1P-Y eksamen vår 2018 løsningsforslag Programområde: Alle Tid: 1,5 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Et skolesenter har el-bil for de ansatte. For hver tur blir kilometerstanden skrevet ned i en kjørebok. På én tur endret kilometerstanden seg fra 2468 km til 251 km. a) Hvor mange mil var kjøreturen? 251 km 2468 km = 45 km Kjøreturen var på 4,5 mil. Bilen kan kjøre 00 km når batteriet er 100 % oppladet. b) Hvor mange kilometer kan bilen kjøre når batteriet er 60 % oppladet? 00 60 km = 60 km = 180 km 100 Bilen kan kjøre 180 km når batteriet er 60 % oppladet. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 1 av 16
Oppgave 2 (4 poeng) I kartet ovenfor ser vi en del av Oslo. Trekanten ABC i kartet er rettvinklet. På kartet er AB = 6 cm og BC = 8 cm. a) Bestem lengden AC på kartet. Vi bruker Pytagoras' læresetning og får 2 2 2 AC = AB + AC AC AC 2 2 2 2 AC = = 6 + 8 = 6 + 64 AC = 10 100 Lengden AC på kartet er 10 cm. Eva skal gå fra A til B, og så til C. Kartet har målestokken 1 : 5000. b) Hvor mange meter må Eva gå i virkeligheten? Målestokken 1:5000, betyr at 1 cm på kartet er 5000 cm i virkeligheten. Vi har at 5000 cm = 50 m Avstanden blir dermed: AB + BC = 6+ 8 50= 14 50 = 10 50 + 4 50 = 500 + 200 = 700 m ( ) Eva må gå 700 meter. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 2 av 16
Oppgave ( poeng) Gjør nødvendige beregninger, og bestem hvilken figur som har minst areal og hvilken figur som har størst areal. g h 4,0 5,0 ATrekant = = = 10,0 2 2 2 2 A = r =,14 2,0 = 12,56 A Sirkel Parallellog ram = g h = 4,0,0 = 12,0 Trekanten har det minste arealet og sirkelen har det største arealet. Ved beregning av arealet til sirkelen kunne vi også ha avrundet,0. Vi ville da funnet at arealet av sirkelen også hadde blitt 12,0, altså det samme som parallellogrammet. Vi måtte da ha kommentert at var avrundet ned til,0 og derfor ville arealet av sirkelen være større enn arealet av parallellogrammet. Oppgave 4 ( poeng) Løs likningen. a) x 4 = 5x+ 10 x 5x = 10 + 4 2x = 14 x = 7 Trekk sammen. 2a 4 a+ b + 6b = 2a 4a 4b + 6b = 2a+ 2b b) ( ) Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side av 16
Oppgave 5 (4 poeng) Skjermdumpen ovenfor viser priser for heiskort i Hafjell Bike Park. Stian er 21 år og kjøper heiskort for 1 dag. a) Bestem prisen per tur dersom han kjører 5 turer. Fra tabellen ovenfor ser vi at prisen for et dagskort for voksne er 0 kroner. 0 10 2 5 = = = 2 = 66 5 5 5 Prisen per tur blir 66 kroner om han kjører 5 turer på en dag. Bruk prisene på heiskort for voksne. b) Undersøk om prisen per dag og antall dager er proporsjonale størrelser. Dersom disse to størrelsene skal være proporsjonale, må prisen per dag være lik uansett om du kjøper heiskort for 1 dag, 2 dager eller dager. Fra tabellen ser vi at det koster 0 kroner for en dag. Skal prisen per dag og antall dager være proporsjonale størrelser, må prisen for to dager være 660 kroner og for tre dager 990 kroner. Vi ser av oversikten at prisen for to dager er 555 kroner og for tre dager 755 kroner. Prisen per dag er altså lavere når du kjøper heiskort for flere dager. Prisen per dag og antall dager er derfor ikke proporsjonale størrelser. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 4 av 16
Oppgave 6 (6 poeng) Ole skal ha selskap og kjøper reker til 8 personer. Han beregner 500 g reker per person. a) Hvor mange kilogram reker kjøper Ole? 8 500g = 4000g = 4kg Ole kjøper 4 kg reker. Det er 0 % spiselig del i reker. Resten er skall. b) Hvor mange gram er spiselig, og hvor mange gram er skall i 500 g reker? Spiselig del: 500 0 = 5 0 = 150g 100 500 70 Skall: = 5 70 = 50g ( Alternativt : 500g 150g = 50g ) 100 Det er 150 g spiselig del av reker og 50 g skall i 500 g reker. I 2017 ble det fisket til sammen 16 000 tonn reker og kongekrabber i Norge. Forholdet mellom reker og kongekrabbe var 7:1 c) Hvor mange tonn reker ble fisket i 2017? Vi finner først ut hvor mye det er i 1 del. Til sammen er det 8 deler( 7+ 1) 16 000 tonn 1 del er: = 2 000 tonn 8 Forholdet mellom reker og kongekrabbe var 7:1. Det betyr at det er 7 deler med reker og 1 del med kongekrabbe. Det betyr at 2 000 tonn av det totale fisket er kongekrabbe, og resten er reker, det vil si 14 000 tonn ( 16 000 2 000 = 14 000). Det ble fisket 14 000 tonn reker i 2017. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 5 av 16
