Eksamensoppgaver ØVINGSHEFTE DEL 2 OPPGAVER Vormedal ungdomsskole 13. DESEMBER 2016
Del 2 skal leveres innen 5 timer Maks 36 poeng Hjelpemidler: Se side 2 Vi reiser til Italia Oppgave 1 (2 poeng) I denne oppgaven ser vi bort fra vekslingsgebyr. a) En familie skal reise til Italia. En dag kjøper familien disse eurosedlene i en norsk bank: 1 (euro) koster 9,3165 norske kroner i banken. Hvor mange norske kroner betaler familien for eurosedlene? b) En valutakalkulator på Internett viser at du får 1389,78 for 13 000 norske kroner. Hvor mye koster 1 ifølge valutakalkulatoren? Side 1
Oppgave 2 (8 poeng) a) Familien bruker kofferter med kodelås. Koden består av fire sifre fra 0 til 9. Hvor mange forskjellige koder kan familien lage med en slik kodelås? b) Far har glemt koden til sin kodelås. Han husker at to av sifrene er 7, og at de to andre sifrene er 3, men han husker ikke rekkefølgen.???? Skriv opp de ulike kombinasjonene. c) I framtiden kan målene på tillatt håndbagasje på fly bli mindre. Bestem volumet av håndbagasjen etter framtidens mål og etter dagens mål. 55 cm 56 cm 35 cm 20 cm 45 cm 25 cm Framtidens mål Dagens mål d) Avisen Aftenposten skriver at endringen av målene betyr at største tillatte volum for håndbagasje vil bli nesten 40 % mindre enn i dag. Kontroller om det stemmer. Side 2
Oppgave 3 (4 poeng) Familien leier en bil i Venezia, og planlegger å kjøre disse tre strekningene i Italia: Venezia Firenze Firenze Pisa Pisa Roma 287 km 83 km 371 km a) Bilen bruker i gjennomsnitt 0,45 L bensin per mil. Bensinprisen er 1,65 per liter. Hvor mange euro koster bensinen til sammen hvis familien bare kjører de tre strekningene som er vist ovenfor? b) Familien kjører mer enn de tre strekningene. Leie av bilen koster 640 pluss 0,35 per kilometer. Når ferien er slutt, betaler familien til sammen 948 for leie av bilen. Hvor mange kilometer har familien faktisk kjørt? Side 3
Oppgave 4 (4 poeng) REGNEARK I Firenze møter familien Gina, som er servitør på en restaurant. En del av lønnen hennes er bestemt av hvor mye hun selger av tre typer varmretter. For hver av disse tre varmrettene får Gina en viss prosent av salgsinntekten som lønn. Nedenfor ser du pris per porsjon antall porsjoner som Gina selger hvor mange prosent av salgsinntektene Gina får i lønn for hver av de tre varmrettene en bestemt dag Penne arrabiata Pasta bolognese Stracotto Pris per porsjon: 8 Antall porsjoner: 12 Lønn: 8 % Pris per porsjon: 10 Antall porsjoner: 30 Lønn: 10 % Pris per porsjon: 15 Antall porsjoner: 25 Lønn: 6 % a) Bruk regneark til å vise at Gina får til sammen 60,18 i lønn for salget av varmrettene denne dagen. Vis hvilke formler du har brukt. b) En annen dag selger Gina 14 porsjoner penne arrabiata, 25 porsjoner pasta bolognese og 21 porsjoner stracotto. Prisene og prosentene er uendret. Bruk regnearket til å bestemme hvor mye Gina får i lønn til sammen denne dagen. Side 4
Oppgave 5 (4 poeng) I nærheten av Firenze ble kunstneren og vitenskapsmannen Leonardo da Vinci født. To av hans mange berømte kunstverk er «Det siste måltid» «Den vitruviske mann» Leonardo da Vinci (1452 1519) «Det siste måltid» (Vedlegg 1) «Den vitruviske mann» (Vedlegg 2) Vedlegg 1 og 2 finner du på side 13 og 14. Riv ut sidene med vedleggene. Begge vedleggene skal leveres inn som en del av besvarelsen din. a) Bruk vedlegg 1. Tegn perspektivlinjer. Marker hvor forsvinningspunktet på kunstverket er. b) Bruk vedlegg 2. Ta mål av mannen når han står med bena samlet og armene rett ut, og avgjør om disse påstandene er riktige: 1. Lengden fra langfingertupp til langfingertupp (armspennet) er lik høyden til mannen. 2. Lengden av en hånd er lik 1 10 av høyden til mannen. 3. Lengden fra albuen til langfingertuppen er lik 1 5 av høyden til mannen. 4. Forholdet mellom lengden av en fot og høyden til mannen er 1 : 7. Side 5
