UNIVERSITETET I OSLO
|
|
- Elise Enger
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 13. juni 2013 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 10 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Ingen vedlegg Alle trykte og skrevne Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavene og deloppgavene kan til en stor grad løses uavhengig av hverandre. Om det er en deloppgave du ikke har løst, så kan du anta at du har løst den og kan prøve å gå videre i settet. Legg vekt på å finne enkle og elegante løsninger! Poengtallene angitt i parentes for hver oppgave er veiledende. Alle svar skal begrunnes godt! Alle hjelpefunksjoner, sorter, etc., du trenger må selvfølgelig defineres fullt ut. English! This exam is given in English after the Norwegian part, from page 6 onwards. (Fortsettes på side 2.)
2 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 2 Oppgave 1 Subset Sum (27 poeng) I subset sum -problemet har vi gitt et multisett av positive tall, og skal sjekke om det er mulig å plukke ut noen av disse tallene slik at deres sum er lik et ønsket tall. For eksempel, fra multisettet {7, 3, 5, 12} er det mulig å plukke ut en delmengde med sum 7 (bare å plukke det første tallet), og det er mulig å plukke ut en delmengde med sum 15 (plukk de tre første), og så videre. Det finnes ingen delmengde med sum 4, 9 eller 14. Vi har gitt den forventede data typen for slike multisett: sort MSet. subsort NzNat < MSet. op none : -> NzNat [ctor]. op : MSet MSet -> MSet [ctor assoc comm id: none]. 1a Definere Subset Sum (12 poeng) Definér en funksjon op subsetsum : MSet NzNat -> Bool. i Maude slik at subsetsum(s, n) er true hvis og bare man kan plukke ut delmengde av multisettet s med sum n, og er false hvis et slikt utplukk ikke finnes. 1b Subset Sum med gjenbruk av tall (7 poeng) Anta nå at du kan bruke et tall i mengden så mange ganger du ønsker for å oppnå den ønskede summen av utplukket. For eksempel, gitt en mengde {5, 13, 11}, kan du nå plukke ut elementer med totalsum 27 (bruk 5 én gang og 11 to ganger) og 58 (bruk alle elementene to ganger hver), men ikke med totalsum 17 eller 19, for eksempel. Definér en funksjon op multisubsetsum : MSet NzNat -> Bool. i Maude slik at multisubsetsum(s, n) er true hvis og bare man kan plukke ut vilkårlig mange av hvert element i multisettet s slik at totalsummen av elementene i utplukket blir n, og er false hvis et slikt utplukk ikke finnes. 1c Terminering av multisubsetsum (8 poeng) Forklar hvorfor din definisjon av funksjonen multisubsetsum er terminerende ved å forklare at hvert rekursive kall på multisubsetsum minsker en velfundert vekt av argumentene. (Fortsettes på side 3.)
3 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 3 Oppgave 2 Terminering (29 poeng) (Husk nok engang på at alle svar skal bevises eller begrunnes meget godt) La S 1 og S 2 være de følgende (forholdsvis like) spesifikasjonene: S 1 = {f(x, g(h(x, y))) = f(h(g(x), y), h(g(x), g(f(x, y))))} og S 2 = {f(x, g(h(x, y))) = f(h(g(x), y), h(g(x), g(f(x, y)))), f(x, z) = h(x, z)}. 2a Forenklingsordninger I (10 poeng) Finnes det en forenklingsordning som kan brukes til å bevise terminering av S 1? 2b Forenklingsordninger II (9 poeng) Finnes det en forenklingsordning som kan brukes til å bevise terminering av S 2? 2c Vektfunksjoner (10 poeng) Finnes det en vektfunksjon som brukes til å bevise at S 1 terminerer? (Med dette mener jeg at det finnes en velfundert partielt ordnet mengde (D, >) og en vektfunksjon w fra grunntermer inn i D slik at hvert steg t u er vektminskende.) Oppgave 3 Tårnene i Hanoi (44 poeng) Tårnene i Hanoi er et klassisk spill hvor man har gitt m pinner og n ringer av ulik størrelse (kun én ring av hver størrelse). Én av pinnene er målpinnen. Initielt er alle ringene satt på ett av tårnene, slik at den største ringen er nederst, den nest største er nest nederst, og så videre, med den minste ringen øverst. Reglene i spillet er som følger: Man kan ta den øverste ringen fra hvilken som helst pinne og sette den på hvilken som helst annen pinne, men slik at man aldri setter en større ring oppå en mindre ring. Målet er at alle ringene skal havne på målpinnen (i riktig størrelses-rekkefølge). For m = 3 finnes det en optimal algoritme for å løse dette problemet; dvs., en algoritme som løser oppgaven med færrest mulige flyttinger. For m = 4 (dvs., for 4 pinner) har man ennå ikke funnet en effektiv optimal algoritme. (I denne oppgaven vil vi faktisk ende opp med generell algoritme som alltid finner det optimale spillet!) Figuren til venstre nedenfor viser en tilstand (som kan være en starttilstand) for m = 3 og n = 10. Figuren til høyre viser en lovlig tilstand midt i spillet for m = 3 og n = 7. (Fortsettes på side 4.)
