Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen våren 013 Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y Eksamensdato: 7. mai 013 Kunnskapsløftet Videregående trinn 1 Yrkesfag Privatister
Eksamensinformasjon Eksamenstid 4 timer. Del 1 skal leveres inn etter 1,5 timer. Del skal leveres inn etter,5 timer. Hjelpemidler Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal og vinkelmåler. Hjelpemidler Del Alle hjelpemidler er tillatt. Unntak er Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Antall sider 9 Antall vedlegg Ingen. Andre opplysninger Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Veiledning om vurderingen Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskaper i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side av 15
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 Per har kjøpt seg bil. Han fyller opp tanken som er på 60 liter. Når han har kjørt 500 km, viser tankmåleren halv tank. a) Regn ut hvor mye diesel bilen har brukt per mil. 500km 50 mil 30 liter 3 50 mil 5 liter / mil 0,6 liter / mil Bilen har bruk 0,6 liter per mil. b) Finn en formel for sammenhengen mellom forbruket av diesel og antall kjørte kilometer. Bilen bruker 0,6 liter per mil. Det er 10 km i en mil, så da bruker bilen 0,06 liter per km. Jeg kan da lage følgende formel: F0,06 der F står for forbruk, mens står for antall km. Per har et kart i bilen. 0 cm på kartet tilsvarer 40 mil i virkeligheten. Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 3 av 15
c) Hva er målestokken på kartet? 40 mil = 400 km = 400 000m = 40 000 000 cm 40000000 000000 0 Målestokken på kartet er 1 : 000 000 En dag kjører Per en tur. Ahmed kjører 5 km kortere. Line kjører halvparten så langt som Per. Til sammen kjører de tre personene 90 km. d) Hvor langt kjører Per? Jeg lar være avstanden Per har kjørt. Ahmed har da kjørt 5 kilometer. Line har kjørt kilometer. Setter opp en likning: ( 5) 90 5 90 95 95 4190 5 190 190 5 38 Per kjører 38 kilometer. Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 4 av 15
Oppgave a) En av bakteriene på bildet er 10 mm lang. 4 Da er den forstørret,5 10 ganger. Hvor lang er bakterien i virkeligheten? 10 10 1 4,010 4 4,510,5 10 4 I virkeligheten er bakterien 4,0 10-4 mm lang. b) Når en bil beveger seg rett fram med konstant akselerasjon a, er farten v ved tiden t gitt ved: v v at 0 der v0 er begynnelsesfarten. Snu formelen og finn et uttrykk for akselerasjonen a. v v at 0 at v v 0 v v a t 0 c) Tabellen under viser koordinatene til tre punkt på ei rett linje. 0 1 y -3-1 1 Finn stigningstallet for linja. y 1 ( 3) 4 a 0 Stigningstallet til linja er d) Gitt funksjonen f( ) 3. Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 5 av 15
Regn ut f() og f( 1). f () 3 4 4 3 3 f ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 3 0 Oppgave 3 a) I en trekant er sidene 6 cm, 8 cm og 10 cm. Undersøk om trekanten er rettvinklet. Hvis trekanten er rettvinklet, må den lengste siden være hypotenusen. Pytatoras setning sier da at: 6 8 10 10 100. Jeg må regne ut 6 8 og se om dette er lik 100. I så fall er trekanten rettvinklet. 6 8 36 64 100 Trekanten er rettvinklet. b) I et rektangel er lengden av de korte sidene halvparten av de lange. Arealet er 3 dm. Regn ut omkretsen av rektangelet. Jeg lar de lange sidene være. De korte blir da. A l b 3 3 3 64 64 8 De to lange sidene er 8 dm. De to korte er da 4 dm. O 8dm 4dm 16dm 8dm 4dm Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 6 av 15
Omkretsen av rektangelet er 4 dm. c) En formel sier at: ( a b)( a b) a b. I et rektangel er lengden er a b og bredden er a b. Vis at formelen stemmer når a 5 og b.. ( a b)( a b) a b (5 )(5 ) 5 73 5 4 1 1 Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 7 av 15
DEL Med hjelpemidler Oppgave 4 I den rettvinklede trekanten ABC er AB 5, 0cm og A 31. Punktet D halverer AB. a) Regn ut omkretsen av trekant ABC. Finner først BC: BC tan31 5,0 BC 5,0tan31 BC 3,0 Bruker så Pytagoras setning: AC AC 5,0 3,0 5 9 AC 34 AC 5,83 O = 5,0 cm + 3,0 cm + 5,8 cm =13,8 cm Omkretsen av trekanten er 13,8 cm. Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 8 av 15
