Oppgaver sannsynlighetsregning Oppgave 1. a) Hva er sannsynligheten for at et terningkast gir 3 eller 4 som resultat? Et terningkast har 6 mulige utfall. 2 av utfallene gir 3 eller 4 som resultat. Det betyr at P (3 eller 4) = b) Hva er sannsynligheten for at et terningkast gir 1, 3 eller 4 som resultat? Det er 6 mulige utfall, og 3 av utfallene gir 1, 3 eller 4 som resultat. Det betyr at P (1, 3 eller 4) = c) Hva er sannsynligheten for at terningen ikke lander på 6? Det er 6 mulige utfall, og i 5 av disse utfallene lander terningen ikke på 6. Det betyr at P (Terningen lander ikke på 6) = Oppgave 2. I en bolle er det 2 røde, 3 gule og 5 grønne kuler. a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) = b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød eller gul kule? 5 kuler er røde eller gule. Det betyr at P (Rød eller gul kule) = 2 kuler skal trekkes ut. c) Hva er sannsynligheten for at den første kula er rød og den andre gul? P (Første kula er rød) = Når den første kula er trukket er det bare 9 kuler igjen i bollen, og 3 av disse er gule. Da er P (Andre kula er gul) = Vi får at P (Første kula er rød og andre er gul) = = d) Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde? P (Første kula er rød) = Når den første kula er trukket er det 9 kuler igjen i bollen, og 1 av disse er røde. Da er P (Andre kula er rød) = Vi får at P (Begge kulene er røde) = = e) Hva er sannsynligheten for at ingen av kulene er røde? 8 av de 10 kulene er ikke røde, så P (Første kula er ikke rød) = Når den første kula er trukket er det 9 kuler igjen i bollen, og 7 av disse er ikke røde. Da er P (Andre kula er ikke rød) = Vi får at P (Ingen av kulene er røde) = =
Oppgave 3. Ved et skolevalg ble stemmene fordelt slik: Parti Antall stemmer Arbeiderpartiet 60 Høyre 62 Kristelig Folkeparti 15 Fremskrittspartiet 49 Sosialistisk Venstreparti 18 Venstre 17 En tilfeldig person blir spurt hvilket parti hun stemte. a) Hva er sannsynligheten for at hun stemte på Sosialistisk Venstreparti? Det var til sammen 60 + 62 + 15 + 49 + 18 + 17 = 221 som stemte. Det var 18 som stemte Sosialistisk Venstreparti. Da er P (Sosialistisk Venstreparti) = b) Hva er sannsynligheten for at hun stemte på Høyre eller Fremskrittspartiet? Det var 62 + 49 = 111 som stemte på Høyre eller Fremskrittspartiet. Da er P (Høyre eller Fremskrittspartiet) = Oppgave 4. En terning kastes 2 ganger. a) Hva er sannsynligheten for at terningen viser 6 begge gangene? P (Terningen viser 6 første gang) = og P (Terningen viser 6 andre gang) = Da er P (Terningen viser 6 begge gangene) = = b) Hva er sannsynligheten for at summen blir 5 på de to kastene? Vi ser av tabellen at det er 36 mulige utfall av de 2 terningkastene. Av disse er det 4 utfall som gir at summen blir lik 5. Da er P (Summen er lik 5) =
Oppgave 5. Et fotballag spiller to kamper. I hver av de to kampene kan resultatet bli seier (S), uavgjort (U) eller tap (T). a) Tegn et diagram som viser de mulige utfallene av de to kampene. b) Skriv opp de mulige utfallene. Hvor mange mulige utfall er det? De mulige utfallene er: 9 mulige utfall c) Hva er sannsynligheten for at de to kampene til sammen gir 1 uavgjort og 1 seier? Vi ser at 2 av 9 utfall gir 1 uavgjort og en seier. Det betyr at P (1 uavgjort og en seier) = d) Hva er sannsynligheten for at begge kampene ender med seier? 1 av utfallene gir 2 seire, så P (Begge kampene ender med seier) = e) Hva er sannsynligheten for at ingen av kampene ender med seier? 4 av utfallene gir ingen seire, så P (Ingen av kampene ender med seier) = Oppgave 6. En sykkellås har en kode med 4 sifre. a) Hvor mange forskjellige koder kan lages? Det er 10 muligheter for første siffer, nemlig 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Det er også 10 muligheter for andre, tredje og fjerde siffer. Antall mulige koder av 4 sifre er da lik 10 10 10 10 = 10 000. b) Hvor mange koder kan lages hvis første siffer ikke kan være 0? Hvis første siffer ikke kan være 0 er det 9 muligheter for første siffer. Det er 10 muligheter for siffer nummer 2, 3 og 4. Antall mulige koder er nå lik 9 10 10 10 = 9 000. Oppgave 7. 4 personer blir valgt til å sitte i et styre. En person skal være formann, en skal være kasserer, en skal være sekretær og en skal være sportslig leder. Hvor mange måter kan disse 4 personene fordeles i styret? (Hint: Hvor mange kan være formann? Finn deretter ut hvor som kan være kasserer, og så videre.) Det er 4 muligheter for valg av formann. Når formannen er valgt er det 3 muligheter for valg av kasserer. Når kassereren er valgt er det 2 muligheter for valg av sekretær. Når sekretæren er valgt er det bare 1 mulighet for valg av sportslig leder. Det er da 4 3 2 1 = 24 mulige valg av styret.
Oppgave 8. Et fotballag kan velge mellom gule og grønne trøyer, og buksene kan være hvite, svarte eller blå. Lag et diagram som viser alle de mulige kombinasjonene av trøye og bukse. Oppgave 9. Sannsynligheten for at det blir regn i en bestemt by er lik 0.4. a) Hva er sannsynligheten for at det blir regn 2 dager på rad? P (Regn to dager på rad) = P (Regn første dag) P (Regn andre dag) = 0.4 0.4 = 0.16 b) Hva er sannsynligheten for at ingen av de 2 dagene gir regn? P (Ingen av de to dagene gir regn) = P (Ikke regn første dag) P (Ikke regn andre dag) = 0.6 0.6 = 0.36 Oppgave 10. (Vanskeligere) Et fotballag spiller tre kamper. I hver av kampene er det 3 poeng for seier, 1 poeng for uavgjort og 0 poeng for tap. Finn sannsynligheten for at laget har fått 3 poeng etter de tre kampene. Vi må finne alle mulige utfall av 3 kamper. Vi kan bruke diagrammet fra oppgave 5, der vi hadde 2 kamper. Det så slik ut: De mulige utfallene av 2 kamper var derfor Vi må legge til en kamp siden vi nå skal ha 3 kamper og ikke 2. Kamp nummer 3 kan ende med S, U eller T. Utfallet SS kan derfor bli SSS, SSU eller SST når vi legger til en kamp. Slik blir det også med de andre utfallene. De mulige utfallene av 3 kamper blir da: SSS, SSU, SST, SUS, SUU, SUT, STS, STU, STT, USS, USU, UST, UUS, UUU, UUT, UTS, UTU, UTT, TSS, TSU, TST, TUS, TUU, TUT, TTS, TTU, TTT Nå må vi sette opp en oversikt over hvor mange poeng hvert av disse utfallene gir: Det er til sammen 27 mulige utfall av de 3 kampene, og vi ser at det er 4 av disse utfallene som gir 3 poeng. Det betyr at P (3 poeng på 3 kamper) =