4 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 4 Vi modellerer spillet med en mengde pinner, hvor hver pinne er på formen peg p hasstack ringer Hver pinne har et tall p som gir pinnen et navn (dette navnet er ellers uinteressant). Vi nummererer pinnene fortløpende fra 1 til m, hvor pinne 1 har alle ringene i initialtilstanden og pinne m er målpinnen. Hver ring modelleres av et tall fra 1 til n, hvor 1 representer den minste ringen, 2 den nest minste ringen, osv., og n representer den største ringen. Vi bruker følgende data typer til å representere tilstandene i spillet: sort ListNat. subsort NzNat < ListNat. op nil : -> ListNat [ctor]. op _::_ : ListNat ListNat -> ListNat [ctor assoc id: nil]. sorts Peg Pegs. subsort Peg < Pegs. op peg_hasstack_ : NzNat ListNat -> Peg [ctor]. op none : -> Pegs [ctor]. op : Pegs Pegs -> Pegs [ctor assoc comm id: none]. Pinnen i midten på figuren til høyre ville for eksempel representeres av termen peg 2 hasstack 6 :: 5 :: 2 :: 1 3a Modellere spillet (10 poeng) Spesifisér i Maude alle mulige trekk som kan gjøres i dette spillet. Viktig: du trenger ikke å modellere det faktum at spillet egentlig skulle stoppe når alle ringene er på målpinnen. Dvs., hvis du ønsker det kan man godt fortsette spillet selv når alle ringene er på målpinnen. (Fortsettes på side 5.)
5 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 5 3b Initialtilstand (6 poeng) Definér en funksjon op init : NzNat NzNat -> Pegs. i Maude slik at init(m,n) definerer en initialtilstand av spillet med m pinner og n ringer. 3c Terminering og konfluens (6 poeng) Er regelmengden din terminerende? Er den konfluent? (En eventuell ligningsmengde i din definisjon skal selvsagt være både terminerende og konfluent.) 3d Finne et optimalt spill (8 poeng) Beskriv hvordan du ville bruke Maude til å finne et optimalt spill (d.v.s. færrest mulig steg for å komme fra initialtilstanden til en tilstand hvor alle ringene er på målpinnen) for et spill med 4 pinner og 5 ringer. Eventuelle Maude-kommandoer du bruker må skrives fullt ut. 3e Temporale egenskaper (7 poeng) Gitt følgende tilstandsutsagn: 1. Ingen ring hviler på en mindre ring. 2. Det er minst én ring på to eller flere pinner. 3. Alle ringene er på målpinnen. Hvilke(n) av disse er invariant, garantert, stabilt og/eller oppnåelig med hensyn til initialtilstand init(4,5)? 3f Sjekke invarians (7 poeng) Hvilken Maude-kommando ville du bruke for å analysere hvorvidt den første egenskapen over som er en invariant mht init(4,5) faktisk er en invariant for init(4,5)? Hvilket svar forventer du fra Maude? Lykke til! Peter C. Ölveczky (Fortsettes på side 6.)
