UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 18. mars 2005 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Ingen Alle trykte og skrevne Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavene og deloppgavene kan til en stor grad løses uavhengig av hverandre. Om det er en deloppgave du ikke har løst, så kan du anta at du har løst den og kan prøve å gå videre i settet. Legg vekt på å finne enkle og elegante løsninger! Poengtallene angitt i parentes for hver deloppgave er veiledende. (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i INF 3230/4230, 18. mars 2005 Side 2 Oppgave 1 Simulering av black-jack-spill i Maude (26 poeng) Oppgaveskriveren, som bor i et kaldt land og er tynget av et saftig leilighetslån, liker å besøke ørkenbyen Las Vegas. Men... på tross av glimrende strategier har ikke disse besøkene medført signifikante forbedringer i oppgavestillerens økonomi. Derfor ønsker han å bruke Maude til å simulere ulike black-jack-strategier for å finne veien til rikdom. Kort om black-jack: Black-jack er et spill mellom en spiller og banken (også kjent som kasinoet eller dealeren). Kort fortalt dreier det seg om å trekke kort slik at kortenes totalsum kommer så nær opptil 21 uten å overskride 21. Spillets gang er at spilleren satser et visst beløp (innsatsen) og får tildelt ett kort, hvorpå banken får ett kort 1 som kan sees av spilleren. Spilleren kan så vurdere situasjonen og be om flere kort, ett og ett nytt kort ad gangen, for å komme så nær opptil totalsum 21 på sine kort uten å overskride 21. Spillerens intelligens/magefølelse må altså brukes hele tiden for å vurdere hvorvidt det er smart å be om ett kort til. Om summen av kortene man sitter med er 11, eller mindre enn det, er det opplagt smart å be om ett kort til. Om man sitter på kort med sum 20 eller 21 er det opplagt idiotisk å be om flere kort. Om man sitter med kort med sum mellom 12 og 17 (18?) må man vurdere situasjonen ut i fra magefølelse/strategi og bankens synlige kort. Etter at spilleren har gjort seg ferdig, trekker banken sine resterende kort. Banken må følge en på forhånd oppgitt strategi. Kort sagt, så vinner den av spilleren og banken som kommer nærmest 21 i summen av verdiene av sine kort, uten å overskride 21. Med black-jack menes at man får totalsummen 21 med sine to første kort. Dette er spesielt bra. Spilleren taper sin innsats dersom (minst) én av følgende situasjoner inntreffer: 1. summen av verdiene på spillerens kort overskrider banken har black-jack uten at spilleren har det (selv om spilleren også har sum 21) 3. både bankens og spillerens hånd har sum <= 21, men banken er nærmere 21 enn spilleren. Spilleren får tilbake det dobbelte av hva hun satset dersom alle de følgende betingelser holder: 1. summen av spillerens kort er <= spilleren har ikke black-jack 1 For å være helt nøyaktig så får spilleren og banken to kort hver i begynnelsen, men vi ser bort fra det for å få enklere modellering. 2 Spilleren taper sin innsats hvis han overskrider 21, selv om banken også overskrider 21! Dette er bankens innebygde fordel og gjør at kasinoer med glede tilbyr black-jack. (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i INF 3230/4230, 18. mars 2005 Side 3 3. bankens hånd har sum > 21 eller er mindre enn summen av spillerens hånd Spilleren får tilbake sin innsats, men ikke mer, dersom én av følgende betingelser holder: 1. både spilleren og banken har black-jack 2. hverken spilleren eller banken har black-jack, men har samme kortsum <= 21 Spilleren får tilbake to og en halv ganger innsatsen dersom 1. spilleren har black-jack mens banken ikke har det. Noen eksempler: Peter satser sine siste 100 $, får først to kort med totalsum 13, og velger etter noe tenking å be om enda ett kort, som viser en nier. Totalsummen er 22 og banken soper til seg Peters siste 100 $! Lizzie satser 20 $, og får totalsummen 21 på sine to første kort. Black-jack! Lizzie beholder sine 20 $, og får i tillegg 30 $ fra banken, som ikke fikk black-jack. Shubber n satser 200 $, får totalsummen 18 på sine to første kort, og velger merkelig nok å be om