Tid: 2,5 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler, unntatt internett og kommunikasjon. Oppgave 7 (8 poeng) En sølvsmed lager en sølje (smykke) til en festdrakt. Han startet med et sølvstykke med form som en regulær tolvkant, slik figuren viser. a) Bestem omkretsen av sølvstykket. Sølvstykket består av 12 like lengder på 2,5 cm. 12 2,5 cm = 0 cm Omkretsen av sølvstykket er 0 cm. Sølvstykket merkes slik at det består av 12 like trekanter, slik figuren viser. b) Bestem vinklene og høyden i en slik trekant. Trekantene er likebeinte. Det betyr at trekanten har to like vinkler, hver på75. Til sammen er alle vinklene i en trekant lik 180. Det betyr at den siste vinkelen er 180 2 75 = 180 150 = 0 Vi vet at trekantene er likebeinte. Det betyr at høyden i trekanten vil dele trekanten i to like rettvinklede trekanter hvor grunnlinjen i disse trekantene er halvdelen av 2,5 cm, altså 1,25 cm. Vi finner høyden ved Pytagoras' læresetning. Vinklene i trekanten er 0, 75 og 75. Høyden i trekanten er 4,6 cm. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 6 av 16
Sølvsmeden stanser ut et hull i hver av de 12 trekantene. Diameteren i hvert hull er 1,7 cm. 2 c) Vis at arealet av sølvstykket nå er 42 cm. Vi finner arealet av 12 trekanter og trekker fra arealet av de 12 hullene. Arealet av sølvstykket er omtrent 42 cm 2. Massetettheten til sølv er 10,5 g/cm. Sølv koster,25 kr per gram. d) Hva koster sølvet i sølvstykket med hull når tykkelsen er 0,1 cm? Vi finner volumet av sølvet i søljen, massen og prisen. Volumet: Vekt: Pris: 42,21 cm 0,1 cm = 4,221 cm 10,5 g 4,221 cm = 44,21 g cm,25 kr 44,21 g = 144,04 kr g 2 Prisen på sølvet i søljen er 144 kroner. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 7 av 16
Oppgave 8 (6 poeng) Hege er lærling i prosessfag og jobber skift. Hun har 10 807 kr fast i månedslønn og får 40 kr per time i skifttillegg. En måned jobber Hege 14 timer. a) Bestem bruttolønna denne måneden. 40 kr Bruttolønn: 10 807 kr + 14 t = 16 167 kr t Bruttolønnen er 16 167 kr. Hege betaler 20 % i skatt per måned. I tillegg betaler hun 150 kr til fagforeningen. b) Bestem nettolønna. Nettolønna finnes ved å ta bruttolønn minus skatt og fagforeningskontingent. Nettolønn: 16 167 kr 16 167 kr 0,20 150 kr = 12 78,6 kr Nettolønna er 12 784 kr. Hege har opptjent 128 kr i feriepenger. Feriepenger utgjør 12,5 % av feriepengegrunnlaget. c) Bestem feriepengegrunnlaget. Vi setter feriepengegrunnlaget lik x. Vi har at 12,5 % av feriepengegrunnlaget er beløpet Hege har opptjent i feriepenger. Vi kan da sette opp likningen x 0,125 = 128 x = 25 024 12,5 x = 128 kr 100 Feriepengegrunnlaget er 25 024 kr. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 8 av 16
Oppgave 9 (6 poeng) En del av Numedalsbanen, fra Veggli til Rødberg, er 2 km lang. Her kan man sykle dresin (sykkel for togskinner). En dresin har farten 7 km/t. a) Hvor lang tid bruker dresinen fra Veggli til Rødberg? Vi finner antall timer dresinen bruker på denne strekningen: Vi gjør om 0,57 timer til minutter: 0,57 60 = 4,2 2 km 4,57 t 7 km/t = Dresinen vil bruke 4 timer og 4 minutter på turen. Det kostet omtrent 0 millioner kroner å bygge Numedalsbanen i 1927. Da var konsumprisindeksen,5. I 2017 var den 105,5. b) Hva ville det kostet å bygge Numedalsbanen i 2017 dersom prisene hadde fulgt konsumprisindeksen? Forholdet mellom pris og indeks i de to årene vil være det samme. Vi setter opp en likning og løser likningen. x 0 = 105,5,5 x = 904,29 Det ville ha kostet omtrent 904 millioner kroner i 2017 å bygge Numedalsbanen. Et år var verdien av et lokomotiv 20 millioner kroner. Verdien synker med 9 % hvert år. c) Bestem verdien av lokomotivet etter tre år. Vekstfaktoren blir i dette tilfellet 100 % 9 % = 91 % = 0,91. Verdien av lokomotivet etter tre år blir: 20 0,91 = 15,07 Verdien på lokomotivet vil være omtrent 15 millioner etter år. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 9 av 16
