Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av definisjon av betinget sannsynlighet.) Obs.: Generelt er det ikke slik at: P(AB) = P(A) P(B) (Dette gjelder dersom A og B er uavhengige begivenheter som vi skal lære om siden.) 3 Betinget sannsynlighet Eks.: To tilfeldige kort fra en kortstokk; 4 7
Statistisk uavhengighet (Kp..6) Definisjonen av statistisk uavhengighet er en sannsynlighetsteoretisk formulering av at begivenheter ikke har noe med hverandre å gjøre i statistisk forstand. 5 Statistisk uavhengighet, definisjon Sannsynlighetsteoretisk formulering av at begivenheter ikke har noe med hverandre å gjøre i statistisk forstand. Def.: To begivenheter A og B sies å være statistisk uavhengige dersom P( A B ) = P( A ) 6 8
Statistisk uavhengighet, definisjon P( A B ) = P( A ), utrykker at sannsynligheten for at A skal inntreffe ikke påvirkes av informasjonen om at B har inntruffet (skal inntreffe). Dvs.: informasjonen om B endrer ikke sannsynligheten for at A skal inntreffe. (Dvs.: en rimelig måte å definere uavhengighet på.) 7 Statistisk uavhengighet, definisjon I læreboken s. 73 defineres statistisk uavhengighet ved: P( AB ) = P( A ) P( B ) Det er enkelt å vise at dette er ekvivalente definisjoner. (Den første er enklest å motivere for.) Den siste definisjonen er viktig for å finne sannsynligheten for snittet mellom A og B når begivenhetene er uavhengige! Eks.: To kast med terning; Sanns. for ikke sekser på første og sekser på andre. 8 9
Statistisk uavhengighet, definisjon P( AB ) = P( A ) P( B ) Eks.: To kast med terning; Sanns. for ikke sekser på første og sekser på andre. Løsning: A= ikke sekser på første B= sekser på andre. Vi vil finne: P( AB ) = P( A ) P( B ), siden A og B opplagt er uavh. = (5/6) (/6) = 5/36. 9 Statistisk uavhengighet, flere begivenheter Setning Dersom de k begivenhetene A, A,...,A k er uavhengige, så er: P(A A... A k ) = P(A ) P(A )... P(A k ) (Sannsynligheten for snittet av A, A,...,A k er lik produktet av sannsynligheten for hver enkelt.) 0 0
Statistisk uavhengighet, flere begivenheter Setning Dersom de k begivenhetene A, A,...,A k er uavhengige, så er: P(A A... A k ) = P(A ) P(A )... P(A k ) Eks.: Vi skal gjøre ti kast med et pengestykke. Hva er sannsynligheten for å mynt på alle ti kastene? Statistisk uavhengighet Eks.: For to begivenheter C og D får vi oppgitt at P( C ) = 0.4, P( D ) = 0.6 og P( CD ) = 0.35. Er begivenhetene C og D (statistisk) uavhengige?
Statistisk uavhengighet Eks.: For to begivenheter C og D får vi oppgitt at P( C ) = 0.4, P( D ) = 0.6 og P( CD ) = 0.35. Er begivenhetene C og D (statistisk) uavhengige? Løsning, : C og D er uavhengige dersom P( C D ) = P( C ); P( C D ) = P( CD ) / P( D ) = 0.35/0.6 = 0.583, som ikke er lik P( C ). Derfor er C og D avhengige. 3 Statistisk uavhengighet Eks.: For to begivenheter C og D får vi oppgitt at P( C ) = 0.4, P( D ) = 0.6 og P( CD ) = 0.35. Er begivenhetene C og D (statistisk) uavhengige? Løsning, : C og D er uavhengige dersom P( CD ) = P( C ) P( D ) ; P( C ) P( D ) = 0.4 0.6 = 0.4, som ikke er lik P( CD ). Derfor er C og D avhengige. 4
Lov om total sannsynlighet (Kp..5) S. 7 i boken; vi tar en forenklet versjon Def.: To begivenheter B og B kalles en oppdeling av utfallsrommet dersom.. B B B B = φ, = Ω og : begivenhetene er disjunkte : begivenhetene tilsammen inneholder alle utfall 5 Lov om total sannsynlighet B og B er en oppdeling av utfallsrommet: B B Da gjelder for en hvilken som helst begivenhet A: P( A ) = P( A B ) + P( A B ) = P( A B )P(B ) + P( A B )P(B ) 6 3
Lov om total sannsynlighet I boken er situasjonen at vi har generelt r > begivenheter B, B,..., B r B B Vi avgrenser oss til r =. Når B og B er en oppdeling av utfallsrommet, er det klart at den ene av disse begivenhetene er komplementet til den andre. 7 Lov om total sannsynlighet Bevis: B B Det er klart at : A = AB AB Derfor : P(A) = P(AB AB ) A Det er også klart at AB og AB P(AB AB ) = P(AB ) + P(AB ) er disjunkte, derfor : Resten følger av multiplikasjonsloven for sannsynligheter. 8 4
Lov om total sannsynlighet Eks.: Ved produksjon av en bestemt enhet er to maskiner i bruk, A og B. Maskin A står for 30% av produksjonen og B for 70%. Ved A blir % defekte, ved B 5%. Hvor stor prosent av enhetene ut fra fabrikken er defekte? 30% 70% A B % defekte 5% defekte ut 9 Lov om total sannsynlighet Vi tenker oss at det velges en tilfeldig blant enhetene som kommer ut fra fabrikken. La D = enheten er defekt. Vi er interessert i P( D ) Hvor stor prosent av enhetene ut fra fabrikken er defekte? 30% 70% A B % defekte 5% defekte ut 30 5
Lov om total sannsynlighet Eks.: Vi har en blandet kortstokk; det øverste kortet tas vekk og legges tilside uten at vi ser på det. Det neste kortet trekkes. Hva er sannsynligheten for at det er en konge? 3 3 6
