Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a n (1) n=m hvor a m, a m+1, a m+2,... er konstanter ulik 0 og m et heltall med endelig verdi. En rekke med positive ledd er gitt som i (1), men hvor a m, a m+1, a m+2,... er konstanter med verdier større enn 0. 1.1.2 p-rekker En p-rekke er gitt som n=m hvor m er et heltall med endelig verdi. 1 1 n p (2)
1.1.3 Geometriske rekker En geometrisk rekke er en rekke på formen a 0 r n, (3) hvor a 0 0. n=0 1.1.4 Alternerende rekker En alternerende rekke er en rekke på formen ( 1) n+l a n (4) n=m hvor a m, a m+1,... er positive konstanter som tilfredstiller a n a n+1 for alle n. Videre er m og l heltall med endelige verdier. 1.1.5 Potensrekker En potensrekke er en rekke på formen a n x n (5) hvor a 1, a 2,... er konstanter. n=0 1.1.6 Taylorpolynomer La f være n ganger deriverbar i punktet a. Da er Taylor-polynomet av grad n om x = a for f gitt ved P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k. k! 2
1.1.7 Taylors formel La f være n+1 ganger deriverbar på et åpent intervall I som innholder både a og x, og la f (n+1) være kontinuerlig i I. Da er f(x) = P n (x) + R n (x) der P n er Taylor-polynomet til f av grad n om punktet a og R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! for en c mellom a og x. R n (x) kaller restleddet. 1.1.8 Taylorrekker Går restleddet i Taylors formel for voksende n mot 0 i x, får vi en konvergent Taylor-rekke i x f (k) (a) f(x) = (x a) k. k! k=0 1.2 Rekker med konstante ledd; konvergenstester og restleddsformler 1.2.1 Divergenstesten En rekke med konstante ledd, som gitt i ligning (1), divergerer dersom lim a n 0. n 1.2.2 Integraltesten La f være en positiv, kontinuerlig og avtakende funksjon for x m, og la a n = f(n) for n m. Da gjelder: 3
A. Rekken a n = a m + a m+1 + a m+2 + n=m konvergerer hvis og bare hvis det uegentlige integralet m f(x) dx konvergerer. B. Dersom rekken konvergerer med sum S og N > m, gjelder f(x) dx < S S N < a N+1 + f(x) dx < N+1 N+1 N der S N = a m + a m+1 + a m+2 + + a N. f(x)dx 1.2.3 p-rekker p-rekker, som gitt i ligning (2), konvergerer hvis og bare hvis p > 1. 1.2.4 Sum av geometriske rekker En geometrisk rekke gitt som i ligning (3) konvergerer hvis og bare hvis r < 1. Hvis rekka konvergerer har den sum S = a 0 1 r. 1.2.5 Test for alternerende rekker En alternerende rekke, som gitt i ligning (4), konvergerer hvis lim n a n = 0. La S være summen til en konvergent alternerende rekke. Da gjelder det at S S N a N+1 der S N = N n=m ( 1)n+l a n. Videre har S S N samme fortegn som ( 1) N+1+l a N+1. 4
1.2.6 Sammenligningstesten La n=m a n og n=m b n være to rekker med positive ledd. A. Dersom n=m b n konvergerer og det nnes et tall c slik at a n cb n for alle n, så konvergerer n=m a n også. B. Dersom n=m b n divergerer og det nnes et tall d slik at a n cb n for alle n, så divergerer n=m a n også. 1.2.7 Grensesammenligningstesten La n=m a n og n=m b n være to rekker med positive ledd slik at grenseverdien a n L = lim n b n eksisterer eller er lik. A. Hvis n=m b n konvergerer og L <, så konvergerer n=m a n også. B. Dersom n=m b n divergerer og L > 0 (L = tillatt), så divergerer n=m a n også. 1.2.8 Forholdstesten For en rekke med konstante ledd, som gitt i ligning (1), anta at grensen a = lim a n+1 n a n eksisterer eller er uendelig. Rekka A. konvergerer absolutt hvis a < 1 B. divergerer hvis a > 1. Hvis a = 1, gir testen ingen konklusjon. 5
