Relasjonsdatabasedesign, ekstramateriale (ikke pensum)

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Relasjonsdatabasedesign, ekstramateriale (ikke pensum) Normalformer utover 4NF Bruk av Datalog for å uttrykke mer komplekse integritetsregler Institutt for Informatikk INF Ellen Munthe-Kaas 1

2 Normalformer utover 4NF INF Ellen Munthe-Kaas 2

3 Høyere normalformer, oversikt 1NF BCNF 4NF ETNF RFNF = KCNF SKNF 5NF INF Ellen Munthe-Kaas 3

4 Normalformer utover 4NF ETNF Essential Tuple Normal Form (Darwen, Date, Fagin 2012) KCNF Key-Complete Normal Form (Maier 1983) RFNF Redundancy Free Normal Form (Vincent 1995) SKNF Superkey Normal Form (Maier 1983) 5NF Femte normalform (Fagin 1979) INF Ellen Munthe-Kaas 4

5 Joinavhengigheter La R være en relasjon med attributtene A={A 1,,A k }, og la {C 1,,C m } være en samling av komponenter over A (dvs. C i A for alle i og C 1 C m = A). Vanligvis overlapper hver C i med minst én annen komponent C j (der j i). Vi sier at R tilfredsstiller joinavhengigheten eller JDen (Join Dependency) J= {C 1,,C m } hvis vi for enhver gyldig instans av R har at dekomposisjonen av instansen i henhold til komponentene i J er tapsfri. INF Ellen Munthe-Kaas 5

6 JDer og MVDer Joinavhengigheter gir opphav til en større klasse integritetsregler enn de som kan uttrykkes ved bare FDer og MVDer. Teorem. Hvis m=2, dvs. J= {C 1,C 2 }, så tilfredsstiller R JDen J hvis og bare hvis vi har en MVD X Y der X=C 1 C 2 og Y=C 2 C 1 Dette betyr at en MVD er det samme som en JD med 2 komponenter INF Ellen Munthe-Kaas 6

7 Armstrongs slutningsregler og JDer Armstrongs slutningsregler kan ikke utvides til å omfatte JDer: Det finnes intet sunt, komplett og endelig regelsett for JDer. (Det finnes sunne regelsett, men til ethvert slikt regelsett går det alltid an å konstruere eksempelrelasjoner der regelsettet ikke er tilstrekkelig til å vise alt som holder.) INF Ellen Munthe-Kaas 7

8 Utgangspunkt for normalformene utover 4NF Alle integritetsregler er i form av FDer og JDer Dette omfatter også MVDer siden alle MVDer kan uttrykkes som JDer Generelt er altså utgangspunktet for alle normalformene en relasjon R der de gyldige instansene er karakterisert ved at de tilfredsstiller en mengde FDer F og en mengde JDer J INF Ellen Munthe-Kaas 8

9 Trivielle JDer En JD kalles triviell dersom en av komponentene omfatter samtlige attributter. Trivielle JDer holder for alle instanser uansett hvilke andre FDer og JDer som gjelder. INF Ellen Munthe-Kaas 9

10 Irredusible JDer En JD J= {C 1,,C m } er reduserbar hvis det finnes en komponent C i der også J = {C 1,,C i-1,c i+1,...,c m } holder (dvs. der J følger logisk fra de integritetsreglene F og J som gjelder). Hvis det finnes en slik C i, vil C i alltid være overflødig fordi den ikke gir noen begrensninger på mengden av mulige instanser utover det de øvrige komponentene i J gir. En JD der det ikke fins noen slik komponent, kalles irredusibel. INF Ellen Munthe-Kaas 10

11 Utgangspunkt for normalformene utover 4NF (forts.) Vi kan uten tap av generalitet begrense oss til relasjoner R der de gyldige instansene er karakterisert ved at de tilfredsstiller en mengde ikketrivielle FDer F og en mengde ikketrivielle og irredusible JDer J. Så på resten av lysarkene har vi underforstått en relasjon R der mengden av gyldige instanser er karakterisert ved at de oppfyller reglene i to mengder F og J der FDene i F er ikketrivielle og JDene i J er ikketrivielle og irredusible. INF Ellen Munthe-Kaas 11