Oppgave 6 (4 poeng) Familien stopper ved Det skjeve tårn i Pisa. Det blir fortalt at Galileo slapp tunge blykuler fra den laveste siden av tårnet. Hele fallhøyden er 44,4 m. Se figuren nedenfor. Galileo Galilei (1564 1642) 44,4 m Hvis vi slipper en kule fra toppen og ser bort fra luftmotstanden, vil kulen falle h meter på t sekunder. Galileo viste at h 4,9t 2 a) Vi setter h 44,4 m. Vis ved regning at det tar ca. 3 s fra vi slipper kulen, til den treffer bakken. b) Vis ved regning at kulen faller ca. 25 m i løpet av det siste sekundet. Side 6
Oppgave 7 (4 poeng) GRAFTEGNER Galileo viste at kanonkuler går i en bane som vi kaller en parabel. Se skissen nedenfor. hx ( ) (antall meter over havet) x (antall meter fra kanonen) Banen til en kanonkule kan beskrives ved hjelp av funksjonen h gitt ved h x x x 2 ( ) 0,01 20 Her viser hx ( ) hvor mange meter kanonkulen er over havet når den har kommet x meter fra kanonen, målt langs havoverflaten. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til h for x-verdier fra og med 0 til og med 120. b) Bruk graftegner til å bestemme hvor høyt over havet kanonkulen er på sitt høyeste. Side 7
Oppgave 8 (4 poeng) Fibonacci-tallene har fått navn etter Leonardo Fibonacci fra Pisa (ca. 1170 ca. 1250). Fibonacci-tallene er en tallfølge der de to første tallene er 1. Hvert av de neste tallene er summen av de to tallene foran: 1 1 2, 1 2 3, 2 3 5, 3 5 8 og så videre. De åtte første Fibonacci-tallene er 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 a) Skriv opp de neste fire Fibonacci-tallene i tallfølgen ovenfor. I tallfølgen nedenfor er de to første leddene a og b. Hvert av de neste leddene er summen av de to leddene foran. a, b, a b, a 2b, 2a 3b, 3a 5 b, b) Skriv opp de fire neste leddene i denne tallfølgen. Side 8
Oppgave 9 (2 poeng) Bildet viser en del av bygningen Palazzo Vendramin-Calergi i Venezia. Nedenfor ser du en skisse av den øvre delen av vinduene. Skissen viser tre halvsirkler og én sirkel. Sirkelen tangerer alle de tre halvsirklene. Punktet B er sentrum i den store halvsirkelen. Punktet A er sentrum i en av de små halvsirklene. Punktet C er sentrum i sirkelen. Linjestykket r er radius i sirkelen. C r A B 80 cm Regn ut lengden av radien r. Side 9
Vedlegg 1 Kandidatnr.: Eksamen MAT0010 Matematikk Våren 2016 Oppgave 5 a) Del 2 (Leonardo da Vinci) Side 10
Vedlegg 2 Kandidatnr.: Eksamen MAT0010 Matematikk Våren 2016 Oppgave 5 b) Del 2 (Leonardo da Vinci) Løs oppgave 5 b) her: Påstand 1: Påstand 2: Påstand 3: Påstand 4: Side 11
Del 2 skal leveres innen 5 timer Maks 36 poeng Hjelpemidler: Se side 2 Hos bonden Oppgave 1 (2 poeng) På «Bondens marked» selger bonden varer direkte til kundene. Vare Poteter, løs vekt (1 kg) Poteter, sekk (5 kg) Blomkål (per stk.) Gulrøtter, løs vekt (1 kg) Gulrøtter, sekk (10 kg) Gårdsegg (1 brett med 20 egg) Pris 10,00 kroner 45,00 kroner 12,50 kroner 12,00 kroner 90,00 kroner 40,00 kroner Miriam kjøper 3,5 kg poteter i løs vekt, 2 stk. blomkål og 1 sekk med 10 kg gulrøtter. a) Regn ut hva Miriam må betale til sammen for disse varene. Mikael kjøper gulrøtter (i løs vekt) og 1 brett med gårdsegg. Han betaler i alt 100,00 kroner. b) Regn ut hvor mange kilogram gulrøtter (i løs vekt) Mikael kjøper. Side 12