b) Regn ut ACD og ADC. AB tanacd BC 5,0 tanacd 3,0 5,0 ACD a tan 3,0 ACD 59 3,0 tanbdc,5 3,0 BDC a tan,5 BDC 50, ADC 180 BDC 180 50, 19,8 c) Forklar at arealet av trekant ACD er lik arealet av trekant BCD. Arealet av en trekant er lik grunnlinje multiplisert med høyde dividert med. Grunnlinja er den samme i begge trekantene, nemlig,5 cm. Høyden er også den samme, ettersom BC = 3,0 cm er høyden i begge trekantene. Arealet er derfor det samme i begge trekantene. d) Sidene i kvadratet har lengden a. Vis at arealet av den skraverte trekanten er lik 1 når a. Arealet av en trekant er gitt ved formelen gh A Arealet av den skraverte trekanten blir da: 4 A 1 Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 9 av 15
Oppgave 5 Trekk sammen. a) 3 ( b) (4 a b) 3b8a b 8a 3b 1 b) ( ) ( 3)( 3) 4 ( ) ( 3 ) 4 4 4 9 4 4 17 c) 3y 3 y 3 3( y1) ( y1) ( y 1) (y1) y1 y1 y ( y 1) 3 Regn ut. d) 3 3 3 0 3 3 3 3 1 1 3 3 3 7 1 160 3 3 3 6 0 3 e) 1 a 4. a 3 1 3 4 a a a 4 4 1 a Forkort. f) 3 3 3 8a 8 a a a a a 3 3 Anita kjøper gulrotmuffins og 8 sjokolademuffins og betaler 50 kroner. Else kjøper 5 gulrotmuffins og 3 sjokolademuffins og betaler 183 kroner. g) Regn ut hva en gulrotmuffins og en sjokolademuffins koster. Jeg lar være antall gulrotmuffins og y være antall sjokolademuffins og setter opp følgende likningssett: 8y50 5 3y 183 Jeg løser så dette i GeoGebra: Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 10 av 15
En gulrotmuffins koster 1 kroner, og en sjokolademuffins koster 6 kroner. Oppgave 6 Gitt funksjonene f( ) og g( ) 1. a) Vis at f( ) g( ) for 1 og 1. Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 11 av 15
Vi ser i koordinatsystemet over at de funksjonene skjærer hverandre i = -1 og = 1. b) Finn nullpunktene til f og g grafisk og ved regning. Vi ser av grafen at har nullpunktene (0,0) og (1,0), mens g har nullpunktet (1,0). Ved regning: Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 1 av 15
0 ( 1) 0 Dette uttrykket er lik 0 når = o eller = 1 F har nullpunktene (0,0) og (1,0) 1 0 1 G har nullpunktet (1,0) c) Forklar at stigningstallet til g tilsvarer den gjennomsnittlige vekstfarten til f mellom 1og 1. g og f skjærer hverandre i = -1 og = 1. Den gjennomsnittlige vekstfarten til f mellom disse to punktene vil være den samme som stigningstallet til en rett linje gjennom disse to punktene, og det er nettopp det f er. d) Finn momentan vekstfart for f i punktet (1,0). Jeg tegner grafen til f i GeoGebra, markerer punktet (1,0) og bruker kommandoen Tangenter: Den momentane vekstfarten er lik stigningstallet til tangenten gjennom punktet (1,0). Likningen for denne linja er y = 1. Stigningstallet er 1. Den momentane vekstfarten til f i punktet (1,0) er 1. Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 13 av 15
e) Vis at f( ) g ( ) f( ) ( 1) g( ) 1 ( 1) Oppgave 7 I firkant ABCD er AB 70,0 m linjestykket AB i forholdet :5. og CD 41, m, A 56,3 og D 109,7. Punkt E deler a) Finn ADE. ADE 180 90 56,3 ADE 33,7 b) Vis at DE er 30 m. 70 AE 0 7 DE tan( DAE) AE DE AE tan( DAE) DE 0tan(56,3 ) DE 30 Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 14 av 15
c) Regn ut arealet av firkant ABCD. Arealet av ADE = AE DE 030 10 30 300 Vinkel CDE = 109,7 33,7 76 Finner så arealet av CDE ved å bruke arealsetningen: 1 1 A CDE CDDE sin( CDE) 41,30,0 sin(76 ) 601,4 Må til slutt finne arealet av BCE. Da trenger jeg lengden CE og vinkelen BEC. BE 70 0 50 Finner CE ved å bruke cosinussetningen: CE 41, 30,0 41,30,0 cos(76 ) CE 41, 30,0 41,30,0 cos(76 ) CE 44,71 Finner vinkel CED ved å bruke sinussetningen: sin( CED) sin(76 ) 41, 44,71 sin(76 ) sin( CED) 41, 44,71 sin(76 ) CED asin 41, 44,71 CED 63,4 BEC 90 CED 90 63,4 6,6 Bruker arealsetningen for å finne arealet til BEC: 1 1 A BEC BE CE sin( BEC ) 50,044,71sin(6,6 ) 500,48 A A A A AED CED BEC A 300m 601,4m 500,48m 1401,9m Arealet av firkanten ABCD er ca. 1400m Eksamen i matematikk for privatister, MAT1006 Vg1T-Y, våren 013 Side 15 av 15