12 Eksplisitte og implisitte integritetsregler Vi skiller mellom eksplisitte og implisitte FDer og JDer: De eksplisitte er de integritetsreglene som er listet opp i henholdsvis F og J. De implisitte er de som følger logisk fra (kan utledes fra) F og J INF Ellen Munthe-Kaas 12

13 Partielt redundante tupler La r være en instans av R. Et tuppel t i r er partielt redundant hvis det finnes et annet tuppel t t i r og en ikketriviell (eksplisitt eller implisitt) FD X A slik at t [X] = t[x]. Intuitivt betyr dette at informasjonen i t [A] er representert to ganger (i t[a] og i t [A]). INF Ellen Munthe-Kaas 13

14 Fullt redundante tupler Et tuppel i en instans r er fullt redundant hvis det finnes en mengde av tupler S i r der t S og det er slik at t følger logisk fra S. Intuitivt betyr dette at informasjonen i tuppelet både finnes indirekte (kan utledes fra andre tupler i instansen) og direkte (i tuppelet selv). Tuppelet kan imidlertid ikke uten videre fjernes, for da risikerer vi at den resulterende mengden av tupler ikke lenger oppfyller alle integritetsreglene. INF Ellen Munthe-Kaas 14

15 Essensielle tupler Et tuppel er essensielt hvis det hverken er partielt eller fullt redundant. INF Ellen Munthe-Kaas 15

16 Verdiredundans La R være en relasjon, r en instans av R, t et tuppel i r og A et attributt. Da er verdien t[a] redundant i r hvis det er slik at hvis vi erstatter t med et annet tuppel t der t [A] t[a] og t [B] = t[b] for alle attributter B A, så får vi noe som ikke er en gyldig instans i R. Intuitivt betyr dette at verdien i t[a] er entydig bestemt av de andre attributtverdiene i r. Merk at verdiredundans og partielt redundante tupler ikke er det samme. INF Ellen Munthe-Kaas 16

17 BCNF Boyce-Codd Normal Form Alternativ definisjon av BCNF: En relasjon R er på BCNF hvis alle eksplisitte og implisitte FDer følger logisk fra kandidatnøklene i R. Teorem. En relasjon er på BCNF hvis og bare hvis ingen instans har noe partielt redundant tuppel. INF Ellen Munthe-Kaas 17

18 4NF Alternativ definisjon av 4NF: En relasjon R er på 4NF hvis alle eksplisitte og implisitte MVDer følger logisk fra kandidatnøklene i R. INF Ellen Munthe-Kaas 18

19 ETNF Essential Tuple Normal Form En relasjon R er på ETNF hvis alle tupler i alle instanser er essensielle. Teorem. En relasjon R er på ETNF hvis og bare hvis den er på BCNF og hver eksplisitt JD har minst én komponent som er en supernøkkel. INF Ellen Munthe-Kaas 19

20 KCNF Key-Complete Normal Form En relasjon R er på KCNF hvis den oppfyller de to kravene under: 1. Relasjonen er på BCNF. 2. For hver eksplisitt eller implisitt JD J er det slik at hvis vi tar unionen av de komponentene i J som er supernøkler, så får vi samtlige attributter i R. INF Ellen Munthe-Kaas 20

21 RFNF Redundancy-Free Normal Form En relasjon R er på RFNF hvis det ikke finnes noen instans med et tuppel t der verdien av t er redundant i ett av attributtene. Teorem. RFNF = KCNF INF Ellen Munthe-Kaas 21

22 SKNF Superkey Normal Form En relasjon R er på SKNF hvis R er på BCNF og hver komponent i hver irredusibel eksplisitt eller implisitt JD er en supernøkkel. INF Ellen Munthe-Kaas 22