Oppgave 10 (6 poeng) Et svømmebasseng har form som et rett prisme med rektangelformet grunnflate. Det er 50 m langt, 25 m bredt og 2,0 m dypt. a) Vis at svømmebassenget rommer 2 500 000 L vann. Vi gjør om til dm da 1 dm = 1 L, og finner volumet av bassenget. 500 dm 250 dm 20 dm = 2 500 000 dm Svømmebassenget rommer 2 500 000 L vann, som skulle vises. Fra klokken 08:00 tømmes svømmebassenget med 800 L vann per minutt. b) Hva er klokken når svømmebassenget er tømt? Vi finner først ut hvor mange minutter det vil ta å tømme bassenget. 2 500 000 L 657,89 min 800 L/min = Vi vet at 1 time er 60 minutter. Det betyr at 660 minutter er 11 timer. Det vil ta nesten 11 timer å tømme bassenget. Det betyr at klokken 19.00 er bassenget tomt for vann. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 10 av 16
Svømmebassenget bygges om, slik at den ene enden av bassenget blir dypere. Figuren nedenfor viser det nye bassenget sett fra siden. c) Hvor mange liter kan bassenget romme nå? Bredden på bassenget er fortsatt 25 m. Vi velger å finner arealet av sideflaten ved å dele figuren opp i to rektangler og en trekant. Areal av siden i bassenget: 5,0 m 10,0 m 50,0 m 2,0 m+ 5,0 m 10,0 m+ = 175,0 m 2 2 Volumet av bassenget: 175 m 25 m= 4 75 m. Vi har at 1 m = 1000 L. Det gir 4 75 m = 4 75 000 L Volumet av bassenget er nå 4 75 000 L. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 11 av 16
Oppgave 11 (4 poeng) En dykkerklokke har form omtrent som en kule. Den indre diameteren er 2,0 m og den ytre diameteren er 2,1 m. Se figur av tverrsnittet på dykkerklokken nedenfor. Volumet av en kule er gitt ved formelen 4 V = r a) Bestem det indre volumet av dykkerklokken. Vi har at den indre radien i kula er 1,0 meter. 4 1,0 m 4,19 m = Det indre volumet av kula blir: ( ) Dykkerklokken er laget av jern. Jern veier 7990 kilogram per kubikkmeter. b) Bestem hvor mye jernet i dykkerklokken veier. Vi finner først volumet av den ytre kula med radius 1,05 meter. 4 Det ytre volumet av kula blir: ( ) 1,1 m 4,85 m =. Volumet av jernet i dykkerklokken blir: 4,85 m 4,19 m = 0,66 m Jernet i dykkerklokken veier: 7 990 kg m 0,66 m = 5 27,4 kg Jernet i dykkerklokken veier 527 kg. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 12 av 16
Oppgave 12 (6 poeng) Anne har begynt å spare til en egen gård i Gårdssparing for unge (GSU). Hun setter inn 15 000 kroner den 1. januar hvert år fra og med 2015, og får 4,50 % rente per år. Regnearket ovenfor viser Annes sparingsplan. Hun har selv fylt inn de tre første årene. a) Bruk regnearket, fyll inn og fullfør sparingsplanen for Anne til og med år 2024. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 1 av 16
b) Hvor mange kroner vil Anne få i renter fra 2015 til og med 2024? Vi summerer kolonnen med renter og finner hvor mye Anne vil få i renter. Anne vil få 42 617,68 kr i renter. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 14 av 16
c) Hvor mange kroner ville Anne hatt på kontoen dersom hun heller hadde spart 0 000 kr per år fra 2015? Vi endrer sparebeløpet til 0 000 kr i regnearket. Anne ville hatt 85 25,6 kroner på kontoen om hun satt inn 0 000 kr hvert år. Husk å bruke formler og vise dem i besvarelsen. Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 15 av 16
Kilder for bilder, tegninger osv. Eksamenskontoret i Vest-Agder Oppgave 5: Downhillsykkel. Klarasth (CC BY-SA 4.0) Oppgave 7: Color Line (CC-BY-2.0) Oppgave 8: KaVass (CC BY-SA 2.0) Oppgave 10: pxhere.com (CC0) Oppgave 11: Jeff Collins (CC BY-SA 2.0) Eksamen MAT1001 Matematikk 1P-Y Våren 2018 Side 16 av 16