enda ett kort... som viser en treer! Shubber n har totalsum 21, men ikke black-jack. Banken trekker kort til den stopper på 20. Shubber n beholder sine 200 $ og mottar i tillegg 200 $ fra banken. George får totalsummen 16 på sine to første kort og velger å ikke be om flere kort. Dessverre så får banken totalsum 18, slik at George taper sin innsats. Denise satser 80 $, får totalsummen 12 på sine første to kort, og velger å ikke be om flere kort. Det viste seg å være lurt da banken trekker til den får totalsum 24. Denise beholder sine 80 $ og får i tillegg 80 $ fra banken. Petya satser 50 $, får summen 20 på sine to første kort, og stopper naturlig nok med det. Banken får imidlertid også totalsum 20. Uavgjort. Petya beholder sin innsats, og banken beholder sine penger. Verdien til et kort er gitt ved at kort påført tallene 2,..., 10 har verdi lik det påførte tallet. Et kort påført betegnelsen J ( knekt ), Q ( dame ) eller K ( konge ) har verdien 10. Når det gjelder kort påført betegnelsen A ( ess ) så kan man selv velge hvorvidt man ønsker at den skal telle som 1 eller 11. Man trenger ikke å bestemme dette på forhånd. For eksempel, dersom man har én 8 er og tre ess, så kan denne hånden ta verdi =11, eller =21, eller =31 eller =41. Det beste er her selvfølgelig 21. Mengden av mulige spillekort modelleres av følgende sort Kort: (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i INF 3230/4230, 18. mars 2005 Side 4 sorts Farge Verdi Kort. ops J Q K A : -> Verdi [ctor]. ops Klover Hjerter Ruter Spar : -> Farge [ctor]. op <_,_> : Farge Verdi -> Kort [ctor]. Et kløver-8 kort modelleres altså av termen < Klover, 8 >. 1a Multisett av kort (2 poeng) Definér en sort Haand for multisett av spillekort. (Merk at vi ønsker multisett (og ikke mengder) siden man av og til spiller med flere kortstokker, slik at en hånd kan inneholde flere kopier av samme kort.) 1b Definisjon av en kortstokk (2 poeng) Definér en konstant op kortstokk : -> Haand. til å være lik én kortstokk (dvs. et multisett som inneholder nøyaktig ett element av hver konstruktør-grunnterm av sort Kort). 1c Verdien til en hånd (3 poeng) Verdien til hvert spillekort er beskrevet over. Siden et ess kan ha verdi 1 eller 11, har vi definert to funksjoner ops minsteverdi storsteverdi : Kort -> Nat. hvor minsteverdien til et kort angir kortets minsteverdi, og tilsvarende med storsteverdi. Disse er definert var F : Farge. var V : Verdi. eq minsteverdi(< F, 2 >) = 2. eq minsteverdi(< F, 3 >) = 3. eq minsteverdi(< F, 4 >) = 4. eq minsteverdi(< F, 5 >) = 5. eq minsteverdi(< F, 6 >) = 6. eq minsteverdi(< F, 7 >) = 7. eq minsteverdi(< F, 8 >) = 8. eq minsteverdi(< F, 9 >) = 9. eq minsteverdi(< F, 10 >) = 10. eq minsteverdi(< F, J >) = 10. eq minsteverdi(< F, Q >) = 10. eq minsteverdi(< F, K >) = 10. (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i INF 3230/4230, 18. mars 2005 Side 5 eq minsteverdi(< F, A >) = 1. eq storsteverdi(< F, V >) = if V == A then 11 else minsteverdi(< F, V >) fi. Definér tre funksjoner ops minsteverdi storsteverdi besteverdi : Haand -> Nat. som angir hhv. minste, største og beste verdien til en hånd. Den beste verdien til en hånd er altså den verdien som, om mulig, kommer nærmest 21 uten å overstige 21. 1d Sjekk for black-jack (3 poeng) Definér en funksjon op blackjack : Haand -> Bool. som sjekker om hånden er en black-jack, dvs. består av to kort og har (beste) totalsum 21. 1e Resultatet av et spill (4 poeng) Definér en funksjon op resultat : Haand Haand Nat -> Nat. --- usage: resultat(spillershaand, bankenshaand, innsats) slik at resultat(spillershaand, bankenshaand, innsats) angir hvor mye penger spilleren får tilbake (dvs. evnt. egen innsats + evnt. gevinst), gitt at spilleren satset innsats $, stoppet med hånd spillershaand, mens banken stoppet med hånd bankenshaand. 1f Simuler ett spill med gitt strategi (7 poeng) I resten av oppgaven skal vi anta at vi har gitt følgende funksjoner op delete : Kort Haand -> Haand. op random : Nat -> Nat. *** random(x) generates the next random number op getrandomcard : Haand Nat ~> Kort. (Fortsettes på side 6.)