23 5NF Femte normalform En relasjon R er på 5NF hvis alle eksplisitte og implisitte JDer følger logisk fra kandidatnøklene i R. INF Ellen Munthe-Kaas 23

24 Nøkkelsammenhengende JDer 5NF forklart på en annen måte: En relasjon R er på 5NF hvis alle eksplisitte og implisitte JDer J er nøkkelsammenhengende i henhold til følgende algoritme: Så lenge det finnes to komponenter i J hvor snittet er en supernøkkel eller hvor den ene komponenten er inneholdt i den andre, så bytt ut de to komponentene med unionen av de to Hvis prosessen terminerer med R (dvs. samtlige attributter) som en av komponentene, er J nøkkelsammenhengende, ellers ikke INF Ellen Munthe-Kaas 24

25 BCNF, 4NF og 5NF Sammenlikn definisjonene under: En relasjon R er på BCNF hvis alle eksplisitte og implisitte FDer følger logisk fra kandidatnøklene i R. En relasjon R er på 4NF hvis alle eksplisitte og implisitte MVDer følger logisk fra kandidatnøklene i R. En relasjon R er på 5NF hvis alle eksplisitte og implisitte JDer følger logisk fra kandidatnøklene i R. INF Ellen Munthe-Kaas 25

26 5NF, PJNF og SKNF 5NF kalles også PJNF Project-Join Normal Form Vær oppmerksom på at mange lærebøker definerer 5NF feil det de kaller 5NF, er i realiteten SKNF. Dette skyldes en tidlig misforståelse/feil i definisjonen av 5NF i David Maiers lærebok The Theory of Relational Databases (Computer Science Press, 1983) og at denne definisjonen ukritisk er blitt kopiert til andre lærebøker INF Ellen Munthe-Kaas 26

27 Oppsummering av høye normalformer 5NF er (ekte) inneholdt i SKNF, SKNF er (ekte) inneholdt i RFNF, RFNF er (ekte) inneholdt i ETNF og ETNF er (ekte) inneholdt i 4NF RFNF = KCNF En relasjon R er på 4NF hvis og bare hvis alle (eksplisitte og implisitte) JDer med to komponenter består av to supernøkler. (Dette bevises ved å vise at en join av to supernøkler er tapsfri hvis og bare hvis deres snitt er en supernøkkel) Hvis vi fortsetter å tapsfritt dekomponere en relasjon på ETNF, så vil ikke dekomposisjonen bety noen reduksjon i antall tupler eller verdier som må lagres, tvert imot vil lagerbehovet øke INF Ellen Munthe-Kaas 27

28 Høyere normalformer, oversikt Ingen JDer med tre eller flere komponenter Ingen ekte MVDer 1NF EKNF BCNF Minst én ekte MVD Minst én ekte 1 JD med tre eller flere komponenter 1 Med ekte JD mener vi at JDen ikke følger fra de andre reglene 5NF SKNF RFNF=KCNF ETNF BCNF = 4NF når vi ikke har noen ekte MVDer. BCNF = 4NF = ETNF = RFNF = SKNF = 5NF når alle integritetsregler kan formuleres med bare FDer. 4NF INF Ellen Munthe-Kaas 28

29 Chasealgoritmen utvidet for JDer Gitt en dekomposisjon av R(A,B,...) til relasjonene S 1,...,S k og et sett F med FDer og et sett J med JDer for R. Er dekomposisjonen tapsfri? 1. Lag en tabell med en kolonne for hvert attributt i R og en rad for hver S i 2. I kolonnen for attributt A, for hver rad i: Skriv a hvis A er et attributt i S i Skriv a i hvis A ikke er et attributt i S i 3. Så lenge det skjer forandringer i tabellen og det ikke finnes en rad uten subskriptverdier: For hver FD X Y, for alle rader i tabellen med lik X-verdi, gjør Y- verdiene like. Hvis en av Y-ene er en verdi uten subskript, skal denne velges For hver JD {C 1,...,C m }, for hvert utvalg av m rader t 1,...,t m der t i [C i C j ]=t j [C i C j ] for alle par (i,j), lag en ny rad t der t[c i ]=t i [C i ] for alle i. Hvis en rad er uten subskriptverdier, er dekomposisjonen tapsfri, ellers ikke. INF Ellen Munthe-Kaas 29