Oppgave 2 (3 poeng) Forhjulet på en traktor har diameter d 24'' (tommer). 1'' 2,54 cm. d 24'' a) Regn ut omkretsen til forhjulet. Oppgi svaret i centimeter. Når forhjulet har gått 3,0 ganger rundt, har bakhjulet gått 1,7 ganger rundt. b) Regn ut diameteren til bakhjulet. Oppgi svaret i tommer. Side 13
Oppgave 3 (5 poeng) Oppgave 3 skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt. Isak vil bygge et kyllingfjøs og får et serielån i banken. Lånebeløpet er 3 600 000 kroner. Han vil betale ned lånet med én termin per år i 10 år. Renten er 4,0 % per år. Nedenfor ser du et oppsett for nedbetalingsplanen fra banken. Alle beløp er oppgitt i kroner. a) Fullfør nedbetalingsplanen i et regneark. b) Framstill terminbeløp for hvert år i et passende diagram. Isak vurderer å betale ned lånet i løpet av 8 år med én termin per år. Renten er fortsatt 4,0 % per år. c) Hvor mye mindre betaler Isak i renteutgifter totalt ved å redusere antall terminer til 8? Side 14
Oppgave 4 (5 poeng) I oppgave 4 b), c) og d) skal du bruke graftegner på datamaskin. En modell som kan vise hvordan vekten til et lam øker etter fødselen, er gitt ved funksjonen V( x) 0,28 x 5 Vx ( ) er vekten til et lam målt i kilogram x dager etter fødselen. a) Hvor mye veier et nyfødt lam? Hvor mye øker vekten til et lam per dag? b) Bruk graftegner til å tegne grafen til V når 0 x 150. c) Bestem grafisk hvor mye et lam veier når det er 75 dager gammelt. Et lam slaktes når det veier mer enn 45 kg. d) Bestem grafisk hvor mange dager gammelt et lam minst må være når det slaktes. Side 15
Oppgave 5 (6 poeng) Christian skal hugge ned et tre som står loddrett på et flatt område. Christian står og ser mot treet fra et punkt B til et punkt A på treet. Toppen av treet kaller vi punkt C. Se skisse 1. C Skisse 1 A 9,0 m 60 B 1,8 m a) Regn ut høyden til treet ved hjelp av opplysningene i skisse 1. Neste dag skinner solen. Vi antar at solstrålene er parallelle. Christian vil kontrollere utregningen sin ved å regne ut høyden til treet på en annen måte. Skyggen til treet er 14,5 m. Skyggen til Christian er 1,5 m. Se skisse 2. Skisse 2 1,8 m 14,5 m 1,5 m b) Regn ut høyden til treet ved hjelp av opplysningene i skisse 2. Side 16
Et annet tre på samme område knekker i en kraftig storm. En del av treet blir hengende slik skisse 3 viser. Tretoppen berører bakken. Skisse 3 x m 4,2 m Christian vet at dette treet var 18,0 m høyt før det knakk. Avstanden mellom tretoppen på bakken og trestammen er 4,2 m. c) Regn ut hvor høyt over bakken treet knakk. Side 17
Oppgave 6 (6 poeng) En silo er satt sammen av en rett sylinder og en rett kjegle. Radien r 1,05 m er den samme i både sylinderen og kjeglen. Høyden i kjeglen er 1,8 m. Se skissen nedenfor. 1,05 m x h m 1,05 m 1,8 m a) Regn ut volumet av kjeglen. Volumet av hele siloen er 3 14,5 m. b) Regn ut høyden av hele siloen. I en liknende silo er radien i både sylinderen og kjeglen lik r. Høyden i sylinderen er h 1. Høyden i kjeglen er h 2. Forholdet mellom volumet av sylinderen og volumet av kjeglen er 6 : 1. c) Regn ut forholdet mellom h 1 og h 2. Side 18
