NTNU Sie 1 av 7 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Torsag 8. august 2002 Eksamen gitt av Kåre Olaussen Dette løsningsforslaget er på 7 sier. Oppgave 1. I enne oppgaven skal u se på noen aspekter ve moellen efinert ve sine Goron Lagrangetettheten L = 1 2 µϕ µ ϕ + κ 2 cos λϕ, 1 er ϕ er et reellt felt, og κ og λ er konstanter. a Hvilke fysiske imensjoner må ϕ, κ og λ ha for at virkningen S = t x L 2 skal ha imensjon kg m 2 s 1? Anta her at er et vilkårlig positivt heltall antallet rom-imensjoner. Lagrangetettheten må ha imensjon [L] slik at Dvs. s m [L] = s m 2 [ϕ] 2 = kg m 2 s 1. [ϕ] = kg 1/2 m 2 /2 s 1. 3 Viere må λϕ være imensjonsløs for at uttrykket cos λϕ skal ha fysisk mening. [λ] = [ϕ] 1 = kg 1/2 m 2+/2 s. 4 Tilsist må [ κ 2] = [L], [κ] = m 1 [ϕ] = kg 1/2 m 1 /2 s 1. 5 b Skriv ne, eller utle, feltligningen for enne moellen. Euler Lagrange ligningen blir i ette tilfellet er = µ µ = 1 c 2 2 t 2 2. µ L µ ϕ = L ϕ ϕ = κ 2 λ sin λϕ, 6
Løsning SIF4072 Klassisk feltteori, 8. august 2002 Sie 2 av 7 c Anta for ette punktet at feltet ϕ bare avhenger av én rom-koorinat z. Ligningen har a stabile statiske lokaliserte løsninger såkalte solitære løsninger, er λϕ 0 når z og λϕ 2π når z. Finn isse. Tips: Du kan her spare ti og arbei ve å benytte opplysningene sist i oppgavesettet. I ette tilfellet blir ligningen eller me z = κλx og λϕz = yx, 2 ϕ z 2 + κ2 λ sin λϕ = 0, 2 y + sin y = 0, 7 x2 som ifølge e velagte opplysningene har løsninger på formen Det tilsvarene uttrykket for ϕ blir yx = 4 arctan e x x 0. ϕz = 4 λ arctan exp z z0 κλ. 8 Finn e tilsvarene solitære løsningene som beveger seg me konstant hastighet v. I et inertialsystem som beveger seg me hastighet v i z-retningen vil enne løsningen, ϕ v, se ut som 8, ϕ v x = ϕx = ϕz, er firer-vektorene x og x er relatert ve en boost-transformasjon i z-retningen. La x og x være relatert ve en inverse boost-transformasjonen, ct cosh γ 0 0 sinh γ ct x y = 0 1 0 0 x 0 0 1 0 y. z sinh γ 0 0 cosh γ z Da har vi, sien ϕ er et skalart felt, at ϕ v x = ϕx = ϕz = ϕ cosh γ z sinh γ ct, er v = c tanh γ, vs. cosh γ z sinh γ ct = z vt/ 1 v/c 2. Eksplisitt blir a ϕ v t, z = 4 λ arctan exp z vt z 1 κλ. 9 1 v/c 2 Kommentar: Det er også lett å verifisere irekte at 2 c 2 t + 2 z vt f 2 z = f z vt. 2 1 v/c 2 1 v/c 2 Dette er essensielt en relasjonen man trenger.