30 Annen bruk av chasealgoritmen For å vise en JD {C 1,...,C m }, start tabellen med m rader der rad j har verdier uten subskript for attributtene i C j og verdier med subskript forøvrig. Målet er å komme frem til en instans der en av disse radene er uten subskriptverdier. INF Ellen Munthe-Kaas 30

31 Eksempel 1: JDer og begrepene ikketriviell og irredusibel Betrakt R(A,B,C) der A BC er eneste integritetsregel. Da holder de implisitte JDene J 1 = {AB,AC,ABC} J 2 = {AB,AC,BC} J 3 = {AB,AC} Dette kan vises ved å bruke chasealgoritmen INF Ellen Munthe-Kaas 31

32 Eksempel 1 (forts.) J 1 er triviell; den inneholder komponenten ABC. J 1 er reduserbar; den kan reduseres til {ABC}. Hverken J 2 eller J 3 er trivielle. J 2 er reduserbar: komponenten BC er overflødig; når vi tar den bort, reduseres J 2 til J 3. J 3 er irredusibel; vi kan ikke fjerne noen av komponentene AB eller AC uten at vi bryter kravet om at alle attributtene skal være representert i minst én komponent. INF Ellen Munthe-Kaas 32

33 Eksempel 2: Relasjon som er på ETNF, men ikke RFNF Gitt relasjonen R(A,B,C) der A er leverandør, B er reservedel og C er prosjekt. Følgende integritetsregler skal holde: Hvis leverandør A leverer en reservedel B, og B leveres til prosjekt C, og C får leveranser fra A, så skal A levere B til C. Dvs. JDen {AB,BC,CA} skal gjelde. Hvert prosjekt C mottar en reservedel B fra maksimalt én leverandør A. Dvs. FDen BC A skal gjelde. INF Ellen Munthe-Kaas 33

34 Eksempel 2 (forts.) Hva sier JDen {AB,BC,CA}? A B C a b c Hvis disse tre tuplene er med, a b c a b c a b c må dette tuppelet også være med (tuppelet er i såfall fullt redundant) Hva sier FDen BC A? a og a i instansen over skal være like så instansen må se slik ut: A B C a b c a b c a b c (ingen redundante tupler; det redundante tuppelet forsvinner ) INF Ellen Munthe-Kaas 34

35 Eksempel 2 (forts.) Relasjonen er på BCNF: Bruk chasealgoritmen til å sjekke at ingen av FDene AB C, B A, C A eller C B holder. Relasjonen er på ETNF: Eneste kandidatnøkkel er BC. Så JDen {AB,BC,CA} inneholder en komponent som er en supernøkkel (nemlig BC). Relasjonen er ikke på RFNF: Siden RFNF=KCNF, er det tilstrekkelig å undersøke om unionen av supernøkkelkomponentene i {AB,BC,CA} omfatter samtlige attributter. Men BC er eneste supernøkkelkomponent, så A er ikke dekket av noen supernøkkelkomponent. INF Ellen Munthe-Kaas 35

36 Domenerestriksjoner Det er viktig å være klar over at en av forutsetningene for normalformene slik de er formulert over, er at integritetsreglene bare er i form av FDer og JDer Hvis vi i tillegg til FDer og JDer kan ha restriksjoner på hvilke verdier et attributt kan inneholde, f.eks. at ett attributt har domenet boolean og et annet har en av verdiene {gull, sølv, bronse}, så holder ikke nødvendigvis teoremene lenger. I tillegg må (noen av) normalformdefinisjonene endres litt. INF Ellen Munthe-Kaas 36