6 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 6 The Exam in English The exercises can, to a certain degree, be solved independently of each other. If you have not solved an exercise, you may assume that you have solved it and can continue with the other exercises. Emphasize simplicity and elegance in your solutions. All answers should be explained/justified. All auxiliary functions, sorts, etc., that you need must obviously be defined. Exercise 1: Subset Sum (27 points) In the Subset Sum problem we are given a multiset of positive (natural) numbers, and want to check whether it is possible to select a subset of these numbers whose sum equals a desired value. From the multiset {7, 3, 5, 12} we can select a subset with sum 7 (just select the first element), and it is possible to select a subset with sum 15 (select, e.g., the first three elements). However, there is no subset with sum 4, 9, or 14. Our multisets are defined as follows: sort MSet. subsort NzNat < MSet. op none : -> NzNat [ctor]. op : MSet MSet -> MSet [ctor assoc comm id: none]. Exercise 1a: Defining Subset Sum (12 points) Define a function op subsetsum : MSet NzNat -> Bool. in Maude such that subsetsum(s, n) equals true if and only if there is a subset of s whose elements sum is n, and equals false if no such subset exists. Exercise 1b: Subset Sum with Reuse of Elements (7 points) Assume that you can use an element in the (multi)set as many times as you want to get the desired sum of the selection. For example, given a set {5, 13, 11}, we can select elements with sum 27 (use 5 once and 11 twice) and another subset with sum 58 (use each element twice), but we cannot select any subset with sum 17 or 19. Define a function (Fortsettes på side 7.)
7 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 7 op multisubsetsum : MSet NzNat -> Bool. in Maude such that multisubsetsum(s, n) equals true if and only if one can select any number of each element in s such that the sum of those numbers is n, and equals false if no such subset exists. Exercise 1c: Termination of multisubsetsum (8 points) Explain why your definition of multisubsetsum is terminating by explaining that each recursive call to multisubsetsum decreases a well-founded weight of the arguments of the function. Exercise 2: Termination (29 points) Let S 1 and S 2 be the following specifications (S 2 just adds an equation to S 1 ): S 1 = {f(x, g(h(x, y))) = f(h(g(x), y), h(g(x), g(f(x, y))))} and S 2 = {f(x, g(h(x, y))) = f(h(g(x), y), h(g(x), g(f(x, y)))), f(x, z) = h(x, z)}. (Remember that all answers must be proved or justified very well.) Exercise 2a: Simplification Orderings I (10 points) Is there a simplification ordering that can prove termination of S 1? Exercise 2b: Simplification Orderings II (9 points) Is there a simplification ordering that can prove termination of S 2? Exercise 2c: Weight Functions (10 points) Is there a weight function that can be used to prove termination of S 1? (By this I mean that there is a well-founded partially ordered set (D, >) and a weight function mapping each ground term to an element in D such that each simplification step t u is weight-decreasing.) (Fortsettes på side 8.)
8 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 8 Exercise 3: Towers of Hanoi (44 points) The Towers of Hanoi is a classic game where you are given m pegs (or rods ) and n disks of different sizes which can slide onto any peg/rod. The puzzle starts with the disks in a neat stack in ascending order of size on one peg, the smallest at the top, thus making a conical shape. The objective of the puzzle is to move the entire stack to another peg, called the target peg, while obeying the following rules: Only one disk may be moved at a time. Each move consists of taking the upper disk from one of the pegs and sliding it onto some other peg, on top of the other disks that may already be present on that peg. No disk may be placed on top of a smaller disk. For m = 3 there is an optimal algorithm to solve this problem; i.e., an algorithm that solves the problem with the smallest number of moves. For four pegs (m = 4) there is no known (decently fast) algorithm that finds the optimal game. (In this exercise we will end up with a general algorithm that always finds the optimal game!) The figure on the left below shows a state of the game for m = 3 and n = 10; this could be the initial state and the rightmost peg could be the target peg. The figure on the right below shows a legal state in the middle of the game for m = 3 and n = 7. We model the game with a set of pegs, each of which is represented by a term of the form peg p hasstack disks Each peg has a number p identifying the peg; we number the pegs from 1 to m, where the peg 1 has all the disks in the initial state and where peg m is the target peg. Each disk is modeled by a natural number, where the smallest disk is represented by the number 1, the second smallest is represented by the number 2, and so on. We use the following data types to represent the states in the game: (Fortsettes på side 9.)
