Oppgave 1 Beviskalklen i læreboka inneholder sluttningsregelen QR: {ψ φ}, ψ ( xφ). En betingelse for å anvende regelen er at det ikke finnes frie forekomste av x i ψ. Videre så inneholder beviskalklen aksiomet Q1: Oppgave a ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ. Forklar kort og uformelt hva det betr at det finnes frie forekomster av x i ψ. Gi et enksempel på en førsteordens formel med frie forekomster av x. I formelen [R(x, )] forekommer x fritt siden x ikke fanges inn av en kvantor. (Variabelen forekommer ikke fritt i formelen.) Oppgave b Forklar kort og uformelt hva det betr at t er substituerbar for x i φ. Gi et eksempel på en førsteordens formel φ og en term t hvor t ikke er substituerbar for x i φ. Termen f() er ikke substituerbar for x i formelen [R(x,)]. Det skldes at variabelen i termen f() vill fanges av en kvantor dersom f() settes inn for x i formelen [R(x,)]. Teorem (I). La n 1, og la φ 1,...,φ n være førsteordens formler hvor variabelen ikke forekommer. Da har vi { x 1 [φ 1 ],..., x n [φ n ] } [(φ 1 ) x 1... (φ n ) xn ]. ( (φ i ) x i Oppgave c er formelen φ i hvor x i er erstattet med.) Vis teorem (I). Beviset skal ikke referere til lemmaer og teoremer fra læreboka. Vi innfører et lemma. Lemmaet vil også brukes i løsningsforslaget til oppgavene 2d og 2e. Lemma (A). (i) La t være substituerbar for x i ψ. Da har vi x[ψ] ψ x t. (ii) Hvis ψ, så x[ψ]. Vi viser punkt (i) av lemmaet ved å gi en { x[ψ]}-utledning av ψ x t : 1. x[ψ] 2. x[ψ] ψt x Q1 3. ψt x 1,2,PC. Vi viser punkt (ii) av lemmaet ved å utlede x[ψ] fra ψ: 1. ψ 2. = E1 3. = ψ 1,PC 4. = [ψ] 3,QR 5. [ψ] 2,4,PC. 1
Nå kan vi enkelt vise Teorem (I): Ved punkt (i) av lemmaet, har vi { x 1 [φ 1 ],..., x n [φ n ] } (φ i ) x i for i = 1,... n. Siden kalklen inneholder regelen PC, har vi { x 1 [φ 1 ],..., x n [φ n ] } (φ 1 ) x 1... (φ n ) xn. Ved punkt (ii) av lemmaet, har vi { x 1 [φ 1 ],..., x n [φ n ] } [(φ 1 ) x 1... (φ n ) xn ]. Oppgave 2 La L være førsteordens språket {c, f, g} hvor f og g er unære funksjonsmboler og c er et konstantsmbol. La φ x[f(f(x)) = f(x)] (φ sier at f er idempotent) ψ x[g(f(x)) = x] (ψ sier at g er inversfunksjonen til f) θ x[f(x) = c] (θ sier at f er en konstantfunksjon) η x[f(x) = x] (η sier at f er identitetsfunksjonen). Oppgave a Gi en L-struktur A slik at A = φ og A = ψ. Grunnmengden A er gitt ved A = {0,1}. Videre, la c A = 0 f A (0) = 0 og f A (1) = 1 g A (0) = 1 og g A (1) = 0. Oppgave b Gi en L-struktur B slik at B = φ og B = ψ. Grunnmengden B er gitt ved B = {0,1}. Videre, la c B = 0 f B (0) = 1 og f B (1) = 0 g B (0) = 1 og g B (1) = 0. 2
Oppgave c Forklar hvorfor {φ} ψ og {ψ} φ. Svar kort. Beviskalklen er sunn, dvs. dersom Σ φ, så holder φ i alle strukturer for Σ (sunnhetsteoremet). Lemma I. Vi har 1. t 1 = t 1 2. t 1 = t 2 t 2 = t 1 3. t 1 = t 2 t 2 = t 3 t 1 = t 3 for alle L-termer t 1, t 2 og t 3. Oppgave d Vis at {θ} φ ved å gi en {θ}-utledning av φ. Du kan bruke lemma (I) uten å føre et bevis for lemmaet. Hvis du bentter andre lemmaer, så bør du vise dem. Oppgave e 1. f(x) = c Lemma A 2. f(f(x)) = c Lemma A 3. f(f(x)) = f(x) Lemma I,PC 4. x[f(f(x)) = f(x)] Lemma I Vis at {φ,ψ} η ved å gi en {φ,ψ}-utledning av η. Du kan bruke lemma (I) uten å føre et bevis for lemmaet. Hvis du bentter andre lemmaer, så bør de bevises. 1. f(f(x)) = f(x) Lemma A;φ 2. f(f(x)) = f(x) g(f(f(x))) = g(f(x)) E2 3. g(f(f(x))) = g(f(x)) 1,2,PC 4. g(f(f(x))) = f(x) Lemma A;ψ 5. g(f(x)) = f(x) Lemma I, 3,4,PC 6. g(f(x)) = x Lemma A;ψ 7. f(x) = x Lemma I,5,6,PC 8. x[f(x) = x] Lemma I,7. La A betegne grunnmengden til L-strukturen A, og la A betegne kardinaliteten til A. Videre, la n være et heltall større eller lik 1, og la ξ n betegne en L-formel slik at A = ξ n hvis og bare hvis A = n. (ξ n sier at grunnmengen inneholder nøaktig n elementer.) Oppgave f Gi en formel ξ 3 med den nevnte egenskapen. 3