Platon Platon (ca. 428 f.kr. ca. 347 f.kr.) var en berømt gresk filosof. Han var også matematiker og grunnla et berømt akademi i Athen. Fra Platon har vi navnet på de platonske romlegemene. I et platonsk romlegeme er alle sideflatene regulære mangekanter og helt like (kongruente). Antall sideflater i romlegemet er F, antall hjørner er H og antall sidekanter er K. Oppgave 7 (2 poeng) Nedenfor ser du tre av de platonske romlegemene. Figur 1: Tetraeder Figur 2: Heksaeder Figur 3: Oktaeder a) Skriv av tabellen nedenfor, og fyll inn tallene som mangler. Antall sideflater F Antall hjørner H Antall sidekanter K Tetraeder 4 4 6 Heksaeder Oktaeder b) Regn ut F H K for hvert av romlegemene. Lag en regel. Side 19
Oppgave 8 (2 poeng) Platon forteller om filosofen Sokrates og Menons slave, som diskuterer hvordan de kan gjøre arealet av et kvadrat dobbelt så stort. a) Et kvadrat har side 1,0 cm. Dersom siden i kvadratet fordobles, hva skjer da med arealet? Forklar. b) Bruk figuren nedenfor og vis at arealet av kvadratet BEFD er dobbelt så stort som arealet av kvadratet ABCD. F D C E A B Oppgave 9 (5 poeng) Et pytagoreisk trippel er tre hele tall a, b og c der slike pytagoreiske tripler ser du nedenfor. 2 2 2 a b c. Platons formel for å finne Platons formel Eksempel når n 2: ( n 1) (2 n) ( n 1) 2 2 2 2 2 når n 2, 3, 4, (2 1) (2 2) (2 1) 2 2 2 2 2 3 4 5 2 2 2 Dermed er (3, 4, 5) et pytagoreisk trippel. a) Regn ut hvilket pytagoreisk trippel du får dersom n 6. b) Tallene (120, 22, 122) er et pytagoreisk trippel. Hva er verdien av n i dette tilfellet? c) Vis at ( 1) (2 ) 2 2 2 n n ( 1) 2 2 n ved å regne ut venstre side og høyre side i likningen. Side 20
OPPGAVESETT 1 Oppg 1 (2p) a) Miriam må betale til sammen 150,- kr for disse varene b) Mikael kjøper 5 kg gulerøtter Formler som er brukt: Side 21
Oppg 2 (3p) Har brukt CAS i ggb, brukte kommandoene Løs og Nløs Oppg 3 (5p) Side 22
3b) 3c) Side 23
Oppg 4 (5p) a) V(x) = 0,28x + 5 har fastledd 5 ): V(0) = 5 Lammet veier 5 kg ved fødselen Stigningstallet er 0.28 - derfor Øker vekten med 0.28 kg per dag b) c) og d) Forklaring: Skrev inn funksjonen V ved å bruke kommandoen funksjon med grenseverdier 0 og 150. Skrev inn x=75 og y= 45 og brukte kommandoen skjæring mellom to objekt. Konklusjon: c) Ved avlesning ser jeg at når et lam er 75 dager gammelt så veier det 26 kg d) For at et lam skal slaktes ved en vekt på over 45 kg så må det være minst 143 dager Oppg 5 (6p) a) 30, 60 og 90 grader 18 m hypotenus b) c) Treet er 17,4 m høyt Treet er 17,4 m høyt Trekantene er formlike da vinklene er like store, pga at solstrålene er parallelle og begge er vinkelrette Treet knakk 8.5m over bakken Har brukt CAS i ggb, brukte kommandoen Nløs Side 24
Oppg 6 (6p) a) V kjegle = π 1,052 1,8 3 = 2,08, Volumet av kjegla er 2,08 m 2 b) π 1,052 1,8 + π 1,05 2 (h 1,8) = 14,5 3 π 1,05 2 (0,6 + h 1,8) = 14,5 : (π 1,05 2 ) h 1,2 = 14,5 π 1,05 2 + 1,2 h = 5,39 m c) 2 6 ( π r2 h 2 ) = π r 2 h 3 1 2 π r 2 h 2 = π r 2 h 1 2 h 2 = h 1 Får da at forholdet mellom h 1 i sylinderen og h 2 i kjegla er 2: 1 Oppg 7 (2p) a) b) Regel Dersom en summerer antall hjørner og antall sideflater og trekker fra antall kanter i et platonsk legeme får en alltid to. Side 25