9 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 9 sort ListNat. subsort NzNat < ListNat. op nil : -> ListNat [ctor]. op _::_ : ListNat ListNat -> ListNat [ctor assoc id: nil]. sorts Peg Pegs. subsort Peg < Pegs. op peg_hasstack_ : NzNat ListNat -> Peg [ctor]. op none : -> Pegs [ctor]. op : Pegs Pegs -> Pegs [ctor assoc comm id: none]. The middle peg in the figure on the right would therefore be represented by the term peg 2 hasstack 6 :: 5 :: 2 :: 1 Exercise 3a: Modeling the Game (10 points) Specify all the possible moves that are possible in this game in Maude. Note: You do not need to stop when all the disks are on the target peg. That is, if you want, the player could be allowed to continue to move even after all the disks are on the target peg. Exercise 3b: Defining Initial States (6 points) Define a function op init : NzNat NzNat -> Pegs. in Maude such that init(m, n) defines an initial state with m pegs and n disks. Exercise 3c: Termination and Confluence (6 points) Are your rules terminating? Are they confluent? (Any equations in your specification must of course be terminating and confluent.) Exercise 3d: Finding the Optimal Game (8 points) Explain how you would use Maude to find the optimal game; i.e., the smallest sequence of steps/moves from an initial state to one where all the disks are on the target peg, for a setting with 4 pegs and 5 disks. Any Maude commands used must must be given explicitly. (Fortsettes på side 10.)
10 Eksamen i INF 3230, 13. juni 2013 Side 10 Exercise 3e: Temporal Properties (7 points) Given the following state propositions: 1. No disk is on top of a smaller disk. 2. There is a disk on two or more pegs. 3. All the disks are on the target peg. For each of these state propositions: is it invariant, guaranteed, stable, and/or reachable w.r.t. initial state init(4,5)? Exercise 3f: Analyze Invariance (7 points) Which Maude command would you use to analyze whether or not the first of the above state properties that actually is invariant w.r.t. initial state init(4,5) indeed is an invariant w.r.t. init(4,5)? What should be the result of the Maude execution? Good luck! Peter C. Ölveczky
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 4. juni 2010 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 4. april 2008 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 24. mars 2006 Tid for eksamen: 13.30 16.30
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 8. juni 2012 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 12. juni 2014 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 7. juni 2007 Tid for eksamen: 9.00 12.00
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 4231 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 12. juni 2014 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 16. juni 2016 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 4232 Logikk for systemanalyse Eksamensdag: 13. juni 2017 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerSlope-Intercept Formula
LESSON 7 Slope Intercept Formula LESSON 7 Slope-Intercept Formula Here are two new words that describe lines slope and intercept. The slope is given by m (a mountain has slope and starts with m), and intercept
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON20/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Fredag 2. mai
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Date of exam: Tuesday, June 8, 203 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon The problem set covers
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Date of exam: Friday, May
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 7. juni
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON360/460 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Exam: ECON360/460 - Resource allocation and economic policy Eksamensdag: Fredag 2. november
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Onsdag 6. desember
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag 8. desember
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt ksamen i: ECON3120/4120 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Eksamensdag:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1910 Poverty and distribution in developing countries Exam: ECON1910 Poverty and distribution in developing countries Eksamensdag: 1. juni 2011 Sensur
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Bokmål Eksamen i: ECON1210 Forbruker, bedrift og marked Exam: ECON1210 Consumer Behaviour, Firm behaviour and Markets Eksamensdag: 12.12.2014 Sensur kunngjøres:
DetaljerDynamic Programming Longest Common Subsequence. Class 27
