Eksamen : ECON230 Statstkk Exam: ECON230 Statstcs UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: Onsdag 20. ma 200 Sensur kunngjøres: Torsdag 2. jun Date of exam: Wednesday, May 20, 2009 Grades wll be gven: Thursday June 2 Td for eksamen: kl. 4:30 7:30 Tme for exam: 2:30 p.m. 5:30 p.m. Oppgavesettet er på 8 sder The problem set covers 8 pages Englsh verson on page 5 Tllatte hjelpemdler: Alle trykte og skrevne hjelpemdler, samt lommekalkulator er tllatt Resources allowed: All wrtten and prnted resources, as well as calculator s allowed Eksamen blr vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårlgste ståkarakter. F er kke bestått. The grades gven: A-F, wth A as the best and E as the weakest passng grade. F s fal.
ECON 230 EKSAMEN 2009 VÅR Oppgave Fra 8 mannlge kanddater velges 6 ut ved loddtreknng (slk at alle har samme sjanse for å bl trukket ut) tl å delta et TV-program. Arne og Bjørn er to av kanddatene. La A være begvenheten at Arne trekkes ut, og B at Bjørn trekkes ut. A. () Hvor mange kke-ordnete utvalg på 6 fra 8 er det alt? () () Utvalget trekkes en og en (altså alt 6 treknnger). Hva er sannsynlgheten for at Arne blr trukket ut som nr.? Etter at 5 er trukket ut vser det seg at Arne fortsatt kke er kommet med utvalget. Hva er da sannsynlgheten for at han blr trukket ut som sstemann den 6. treknngen? B. () 3 5 Vs at PA ( ) = og PA ( B) =. [Hnt. Bruk for eksempel 4 28 hypergeometrske sannsynlgheter]. () Fnn PA ( B). Er A, B dsjunkte og/eller uavhengge begvenheter? Begrunn svaret. C. Etter treknngen vste det seg at både Arne og Bjørn kom med. De 6 utvalgte blr nå stlt opp ved sden av hverandre en rekke på en slk måte at alle mulge ordnnger rekkefølge er lke sannsynlge. Fnn sannsynlgheten for at Arne og Bjørn havner ytterst på hver sn sde rekken (altså Arne ytterst tl venstre og Bjørn ytterst tl høyre eller omvendt). Oppgave 2 Innlednng. TV-Norge kjører for tden en program-sere som heter Jakten på den 6. sans der en gruppe antatt senstve personer blr utsatt for forskjellge typer av oppgaver som utfordrer den 6. sansen. I hver epsode blr en av deltakerne elmnert på grunnlag av hvor lte vedkommende får tl, slk at det tl slutt sste program blr stående gjen en vnner. En av utfordrngene programmet, som v skal se på, er som følger: Seks personer av samme kjønn blr stlt opp ved sden av hverandre en rekke. Forsøkspersonen, som v kaller FP, får utdelt seks navnesklt som skal henges på personene rktg rekkefølge slk at hver person rekken får stt eget navn hengt på seg. FP får så poeng etter hvor mange rktge tlordnnger av navn tl person FP klarer basert på sn ntusjon. 2
La X være antall rktge tlordnnger av navn tl person som FP klarer. V betrakter X som en stokastsk varabel med sannsynlghetsfordelng som generelt vl avhenge av hvor senstv FP er overfor utfordrnger av denne typen. I det speselle tlfellet at FP kke er senstv det hele tatt, slk at hver tlordnng av navn tl person er en ren gjetnng, kan det vses (som du slpper) at sannsynlghetsfordelngen for X blr som angtt tabell. Tabell Fordelng for X tlfelle FP kke er senstv. x 0 2 3 4 5 6 PX ( = x) 53 = 0, 368 44 = 0, 367 30 3 = 0,88 6 = 0, 056 8 = 0, 02 0 48 = 0, 00 720 (Brøkene er eksakte sannsynlgheter mens desmaltallene er avrundet tl tre desmaler) A. () Gjør rede for de to sste sannsynlghetene tabell, det vl s PX ( = 5) = 0 og PX ( = 6) = 720 () Vs at forventnngen er EX ( ) = (eller nær om du regner med de avrundete sannsynlghetene). B. () Anta v har en gruppe på n = 30 antatt senstve personer (forsøkspersoner) som alle blr utsatt for navneprøven beskrevet nnlednngen. La X være antall rktge tlordnnger av navn tl person som forsøksperson klarer. V antar X, X2,, Xn er stokastsk uavhengge med EX ( ) = μ, der μ for =, 2,, n. X -ene er altså kke nødvendgvs dentsk fordelte. Innfør gjennomsntts-forventnngen μ = ( μ+ μ2 + + μn) som ny (ukjent) n n parameter. Forklar hvorfor ˆ μ = X = X er en forventnngsrett estmator for n = μ. () Anta nå at ngen av de 30 forsøkspersonene er senstve overfor navneprøven slk at alle X -ene har samme sannsynlghetsfordelng gtt tabell. I så fall er μ = EX ( ) = for alle, og μ =. I tllegg kan man regne ut (du behøver kke å gjøre det) at var( X ) = for =, 2,, n. Beregn et tlnærmet 95% sprednngsntervall for ˆ μ = X dette tlfellet (med n = 30 ). [Hnt. Fnn konstanter c, c2 slk at Pc ( X c2) 0.95. Sentralgrenseteoremet kan benyttes. ] C. Opplegget B kan brukes tl å teste, basert på X, om noen av forsøkspersonene har senstve evner med hensyn på navneprøven. V lar da nullhypotesen,, være at ngen H 0 3
