E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MZ AA6544 / AA6546 Elever / privatister Bokmål Eksempeloppgave etter læreplan godkjent juli 000 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Oktober 00 Les opplysningene på neste side.
Eksamenstid: 5 timer (Hjelpemidler: Se rundskriv LS-66-00.) Antall sider: Oppgavesettet har 8 sider medregnet forsiden. Antall vedlegg: Ingen Vedlegg som skal leveres inn sammen med besvarelsen: Ingen Andre opplysninger: På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregneren du har brukt på eksamen.
Framgangsmåte: og forklaring: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåter og hjelpemidler. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Før inn nødvendig mellomregning. Skriv forklaring der dette er påkrevd for å forklare hva du har gjort. Ved åpne oppgaveformuleringer bør du begrunne hvorfor du har valgt din tolkning av oppgaven og ditt valg av løsningsstrategi. Grafer og bruk av grafisk lommeregner: Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du trenger ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal svaret markeres tydelig. Vurdering: Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende ferdigheter kan bruke hjelpemidler gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget og er oppfinnsom, og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger 3
OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonene gitt ved 1) ) f( x ) = 5e x gx ( ) = x e x b) Finn integralene ved regning 1) ( + + ) 1 3x 4x 3 dx ) 5e 0, x dx c) Løs ulikhetene og likningen ved regning 1) ) 3) x 3 < 0 x + 1 x x 3<0 x+ x 1= 3 d) Vi kaster tre mynter og lar X = antall kron. 1) Sett opp en sannsynlighetsfordeling for X. ) Regn ut E(X) og σ. 4
OPPGAVE Figuren viser grafen til funksjonen f som er gitt ved f( x) = asinx+ b der a og b er konstanter. a) Forklar ut fra figuren at a = og b = 0,5. b) Hva er amplituden, likevekstlinja og perioden til funksjonen? c) Bestem koordinatene til de to neste toppunktene på grafen. OPPGAVE 3 En funksjon f er gitt ved a) Finn f ( x) og f ( x). 1 f x x x x 3 3 ( ) = 3 + b) Forklar hvordan du ved hjelp av f ( x) og f ( x) kan finne eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter på grafen til f. En bedrift produserer varer for salg. Bedriften har funnet at 3 K( x) = 0,006x 0,3x + 1x+ 100 x 0, 70 er en god modell for kostnadene ved produksjon av x enheter. En god modell for inntektene ved produksjon av x enheter er I( x) = 0,x + 30x x 0, 70 c) Forklar hva vi mener med grensekostnad og grenseinntekt og bruk dette til å finne den produksjonen som gir størst overskudd. d) Finn et funksjonsuttrykk for overskuddet O(x). Bruk dette til å kontrollere svaret i c). 5
OPPGAVE 4 Ved Stortingsvalget i 001 fikk Arbeiderpartiet (Ap) en oppslutning på 4,3 %. I en meningsmåling på et senere tidspunkt svarte 35 av 1000 spurte personer at de ville ha stemt på Ap hvis det var stortingsvalg nå. a) Finn et estimat for den prosentvise oppslutningen til Ap. b) Forklar at vi kan bruke normalfordelingen når vi skal finne et konfidensintervall for den prosentvise oppslutningen til Ap. c) Lag et 90 % konfidensintervall til estimatet for den prosentvise oppslutningen til Ap. Kan du trekke noen konklusjon om oppslutningen til Ap etter valget? Et annet meningsmålingsinstitutt fant også en oppslutning på 3,5 %. De hevder at oppslutningen til Ap antagelig har gått ned etter valget. d) Hvor mange personer må de minst ha spurt for å trekke en slik konklusjon med et 90 % konfidensintervall? 6
OPPGAVE 5 Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen. (Dersom besvarelsen inneholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I En glødende metallstang blir avkjølt fra 1000 ºC til romtemperatur på ºC. Temperaturen T i ºC til stanga x minutter etter at avkjølingen startet, er gitt ved Tx () = + 978 e 0,1x a) Hva er temperaturen til stanga etter 60 minutter? b) Skisser grafen til funksjonen T. c) Hvor mange grader synker temperaturen per minutt etter 1) 10 min ) 40 min d) Regn ut gjennomsnittet av starttemperaturen og temperaturen etter 60 minutter. Gjennomsnittsverdien for en kontinuerlig funksjon f over et intervall [ a, b ] er definert ved integralet b 1 b a a f ( x)dx e) Finn gjennomsnittsverdien til T(x) de første 60 minuttene ved regning? f) Forklar hvorfor det blir forskjellig svar i d) og e). 7
Alternativ II Fibonacci-tallene kan skrives som 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, der hvert tall er summen av de to foregående tallene i tallfølgen. Vi bruker betegnelsen F n for det n-te Fibonacci-tallet. Da er F 1 = 1, F =1, F 3 =, F 4 = 3 og så videre. a) Skriv opp de fem neste Fibonacci-tallene som følger etter 55. Det er også mulig å utvide tallfølgen mot venstre. Tallet foran F 1 kalles F (0), tallet foran F (0) kalles F (-1), og så videre. b) Hva blir F (0), F (-1), F (-) og F (-3) hvis vi følger regelen for Fibonacci-tall? Tallene 1 og 34 er Fibonacci-tall. De kan skrives som summen av tre andre Fibonacci-tall slik: 1 = 5 + 8 + 8 34 = 8 + 13 + 13 Fibonacci Leonardo av Pisa 1170-150 c) 1) Vis at 55 på tilsvarende måte som ovenfor kan skrives som en sum av tre Fibonacci-tall. ) Hvilken regel ser ut til å gjelde? 3) Forklar at denne regelen følger av definisjonen av Fibonacci-tall. 8