Inf 3170
Logiske symboler Konnektiver Kvantorer Har fast tolking Ikke-logiske symboler Relasjonssymboler Funksjonssymboler Ariteten er alltid gitt Tolkningen kan variere
Vi får formelspråket Start med atomære formler Bygger opp med konnektiver og kvantorer Trenger variable for kvantorene Frie og bundne variable Setning formel uten frie variable Signatur gir ikke-logiske symboler Gyldig, tilfredsstillbar, falsifiserbar, kontradiktorisk
Databaser Spørsmål: formel med en fri variabel Spesifikasjoner x-inn y-ut..sammenheng mellom x og y Ofte er signaturen kjent på forhånd Utsagnslogikk, predikatlogikk (første ordens logikk)
Utsagnslogikk - sannhetstabeller Lar seg ikke generalisere til predikatlogikk Sekventkalkyle lar seg generalisere Idé : systematisk falsifikasjon Sekvent (eller ) : antesedent, formler en prøver å gjøre sanne : suksedent, formler en prøver å gjøre usanne
Sekventkalkyle for utsagnslogikk Aksiom:, F, F Regler:, F, G, F, G, F G, F G, F, G, F, G, F G, F G, F, F, F, F Analysetolking : tolking nedenfra og oppover, systematisk falsifikasjon, prøver å få antesedentene sanne og suksedentene usanne, forgrening tolkes disjunktivt Syntesetolking : tolking ovenfra og nedover, gyldighet, prøver å få fra sanne antesedenter til minst en sann suksedent, forgrening tolkes konjunktivt Kan generaliseres til predikatkalkyle
Gitt en setning F. Kan F falsifiseres? Lag et analysetre over F bladene inneholder bare atomære formler F er i roten og treet er lagd ved analysereglene Prosessen terminerer. To mulige utfall Fins grein uten aksiom. Greinen gir en falsifikasjon av F Alle greiner inneholder aksiomer. F er gyldig.
Lar seg generalisere til predikatkalkyle Analyserer ikke flere formeldeler enn nødvendig i motsetning til sannhetstabeller Men.. Problemer med snittregel ( F er snittformel), F F,
Bryter med at analysetreet kan beregnes fra rota. F er ikke bestemt fra konklusjonen. Det viser seg at snittregelen er vesentlig for å få korte bevis. Snitt kan elimineres på bekostning av en voldsom økning av høyden av analysetreet. Analysetreet kan behandles som et søkeproblem. Med snitt inviterer en til gjetting og backtracking. Snitt brukes i praktisk argumentasjon snittformelen kan sees som en hjelpeformel, et hjelpeteorem.
Et lemma er på formen, LEMMA TEOREM LEMMA TEOREM Spesialtilfelle av SNITT Vi eliminerer LEMMA ved å erstatte det med et bevis for det. Problemet er når vi bruker LEMMA flere ganger. Da kan vi erstatte flere korte nevninger av LEMMA med flere lange bevis. Vi eliminerer snitt på samme måte og med samme problem.
Representasjon av sekventer Antesedent og suksedent er mengder av formler. Det rimelige er å ta begge som bags eller som mengder. Rekkefølgen skal ikke spille noen rolle. Må kunne spore en del av en formel oppover i treet fra konklusjon til premiss i reglene. Må kunne erstatte en slik sporet del med noe annet. Tenk deg f eks at du har H i rota. Den kan spores oppover i analysetreet. Så vil du erstatte alle disse forekomstene med K. Da erstatter du analysetreet med et annet analysetre.
Transformasjon av analysetrær Anta at du har analysetre A over F G, Da kan du lage analysetre B over F, slik at B er ikke større enn A Anta at du har analysetre C over Da kan du lage analysetre D over, H slik at D er ikke større enn C Med slike og liknende transformasjoner kan vi transformere analysetrær og ha kontroll på størrelsen.
Et snitt, F G F G,
Blir erstattet med flere mindre snitt (mindre snittformel), F, G F,, G G, Vi får flere kopier av analysetreet fått fra F G,. Så må vi passe på at disse kopiene bare gir opphav til nye snitt som er mindre.
Transformasjonen
Strategi Velg snitt som er med maksimal kompleksitet av snittformel og høyest opp i analysetreet Eliminer det Gjenta inntil alle snitt er eliminert Ved hvert trinn kan vi fordoble analysetreet mot å eliminere et snitt med maksimal kompleksitet Eksponensiell vekst
Kan eliminere snitt men mot at en får eksponensiell vekst av analysetreet. Dette er et første resultat i bevisteori. Vi bruker analysetrærne som objekter for å konstruere mer kompliserte analysetrær. Resultatet vises på liknende måte i predikatlogikk.