Løsning SIF4072 Klassisk feltteori, 8. august 2002 Sie 3 av 7 e Vis at virkningen S er invariant uner translasjoner i ti og rom er e ν er en enhetsvektor i ν-retningen, e ν µ = δ µ ν = η µ ν. T ν : ϕx ϕx; ε = ϕx + ε e ν, 10 Bruk Nöther-proseyren til å finne e tilhørene konserveringslovene. Vi finner Lx = L ϕx, µ ϕx = Lϕx + ε e ν, µ ϕx + ε e ν = Lx + ε e ν. Ve å skifte integrasjonsvariable, x x = x + ε e ν, ser vi at virkningen er invariant S = 1 +1 x c Lx = 1 +1 x L x = S. c Vi finner ϕx = ε ε=0 ϕx; ε = ν ϕx, Lx = ε Lx; ε = η ν µ µ Lx = µ η ν µ Lx. ε=0 Ve bruk av e oppgitte, generelle uttrykkene for Nöther strømmer fås energi-impuls tensoren T µ ν = µ ϕ ν ϕ η µ ν L. 11 f I to rom-tis imensjoner, ϕx = ϕt, z, er sine Goron ligningen eksakt løsbar. Dette er relatert til et faktum at en har uenelig mange lokale konserveringslover. La Da kan isse konserveringslovene skrives på formen c t + z, c t z. 12 J n {ϕ} + J n {ϕ} = 0, 13 er J n {ϕ} og J n {ϕ} kan uttrykkes ve homogene polynomer i ϕ, 2 ϕ,... For n = 2 har isse en generelle formen er A 2, B 2, Ā 2 og B 2 er konstanter. J 2 = A 2 2 ϕ + B 2 ϕ 2, J2 = Ā2 sin λϕ + B 2 cos λϕ, 14 Bestem isse konstantene slik at konserveringsloven 13 blir oppfylt. Vi trenger bevegelsesligningen, som kan skrives på formen Da fås og ϕ = ϕ = κ 2 λ sin λϕ. J 2 = A 2 ϕ + 2B 2 ϕ ϕ = κ 2 λ 2 A 2 ϕ cos λϕ 2κ 2 λb 2 ϕ sin λϕ, J 2 = λā2 ϕ cos λϕ λ B 2 ϕ sin λϕ. Når vi sammenholer ette me ligning 13 ser vi at konserveringsloven blir oppfylt når vi velger Ā 2 = κ 2 λa 2, B2 = 2κ 2 B 2. 15
Løsning SIF4072 Klassisk feltteori, 8. august 2002 Sie 4 av 7 g For n = 3 har isse en generelle formen J 3 = A 3 3 ϕ + B 3 ϕ 2 ϕ + C 3 ϕ 3, J3 = Ā3 ϕ sin λϕ + B 3 ϕ cos λϕ, 16 er A 3, B 3, C 3, Ā 3 og B 3 er konstanter. Bestem isse konstantene slik at konserveringsloven 13 blir oppfylt. Vi finner J 3 = A 3 2 ϕ + B3 ϕ 2 ϕ + B 3 ϕ ϕ + 3C 3 ϕ 2 ϕ = A 3 κ 2 λ 3 ϕ 2 sin λϕ A 3 κ 2 λ 2 2 ϕ cos λϕ B 3 κ 2 λ 2 ϕ sin λϕ B 3 κ 2 λ 2 ϕ 2 cos λϕ 3C 3 κ 2 λ ϕ 2 sin λϕ, og J 3 = Ā3 2 ϕ sin λϕ + Ā3 λ ϕ 2 cos λϕ + B 3 2 ϕ cos λϕ B 3 λ ϕ 2 sin λϕ. Innsatt i ligning 13 fås betingelsen A3 κ 2 λ 3 3C 3 κ 2 λ B 3 λ ϕ 2 sin λϕ B 3 κ 2 λ Ā3 2 ϕ sin λϕ B 3 κ 2 λ 2 Ā3λ ϕ 2 cos λϕ A 3 κ 2 λ 2 B 3 2 ϕ cos λϕ = 0. 17 Den er oppfylt ersom man velger Ā 3 = κ 2 λb 3, B3 = κ 2 λ 2 A 3, C 3 = 0. 18 Oppgave 2. Vi skal her se litt på en laet punktpartikkel som beveger seg i en kombinasjon av et gravitasjonsfelt, beskrevet av en metriske tensoren g µνx, og et elektromagnetisk felt, beskrevet av firer potensialet A µx. La x µ τ beskrive verenslinjen for punktpartikkelen, er τ er egentien. Firer hastigheten til partikkelen er altså u µ = ẋ µ = x µ /τ. Dynamikken til partikkelen kan utlees fra Lagrangefunksjonen er m er massen og q laningen til partikkelen. L = 1 2 mgµν ẋµ ẋ ν qa µ ẋ µ, 19 a Utle Euler-Lagrange ligningen som følger av Lagrange-funksjonen L. Euler-Lagrange ligningen blir L τ ẋ α = L x α τ m g αµẋ µ + qa α = 1 2 m g µν,αẋ µ ẋ ν + qa µ,α ẋ µ. 20 Ve å utføre τ-erivasjonen og symmetrisere ẋ µ ẋ ν = 1 2 ẋµ ẋ ν + ẋ ν ẋ µ, kan ette skrives på formen m ẍ α + Γ αµν ẋ µ ẋ ν = qf αµ ẋ µ, 21 er Γ αµν = 1 2 g αµ,ν + g αν,µ g µν,α er konneksjonen, og F αµ = A α,µ A µ,α er felttensoren.
