INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet Andreas Nakkerud 8. september 2015
Forberedelse Theorem La x være en variabel som ikke forekommer i Γ eller i φ. (i) Γ φ Γ[x/c] Γ[x/c]. (ii) Hvis c ikke forekommeri Γ, så Γ φ(c) Γ xφ(x). (ii) følger fra (i) ved I. (i) vises ved induksjon på utledningen av Γ φ. Utledningene blir de samme med x og c, siden x ikke forekommer i noen av formlene i Γ {φ}.
Forberedelse Må vise at hvis x FV (ψ), så x(φ(x) ψ) ( xφ(x) ψ). Vi fører beviset ved å gi en utledning av teoremet. Må også vise at hvis x FV (φ), så (φ xψ(x)) x(φ ψ(x)). Vi fører beviset ved å gi en utledning av teoremet.
Kompletthet Γ = φ Γ φ (kompletthet) Vi skal vise den kontrapositive påstanden Γ φ Γ = φ. Til dette bruker vi modelleksistenslemmaet: Lemma Hvis Γ SENT er konsistent, så finnes det en modell for Γ.
Fra modelleksistens til kompletthet Lemma Hvis Γ SENT er konsistent, så finnes det en modell for Γ. Anta at Γ φ. Siden Γ er konsistent er også Γ { φ} konsistent. Fra modelleksistenslemmaet vet vi da at det finnes en modell A slik at A = Γ { φ}. A er motseksempelet vi trenger for å slutte at Γ = φ.
Teori Definisjon (i) En teori T er en mengde setninger med egenskapen T φ φ T (teori er lukket under utledbarhet). (ii) En mengde Γ slik at T = {φ Γ φ} er et aksiomsett for teorien T. Elementene i Γ kalles aksiomer. (iii) T er en Henkin-teori hvis for hver setning xφ(x) finnes en konstant c slik at xφ(x) φ(c) T. c kalles et vitne for xφ(x).
Konservative utvidelser Definisjon La T være en teori i språket L og T en teori i språket L. (i) T er en utvidelse av T hvis T T. (ii) T er en konservativ utvidelse av T hvis T L = T (i.e. alle teoremer fra T uttrykket i språket L er teoremer fra T ). La P være mengden av alle utsagnslogiske tautologier over språket med konnektiver,,,. La P være mengden av alle utsagnslogiske tautologier over språket med konnektiver,,,,. P er en konservativ utvidelse av P.
L og T Definisjon La T være en teori i språket L. Vi lager språket L fra L ved å legge til en konstant c φ for hver setning i T på formen xφ(x). T er teorien med aksiomsett T { xφ(x) φ(c φ ) xφ(x) er lukket og har vitne c φ }. Lemma T er en konservativ utvidelse av T. Bevis: La xφ(x) φ(c) være et av de nye aksiomene, og anta at Γ { xφ(x) φ(c)} ψ, hvor c ikke forekommer i Γ eller ψ. Vi skal vise at Γ ψ.
L og T 1. Γ { φ(x) φ(c)} ψ 2. Γ ( φ(x) φ(c)) ψ 3. Γ ( φ(x) φ(y)) ψ 4. Γ y[( φ(x) φ(y)) ψ] 5. Γ y[ φ(x) φ(y)] ψ 6. Γ [ φ(x) yφ(y)] ψ 7. φ(x) yφ(y) (tautologi) 8. Γ ψ (fra 5,6)
L og T La T ψ for en ψ L. Fra definisjonen av utledbarhet vet vi at T {σ 1,..., σ n } ψ, hvor σ i er et av de nye aksiomene xφ(x) φ(c). Vi viser at T φ ved induksjon på n. Dersom n = 0 har vi at T ψ, og vi er ferdige. La T {σ 1,..., σ n+1 } ψ. Vi setter Γ = T {σ 1,..., σ n }, da har vi Γ {σ n+1 } ψ. Fra første del av beviset vet vi da at Γ ψ, altså at T {σ 1,..., σ n } ψ. Fra induksjonshypotesen følger det at T ψ.
Henkin-teori Lemma La T være en teori. Vi definerer T 0 := T ; T n+1 := (T n ) ; T ω := {T n n 0}. T ω er en Henkin-teori og er en konservativ utvidelse av T. Bevis: Vi lar L n (hhv. L ω ) være språket til T n (hhv. T ω ). (i) T n er en konservativ utvidelse av T. Ved induksjon på n. (ii) T ω er en teori. Anta T ω σ, da φ 0,..., φ n σ for φ 0,..., φ n T ω. For hver i n har vi φ i T mi for en m i. La m = max{m i i n}. Siden T k T k+1 for alle k, har vi T mi T m (i n). Siden T m σ og T m er en teori har vi σ T m T ω.
