Øvingsforelesning 9 Flytnettverk, maksimum flyt og maksimum bipartitt matching Jon Marius Venstad venstad@idi.ntnu.no 1
Dagens tema Flytnettverk Terminologi Max-flow min-cut teoremet Ford-Fulkersons metode og algoritme Edmond-Karps algoritme Maksimum bipartitt matching Spesialtilfelle av flyt Andre algoritmer 2
Terminologi: Flytnettverk En graf med kapasitet på kantene Ønsker å sende flyt fra en kildenode s (source) til en sluknode t (terminal/sink) 3
Flytnettverk Eksempler Væske som flyter gjennom et rørsystem til en destinasjon Varer igjennom et varehus, produksjonslinjer Informasjon gjennom et datanettverk Strøm gjennom strømledninger 4
Flytnettverk Flyt og kapasitet på kanter benevnes f/c Flyt inn i en node = flyt ut (unntatt for s og t) f(v, u) = - f(u, v) f(u,v) = 4 c(u,v) = 5 f(v,u) = -4 c(v,u) = 0 5
Residual nettverk En graf som viser hvor mye man kan øke flyten med, til man når kapasiteten på kantene Kalles G f = (V,E f ) for flytnettverket G = (V,E) c f (u,v) er residualkapasiteten for en kant (u,v) Dvs. hvor mye mer flyt kan man sende over kanten før man når kapasiteten. (Eller: Hvor mye flyt man kan kansellere, for motsatt retning.) 6
Residual nettverk c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) der f(u,v) er flyten for kanten (u,v) c(u,v) = 7 f(u,v) = 3 c f (u,v) = 7 3 = 4 c(v,u) = 0 f(v,u) = -3 c f (v,u) = 0 (-3) = 3 7
Residual nettverk Lettere å finne flytforøkende stier i G f enn i G Flytforøkende sti er en sti fra s til t der alle kanter har tilgjengelig kapasitet 8
Residual nettverk Lettere å finne flytforøkende stier i G f enn i G Flytforøkende sti er en sti fra s til t der alle kanter har tilgjengelig kapasitet 9
Superkilde og supersluk Hva hvis flytnettverket har flere kilder og flere sluker? Superkilde og supersluk 10
Snitt i flytnettverk Vi kan dele opp grafen i to partisjoner, ved å ta et snitt (S,T), der mengden S inneholder kilden s og T inneholder sluket t Kan ha mange snitt på en graf 11
Snitt-terminologi Flyt over et snitt: f(s,t) Flyt fra S til T: legges til f(s,t) Flyt fra T til S: trekkes fra f(s,t) Kapasitet over et snitt: c(s,t) Legger bare til kapasiteter fra S til T Minimum-snitt (min-cut) på et flytnettverk: det snittet som har lavest kapasitet av alle snitt Netto flyt over ethvert snitt er det samme, nemlig flyten f 12
Snitt i flytnettverk Partisjonerer flytnettverket i to deler: S = { s, u } T = { v, w, x, t } f(s,t) = 4 + 2 + 1-0 = 7 c(s,t) = 3 + 5 + 5 = 13 snitt1 er ikke et min-cut 13
Viktig! Max-flow min-cut teoremet Anta flytnettverk G = (V,E) med kilde s og sluk t. Da er følgende utsagn ekvivalente: f er maksimal flyt i G Residualnettverket G f har ingen flytforøkende sti f = c(s,t) for et snitt (S,T) av G Et slikt snitt er et min-cut av G 14
Max-flow min-cut teoremet G er fylt opp med maksflyt 9 G f har ingen flytforøkende stier min-cut har kapasitet 9 15
Max-flow min-cut teoremet min-cut angir en flaskehals i flytnettverket Kan ikke sende mer flyt igjennom nettverket enn det vi kan sende gjennom flaskehalsen Kan ikke finne noen flytforøkende sti over flaskehalsen 16
Ford-Fulkerson metoden Ford-Fulkerson-Method(G, s, t) Initialiser all flyt f til 0 så lenge det finnes en flytforøkende sti p øk flyten f langs p returner f En generell metode for å finne maksimal flyt i et flytnettverk 17