Løsning SIF4072 Klassisk feltteori, 8. august 2002 Sie 5 av 7 b Anta først at vi bare har et elektromagnetisk felt, g µνx = η µν, og A µx = fkx e 1 µ, 22 er k µ = ω 1, 0, 0, 1 og e 1 µ = 0, 1, 0, 0, og fs er en vilkårlig eriverbar funksjon slik at fs 0 når s ±. x Vis at k µ µ = ω x 0 τ τ x3 τ og u 2 = x2 τ I ette tilfellet blir F αµ = f kx m u α = qf kx er bevegelseskonstanter. k µ e 1 α e 1 µ k α, og bevegelsesligningen me u = ẋ Ve å ta skalarprouktet me en konstante vektoren k α fås m τ ku = qf kx [ kue 1 α e 1 uk α ]. 23 [ ] ke 1 ku k 2 e 1 u = 0, fori ke 1 = 0 og k 2 = 0. På samme måte finner vi at m τ u 2 = 0 fori e 1 2 = 0 og k 2 = 0. Vi har altså vist at ku = τ kx er en konstant K 0, slik at vi me et passe valgt nullpunkt for τ kan skrive kx = K 0 τ. c Finn bevegelsesligningen for u 1 = x1, og løs en sålangt u kan. τ Sien e 1 1 = 1, k 1 = 0 og ku = K 0 fås m τ u 1 = qf K 0 τk 0 = q τ fk 0τ, 24 me løsning u 1 τ = U 1 + q m fk 0τ. 25 Her er U 1 = u 1, og vi har brukt at fs 0 når s ±. Finn bevegelsesligningen for u 0 + u 3 =, og løs en sålangt u kan. x 0 τ + x3 τ Sien e 1 0 = e 1 3 = 0 og k 0 + k 3 = 2ω fås m τ me løsning u 0 + u 3 = ωqf K 0 τ u 1 τ = τ u 0 τ + u 3 τ = U 0 + U 3 + 2ωqU 1 er U 0 = u 0 og U 3 = u 3. 2ωqU 1 e Anta så at vi bare har et svakt gravitasjonsfelt, A µ = 0, og K 0 g µνx = η µν + gkx e µν, me e µν = fk 0 τ + ωq2 fk 0 τ 2, 26 mk 0 mk 0 fk 0 τ + ωq2 m 2 K 0 fk 0 τ 2, 27 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0, 28
Løsning SIF4072 Klassisk feltteori, 8. august 2002 Sie 6 av 7 er k µ = ω 1, 0, 0, 1, a er en konstant og gs er en vilkårlig eriverbar funksjon slik at gs 0 når s ±. x Vis at k µ µ = ω x 0 x3 er en bevegelseskonstant. τ τ τ La e bety matrisen e µν. Bevegelsesligningen kan a skrives Sien k 2 = 0 og keu = 0 fås u α = 1 2 g kx [ueuk α 2eu α ku]. 29 τ ku = 1 2 g kx [ ueuk 2 2keuku ] = 0, 30 som viser at ku er en bevegelseskonstant K 0. Vi kan erfor ve passe valgt nullpunkt for τ skrive kx = K 0 τ. f Finn ligningene for u 1 = x1 τ og u2 = x2 τ. Me k 1 = k 2 = 0, eu 1 = au 1, eu 2 = au 1, og ku = K 0 fås fra ligning 29 τ u1 = a τ gk 0τ u 1, 31 τ u2 = a τ gk 0τ u 2. 32 Disse kan omskrives på eksplisitt integrerbar form: τ exp agk 0τ u 1 = 0, τ exp agk 0τ u 2 = 0. Oppgave 3. I flatt rom, g µνx = η µν, er ynamikken for et massivt vektorfelt W µ efinert av Lagrangetettheten er W µν = νw µ µw ν. L = 1 4 ηαµ η βν W αβ W µν + 1 2 κ2 η µν W µ W ν, 33 a Hvoran må enne Lagrangetettheten omskrives for at vi skal få en moell me generell kovarians som også er gylig i krumt rom? Hva blir en tilhørene virkningen? Vi må la η µν g µν, og 1 = η g, er η og g er eterminanten til henholsvis η µν og g µν. Det er ikke nøvenig å innføre kovariant erivert i uttrykket for W µν. Pga. antisymmetri er W µ;ν W ν;µ = W µ,ν W ν,µ i torsjonsfri rom. Lagrangetettheten blir erfor L = g 14 gαµ g βν W αβ W µν + 12 κ2 g µν W µ W ν. 34 Den tilhørene virkningen er S = 4 xl. 35
Løsning SIF4072 Klassisk feltteori, 8. august 2002 Sie 7 av 7 Oppgitt: Kommentar: Det siste spørsmålet var bare ment som en åpning for e som ønsker å skrive S = 4 x g L, 36 og erfor ikke tar me faktoren g i uttrykket for L som a også bør kalles for en Lagrange funksjon isteet for en Lagrange tetthet. Euler-Lagrange ligningene: µ L µ ϕ a = L ϕ a. 37 Nöther s teorem: J µ L = µ ϕ a ϕa M µ, når 38 L = µ M µ, er X ε X for X lik ϕ a og L. 39 ε=0 En ifferensialligning me løsning: En klasse enelig energi løsninger til ligningen y x + sin yx = 0 40 er gitt som yx = 4 arctan e x x 0. 41