1.3 Potensrekker; egenskaper og konvergenstester 1.3.1 Konvergens av potensrekker For en potensrekke, som gitt i ligning (5), gjelder én av følgende tre muligheter: A. Rekka konvergerer absolutt for alle x R. B. Rekka konvergerer bare for x = 0. C. Det nnes et tall R > 0 slik at rekka konvergerer absolutt for x < R og divergerer for x > R. 1.3.2 Egenskaper ved potensrekker i konvergensområdet Anta vi har en potensrekke, som gitt i ligning (5), som konvergerer for x < R med sum f(x). Da gjelder følgende innenfor konvergensområdet x < R: A. Summen f(x) er en kontinuerlig funksjon av x. B. f er uendelig mange ganger deriverbar. C. Potensrekka er da Taylor-rekka til f(x) om x = 0 (Maclaurinrekka) slik at a n = f (n) (0). n! D. f er deriverbar og E. f har en antiderivert F, og F (x) = f (x) = a n nx n 1. n=1 f(x) dx = C + n=0 a n n + 1 xn+1. 6
1.3.3 Forholdstesten for konvergens av potensrekker La a(x) = lim n a n+1 x n+1 a n x n for en potensrekke som gitt i ligning (5). Potensrekka A. konvergerer absolutt for alle x som gir a(x) < 1. B. divergerer for alle x som for a(x) > 1. for de x som gir a(x) = 1, gir testen ingen konklusjon. 1.3.4 Noen Taylor-rekker om a = 0 e x x n = n! = 1 + x + x2 2! + x3 + for alle x 3! n=0 n+1 xn ln(1 + x) = ( 1) n for 1 < x 1 n=1 1 1 x = x n for x < 1 n=0 x m 1 x = n=m x n x (1 x) = nx n 2 for x < 1 n=1 1 + x = n=0 for x < 1 og m et positivt heltall med endelig verdi ( 1) n (2n)! (1 2n)(n!) 2 (4 n ) xn = 1 + 1 2 x 1 8 x2 + 1 16 x3 5 128 x4 +... for x < 1 7
( 1) n sin x = (2n + 1)! x2n+1 = x x3 3! + x5 for alle x 5! n=0 ( 1) n cos x = (2n)! x2n = 1 x2 2! + x4 for alle x 4! n=0 (2n)! arcsin x = 4 n (n!) 2 (2n + 1) x2n+1 = x + x3 6 + 3x5 40 + 5x7 + for x 1 112 n=0 ( 1) n arctan x = 2n + 1 x2n+1 = x x3 3 + x5 5 x7 + for x 1 7 n=0 1.4 Funksjoner av ere variable 1.4.1 Retningsderivert La f være en funksjon av n variable som er kontinuerlig deriverbar i punktet a R n. La u være en enhetsvektor i R n. Da er den retningsderiverte til f i punktet a og retning u gitt ved D u f(a) = lim h 0 f(a + hu) f(a) h = f(a) u. 1.4.2 Annenderiverttesten for funksjoner av to variable La f(x, y) ha kontinuerlige partielle deriverte av annen orden i en omegn om et kritisk punkt (a, b). La Da gjelder: (a, b) = f xx (a, b)f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2. A. Dersom (a, b) > 0 og f xx (a, b) > 0, så er (a, b) et lokalt minimumspunkt for f. B. Dersom (a, b) > 0 og f xx (a, b) < 0, så er (a, b) et lokalt maksimumspunkt for f. C. Dersom (a, b) < 0, så er (a, b) et sadelpunkt for f. 8
1.4.3 Lagranges metode; Én bibetingelse La f være en funksjon med n 2 variable som har et maksimum eller minimum i et indre punkt a D f R n under bibetingelsen g(x) = 0. Dersom f og g er kontinuerlig deriverbare i x = a og g(a) 0, så nnes det et tall λ R slik at f(a) = λ g(a). 1.4.4 Lagranges metode; To bibetingelser La f være en funksjon med n 3 variable som har et maksimum eller minimum i et indre punkt a D f R n under bibetingelsene g(x) = 0 og h(x) = 0. Dersom f, g og h er kontinuerlig deriverbare i x = a og g(a) h(a), så nnes det to reelle tall λ 1 og λ 2 slik at slik at f(a) = λ 1 g(a) + λ 2 h(a). 2 Statistikk 2.1 Noen sannsynlighetsfordelinger 2.1.1 Binomisk fordeling P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x E(X) = np, Var(X) = np(1 p). 9
2.1.2 Poissonfordeling P (X = x) = (λt)x e λt, x = 0, 1, 2, 3,... x! E(X) = λt, Var(X) = λt. 2.1.3 Normalfordeling f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2, < x <. E(X) = µ, Var(X) = σ 2. Hvis X N(µ, σ), er Z = X µ σ N(0, 1). 2.1.4 Eksponensialfordeling f(x) = λe λx, x 0. E(X) = 1 λ, Var(X) = 1 λ 2. 2.2 Noen resultater og denisjoner for hendelser 2.2.1 Komplimentregelen P ( A ) = 1 P (A). 10