av dem er senstve slk at modellen for X -ene er som beskrevet B() med μ =. Den alternatve hypotesen, H, ser at μ >, som nnebærer at noen av μ -ene må være >. En naturlg test vl dermed være: Forkast H0 hvs X > k, der k er en passende krtsk verd. Bestem k slk at testen får sgnfkansnvå (tlnærmet) 5%. Oppgave 3 VG hadde nylg en artkkel om økende mobbng norske skoler: Stat fra VG 30. aprl 2009: Alt tyder på at flere elever enn på lenge blr mobbet norske skoler. VGs egen rundspørrng blant 670 rektorer Skole-Norge vser at hele 474, eller 7 prosent, har regstrert mobbesaker ved sne skoler løpet av det sste skoleåret. Det er en øknng på 3 prosent fra en lkelydende spørreundersøkelse 2005. La X være antall rektorer som svarer ja på spørsmålet om de har regstrert mobbesaker på sne skoler det sste skoleåret et utvalg på n = 670 skoler Norge. La p betegne andelen av skoler Norge som helhet der det har vært regstrert mobbesaker det sste skoleåret. Som modell antar v at X er bnomsk fordelt, X ~bn( np,, ) der p er en ukjent parameter. A. VG ser ngentng om hvordan utvalget er tatt og hvorvdt det kan anses å være representatvt. Drøft kort hva som bør være oppfylt for at utvalget skal være representatvt og modellen realstsk. B. Beregn et (tlnærmet) 95% konfdensntervall for p basert på de oppgtte data. Hva betyr konfdensgraden 0,95? C. VG fant 2005 en tlsvarende prosent på 58% av skoler som hadde regstrert mobbng. () Har VG, under forutsetnng at utvalget er representatvt, deknng for sn påstand at (den regstrerte) mobbngen norske skoler har økt forhold tl tallet 58% fra 2005? Bruk sgnfkansnvå %. Formuler passende null-hypotese og alternatv hypotese. Sett opp et % forkastnngskrterum, gjennomfør testen ut fra de oppgtte data og formuler en konklusjon. () Er p-verden for testen dn større eller mndre enn 0,0? Begrunn svaret. () Drøft kort om det at den regstrerte mobbngen norske skoler har økt fra 2005 tl 2009 nødvendgvs er det samme som at mobbngen norske skoler har økt fra 2005 tl 2009. 4
ECON 230 EKSAMEN 2009 VÅR ENGLISH VERSION Problem 6 men are drawn at random out of 8 male canddates (n such a way that everyone has the same chance of beng selected) to partcpate n a TV-program. Arne and Bjørn are two of the canddates. Let A be the event that Arne s selected, and B the event that Bjørn s selected A. () What s the number of possble unordered samples of 6 out of 8 canddates that can be selected? () () The sample s drawn ndvdually one by one (.e., all together 6 draws). What s the probablty that Arne s selected as the frst one? After havng drawn 5 of the canddates, t turns out that Arne s stll watng to be selected. What s then the probablty that he wll be selected as the last one n the 6th draw? B. () 3 5 Show that PA ( ) = and PA ( B) =. [Hnt. Use for example 4 28 hypergeometrc probabltes]. () Fnd PA ( B). Are A, B dsjont and/or ndependent events? Gve reasons for your answer. C. After the draw was completed, t turned out that both Arne and Bjørn were selected. The 6 chosen canddates are then lned up sde by sde n a lne n such a way that all possble arrangements n a lne are equally probable. Fnd the probablty that Arne and Bjørn ends up at the two extreme ends (.e., that Arne ends up n frst poston at the left end of the lne and Bjørn n 6 th poston at the rght end, or vce versa). Problem 2 Introducton. TV-Norge s presently showng a program seres called Jakten på den 6. sans ( Chasng the 6 th sense ) where a group of allegedly senstve people are beng subjected to varous types of tests desgned to challenge the 6 th sense. In every epsode one of the partcpants s elmnated based on lowest performance so that a wnner wll fnally appear n the last program. One of the challenges n the program, that we wll consder, s as follows: Sx people of the same gender are placed next to each other n a lne. The tral person, whom we wll call TP, s gven sx nameplates that she or he s supposed to attach to the people n the lne n the rght order such that each person n the lne gets the correct name. Then TP obtans ponts 5
