdien for sammensatte utsagn ut ifra sannhetsverdien til grunnutsagnene. P Q P = Q P (P = Q) (P (P = Q)) = Q 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 (4) Mer generelt kan vi si at sannhetstabeller brukes til å finne ut, på en mekanisk måte, hva sannhetsverdien til sammensatte utsagn er, i tilfeller hvor det ikke er klart. Man kan også danne sammensatte utsagn basert på flere grunnutsagn. For eksempel, dersom P, Q og R er utsagn kan vi danne utsagnene ((P Q) R) og (P (Q R)). Disse to utsagnene har samme sannhetsverdi uansett hva sannhetsverdien til P, Q og R er. Et sammensatt utsagn som er sant uansett verdien til grunnutsagnene kalles en tautologi. Vi har for eksempel sett at ((P (P = Q)) = Q) er en tautologi, siden utsagnet er sant uansett sannhetsverdiene til P og Q. Sammensatte utsagn Φ og Ψ sies å være ekvivalente når Φ Ψ er en tautologi. 7

Eksempel 1.1. Dersom P og Q er utsagn, har utsagnet (P = Q) samme sannhetsverdi som utsagnet (( P ) Q), uansett hva sannhetsverdien til P og Q er. Vi sier at (P = Q) og (( P ) Q) er ekvivalente utsagn. (P = Q) (( P ) Q) (5) Det kan være nyttig å tenke på det siste nærmest som en definisjon av det første. Ved å sammenlikne kolonner i sannhetstabellen får vi også at P Q og P (P = Q) er ekvivalente utsagn: (P Q) (P (P = Q). (6) Utsagnene P Q og (P = Q) (Q = P ) er ekvivalente, og noen ganger er det også greit å tenke på dette som en definisjon av P Q. Merk også at utsagnet P = Q er ekvivalent med ( Q) = ( P ). Det er grunnlaget for såkalt kontrapositive argumenter. Mer om argumentasjon senere. Egenskaper. Dersom P er en egenskap og x et objekt, skrives utsagnet «x har egenskapen P» også P (x), som uttales «P av x». Eksempel 1.2. Vi kan anse «positiv» for å være en egenskap, og da vil «positiv(x)» tilsvare (x 0). Vi kan velge å heller uttale (x 0) som «x er større enn 0» eller «x er positiv». Vi skiller denne egenskapen fra «strengt positiv». At «x er strengt positiv» skrives også (x > 0). Konnektiver kan også brukes på egenskaper. For eksempel, dersom P og Q er egenskaper, vil (P Q) være en egenskap som gitt objekt x gir utsagnet (P (x) Q(x)). Likeledes, dersom P og Q er egenskaper, er egenskapen (P = Q), den som gitt objekt x gir egenskapen (P (x) = Q(x)). Men det hender man er upresis og anser (P = Q) for å være et utsagn, nemlig det at alle objekter som tilfredsstiller P også tilfredsstiller Q. Man kan danne utsagn fra egenskaper ved hjelp av kvantorer. La P være en egenskap. Eksistensiell kvantor: ( x P (x)) uttales «Det eksisterer x slik at P (x)» eventuelt «Det eksisterer x med egenskap P». Universell kvantor: ( x P (x)) uttales «For alle x har vi at P (x)» eventuelt «Alle x har egenskap P». Her er eksempel på bruk av eksistensiell kvantor: 8

Eksempel 1.3. Siden objektet 0 tilfredsstiller 0 = 0 kan vi skrive: x x = x. (7) Siden 0 2 kan vi skrive: Her er eksempler på bruk av universell kvantor: x 0 x. (8) Aksiom 1.1 (Likhet). Relasjonen likhet tilfredsstiller følgende: La x være et objekt. Vi har da x = x. Vi skriver: x x = x. (9) La x og y være objekter. Hvis x = y så y = x og omvendt. Vi skriver: x y x = y y = x, (10) La x, y og z være objekter. Da har vi at hvis x = y og y = z så x = z. Vi skriver: x y z (x = y y = z) = x = z, (11) For enhver egenskap P har vi også at dersom x og y er objekter slik at x = y så er P (x) og P (y) ekvivalente utsagn 4. x y x = y = (P (x) P (y)). (12) Aksiom 1.2 (Par). 5 Dersom x og y er objekter kan vi danne et nytt objekt (x, y) kalt «paret x komma y». Pardannelse har egenskapen at for alle objekter x, y, a, b så gjelder det at (x, y) = (a, b) hvis og bare hvis x = a og y = b. I symboler blir det: x y a b (x, y) = (a, b) (x = a y = b). (13) 4 Man kan også nærmest definere x = y som utsagnet at objektene x og y har akkurat de samme egenskapene og da er det fristende (foreslått av Leibniz) å ville bevise de foregående aksiomene for likhet basert på dette prinsippet. 5 Denne terminologien er ikke helt standard. Dessverre har ikke norsk to ord slik som fransk, hvor man kan skille mellom «paire» og «couple». Franskmenn bruker ordet «couple» for (x, y) og «paire» for det jeg kommer til å skrive {x, y}. Engelsktalende bruker ofte «ordered pair» for det første og «pair» for det andre... 9