Ford-Fulkerson algoritmen Ford-Fulkerson(G, s, t) sett all flyt til 0 så lenge p er en sti fra s til t i G f c f (p) = min{ c f (u,v) : (u,v) i p } hver (u,v) i p f[u,v] = f[u,v] + c f (p) f[v,u] = -f[u,v] p er en flytforøkende sti cfor f (p) er residualkapasiteten til den minste kanten i p Kjøretid O(E* f ) Der f er maksflyten funnet i algoritmen 18
Ford-Fulkerson algoritmen Eksempelkjøring av algoritmen Jukser litt, initialiserer ikke flyten til 0 først 19
Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Initialsteg f = 7 20
Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Flytforøkning f = 8 21
Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Flytforøkning f = 9 22
Ford-Fulkerson algoritmen Residualnettverk Etter flytforøkning Ingen flere flytførkende stier f = 9 Vi har funnet maks-flyt og er ferdige 23
Ford-Fulkerson algoritmen Algoritmen avhenger av hvordan man finner den flytforøkende stien p, fra s til t Ford-Fulkerson algoritmen kjører raskt hvis maksflyt er liten, men for stor f blir kjøretiden O(E* f ) dårlig Hvis man bruker BFS til å finne flytforøkende sti i G f, ender vi opp med Edmonds-Karps algoritme 24
Edmonds-Karps algoritme Bruker BFS for å finne korteste flytforøkende sti i G f, og øker flyten langs denne stien BFS kan finne korteste vei fra s til t, ved å ha enhetslengde på kantene (unit-length) Ellers er Edmonds-Karp slik som Ford- Fulkersons algoritme Kjøretid O(V*E 2 ) 25
Edmonds-Karps algoritme Edmonds-Karp(G, s, t) sett all flyt til 0 bruk BFS og finn korteste sti p, som går fra fra s til t i G f c f (p) = min{ c f (u,v) : (u,v) i p } for hver (u,v) i p p er en flytforøkende sti c f[u,v] = f[u,v] + c f (p) f (p) er residualkapasiteten til den minste kanten i p f[v,u] = -f[u,v] Kjøretid O(V*E 2 ) 26
Maksimum bipartitt matching Terminologi Hvordan finne maksimum bipartitt matching 27
Maksimum bipartitt matching Hva er en bipartitt graf? En graf der nodene kan deles opp i to mengder L og R, slik at: Nodene i R bare har kanter til noder i L Nodene i L bare har kanter til noder i R 28
Maksimum bipartitt matching Eksempel Jenter som skal danse med gutter, noen vil danse med mange, mens noen vil danse med bare én annen. Ikke lov til å danse med samme kjønn. Hvordan få flest mulig personer ut på dansegulvet? 29
Maksimum bipartitt matching Hva er bipartitt matching? Anta G=(V,E) er en bipartitt graf, og M er en undermengde av E, slik at for grafen G = (V,M) holder følgende egenskap: For alle noder v i V, deg(v) 1 Så hver node kan ha maks 1 nabo Ønsker å maksimere M Maksimum bipartitt matching er når M er størst mulig 30
Maksimum bipartitt matching G = (V,E) V = {a,b,c,d,e,f} M = {} M = 0 31
Maksimum bipartitt matching G = (V,E) V = {a,b,c,d,e,f} M = {(a,d), (c,b) M = 3 (e,f)} 32
Maksimum bipartitt matching Hvordan får vi til maskimum bipartitt matching? Dvs. hvordan maksimerer vi M? Bygger på grafen litt slik at vi får ett flytnettverk Legger til en kilde s, sluk t, retninger på kantene fra L til R, og makskapasitet på hver kant til 1 Kilden har en kant til hver node i L, og hver node i R har en kant til sluken 33
Maksimum bipartitt matching Har en bipartitt graf 34
Maksimum bipartitt matching Legger til kilde s og sluk t, og rettede kanter fra s til t 35
Maksimum bipartitt matching Legger på kapasitet 1 på kantene 36
Maksimum bipartitt matching Etter man har gjort disse stegene, kan man kjøre en flytalgoritme på flytnettverket Da vil maksflyten f = M, og vi har løst problemet med maskimal bipartitt matching Brukes Ford-Fulkersens metode blir kjøretiden O(V*E) 37