2.2.2 Addisjonsregelen P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C). 2.2.3 Multiplikasjonsregelen P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A). P (A B C) = P (A B C)P (B C)P (C). 2.3 Noen resultater og denisjoner for stokastiske variable 2.3.1 Komplimentregelen La X være en diskret eller kontinuerlig stokastisk variabel. Da gjelder P (X > x) = 1 P (X x). 2.3.2 Forventningsverdi Denisjon alle x g(x)p (X = x), X µ g(x) = E[g(X)] = g(x) f(x) dx, diskret X kontinuerlig med fordeling f(x). La X 1, X 2,..., X n være stokastiske variabler, mens a-ene og b er vilkårlige konstanter. Da gjelder [ ] n n E b + a i X i = b + a i E[X i ]. i=1 i=1 Dersom X 1, X 2,..., X n er uavhengige stokastiske variable, gjelder E[X 1 X 2... X n ] = E[X 1 ] E[X 2 ]... E[X n ]. 11
2.3.3 Varians Denisjon σ 2 = Var(X) = E [ (X µ) 2] = E [ X 2] E[X] 2. La X og Y være to stokastiske variabler og a, b og c vilkårlige konstanter. Da gjelder Var[aX + by + c] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ] + 2ab Cov[X, Y ]. La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler, mens a-ene og b er vilkårlige konstanter. Da gjelder [ ] n n Var b + a i X i = a 2 i Var[X i]. i=1 i=1 2.3.4 Simultanfordeling La P (X = x, Y = y) være simultanfordelingen til de diskrete stokastiske variablene X og Y. Da gjelder Marginalfordeling: P (X = x) = alle y P (X = x, Y = y) Addisjonsregelen: P (X = x Y = y) = P (X = x) + P (Y = y) P (X = x, Y = y) Multiplikasjonsregelen: P (X = x, Y = y) = P (X = x Y = y)p (Y = y) Forventning: E[g(X, Y )] = alle x alle y g(x, y)p (X = x, Y = y). 2.3.5 Kovariansen mellom X og Y Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ]. 2.3.6 Korrelasjonskoeesienten mellom X og Y ρ[x, Y ] = Cov[X, Y ] Var[X]Var[Y ]. 12
2.3.7 Sentralgrenseteoremet La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning µ og standardavvik σ. Da gjelder X = 1 n n X i tilnærmet N i=1 ( µ, ) σ. n Skrevet på en annen måte kan Sentralgrenseteoremet presenteres slik Z = X [ E X ] [ Sd X ] = X µ σ/ tilnærmet N(0, 1), n der Sd [ X ] er standardavviket til X. 2.4 Dataanalyse 2.4.1 Kondensintervaller Z-intervall: [x z α/2 σ n, x + z α/2 σ n ]. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 20. T-intervall: [ ] s s x t {α/2,n 1}, x + t {α/2,n 1}, n n der s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 30. i=1 13
P-intervall: [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2, ˆp + z α/2, n n der ˆp = x/n. Forutsetter at nˆp(1 ˆp) 5. Uparet T-intervall: [x y t {α/2,n1+n2 2}s P 1n1 + 1n2, x y + t {α/2,n1+n2 2}s P 1n1 + 1n2 ], der s 2 P = (n 1 1)s 2 1 + (n 2 1)s 2 2. n 1 + n 2 2 Paret T-intervall: [ ] s D s D t {α/2,n 1} D, D + t {α/2,n 1}, n n der s 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2. i=1 2.4.2 Testobservatorer i hypotesetestingen Z-test: z obs = x µ 0 σ/ n. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 20. 14
T-test: der s 2 = 1 n 1 t obs = x µ 0 s/ n n (x i x) 2. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 30. P-test: Forutsetter at np 0 (1 p 0 ) 5. Uparet T-test: der i=1 z obs = ˆp p 0 t obs = p 0 (1 p 0 ) n x y, 1 s P n 1 + 1 n 2 s 2 P = (n 1 1)s 2 1 + (n 2 1)s 2 2. n 1 + n 2 2. Paret T-test: der t obs = D s D / n, s 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2. i=1 Vi forkaster H 0 for ekstreme verdier av testobservatoren i forhold til det vi tror under antagelsen at H 0 er sann. Et par eksempler: Z-test: H 0 H 1 Forkast H 0 hvis µ µ 0 µ > µ 0 z obs > z α µ µ 0 µ < µ 0 z obs < z α µ = µ 0 µ µ 0 z obs > z α/2 15
Uparet T-test: H 0 H 1 Forkast H 0 hvis µ 1 µ 2 µ 1 > µ 2 t obs > t α,n1 +n 2 2 µ 1 µ 2 µ 1 < µ 2 t obs < t α,n1 +n 2 2 µ 1 = µ 2 µ 1 µ 2 t obs > t α/2,n1 +n 2 2 2.4.3 Hypotesetesting basert på p-verdi Denisjon (p-verdi): p-verdi er sannsynligheten for å observere det vi har observert eller noe mer ekstremt under antagelsen at H 0 er sann. Forkastningsregel basert på p-verdi: Forkast H 0 hvis p-verdi α. 16
3 Statistiske tabeller 17
18
19
20
21