37 Høyere normalformer med domenerestriksjoner, oversikt For alle normalformer merket med * blir definisjonene og/eller teoremene påvirket hvis vi kan ha domenerestriksjoner. For 4NF og lavere er det tilstrekkelig å forutsette at alle domener har minst to elementer; da holder teoremene. I praksis er dette alltid oppfylt. For *-normalformene høyere enn 4NF holder alle teoremene når vi i tillegg har at nøkkelattributtenes domener er store nok 1 1NF BCNF* 4NF* ETNF* RFNF*, KCNF* SKNF* 5NF* DKNF INF Ellen Munthe-Kaas 37

38 DKNF Domain-Key Normal Form En relasjon R er på DKNF hvis de eneste integritetsreglene i R er FDer som oppfyller BCNF (også kalt nøkkelrestriksjoner ) og domenerestriksjoner (Fagin 1981) DKNF er lett å håndheve, men det er for mange integritetsregler som ikke kan uttrykkes på denne måten til at vi kan begrense oss til å ha komponenter på DKNF INF Ellen Munthe-Kaas 38

39 Eksempel 3: ETNF-teoremet bryter sammen ved domenerestriksjoner Gitt relasjonen R(A,B,C,D,E,F). Følgende integritetsregler gjelder: dom(a) = dom(b) = {0,1} dom(c, D, E, F) = {0,1,2,...} ABC DEF, DEF ABD (så ABC og DEF er kandidatnøkler) J = {ACDE, ACDF, ACEF, BCDE, BCDF, BCEF} INF Ellen Munthe-Kaas 39

40 Eksempel 3 (forts.) Det kan vises at J følger fra FDene og domenerestriksjonene alene, så vi får nøyaktig samme mengde gyldige instanser (nøyaktig samme relasjon R) om vi fjerner J. Relasjonen R oppfyller derfor BCNF og DKNF. På lysark 18 stod følgende teorem: En relasjon er på ETNF hvis og bare hvis den er på BCNF og hver eksplisitt JD har minst én komponent som er en supernøkkel. J inneholder ingen supernøkkelkomponent, så hvis vi bruker teoremet, får vi at R ikke er i ETNF. Samtidig er det slik at om vi fjerner J, og deretter bruker teoremet, får vi at R er i ETNF. Så vi har en inkonsistens (selvmotsigelse): R kan vises å både tilhøre og ikke tilhøre ETNF. Problemet skyldes at teoremet ikke er gyldig i nærvær av for små domener. Derfor må alle definisjoner og beviser revurderes i nærvær av domenerestriksjoner. INF Ellen Munthe-Kaas 40

41 Hvordan uttrykke integritetsregler utover det vi kan uttrykke ved hjelp av FDer og JDer : Datalog - TGDer og EGDer INF3100 Ellen Munthe-Kaas 41

42 Datalog Datalog er en samling språk som kan brukes for å beskrive deduktive databaser og uttrykke spørringer mot dem. Datalog egner seg godt til å uttrykke integritetsregler også mot vanlige databaser: Tegnet markerer skillet mellom hode (venstreside) og kropp (høyreside) i en regel Hver venstreside er et eksistenskvantorisert atom eller inneholder symbolet Hver av høyresidene er en konjunksjon av atomer og negerte atomer Alle frie variable i venstresiden må også finnes i høyresiden En regel kan leses som hvis høyresiden er oppfylt, så skal venstresiden være oppfylt INF3100 Ellen Munthe-Kaas 42

43 TGD TGDer tuppelgenererende avhengigheter (Tuple-Generating Dependencies) kan uttrykke naturlige integritetsregler utover det JDer (og derfor også MVDer) kan. Format: y.r(x,y) ϕ(x) der R er et atom, ϕ er en konjunksjon av atomer og x, y er lister av variable (y kan være tom). INF3100 Ellen Munthe-Kaas 43