Dynamic Programming Longest Common Subsequence Class 27 Protein a protein is a complex molecule composed of long single-strand chains of amino acid molecules there are 20 amino acids that make up proteins
DetaljerNeural Network. Sensors Sorter
CSC 302 1.5 Neural Networks Simple Neural Nets for Pattern Recognition 1 Apple-Banana Sorter Neural Network Sensors Sorter Apples Bananas 2 Prototype Vectors Measurement vector p = [shape, texture, weight]
DetaljerUnit Relational Algebra 1 1. Relational Algebra 1. Unit 3.3
Relational Algebra 1 Unit 3.3 Unit 3.3 - Relational Algebra 1 1 Relational Algebra Relational Algebra is : the formal description of how a relational database operates the mathematics which underpin SQL
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag
DetaljerCall function of two parameters
Call function of two parameters APPLYUSER USER x fµ 1 x 2 eµ x 1 x 2 distinct e 1 0 0 v 1 1 1 e 2 1 1 v 2 2 2 2 e x 1 v 1 x 2 v 2 v APPLY f e 1 e 2 0 v 2 0 µ Evaluating function application The math demands
Detaljer5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding
5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding Genetics Fill in the Brown colour Blank Options Hair texture A field of biology that studies heredity, or the passing of traits from parents to
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Eksamensag: Tirsag 3. juni 2008
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Eksamen i: ECON1210 - Forbruker, bedrift og marked Eksamensdag: 26.11.2013 Sensur kunngjøres: 18.12.2013 Tid for eksamen: kl. 14:30-17:30 Oppgavesettet er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 8. juni 2006 Tid for eksamen: 9.00 12.00
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 18. mars 2005 Tid for eksamen: 13.30 16.30
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSIEE I OSLO ØKONOMISK INSIU Eksamen i: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag:. desember 207 Sensur kunngjøres:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag
DetaljerTrigonometric Substitution
Trigonometric Substitution Alvin Lin Calculus II: August 06 - December 06 Trigonometric Substitution sin 4 (x) cos (x) dx When you have a product of sin and cos of different powers, you have three different
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20 Forbruker, bedrift og marked, høsten 2004 Exam: ECON20 - Consumer behavior, firm behavior and markets, autumn 2004 Eksamensdag: Onsdag 24. november
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag
DetaljerOppgave. føden)? i tråd med
Oppgaver Sigurd Skogestad, Eksamen septek 16. des. 2013 Oppgave 2. Destillasjon En destillasjonskolonne har 7 teoretiske trinn (koker + 3 ideelle plater under føden + 2 ideellee plater over føden + partielll
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag:
DetaljerOppgave 1a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet.
TDT445 Øving 4 Oppgave a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet. Nøkkel: Supernøkkel: Funksjonell avhengighet: Data i en database som kan unikt identifisere (et sett
DetaljerMathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2
Mathematics 4Q Name: SOLUTIONS. (x + 5)(x +5x) 7 8 (x +5x) 8 + C [u x +5x]. (3 x) (3 x) + C [u 3 x] 3. 7x +9 (7x + 9)3/ [u 7x + 9] 4. x 3 ( + x 4 ) /3 3 8 ( + x4 ) /3 + C [u + x 4 ] 5. e 5x+ 5 e5x+ + C
DetaljerUniversitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl.
1 MAT131 Bokmål Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 09-14 Oppgavesettet er 4 oppgaver fordelt på
DetaljerEN Skriving for kommunikasjon og tenkning
EN-435 1 Skriving for kommunikasjon og tenkning Oppgaver Oppgavetype Vurdering 1 EN-435 16/12-15 Introduction Flervalg Automatisk poengsum 2 EN-435 16/12-15 Task 1 Skriveoppgave Manuell poengsum 3 EN-435
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1220 Velferd og økonomisk politikk Exam: ECON1220 Welfare and politics Eksamensdag: 29.11.2010 Sensur kunngjøres: 21.12.2010 Date of exam: 29.11.2010
DetaljerInformation search for the research protocol in IIC/IID
Information search for the research protocol in IIC/IID 1 Medical Library, 2013 Library services for students working with the research protocol and thesis (hovedoppgaven) Open library courses: http://www.ntnu.no/ub/fagside/medisin/medbiblkurs
DetaljerDatabases 1. Extended Relational Algebra
Databases 1 Extended Relational Algebra Relational Algebra What is an Algebra? Mathematical system consisting of: Operands --- variables or values from which new values can be constructed. Operators ---
DetaljerMoving Objects. We need to move our objects in 3D space.
