TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har lært. Oppgavene skal besvares uten å bruke læreboka eller tabellen. Bestem det/de riktige svaret/svarene for hvert spørsmål. a) Hendelse Hva er en hendelse? 1. Et utfall som inntreffer sjelden 2. En mengde av enkeltutfall 3. Konvergens av relative hyppigheter 4. Et stokastisk forsøk som ikke kan gjentas under samme betingelser b) Disjunkte hendelser To disjunkte hendelser er 1. To hendelser som ikke kan inntreffe samtidig 2. To hendelser som bare kan inntreffe samtidig 3. To umulige hendelser 4. To hendelser som har minst ett enkeltutfall felles c) Kast en mynt to ganger. Da er det (når en ikke tar hensyn til rekkefølgen) 1. mer sannsynlig å få to kron enn å få en mynt og en kron 2. mindre sannsynlig å få to kron enn å få en mynt og en kron 3. like sannsynlig å få to kron som å få en mynt og en kron d) Hvor mange tre-sifrede tall av tallene 1,2,3,4,5 fins det? a. Trekker med tilbakelegging, ordnet: 1. 15 2. 60 3. 125 4. 243 5. 1000 b. Trekker uten tilbakelegging, ordnet: 1. 15 2. 60 3. 125 4. 243 5. 1000 e) Betinget sannsynlighet La A og B være to disjunkte hendelser. Hva er da P (A B)? 1. 1 2. 0 3. Ikke definert 4. P (A) + P (B) 5. 1 2 oving7-oppg-b 29. september 2008 Side 1

f) Total sannsynlighet Setningen om total sannsynlighet sier: La A 1,... A r være en oppdeling av utfallsrommet S (dvs. at hendelsene A j er parvis disjunkte og tilsammen oppfyller hele utfallsrommet) og la B være en vilkårlig hendelse. Da gjelder: 1. P (B) = r j=1 P (A j)p (B A j ) 2. P (B) = r j=1 P (A j)p (A j B) 3. P (B) = r j=1 P (B j)p (A B j ) 4. P (B) = r j=1 P (A j)p (B A j ) 5. P (B A j ) = r j=1 P (A j)p (B A j ) g) Uavhengighet Hva vil det si at to hendelser A og B er uavhengige? 1. At de ikke kan inntreffe samtidig 2. At de ikke er disjunkte 3. At de er disjunkte 4. At P (A B) = P (A)P (B A) 5. At P (A B) = P (A)P (B) 6. At de forekommer i atskilte stokastiske forsøk 7. At A er inneholdt i B eller omvendt h) Diskret variabel En stokastisk variable sies å være diskret fordelt dersom: 1. Den har bare endelig mange mulige verdier 2. Den har endelig eller tellbart uendelig mange mulige verdier 3. De mulige verdier er tallene 1,2,3,... 4. De mulige verdier er mengden av alle reelle tall 5. De mulige verdier er et intervall [a, b] på tallinjen, der vi kan ha a = og/eller b = i) Kontinuerlig variabel En stokastisk variable sies å være kontinuerlig fordelt dersom: 1. Den har bare endelig mange mulige verdier 2. Den har endelig eller tellbart uendelig mange mulige verdier 3. De mulige verdier er tallene 1, 2, 3,... 4. De mulige verdier er mengden av alle reelle tall 5. De mulige verdier er et intervall [a, b] på tallinjen, der vi kan ha a = og/eller b = j) Punktsannsynlighet diskret variabel Punktsannsynligheten p(x) for en diskret stokastisk variabel X tilfredsstiller:

1. p(x) > 0 for alle reelle tall x 2. p(x) > 0 for alle mulige verdier for X 3. p(x) > 0 for x = 1, 2,... 4. p(x) er en strengt voksende funksjon av x 5. p(x) er overalt ikke-avtagende som funksjon av x 6. x p(x) = 1 k) Fordelingsfunksjon diskret variabel Fordelingsfunskjonen F (x) for en diskret stokastisk variabel X tilfredsstiller: 1. F (x) er definert for alle reelle tall x 2. F (x) > 0 for alle reelle tall x 3. F (x) > 0 for alle mulige verdier for X 4. F (x) > 0 for x = 1, 2,... 5. F (x) er en strengt voksende funksjon av x 6. F (x) er overalt ikke-avtagende som funksjon av x 7. x F (x) = 1 8. lim x F (x) = 1 9. F (0) = 0 l) Forventning og varians En stokastisk variabel X har punktsannsynlighet: p( 1) = 0.5, p(1) = 0.5. En stokastisk variabel Y har punktsannsynlighet: p( 2) = 0.5, p(2) = 0.5. 1. X har mindre forventingsverdi enn Y 2. X har større forventingsverdi enn Y 3. X og Y har samme forventningsverdi, nemlig 0 4. X har mindre varians enn Y 5. X har større varians enn Y 6. X og Y har samme varians 7. SD(X) = 1, SD(Y ) = 2 m) Ved innføringen av bomringen i Trondheim vil 80% av bilistene ha køfri- brikke. For en gruppe på 10 bilister, hva er sannsynligheten for at alle har køfri-brikke? 1. 0.2 10 2. 1 0.2 10 3. 0.8 10 4. 1 0.8 10 5. 0.8/10 = 0.08 n) En urne inneholder 7 røde og 5 grønne kuler. Trekk 3 kuler - og la X være antall grønne blant de 3. Mulige sannsynlighetsfordelinger for X kan være: 1. X er binomisk fordelt. 2. X er poissonfordelt. 3. X er hypergeometrisk fordelt. Skriv riktig tall (1,2 eller 3) for fordeling i situasjonene nedenfor.