xz[x x z z] xzw[x = x = z x = w = z = w z = w]. Oppgave g La Σ = {φ,ψ,ξ 17 }. Forklar hvorfor Σ er en fullstendig teori, dvs. forklar hvorfor vi for enhver L-formel α har enten Σ α eller Σ α. La A være en modell for Σ. Enhver modell for Σ vil være isomorf med A (grunnmengden vil bestå av 17 elementer og både f og g må tolkes som indentitetsfunksjonen, konstanten c kan tolkes forskjellig fra modell til modell). Vi har altså A = α Σ = α Σ α. (Den siste implikasjonen holder pga kompletthetsteorem for førsteordens logikk.) Dermed, siden vi har enten A = α eller A = α, så har vi også enten Σ α eller Σ α. Oppgave 3 Du finner et løsningsforslag skrevet på engelsk nedenfor. Problem 3 The first order language L NT = {0,S,+,,E,<} is known from the textbook. The L NT - structure N, often called the standard model, is also known from the textbook. N is the set of natural numbers. N is the universe of the standard model. Let a,b,c N. We sa that a equals b modulo c, written a = b (mod c), if a and b ield the same remainder when divided b c. Oppgave a Give an L NT -formula φ(x,,z) such that for all a,b,c N. Solution: N = φ(a,b,c) if and onl if a = b (mod c) φ q 1 r 1 < z q 2 r 2 < z[x = q 1 z + r 1 = q 2 z + r 2 r 1 = r 2 ] 4
Oppgave b Construct an L NT -structure A with universe A such that (i) N A and N A and (ii) for each L NT -formula σ, we have A = σ if and onl if N = σ. Solution: Let L NT be L NT extended with the fresh constant smbol c. Let ψ n denote the formula n < c, and let Γ = Th(N) {ψ n n N} where Th(N) = {φ N = φ}. Let N k be the L NT-structure with universe N where c N k = k; otherwise N k interpret everthing as the standard structure N, i.e. 0 N k = 0 N and + N k = + N, and so on. Let Γ be an arbitrar finite subset of Γ. We have N k = Γ for some sufficientl large k. Hence, ever finite subset of Γ has a model, and then, b the Compactness Theorem, Γ has a model A. We prove (ii). We have A = T h(n) since T h(n) Γ and A = Γ. This proves N = φ A = φ (*) for an L NT -formula φ. To prove the right-left implication, assume there exists and L NT - formula φ such that A = φ and N = φ. Then, N = φ. B (*) we have A = φ. Thus, we have A = φ and A = φ, and this is a contradiction. This proves N = φ A = φ for an L NT -formula φ. We prove (i). We can without loss of generalit assume that N = {n A n N}. (A is obviousl isomorphic to a structure where n A is the natural number n.) For an m,n N, we have N = n < m A = n < m and there exists no m N such that N = n < m holds for all n N. (No natural number is greater than all natural number!) Let ω = c A. Then, for an n N, we have A = n < x[s[x ω]]. This proves that ω N, and hence N A. Oppgave c Let A be the structure from Problem b, and let φ(x,,z) be the formula from Problem a. Moreover, let s :Vars A be an arbitrar assignment function. Show that there exist infinitel man a A \ N such that A = φ(x,0,2)[s[x a]]. Solution: Let s x a be alternative notation for s[x a]. It is eas to see that a 1 A \ N and a 1 < A a 2 a 2 A \ N and a 1 a 2. (**) We have Thus, b Problem b (ii) N = x [x < φ(,0,2)]. A = x [x < φ(,0,2)] 5
Let b A \ N. We have Thus, there exists a A, such that A = [x < φ(,0,2)][s x b ]. A = x < φ(,0,2)[s x, b,a ]. Hence, we have A = φ(,0,2)[s a], and b (**), we have a A \ N. This shows that for an b A \ N there exists a A \ N such that A = φ(x,0,2)[s x a ] and a < A b. It follows easil that there exist infinitel man a A \ N such that A = φ(x,0,2)[s x a ]. 6