Transformations Moving Objects We need to move our objects in 3D space. Moving Objects We need to move our objects in 3D space. An object/model (box, car, building, character,... ) is defined in one position
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS English Postponed exam: ECON2915 Economic growth Date of exam: 11.12.2014 Time for exam: 09:00 a.m. 12:00 noon The problem set covers 4 pages Resources allowed:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: KJB 492 Bioinformatikk Eksamensdag: Fredag 14. desember 2001 Tid for eksamen: Kl.: 9.00 13.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerHan Ola of Han Per: A Norwegian-American Comic Strip/En Norsk-amerikansk tegneserie (Skrifter. Serie B, LXIX)
Han Ola of Han Per: A Norwegian-American Comic Strip/En Norsk-amerikansk tegneserie (Skrifter. Serie B, LXIX) Peter J. Rosendahl Click here if your download doesn"t start automatically Han Ola of Han Per:
DetaljerTrådløsnett med. Wireless network. MacOSX 10.5 Leopard. with MacOSX 10.5 Leopard
Trådløsnett med MacOSX 10.5 Leopard Wireless network with MacOSX 10.5 Leopard April 2010 Slå på Airport ved å velge symbolet for trådløst nettverk øverst til høyre på skjermen. Hvis symbolet mangler må
Detaljer0:7 0:2 0:1 0:3 0:5 0:2 0:1 0:4 0:5 P = 0:56 0:28 0:16 0:38 0:39 0:23
UTKAST ENGLISH VERSION EKSAMEN I: MOT100A STOKASTISKE PROSESSER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. februar 2006 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator; Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag): Rottman: Matematisk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Utsatt eksamen i: ECON2915 Vekst og næringsstruktur Eksamensdag: 07.12.2012 Tid for eksamen: kl. 09:00-12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON1410 - Internasjonal økonomi Exam: ECON1410 - International economics Eksamensdag: 18.06.2013 Date of exam: 18.06.2013 Tid for eksamen: kl.
DetaljerDu må håndtere disse hendelsene ved å implementere funksjonene init(), changeh(), changev() og escape(), som beskrevet nedenfor.
6-13 July 2013 Brisbane, Australia Norwegian 1.0 Brisbane har blitt tatt over av store, muterte wombater, og du må lede folket i sikkerhet. Veiene i Brisbane danner et stort rutenett. Det finnes R horisontale
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS English Exam: ECON2915 Economic Growth Date of exam: 25.11.2014 Grades will be given: 16.12.2014 Time for exam: 09.00 12.00 The problem set covers 3 pages Resources
DetaljerDen som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition)
Den som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition) Arne Jordly Click here if your download doesn"t start automatically Den som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition) Arne Jordly Den som gjør godt,
DetaljerGraphs similar to strongly regular graphs
Joint work with Martin Ma aj 5th June 2014 Degree/diameter problem Denition The degree/diameter problem is the problem of nding the largest possible graph with given diameter d and given maximum degree
DetaljerKROPPEN LEDER STRØM. Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal.
KROPPEN LEDER STRØM Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal. Hva forteller dette signalet? Gå flere sammen. Ta hverandre i hendene, og la de to ytterste personene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Eksamensdag: Tirsdag 30. mai 207
DetaljerMaple Basics. K. Cooper
Basics K. Cooper 2012 History History 1982 Macsyma/MIT 1988 Mathematica/Wolfram 1988 /Waterloo Others later History Why? Prevent silly mistakes Time Complexity Plots Generate LATEX This is the 21st century;
Detaljerklassisk angoragenser classic angora sweater
klassisk angoragenser classic angora sweater www.pickles.no / shop.pickles.no NORSK Størrelser XS (S) M (L) XL (XXL) Garn Pickles Angora 150 (175) 200 (225) 250 (275) g Pinner 80 og 40 cm rundpinne og
DetaljerEndelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition)
Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Click here if your download doesn"t start automatically Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Endelig ikke-røyker
DetaljerHvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye)
INF234 Er du? Er du? - Annet Hvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) Hvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) Hvor
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON110 Forbruker, bedrift og marked, våren 004 Exam: ECON110 Consumer behavior, firm behavior and markets, spring 004 Eksamensdag: Tirsdag 18. mai 004
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3610/4610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Exam: ECON3610/4610 Resource Allocation and Economic Policy Eksamensdag: Torsday 28.
DetaljerGYRO MED SYKKELHJUL. Forsøk å tippe og vri på hjulet. Hva kjenner du? Hvorfor oppfører hjulet seg slik, og hva er egentlig en gyro?
GYRO MED SYKKELHJUL Hold i håndtaket på hjulet. Sett fart på hjulet og hold det opp. Det er lettest om du sjølv holder i håndtakene og får en venn til å snurre hjulet rundt. Forsøk å tippe og vri på hjulet.
DetaljerOppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ.