44 TGDer og JDer La R være en relasjon med attributter X. Betrakt JDen J= {C 1,,C m }. La X i = X - C i. J kan uttrykkes ved TGDen R(x) R(x' 1 c 1 ),, R(x' m c m ) der hver av x, x' 1,, x' m, c 1,, c m er lister av variable. Eksempel: Se leverandøreksempelet side 50. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 44

45 EGD EGDer likhetsgenererende avhengigheter (Equality-Generating Dependencies) kan uttrykke naturlige integritetsregler utover det FDer kan. Format: x=y ϕ(x) der ϕ er en konjunksjon av atomer og x, y er to av variablene i x. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 45

46 EGDer og FDer La R være en relasjon med attributter X. Betrakt FDen F = Y Z der Z er ett attributt. La W = X - YZ. F kan uttrykkes ved EGDen z = z' R(y z w), R(y z' w') der z og z' er variable og hver av y, w, w' er lister av variable. Eksempel: Se leverandøreksempelet side 50. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 46

47 Negasjon Format: ϕ(x) der ϕ er en konjunksjon av atomer. står for false. Eksempel: Se ekteskapseksempelet side 52. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 47

48 Voktere Hvis venstresiden er et ikkekvantorisert atom og ett av de unegaterte atomene i høyresiden inneholder samtlige frie variable, kalles dette en vokter (guard); resonnementer i nærvær av voktere er vesentlig mindre komplekse enn uten voktere, men språket blir tilsvarende mindre uttrykkskraftig hvis vi begrenser det til å måtte ha voktere Eksempel: Den siste regelen i ekteskapseksempelet (s. 52) har vokteren Ekteskap(x,y). INF3100 Ellen Munthe-Kaas 48

49 Uttrykkskraft TGDer kan uttrykke mer enn JDer: k.s(p,o 1,b 2,k) S(p,o 1,b 1,k 1 ), S(p,o 2,b 2,k 2 ) EGDer kan uttrykke mer enn FDer: y = x P(x,x,y) INF3100 Ellen Munthe-Kaas 49

50 Eksempel 1: Leverandører Del(leverandør, reservedel, prosjekt) La A = leverandør, B = reservedel, C = prosjekt. Regler: Hvis leverandør a leverer en reservedel b, og b leveres til prosjekt c, og c får leveranser fra a, så skal a levere b til c: Del(a,b,c) Del(a,b,c'), Del(a',b,c), Del(a,b',c) Dette er det samme som JDen {AB,BC,AC}. Hvert prosjekt c mottar en reservedel b fra maksimalt én leverandør a: a 1 = a 2 Del(a 1,b,c), Del(a 2,b,c) Dette er det samme som FDen BC A. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 50

51 Eksempel 2: Puber og øl Salg(pub, øltype, bryggeri, pris) Et øl er identifisert ved dets øltype og bryggeriet som produserer det, dvs. (øltype, bryggeri). La P = pub, Ø = øltype, B = bryggeri, K = pris. Regler: Et øl på en gitt pub har en gitt pris (dvs. FDen PØB K): k 1 = k 2 Salg(p,ø,b,k 1 ), Salg(p,ø,b,k 2 ) Dersom en pub selger en øltype fra ett bryggeri, må den også tilby denne øltypen fra alle andre bryggerier som den har produkter fra: k.salg(p,ø 1,b 2,k) Salg(p,ø 1,b 1,k 1 ), Salg(p,ø 2,b 2,k 2 ) Dette kan ikke uttrykkes ved noen FD eller JD. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 51

52 Eksempel 3: Ekteskap Ekteskap(ektefelle1, ektefelle2) Regler: En person kan ikke være gift med seg selv: Ekteskap(x,x) Dette kan ikke uttrykkes ved noen FD eller JD. Ekteskap er en symmetrisk relasjon: Ekteskap(y,x) Ekteskap(x,y) Dette kan heller ikke uttrykkes ved noen FD eller JD. INF3100 Ellen Munthe-Kaas 52