Oppg 8 - (2p) a) S = 1cm gir A = 1cm 1cm = 1cm 2, S = 2 cm gir A = 2cm 2cm = 4 cm 2 Arealet 4 dobles b) Flere alternative løsninger På figuren er 1 det stor kvadratet BEFD dekket av det minste kvadratet ABCD, flyttes resten av det minste kvadratet inn i det store 4 kvadratet vil halvparten være dekket, hvis AB = 1, gir BD 2 = 1 2 + 1 2 = 2 får da at BD = 2, Arealet av ABCD = 1 2 = 1 og Arealet av BEFD = ( 2) 2 = 2 kan da konkludere med at BEFD er dobbelt så stort som ABCD Oppg 9 (5p) a) b) c) Har brukt CAS i ggb, brukte kommandoene bytt ut og løs Konklusjon: Høyre side er lik venstre side Side 26
Løsningsforslag OPPGAVESETT 2 Oppg 1 (2p) a) b) Familien betaler 8198,52 kr for sedlene 1 koster 9,35 kr ifølge valutakalkulatoren Løste oppg a og b i cas ved å benytte verktøyet «numerisk» Oppg 2 (8p) a) Familien kan lage 10000 forskjellige koder b) Det finnes 6 mulig kombinasjoner 7733, 7373, 7337, 3377, 3737, 3773 c) d) Volum etter framtidens mål er 38,5L og etter dagens mål 63L Fant at endringene fører til at håndbagasjen blir 39% mindre ): omtrent 40% mindre Ved overslag: 25 100 65 40 Løste oppg a, c og d i cas ved å benytte verktøyene «Løs», «NLøs» og «numerisk» Side 27
Løsningsforslag Oppgave 3 (4p) a) b) Multipliserte sum kjørelengde pr mil med forbruk og kostnad pr mil. Til sammen koster bensinen 55.02 for de tre strekningene Trekker gebyret fra totalkostnaden, dividerer dette på kostnad pr kilometer for å finne kjørelengde. Familien har kjørt 880 km Løste oppg a og b i CAS ggb ved å benytte verktøyet «numerisk» Oppgave 4 (4p) a) Inntekt Gina Har i regnearket vist at Gina får til sammen 60,18 denne dagen Formler som er brukt: b) En annen dag: En annen dag får Gina 52,86 Side 28
Løsningsforslag Oppgave 5 (4p) a) Perspektivlinjer og forsvinningspunkt (det er mulig å tegne flere) b) 1. Sann 2. Sann 3. usann 4. Sann 140 140 = 1 140 10 = 14 140 5 35 20 7 = 140 Side 29
Løsningsforslag Oppgave 6 (4p) a) Har vist ved regning at det tar omtrent 3 sekunder før kulen treffer bakken Regnet ut i cas ved å sette inn h=44,4 meter i utrykker, benytter verktøyene «ByttUt» og «NLøs» b) Regnet ut i cas ved å sette inn t=2 som er den tiden kula har falt når det er igjen 1s, trekker høyden fra totalhøyden for å finne høyden for det siste sekundet Fant at kulen faller omtrent 25 meter det siste sekundet. Regnet ut i cas og brukte verktøyene «ByttUt» og «numerisk» Oppgave 7 (4p) Forklaring: Skrev inn funksjonen med grenseverdier ved å benytte kommandoen «funksjon», fant høyeste punkt over havet ved å benytte kommandoen «ekstremalpunkt» a) Se graf b) Kula er på sitt høyeste når den er 50 meter fra kanonen, den er da 45 meter over havet. Side 30
Løsningsforslag Oppgave 8 (4p) a) 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55, 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144 De fire neste tallene er 34, 55, 89 og 144 Løst i cas ved å summere to rader forut, benyttet verktøyet «symbolsk utregning» b) (2a + 3b) + (3a + 5b) = 5a + 8b (3a + 5b) + (5a + 8b) = 8a + 13b (5a + 8b) + (8a + 13b) = 13a + 21b (8a + 13b) + (13a + 21b) = 21a + 34b Løst i cas ved å summere to rader forut, benyttet kommandoen «symbolsk utregning» De fire neste leddene er: 5a + 8b, 8a + 13b, 13a + 21b og 21a + 34b Oppgave 9 (2p) Benytter Pytagoras: (40 + r) 2 = 40 2 + (80 r) 2 40 2 + 80r + r 2 = 40 2 + 80 2 160r + r 2 240r 240 = 6400 240 r = 80 3 = 26 2 3 40 Radiusen til den minste sirkelen 26,67 cm (Velger ikke å ta hensyn til antall gjeldene siffer da sirklene skal tangere hverandre, det krever noe mer nøyaktighet enn 27, brøk eller desimaltall) Løste oppgaven ved regning i CAS i GeoGebra, brukte Pytagoras og verktøyet «Løs», Radiusen til den minste sirkelen = 80 3 cm Side 31