Oppgave 1 Beviskalklen i læreboka inneholder sluttningsregelen QR: {ψ φ}, ψ ( xφ). En betingelse for å anvende regelen er at det ikke finnes frie forekomste av x i ψ. Videre så inneholder beviskalklen
DetaljerPerpetuum (im)mobile
Perpetuum (im)mobile Sett hjulet i bevegelse og se hva som skjer! Hva tror du er hensikten med armene som slår ut når hjulet snurrer mot høyre? Hva tror du ordet Perpetuum mobile betyr? Modell 170, Rev.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1310 Økonomisk aktivitet og økonomisk politikk Exam: ECON1310 Macroeconomic theory and policy Eksamensdag: 18.05.01 Sensur blir annonsert: 07.06.01
DetaljerBesvar tre 3 av følgende fire 4 oppgaver.
Psykologisk institutt Side 1 av 2 Eksamen PSY1010/PSY1010P/PSYC1100 Forskningsmetode I - Høst 2013 Skriftlig skoleeksamen, mandag 9.desember Dato for sensur: 7.januar 2014 Ingen hjelpemidler er tillatt
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE I SØK 1002 INNFØRING I MIKROØKONOMISK ANALYSE
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK 1002 INNFØRING I MIKROØKONOMISK ANALYSE Faglig kontakt under eksamen: Hans Bonesrønning Tlf.: 9 17 64
DetaljerHvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye)
INF247 Er du? Er du? - Annet Ph.D. Student Hvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) Hvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON60/460 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Exam: ECON60/460 - Resource Allocation and Economic Policy Eksamensdag: Mandag 8. november
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3610/4610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Exam: ECON3610/4610 Resource Allocation and Economic Policy Eksamensdag: Torsdag 18.
DetaljerSVM and Complementary Slackness
SVM and Complementary Slackness David Rosenberg New York University February 21, 2017 David Rosenberg (New York University) DS-GA 1003 February 21, 2017 1 / 20 SVM Review: Primal and Dual Formulations
DetaljerExercise 1: Phase Splitter DC Operation
Exercise 1: DC Operation When you have completed this exercise, you will be able to measure dc operating voltages and currents by using a typical transistor phase splitter circuit. You will verify your
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Bokmål Eksamen i: ECON30 Økonomisk aktivitet og økonomisk politikk Exam: ECON30 Macroeconomic theory and policy Eksamensdag: 26.05. 204 Sensur kunngjøres: 6.06.204
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE I BI2014 MOLEKYLÆRBIOLOGI
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for biologi EKSAMENSOPPGAVE I BI014 MOLEKYLÆRBIOLOGI Faglig kontakt under eksamen: Ralph Kissen Tlf.: 41344134 (mobil) - Eksamensdato: 11. desember
DetaljerHvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye)
Emneevaluering GEOV325 Vår 2016 Kommentarer til GEOV325 VÅR 2016 (emneansvarlig) Forelesingsrommet inneholdt ikke gode nok muligheter for å kunne skrive på tavle og samtidig ha mulighet for bruk av power
DetaljerFINAL EXAM IN STA-2001
Page 1 of 3 pages FINAL EXAM IN STA-2001 Exam in: STA-2001 Stochastic processes. Date: Tuesday the 21. of February, 2012. Time: 09:00 13:00. Place: Aud.max. Approved aids: 4 pages of your own notes. Approved
DetaljerHvordan føre reiseregninger i Unit4 Business World Forfatter:
Hvordan føre reiseregninger i Unit4 Business World Forfatter: dag.syversen@unit4.com Denne e-guiden beskriver hvordan du registrerer en reiseregning med ulike typer utlegg. 1. Introduksjon 2. Åpne vinduet
DetaljerINF Logikk og analysemetoder Forslag til løsning på oppgave fra læreboken
INF4170 - Logikk og analysemetoder Forslag til løsning på oppgave 3.2.1 fra læreboken Joakim Hjertås, joakimh@ifi.uio.no 7. mars 2004 Sammendrag Disse sidene kommer med forslag til løsning på oppgave 3.2.1
DetaljerKartleggingsskjema / Survey
Kartleggingsskjema / Survey 1. Informasjon om opphold i Norge / Information on resident permit in Norway Hvilken oppholdstillatelse har du i Norge? / What residence permit do you have in Norway? YES No
DetaljerEksamen ENG1002/1003 Engelsk fellesfag Elevar og privatistar/elever og privatister. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 22.11.2012 ENG1002/1003 Engelsk fellesfag Elevar og privatistar/elever og privatister Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid Hjelpemiddel Eksamen varer i 5 timar. Alle hjelpemiddel
DetaljerExam in Quantum Mechanics (phys201), 2010, Allowed: Calculator, standard formula book and up to 5 pages of own handwritten notes.
