Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA50 Numeriske metoder Faglig kontakt under eksamen: Trond Kvamsdal Tlf: 9305870 Eksamensdato: 3. mai 08 Eksamenstid (fra til): 09:00 3:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: Hjelpemiddelkode C Godkjent enkel kalkulator. Læreboka: Cheney & Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, 6th or 7th edition, inkludert listen over feil. Rottmann, Matematisk formelsamling. Notat: MA50-LectureNotes-08. Annen informasjon: Alle svar skal være begrunnet og inneholde nok detaljer til at det kommer tydelig fram hvilke metoder og/eller resultater som har blitt brukt. Alle (del-)oppgavene er verdt 5 poeng. Totalverdien er 70 poeng. Målform/språk: bokmål Antall sider: 6 Antall sider vedlegg: 0 Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
MA50 Numeriske metoder 3. mai 08 Side av 6 Oppgave a) Vi finner egenverdiene til A: A λi = 0 λ 0 0 λ 0 = 0 0 λ (λ )(λ ) + (λ ) = 0 (λ )((λ )(λ ) ) = 0 (λ )(λ 3λ + ) = 0 Nullpunktene til dette polynomet er: λ = {, 3 + 5, 3 } 5 Alle egenverdiene er positive, og matrisen er derfor positiv definitt. b) Vi deler største egenverdi med minste egenverdi: κ = λ ma = 3 + 5 λ min 3 5 = 7 + 3 5 6, 854 c) Hvis vi bruker algoritmen fra s. 300 i boken, ser vi at alle elementene i L er 0, bortsett fra de på hoveddiagonalen og subdiagonalen like under. Siden elementene på hoveddiagonalen til L er, impliserer dette at u = u = l = u = 3 u 3 = l 3 = 3 u 33 = 4 3 u 34 = l 43 = 3 4 u 44 = 5 4 u 45 = l 54 = 4 5... Elementene i den øvre subdiagonalen til U er - fordi u i,i+ = a i,i+ l i,i u i,i+ = a i,i+ =
Side av 6 MA50 Numeriske metoder 3. mai 08 På hoveddiagonalen til U har vi u ii = a ii l i, u,i l i, u,i l i,i u i,i = a ii + l i,i På den nedre subdiagonalen til L har vi l i,i = (a i,i l i, u,i l i, u,i l i,i u i,i ) /u i,i = /u i,i Dette viser at L og U er gitt ved j = i L ij = i/(i + ) j = i 0 ellers (i + )/i j = i, U ij = j = i + 0 ellers d) Siden L og U er triangulære, er determinanten deres produktet av elementene på hoveddiagonalen. Det gir oss e) Algoritmen blir : z = zeros(n,) A = L U = : z = b 3: for i from to n do 4: z i = b i L i,i z i 5: n = z n /U nn 6: for i from n- to do 7: i = (z i u i+,i+ i+ )/U ii return ( 3 4 3 n n ) n + = n + n
MA50 Numeriske metoder 3. mai 08 Side 3 av 6 Figur : The B-splines on [0, /, ]. Oppgave a) Vi bruker Co-de Boor rekursjon påde to første splinene: φ () = B[0, 0, 0, /] = / B[0, 0, /] / 0 ( ) / = B[0, /] / 0 = ( ) χ [0,/] φ () = B[0, 0, /, ] = 0 B[0, 0, /] + / 0 0 = / B[0, /] + ( ) / 0 B[0, /, ] ( ) 0 B[0, /] + B[/, ] / 0 / = ( + )B[0, /] + ( )( )B[/, ] = ( 6 + 4)χ [0,/] + ( ) χ [/,]
Side 4 av 6 MA50 Numeriske metoder 3. mai 08 Symmetri medfører at vi kan reflektere φ and φ rundt origo og flytte den nye splinen ett hakk mot høyre. Dette skjer ved åbytte ut med. Denne transformasjonen gjør at φ 3 og φ 4 er henholdsvis gitt ved φ 3 () = ( )χ [0,/] + ( 6 + 8 )χ [/,] φ 4 () = ( ) χ [/,] b) Ligningene for noder og vekter er gitt ved φ ( ) φ ( ) [ ] 0 φ ( ) φ ( ) φ () d w = 0 φ () d φ 3 ( ) φ 3 ( ) w 0 φ 3() d φ 4 ( ) φ 4 ( ) 0 φ 4() d Symmetri medfører at kvadraturvektene w og w er like, og deres sum er. Dette gir oss w = w = Siden φ har support i [0, /], finner vi slik: w φ ( ) + w φ ( ) = 0 φ () d / ( ) + 0 = ( ) d 0 ( ) = 3 = ± 3 6 Nodenes symmetri impliserer at = 3 6, = + 3 6 c) I Lagrange-interpolasjon bruker et vi ett globalt polynom på et gitt intervall [a, b] for å approksimere funksjonen f. Det kan medføre mye oscillasjon. Men B-spline approksimasjon skjer ved at vi deler [a, b] i flere subintervaller og approksimerer f på hvert av disse intervallene. Det gir større nøyaktighet og fleksibilitet. B-spliner er alltid stabile for polynomer. Lagrange-funksjoner har samme kontinuitet overalt på [a, b], mens kontinuiteten til til B-spliner kan variere fra 0 til p i skjøtepunktene, når polynomgraden er p. Til sist, Lagrange-polynomer interpolerer f is nodene, men det gjelder ikke alltid for B-spliner.
MA50 Numeriske metoder 3. mai 08 Side 5 av 6 Oppgave 3 a) Ut fra ligningssystemet ser vi at [ F (, ) = + ], J(, ) = [ ] Vi finner en eksplisitt formel for Newtons metode: n+ = n J( n ) F ( n ) [ ] [ n = n n ( n + n ) n ([ n, + = n n ] ( n + n ) n n + n, + = ( n + n ) [ n, + n, n, = n, + n, + ( n + n ) b) Vi velger 0 = 0 = / og får ] + + n, + [ ] ] [ n, + n, n n ] [ n, n n n, n, n n n, ]) + + = = 5 4 = = 4 40 c) Newtons metode feiler hvis =, for da blir J singulær. Oppgave 4 a) Vi bytter ut f(y(t)) med λy og får y n+ = y n + h[( θ)λy n + θλy n+ ] ( θλh)y n+ = ( + ( θ)λh)y n + ( θ)z y n+ = y n θz ( y n+ = + z ) y n θz
Side 6 av 6 MA50 Numeriske metoder 3. mai 08 A-stabilitet krever at + z θz < + z θz < Gitt at z 0, er ulikheten oppfylt for θ [0, ]: θz (z + )/ z < 0 gir θ (z + )/z = / + /z. For z < 0 har vi sup(/ + /z) = / Derfor er θ-metoden er A-stabil for θ [/, ]. b) Hvis vi velger θ = 0.5, får vi Φ( n, y n ; h) = f( n + h/, (y n + y n+ )/). Da blir Butcher-tabellen / / Metoden er av. orden fordi b =, b c = c) Implisitte metoder er best når tidsskrittet for en eksplisitt metode avhenger av dens stabilitet, ikke nøyaktigheten. Dette er typisk for stive problemer.