6 Eksamen i INF 3230/4230, 18. mars 2005 Side 6 Funksjonen delete fjerner (maks én kopi av) ett gitt kort fra en kortstokk, random er en funksjon som gitt et tall (en seed) finner det neste pseudo- tilfeldige tallet. For å oppdatere seed en, så skal man helst oppdatere den til random(seed). Funksjonen getrandomcard tar en kortstokk og en seed, og plukker ut et tilfeldig kort fra kortstokken gitt som første parameter 3. Du skal altså ikke definere disse funksjonene! Gitt disse funksjonene kan vi nå simulere ett black-jack-spill. Vi skal simulere en tilsynelatende feig strategi der spilleren ber om nye kort helt til den minste verdien av hennes hånd blir 15 eller mer, eller til den beste verdien er 18 eller større. Banken må følge strategien dealer stands on all 17s, dvs., at banken må trekke kort så lenge dens hånd har besteverdi < 17, og banken må stoppe med en gang dens hånd har besteverdi >= 17. Dvs., du skal i denne deloppgaven definere en funksjon op spillsoft : Nat Nat -> Nat. --- usage: spillsoft(innsats, seedforrandom) som simulerer én runde av et black-jack-spill. Den første parameteren er spillerens innsats, og den andre parameteren er en seed som skal brukes av getrandomcard til å trekke kort fra kortstokken. Resultat av spillsoft(i, s) skal bli pengesummen spilleren får tilbake (dvs. evnt. innsats + gevinst) etter et spill med innsats i. Merk at hvert nye spill skal starte med én hel kortstokk. Du trenger ikke bekymre deg om at kortstokken blir tom før spillet er over. For eksempel, i min kjøring fikk jeg at spillsoft(100, ) returnerte 100 (uavgjort), spillsoft(100, 1237) returnerte 0 (tap), mens spillsoft(100, ) returnerte 200 (gevinst). 1g Simulere mange spill (5 poeng) Det som vi skulle fram til var altså å simulere en kveld ved black-jack-bordet. Dvs., hvis jeg tar med meg n $, spiller for nøyaktig i $ i hvert spill/runde, og spiller r runder (eller til jeg ikke har penger igjen til innsatsen i), hvor mye penger vil jeg ha når jeg er ferdig? Jeg bruker ovennevnte softe taktikk i hvert spill. Definér en funksjon op mangesoftespill : Nat Nat Nat Nat -> Nat. --- usage: mangesoftespill(maxantallrunder, startkapital, --- innsatsperspill, seed) 3 Merk at signaturen antyder at dette er en partiell funksjon. Dette fordi det matematisk sett er umulig å plukke et kort fra en tom kortstokk. I denne oppgaven skal vi ikke bekymre oss om å plukke kort fra tomme kortstokker, så du trenger ikke bekymre deg om dette, og kan trygt late som om funksjonen var deklarert op getrandomcard : Haand Nat -> Kort. (Fortsettes på side 7.)

7 Eksamen i INF 3230/4230, 18. mars 2005 Side 7 hvor mangesoftespill(r, n, i, s) simulerer en slik kveld ved black-jack-bordet, der s er en initiell seed. Svaret skal være hvor mye penger man sitter igjen med etter en slik spillekveld. Pass på at man starter med en nyblandet kortstokk i hvert spill, og at blandingen er forskjellig fra spill til spill. Dette betyr at seed s må oppdateres før hvert nye spill (til random(s)). Eksempelvis ble resultatet av mangesoftespill(30,1000,100,123377) lik 400 i min Maude-simulering (dvs. et netto-tap på 600 $ på 30 spill), mens mangesoftespill(40,1000,100,1237) faktisk returnerte 1150 (netto-gevinst på 150 $ på 40 spill!), og mangesoftespill(10,1000,100, ) returnerte 1100! Disclaimer leses etter eksamen Merk at ovennevnte strategi, og beskrivelse av spillet, er sterkt forenklet. Enhver seriøs strategi må ta hensyn til bankens synlige kort, og bør utnytte muligheter som double down og split. Oppgave 2 Terminering (15 poeng) 1. Finnes det en forenklingsordning som kan brukes til å vise at systemet {f (h(x)) = k(x), k(k(x)) = f (g(f (x)))} terminerer? Bevis (eller begrunn godt) svaret. 2. Finnes det en forenklingsordning som kan brukes til å vise at systemet {f (a) = f (g(b, a))} terminerer? Bevis (eller begrunn godt) svaret. 3. Finnes det en forenklingsordning som kan brukes til å vise at systemet {f (f (x)) = g(x), g(g(x)) = f (x)} terminerer? Bevis (eller begrunn godt) svaret. Lykke til! Peter C. Ølveczky