Mengder. Det matematiske konseptet mengde har sitt opphav i vår intuisjon om samlinger av objekter. Utsagnet at objekt x tilhører mengden A skrives x A, som uttales «x tilhører A» eller eventuelt «x er element av A». Et element i A er altså et objekt som tilhører A. Aksiom 1.3 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Det vil si: (A = B) ( x x A x B). (14) Hvis P er en egenskap kan vi som regel danne en mengde A bestående av de objektene som har egenskapen P. Tilsvarende, hvis A er en mengde kan vi si at det å tilhøre A er en egenskap. Vi tenker på mengder som eksempler på objekter mens egenskaper er noe som lever i språket. Anta at P er en egenskap og at vi har funnet en mengde A slik at: Da skriver vi: x x A P (x) (15) A = {x : P (x)}, (16) som uttales «A er lik mengden av x slik at P (x)». Det følger av likhetsaksiomet for mengder at en slik mengde A er éntydig bestemt av P. Eksempel 1.4. Egenskapene «positiv» og «strengt positiv» gir mening for reelle tall, og de respektive mengdene skrives R + og R +. Som regel ønsker man å begrense kvantorene til visse mengder av objekter. Man bruker følgende forkortelser: ( x A P (x)) uttales «det eksisterer x i A slik at P (x)». Det betyr ( x x A P (x)). ( x A P (x)) uttales «for alle x i A har vi at P (x)». Det betyr ( x x A = P (x)). I praksis vil egenskaper bare gi mening når de anvendes på objekter i visse mengder: uttrykket P (x) er velformulert, slik at det er et utsagn (med en sannhetsverdi), bare for visse objekter x, gjerne de som tilhører en gitt mengde. Relasjoner. Relasjoner kan tolkes som egenskaper ved par. At paret (x, y) har egenskapen R skrives R(x, y), som uttales «R av x komma y». For noen relasjoner vil notasjonen være anderledes, man skriver heller xry. For eksempel er likhet den relasjonen som gitt paret (x, y) av objekter danner utsagnet som skrives x = y. Man kunne vurdert å skrive = (x, y) for dette utsagnet, men det er uvanlig! Dersom R er en relasjon og x et objekt kan vi danne egenskapen R(x, ), den som gitt et objekt y gir utsagnet R(x, y). 10

Eksempel 1.5. For eksempel er er relasjon som gir mening for reelle tall, og «positiv» er egenskapen (0 ). Når R er en relasjon er det som regel viktig å skille på utsagnene: Det eksisterer x i A slik at for alle y i B gjelder R(x, y): x A y B R(x, y), For alle y i B eksisterer det x i A slik at R(x, y): y B x A R(x, y). Den ene er alltid sterkere enn den andre, hvilken? Hva mener man egentlig med : «Det eksisterer x i A slik at R(x, y) for alle y i B»? Situasjonen er annerledes for to eksistensielle og to universelle kvantorer. Det hender også at man er slapp og skriver for eksempel: i stedet for: x, y A R(x, y), (17) x A y A R(x, y). (18) Bemerkning 1.1. Er det behov for å snakke om relasjoner mellom flere variabler enn to, kan vi bruke ordet predikat. Negasjon. Følgende ekvivalenser brukes ofte (og kan sjekkes ut ifra sannhetstabellene): (P Q) ( P Q) (19) (P Q) ( P Q) (20) (P = Q) (P Q) (21) (P Q) ((P Q) ( P Q)) (22) Vi har også ekvivalensene (som kan anses som aksiomer): ( x P (x)) ( x P (x)) (23) ( x P (x)) ( x P (x)) (24) Ved å kombinere det over får man ekvivalensene: ( x A P (x)) ( x A P (x)) (25) ( x A P (x)) ( x A P (x)) (26) I praksis er det ofte nyttig å skrive om utrykkene til venstre til de til høyre (heller enn omvendt...) og fordelen med formalismen er at dette kan gjøres helt mekanisk: 11

Eksempel 1.6. La A R og la f : A R være en avbildning. At f er kontinuerlig skrives: x A ɛ R + δ R + y A x y < δ = f(x) f(y) < ɛ. (27) Hvordan da skrive at f er diskontinuerlig? Vinner vi noe på det? 12