Henkin-teori (iii) T ω er en Henkin-teori. La xφ(x) L ω, da er xφ(x) L n for en eller annen n. Per definisjon er da xφ(x) φ(c) T n+1 for en konstant c, så xφ(x) φ(c) T ω. (iv) T ω er en konservativ utvidelse av T. Dersom T ω σ, så vet vi fra (ii) at T n σ for en n. Siden T n er konservativ (fra (i)) er σ T hvis σ L. Corollary T ω er konsistent hvis T er det. Bevis: Anta at T ω. Siden T ω er en konservativ utvidelse av T har vi at T.
Lindenbaum-lemma Lemma Enhver konsistent teori er innholdt i en maksimalt konsistent teori. Bevis: La T være konsistent, og la A være mengden av alle konsistente utvidelser av T, partielt ordnet av. 1. Hver kjede i A har en øvre grense. La {T i i I } være en kvede. T = T i er en øvre grense. 2. Det følger at A har et maksimalt element T m (Zorn). 3. Siden T m er -maksimal for A, T m T og T A har vi at T m = T. T er innholdt i den maksimalt konsistente T m.
Maksimalt konsistent Henkin-teori Lemma En utvidelse av en Henkin-teori (som ikke utvider språket) er igjen en Henkin-teori. Merk: Den maksimalt konsistente utvidelsen fra Lindenbaum-lemmaet utvider ikke språket.
Modelleksistenslemma Lemma Hvis Γ er konsistent så finnes det en modell for Γ. Bevis: La T = {σ Γ σ} være teorien gitt av Γ. Enhver modell for T er en modell for Γ. La T m være en maksimalt konsistent Henkin-utvidelse av T med språk L m. Vi bruker T m og L m til å bygge en modell for Γ: 1. A = {t L m t er en lukket term}. 2. For hvert funksjonssymbol f, definer en funksjon ˆf : A k A slik at ˆf (t 1,..., t k ) := f (t 1,..., t k ). 3. For hvert predikatsymbol P, definer en relasjon ˆP A p slik at t 1,..., t p ˆP T m P(t 1,..., t p ). 4. For hvert konstantsymbol c, definer en konstant ĉ := c.
Modelleksistenslemma La A = A, ˆP 1,..., ˆP n, ˆf 1,..., ˆf m, {ĉ i i I }. Vi skal vise at A = φ T m φ for alle setninger i språket L m = L(A) for T m. Vi viser dette ved induksjon på φ. (i) φ er atomær: per definisjon A = P(t 1,..., t p ) t 1,..., t p ˆP T m P(t 1,..., t p ). Trivielt for. (ii) φ = σ τ. A = σ τ A = σ og A = τ I.H. T m σ og T m τ T m σ τ.
Modelleksistenslemma (iii) φ = σ τ. A = σ τ (A = σ A = τ) I.H. (T m σ T m τ) T m σ τ. (iv) φ = xψ(x). Anta at A = xψ(x), det følger at A = ψ(a) for alle a A. La c være vitnet til x ψ(x), da har vi at A = ψ(c). Siden c er vitnet for x ψ(x) har vi at T m x ψ(x) ψ(c), og det følger at T m ψ(c) x ψ(x). Fra induksjonshypotesen følger T m ψ(c) fra A = ψ(c). Til sammen får vi at T m xψ(x).
Modelleksistenslemma (iv) (forts.) Omvendt har vi at dersom T m xψ(x), så har vi T m ψ(t) for alle lukkede termer t. Fra induksjonshypotesen følger det at A = ψ(a) for alle a A. Fra dette følger det at A = xψ(x). Siden A er en modell for T m og Γ T m, følger det at A er en modell for Γ.
Kompakthet Theorem Γ har en modell enhver endelig delmengde av Γ har en modell. Bevis: Vi ser på en ekvivalente påstanden Γ har ingen modell en endelig Γ har ingen modell. er triviell. : Anta at Γ ikke har en modell. Fra modelleksistenslemma følger det at Γ. Da finnes det σ 1,..., σ n Γ slik at σ 1,..., σ n. Det følger at = {σ 1,..., σ n } ikke har noen modell.
Eksempel Theorem Førsteordens logikk kan ikke aksiomatisere vilkårlig store, endelige modeller. Bevis: Anta at Γ er et konsistent aksiomsett som aksiomatiserer vilkårlig store, endelige modeller. Innfør et nytt binært relasjonssymbol P, og legge til aksiomer for at P er en strikt, total ordning. Definer φ n = x 1... x n i [1,n 1] P(x i, x i+1 ). (Siden P er en strikt, total ordning følger det at x 1,..., x n alle må peke på forskjellige domeneelementer.) La = {φ 1, φ 2,...}. Enhver endelig delmendge av Γ er konsistent. Fra kompakthet følger det at Γ er konsistent, men da kan ikke Γ ha bare endelige modeller.