53 Eksempel 4: Varemagasin Forretningsregler: 1. En reol består av et visst antall hyller. Hver hylle inneholder bare én type varer. 2. En vare selges av bare én avdeling. 3. Hver reol inneholder varer fra bare én avdeling. 4. Det skal foretas maksimalt én bestilling av en gitt vare på en gitt dato. 5. Den som foretar bestilling av en vare, må tilhøre den avdelingen som har ansvar for varen. INF Ellen Munthe-Kaas 53

54 Eksempel 4: Vare- magasin II INF Ellen Munthe-Kaas 54

55 Eksempel 4: Varemagasin - III Hylleinnhold(reolnr, hyllenr, varenr, #varer) Vare(varenr, avdeling) Reol(reolnr, avdeling) Innkjøp(varenr, dato, #bestilt, enhetspris, bestiller) Ansatt(ansatt, avdeling) I tillegg må de ekvivalente stiene Hylleinnhold-Reol-Avdeling/Hylleinnhold-Vare-Avdeling og Innkjøp-Vare-Avdeling/Innkjøp-Ansatt-Avdeling overholdes INF3100 Ellen Munthe-Kaas 55

56 Eksempel 4: Varemagasin - IV Primærnøkler: Hylleinnhold(reolnr, hyllenr, varenr, #varer) Vare(varenr, avdeling) Reol(reolnr, avdeling) Innkjøp(varenr, dato, #bestilt, enhetspris, bestiller) Ansatt(ansatt, avdeling) v 1 = v 2 Hylleinnhold(r,h,v 1,n 1 ), Hylleinnhold(r,h,v 2,n 2 ) n 1 = n 2 Hylleinnhold(r,h,v 1,n 1 ), Hylleinnhold(r,h,v 2,n 2 ) a 1 = a 2 Vare(v,a 1 ), Vare(v,a 2 ) a 1 = a 2 Reol(r,a 1 ), Reol(r,a 2 ) n 1 = n 2 Innkjøp(v,d,n 1,e 1,b 1 ), Innkjøp(v,d,n 2,e 2,b 2 ) e 1 = e 2 Innkjøp(v,d,n 1,e 1,b 1 ), Innkjøp(v,d,n 2,e 2,b 2 ) b 1 = b 2 Innkjøp(v,d,n 1,e 1,b 1 ), Innkjøp(v,d,n 2,e 2,b 2 ) a 1 = a 2 Ansatt(p,a 1 ), Ansatt(p,a 2 ) INF3100 Ellen Munthe-Kaas 56

57 Eksempel 4: Varemagasin - V Fremmednøkler: Hylleinnhold(reolnr, hyllenr, varenr, #varer) Vare(varenr, avdeling) Reol(reolnr, avdeling) Innkjøp(varenr, dato, #bestilt, enhetspris, bestiller) Ansatt(ansatt, avdeling) a. Vare(v,a) Hylleinnhold(r,h,v,n) a. Reol(r,a) Hylleinnhold(r,h,v,n) a. Vare(v,a) Innkjøp(v,d,n,p,b) a. Ansatt(b,a) Innkjøp(v,d,n,p,b) INF3100 Ellen Munthe-Kaas 57

58 Eksempel 4: Varemagasin - VI Ekvivalente stier: Hylleinnhold(reolnr, hyllenr, varenr, #varer) Vare(varenr, avdeling) Reol(reolnr, avdeling) Innkjøp(varenr, dato, #bestilt, enhetspris, bestiller) Ansatt(ansatt, avdeling) a 1 = a 2 Hylleinnhold(r,h,v,n), Vare(v,a 1 ), Reol(r,a 2 ) a 1 = a 2 Innkjøp(v,d,n,p,b), Vare(v,a 1 ), Ansatt(b,a 2 ) INF3100 Ellen Munthe-Kaas 58