accordng to how many correct attachments of name to person n the lne TP manages based on ntuton alone. Let X be the number of correct attachments of name to person that TP manages. We consder X as a random varable wth a probablty dstrbuton that depends of how senstve TP s wth regard to challenges of ths type. In the specal case that TP s not senstve at all, so that all attachments of name to person are pure guesses, t can be shown (whch you do not need to do) that the probablty dstrbuton of X s as shown n table. Table Dstrbuton of X n case TP s not senstve. x 0 2 3 4 5 6 PX ( = x) 53 = 0, 368 44 = 0, 367 30 3 = 0,88 6 = 0, 056 8 = 0, 02 0 48 = 0, 00 720 (The ratos are exact probabltes whle the decmal numbers are rounded off to 3 decmal places.) A. () Explan the last two probabltes n table,.e., PX ( = 5) = 0 and PX ( = 6) = 720 () Show that the expectaton s EX ( ) = (or near f you use the round off numbers). B. () Suppose we have a group of n = 30 allegedly senstve people (tral people) each of whom s subjected to the name test as descrbed n the ntroducton. Let X be the number of correct attachments of name to person that tral person manages. We assume that X, X2,, Xn are ndependent wth EX ( ) = μ where μ for =,2,, n. In other words, the X s are not necessarly dentcally dstrbuted. Introduce the average expectaton μ = ( μ ) + μ2 + + μn as a new n n (unknown) parameter. Explan why ˆ μ = X = X s an unbased estmator of n = μ. () Suppose now that none of the 30 tral people are senstve wth regard to the name test so that all the X s have the same probablty dstrbuton gven n table. In that case we have μ = EX ( ) = for all, and μ =. In addton we can calculate from table (you do not need to do t) that var( X ) = for =, 2,, n. Calculate n ths case (wth n = 30 ) an approxmate 95% varaton nterval for ˆ μ = X. [Hnt. Fnd constants c, c2 such that Pc ( X c2) 0.95. The central lmt theorem may be used. ] 6
C. The setup n B can be used to test, based on X, whether any of the tral people have senstve abltes wth regard to name test. Let the null hypothess, H 0, be that none of the tral people are senstve wth regard to the name test so that, n that case, the model for the X s s as descrbed n B() wth μ =. The alternatve hypothess,, states that μ >, whch mples that some of the would be: Reject μ s must be H f X > k, where k s a sutable crtcal value. 0 H >. Therefore, a natural test Determne k such that the test has a level of sgnfcance (approxmately) 5%. Problem 3 The newspaper VG had recently an artcle about ncreasng mobbng (bullyng) n Norwegan schools: Quoted from VG 30. Aprl 2009: All evdence ndcate that more pupls than before are now beng bulled n Norwegan schools. Accordng to VG s own opnon poll among 670 headmasters n Norwegan Schools as much as 47, or 7 percent, have regstered cases of bullyng durng the last school year. That s an ncrease of 3 percent from a smlar nvestgaton n 2005. Let X denote the number of head masters who answer yes to the queston f they have regstered cases of bullyng at ther schools durng last school year n a sample of n = 670 schools n Norway. Let p denote the fracton of schools n all of Norway where cases of bullyng have been regstered durng the school year. As a model we assume that X s bnomally dstrbuted, X ~bn( np,, ) where p s an unknown parameter. A. VG does not say anythng about how the sample has been selected and whether the sample can be consdered representatve. Dscuss brefly the condtons that ought to be fulflled n order that the sample can be consdered representatve and the model realstc. B. Calculate an (approxmate) 95% confdence nterval p based on the gven data. What does the confdence level 0,95 mean? C. VG found n 2005 a correspondng percentage 58% of schools that had regstered cases of bullyng. () Assumng that the sample s representatve, s VG justfed n clamng that the percentage of (regstered) cases of bullyng n Norwegan schools has ncreased relatve to the number 58% from 2005? Use the level of sgnfcance %. Formulate a sutable null hypothess and the alternatve hypothess, set up a % rejecton crteron, perform the test based on the gven data, and formulate a concluson. 7
() Is the p-value for your test larger or smaller than 0,0? Gve a reason for your answer. () Dscuss brefly f the fact that the number of regstered cases of bullyng n Norwegan cases n Norwegan schools has ncreased from 2005 to 2009 necessarly s the same as sayng that the number of cases of bullyng n Norwegan schools has ncreased from 2005 to 2009. 8
Observator 200-02 ECON230 3
EKSAMENSBESVARELSE Observator 200-02 32
Observator 200-02 ECON230 33
EKSAMENSBESVARELSE Observator 200-02 34
Observator 200-02 ECON230 35