Exam in Quantum Mechanics (phys01), 010, There are 3 problems, 1 3. Each problem has several sub problems. The number of points for each subproblem is marked. Allowed: Calculator, standard formula book
DetaljerPATIENCE TÅLMODIGHET. Is the ability to wait for something. Det trenger vi når vi må vente på noe
CARING OMSORG Is when we show that we care about others by our actions or our words Det er når vi viser at vi bryr oss om andre med det vi sier eller gjør PATIENCE TÅLMODIGHET Is the ability to wait for
DetaljerEksamen i TFY4230 STATISTISK FYSIKK Onsdag 21. desember, :00 19:00
NTNU Side 1 av 3 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 eller 45 43 71 70 Eksamen i TFY4230 STATISTISK FYSIKK Onsdag 21. desember, 2011 15:00 19:00
Detaljerstjerneponcho for voksne star poncho for grown ups
stjerneponcho for voksne star poncho for grown ups www.pickles.no / shop.pickles.no NORSK Størrelser XS (S) M (L) Garn Pickles Pure Alpaca 300 (350) 400 (400) g hovedfarge 100 (100) 150 (150) g hver av
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Exam: ECON1910 Poverty and distribution in developing countries Date of exam: 28.05.2014 Grades will be given: 18.06.2014 Time for exam: 09:00-12:00. The problem
DetaljerTMA4329 Intro til vitensk. beregn. V2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for Matematiske Fag TMA439 Intro til vitensk. beregn. V17 ving 4 [S]T. Sauer, Numerical Analysis, Second International Edition, Pearson, 14 Teorioppgaver
DetaljerThe exam consists of 2 problems. Both must be answered. English
The exam consists of 2 problems. Both must be answered. English Problem 1 (60%) Consider two polluting firms, 1 and 2, each of which emits Q units of pollution so that a total of 2Q units are released
DetaljerSERVICE BULLETINE 2008-4
S e r v i c e b u l l e t i n e M a t e r i e l l Materiellsjef F/NLF kommuniserer påminnelse omkring forhold som ansees som vesentlige for å orientere om viktige materiellforhold. Målgruppen for Servicbulletinen
DetaljerMedisinsk statistikk, KLH3004 Dmf, NTNU 2009. Styrke- og utvalgsberegning
Styrke- og utvalgsberegning Geir Jacobsen, ISM Sample size and Power calculations The essential question in any trial/analysis: How many patients/persons/observations do I need? Sample size (an example)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BIOKJEMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BIOKJEMISK INSTITUTT Eksamen i: KJB492 - Bioinformatikk, 3 vekttall Eksamensdag: Onsdag 13.november 2000 Tid for eksamen: kl. 09.00-13.00
DetaljerDagens tema: Eksempel Klisjéer (mønstre) Tommelfingerregler
UNIVERSITETET I OSLO INF1300 Introduksjon til databaser Dagens tema: Eksempel Klisjéer (mønstre) Tommelfingerregler Institutt for informatikk Dumitru Roman 1 Eksempel (1) 1. The system shall give an overview
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Make sure that your copy of this examination paperis complete before answering.
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Exam in BIO4200 Molecular Evolution Day of exam: Wednesday December 17th Exam hours: 14.30 17.30 This examination paper consists of 2 pages.
DetaljerOppgåvesettet er på 3 sider med oppgåvene Engelsk omsetjing på sidene 4-6.
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Eksamen i emnet MNF130 Diskrete strukturar Fredag 21. mai 2010, kl. 09-12, altså 3 timar. NYNORSK Ingen tillatne hjelpemiddel. Oppgåvesettet
DetaljerGir vi de resterende 2 oppgavene til én prosess vil alle sitte å vente på de to potensielt tidskrevende prosessene.
Figure over viser 5 arbeidsoppgaver som hver tar 0 miutter å utføre av e arbeider. (E oppgave ka ku utføres av é arbeider.) Hver pil i figure betyr at oppgave som blir pekt på ikke ka starte før oppgave
DetaljerHØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN
HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN EKSAMEN I FAGET STE 6243 MODERNE MATERIALER KLASSE: 5ID DATO: 7 Oktober 2005 TID: 900-200, 3 timer ANTALL SIDER: 7 (inklusiv Appendix: tabell og formler) TILLATTE
Detaljer