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 007 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 33 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig variabel... Kontinuerlig tilfeldig variabel... Først: enkle diskrete tilfeldige variable 34 7
Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 35 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } Vi vil kvantifisere bestemte egenskaper ved utfallene. (numeriske beskrivelser og behandling av resultatene) 36 8
Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } Vi vil kvantifisere bestemte egenskaper ved utfallene. (numeriske beskrivelser og behandling av resultatene) F.eks.: vi ser på antall mynt (i tre kast) Definer: X = antall mynt i tre kast med pengestykke 37 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 Vi sier at X er en tilfeldig variabel 38 9
Diskrete tilfeldige variable, innledning {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 Matematisk: En tilfeldig variabel er en reell funksjon på utfallsrommet : X(u) tallinjen 39 Diskrete tilfeldige variable, innledning {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 Sannsynlighetene knyttet til utfallene gir bestemte sannsynligheter for de ulike verdiene X kan anta. Dette er sannsynlighetsfordelingen til X F.eks.: P(X=) = P({KMM, MKM, MMK}) = 3/8 40 0
Diskrete tilfeldige variable, innledning {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 En diskret sannsynlighetsfordeling gis ofte i tabell. Fordeling til X: x 0 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 (Obs: sannsynlighetene i en fordeling må summere seg til!) 4 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Y = resultatet i et terningkast y 3 4 5 6 P(Y=y) /6 /6 /6 /6 /6 /6 En tilfeldig variabel er en abstrakt størrelse som kan bli ulike verdier. Resultat/data kan vi oppfatte som utfall av tilfeldige variable. (Mer om dette seinere i kurset.) 4
Diskrete tilfeldige variable, innledning To viktige størrelser i forbindelse med tilfeldige variable / sannsynlighetsfordelinger: Forventning Varians 43 Diskrete tilfeldige variable, forventning Def.: For en diskret tilfeldig variabel Y som kan anta verdiene y, y, y 3,..., defineres forventingen til Y ved: E(Y) = y P(Y= y ) + y P(Y= y ) + y 3 P(Y= y 3 ) +... ( sum av ledd på formen: verdi*sannsynlighet ) Eks.: E(X) = 0(/8)+(3/8)+(3/8)+3(/8) =.5 44
Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: E(X) = 0(/8)+(3/8)+(3/8)+3(/8) =.5 Obs. : forventningsverdien er gjennomsnittsverdien i det lange løp Obs. : forventningsverdien viser sentrum i sannsynlighetsfordelingen. 0,4 0,3 0, 0, 0 0 3 45 Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: E(X) = 0(/8)+(3/8)+(3/8)+3(/8) =.5 Obs. 3: forventingsverdien behøver ikke være et av utfallene til den tilfeldige variable! Obs. 4: forventingsverdien er ikke det samme som modalverdien (mest sannsynlig verdi) eller medianen (median i sannsynlighetsfordelingen). 46 3
Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: Spill; vinner mill. med sanns. /5 000 000; ellers vinnes ingenting. Forventet gevinst? 47 Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: Spill; vinner mill. med sanns. /5 000 000; ellers vinnes ingenting. Forventet gevinst? X = gevinst (0 eller mill.) Fordeling til X: x P(X=x) 0 -/5000000 000000 /5000000 E(X) = 000000(/5000000) = 0.4 Dvs.: ved (mange) gjentatte slike spill, vil gjennomsnittsgevinsten være 0.4. 48 4
Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning Vi får ofte behov for å finne forventning til uttrykk der tilfeldige variable inngår. Det er derfor viktig å vite hvordan vi skal håndtere dette. 49 Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning E: E(aX+b) = ae(x) + b, (X: tilf.var., a,b:konstanter) E3: E(X +X ) = E(X ) + E(X ), (X og X :tilf.var.) 50 5
Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning E: E(aX+b) = ae(x) + b, (X: tilf.var., a,b:konstanter) E3: E(X +X ) = E(X ) + E(X ), (X og X :tilf.var.) E5 (generelt): E(a X +...+ a n X n ) = a E(X ) +...+ a n E(X n ), (X,..., X n :tilf.var., og a,..., a n : konstanter) 5 Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning Def.: Dersom X en diskret tilfeldig variabel som kan anta verdiene x, x, x 3,..., og g er en funksjon, defineres forventingen til g(x) ved: E[g(X)] = g(x ) P(X=x ) + g(x ) P(X=x ) +... Eks.: Forventingen til X : g(x) = X ; E[X ] = x P(X=x ) + x P(X=x ) +... 5 6
Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning Eks.: Fordeling til X: x 0 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 E[X ] = x P(X=x ) + x P(X=x ) +... E(X ) = 0 (/8)+ (3/8)+ (3/8)+3 (/8) = (3/8)+4(3/8)+9(/8) = 4/8 = 3 53 Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: Firma selger el.artikler; innkjøp fra grossist i parti på 50 stk. To tilbud. Grossist A: 3500,- grossist B: 3570,-. Noen defekte; omkostninger: 35,- pr defekt enhet. X=antall defekte fra A, Y=antall defekte fra B; Har at: x 0 3 4 Y 0 P(X=x) 0. 0. 0.3 0.3 0. P(Y=y) 0.4 0.4 0. Hvilken grossist bør velges? 54 7