a.... De 3 kulene trekkes med tilbakelegging. b.... De 3 kulene trekkes uten tilbakelegging. o) Kontinuerlige variable La X være en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f(x) og fordelingsfunksjon F (x). Sett ring rundt de utsagn nedenfor som er korrekte. 1. 0 f(x) 1 for alle x. 2. f(x) 0 for alle x. 3. 0 F (x) 1 for alle x. 4. F (x) > 0 for alle x. 5. F (x) er en ikke-avtagende funksjon. 6. f(x) er en ikke-avtagende funksjon. 7. f(x) er stykkevis kontinuerlig 8. f (x) = F (x) for alle unntatt muligens endelig mange x. 9. F (x) = f(x) for alle unntatt muligens endelig mange x. 10. P (X = x) = 0 for alle verdier av x. 11. P (X = x) > 0 for alle unntatt muligens endelig mange x. 12. F (x) = x f(u)du. 13. f(x) = x F (u)du. 14. P (a < X b) = b a f(u)du. 15. P (a X b) = b a f(u)du. 16. P (a < X b) = F (b) F (a). p) Forventningsverdi og varians La X være en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f(x) og fordelingsfunksjon F (x). Sett ring rundt de utsagn nedenfor som er korrekte. 1. E(X) = xf(x)dx 2. E(X) = x2 f(x)dx 3. E(X) = xf (x)dx 4. E(X) er alltid lik den verdi av x der f(x) er størst 5. Var(X) = x2 f(x)dx 6. Var(X) = x2 f(x)dx hvis E(X) = 0 7. Var(X) = (x E(X))2 f(x)dx 8. Var(X) = x2 f(x)dx [E(X)] 2 q) Eksponensialfordelingen Hva mener en med at eksponensialfordelingen ikke har hukommelse? (T eksp(λ)) 1. Den er vanskelig å huske.

2. La T være levetiden til en lyspære. En ny lyspære har like stor sannsynlighet for å leve i 10 timer som en lyspære som virker etter 100 timer har å leve i 10 timer til. 3. P (T > y) = P (T > x + y T > x) 4. Parameteren λ endrer seg hele tiden. Eksponensialfordelingen husker ikke sin verdi av λ. r) Funksjon av stokastisk variabel La X være kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f X (x), og la Y = e X. Da blir sannsynlighetstettheten til Y: 1. f Y (y) = f X (e y )e y 2. f Y (y) = f X (ln y)e y 3. f Y (y) = f X (ln y) 1 y s) La X være normalfordelt med forventningsverdi µ og varians σ 2. La Y = ax + b for gitte konstanter a og b. Sett ring rundt de riktige utsagn nedenfor. 1. Y er ikke nødvendigvis normalfordelt 2. Y er normalfordelt 3. Hvis a = 1/σ og b = µ/σ, så er Y standard normalfordelt 4. E(Y ) = aσ + b 5. E(Y ) = aµ + b 6. Var(Y ) = aσ 7. Var(Y ) = a 2 σ 2 8. Var(Y ) = aσ 2 + b 2 t) La X være normalfordelt med forventningsverdi µ og varians σ 2. Hvilken av følgende transformasjoner av X gir en standard normalfordeling (dvs. N(0,1))? 1. Z = X µ σ 2. Z = X µ σ 2 3. Z = X µ µ 4. Z = X µσ u) La Φ(x) være fordelingsfunksjonen i standard normalfordelingen. Sett ring rundt de riktige utsagnene nedenfor. 1. Φ(x) = 1 2π e x2 2 4. Φ( x) = Φ(x) 7. Φ( x) = 1 Φ(x) 2. Φ(x) = 1 Φ( x) 5. Φ( x) = Φ(x) 8. Φ(0) = 0 3. Φ(0) = 0.5 6. Φ(0) = 1 9. lim x Φ(x) = 0 v) La X 1 og X 2 være diskrete stokastiske variable, hver med mulige verdier 0, 1, 2, 3,.... Sett ring rundt det riktige utsagnet nedenfor. 1. P (X 2 = 0 X 1 = 0) + P (X 2 = 1 X 1 = 0) + P (X 2 = 2 X 1 = 0) + P (X 2 = 3 X 1 = 0) +... = 1 2. P (X 2 = 0 X 1 = 0) + P (X 2 = 0 X 1 = 1) + P (X 2 = 0 X 1 = 2) + P (X 2 = 0 X 1 = 3) +... = 1 w) La X 1 og X 2 være to stokastiske variable, diskrete eller kontinuerlige. Sett ring rundt de korrekte utsagnene nedenfor. 1. Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 )

2. Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) 3. Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) 4. Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) 5. Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) hvis X 1 og X 2 er stokastisk uavhengige 6. Cov(X 1, X 2 ) = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) 7. Cov(X 1, X 2 ) = E(X 1 X 2 ) hvis X 1 og X 2 er stokastisk uavhengige 8. Cov(X 1, X 2 ) = E(X 1 )E(X 2 ) hvis X 1 og X 2 er stokastisk uavhengige 9. E(X 1 X 2 ) = E(X 1 )E(X 2 ) hvis X 1 og X 2 er stokastisk uavhengige x) La X 1 og X 2 være uavhengige stokastiske variable. La Y = X 1 X 2 og Z = 1 2 (X 1 +X 2 ). Sett ring rundt de riktige svarene nedenfor: Fasit 1. Var(Y ) = Var(X 1 ) Var(X 2 ) 2. Var(Y ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 3. Var(Z) = 1 2 (Var(X 1) + Var(X 2 )) 4. Var(Z) = 1 4 (Var(X 1) + Var(X 2 )) 5. Var(Z) = 1 4 Var(Y ) 6. Var(2Z) = Var(Y )