FRAMLEGG TIL LØYSING AV EKSAMENOPPGÅVER I SOS301/ SOS311 4 AUG 1997

Transkript

1 1 EKSAMENSOPPGÅVER Sommar 1997 FRAMLEGG TIL LØYSING Erling Berge Norges Teknisk Naturvitskapelege Universitet «Bruksanvisning» Når ein går igang med å løyse oppgåver må ein ha i minnet at oppgåvene ofte er problematiske i høve til modellbygginga sitt krav om at modellen må vere fundert på den best tilgjengelege teorien. Mangelen på teoretisk fundament for oppgåvene kan forsvarast ut frå to perspektiv. Det avgjerande er rett og slett mangelen på tid og høvelege data for å lage eksamensoppgåver av den «realistiske» typen det er tale om her. Men tar ein for gitt at oppgåvene sjeldan kan seiast å vere teoretisk velfundert, gir jo dette studentane lettare gode poeng i arbeidet med å vurdere modellane kritisk ut frå spesifikasjonskravet. Når ein studerer framlegga til løysingar er det viktig å vere klar over at det som er presentert ikkje er nokon fasit. Dei fleste oppgåvene kan løysast på mange måtar. Dei tekniske sidene av oppgåvene er sjølvsagt eintydige. Men i dei mange vurderingane (som t.d. «Er denne residualen tilstrekkeleg nær normalfordelinga til at vi kan tru på testane?») er det nett vurderingane og argumentasjonen som er det sentrale. På eksamen er tida knapp. Svært få rekk i eksamenssituasjonen å gjere grundig arbeid på heile oppgåvesettet. I arbeidet med dette løysingsframlegget har det vore gjort meir arbeid enn det som ein ventar å finne til eksamen. Somme stader er det teke med meir detaljar i utrekningar og tilleggsstoff som kan vere relevant, men ikkje nødvendig. Men det er ikkje gjort like grundig alle stader. Det må takast atterhald om feil og lite gjennomtenkte vurderingar. Underteikna har like stor kapasitet til å gjere feil som andre. Kritisk lesning av studentar er den beste kvalitetskontroll ein kan ønskje seg. Den som finn feil eller som meiner andre vurderingar vil vere betre, er hermed oppfordra til å seie frå (t.d. på <Erling.Berge@sv.ntnu.no> ) Erling Berge

2 2 Oppgåve 1(tel 10% i karakteren for alle) a) Forklar kva eit kvantil-normal plott er for noko. Ein kvantil er ein ordningsobservator tilsvarande persentilen, men uttrykkjer ordninga ved brøkar, proporsjonar, av observasjonane i staden for prosentar. Ein kvantil vil fortelje kor stor brøkdel av observasjonane som har variabelverdi mindre eller lik kvantilverdien. Til dømes vil 0.25 kvantilen svare til 25. persentilen og gir oss da den variabelverdien der 1/4 av observasjonane har lågare verdi og 3/4 høgare verdi. Kvantilane i ei observert fordeling kan samanliknast med kvantilane i ei anna fordeling som t.d. ei normalfordeling med samme sentraltendens og spredning og vil avsløre om dei to fordelingane skil seg frå kvarandre i sentraltendens, spredning og form. Dersom to fordelingar er identiske vil kvantil-normal plottet bli ein diagonal i plottet. Dersom den observerte fordelinga er ulik normalfordelinga vil kvantil-normal plottet avvike frå diagonalen på måtar som gjer det lett å identifisere kva avviket skuldast: t.d. om det er mangel på symmetri, eller om det er tyngre eller lettare halar, eller om det er fleire toppar eller utliggarar. b) Forklar kva som meinest med å «dekomponere» ein korrelasjon. Ein tenkjer seg at korrelasjonar kan delast i ein bit som skuldast kausalsamband mellom variablane og ein bit som skuldast andre faktorar som t.d. spuriøsitet, eller feil. Den kausale delen kan vidare delast inn i direkte kausalitet mellom variablane i korrelasjonen og indirekte der kausaliteten går via ein eller fleire mellomliggande variablar. Den ikkje-kausale biten av korrelasjonen kan delast inn i ein spuriøs bit som skuldast felles bakanforliggande årsaker til dei to variablane og ein bit som vert kalla felleseffektar. Felleseffektane skuldast korrelasjonar mellom eksogene variablar. Dei har samme verknad som felles bakanforliggande årsaker, men ein kan ikkje eintydig seie at det er den ein eller andre av variablane som har kausalkraft. Eit trede element av ikkjekausalkarakter kan vere residualar som kan finnast i modellar som ikkje er fullspesifiserte. Å dekomponere ein korrelasjon vil seie å finne dei ulike kausale og ikkje-kausale komponentane. 2

3 3 c) Forklar kva som meinest med iterasjon i t.d. «iterativt revekta minste kvadraters metode». Iterasjon vil seie å gjenta eitt eller anna. I denne samanhengen vil det seie å gjenta ein prosedyre som reknar ut parameterverdiar på grunnlag av gitte startverdiar. I gjentaket vert parameterverdiane frå førre utrekninga nytta som startverdiar. Ein gjennomfører iterasjonane til parameterverdiane endrar seg lite eller ingenting frå ein iterasjon til den neste. Ein seier da at utrekninga av parameterverdiane konvergerer. Når ein nyttar iterasjon for å finne parameterverdiane som maksimerer eller minimerer ein funksjon er startverdiane som regel viktige for å vere sikker på å finne det verkelege (globale) maksimum/ minimum i staden for eit lokalt maksimum/ minimum. d) Forklar skilnaden mellom dummy-koding og effektkoding. Når nominalskalavariablar vert dummy-koda får den nye variabelen verdien 1 for den koda kategorien, alle andre kategoriar, inklusiv referansekategorien, får verdien 0. Kvar variabel vil vere ein dikotomi (ha to mogelege verdiar). Ved effektkoding får den nye variabelen verdien 1 for den koda kategorien, andre kategoriar med unntak av referanskategorien får verdien 0, medan referanskategorien får verdien -1. Kvar ny variabel vil her vere ein trikotomi (ha tre mogelege verdiar 1,0, og -1). Ein effektkoda dikotomi vil imidlertid vere koda 1 og -1. 3

4 4 Oppgåve 2 (tel 50% av karakteren for alle) I vedlagte tabellar er det estimert 3 ulike modellar for Eiga inntekt. a) Gjer greie for kva føresetnader som må gjerast for at ein skal kunne dra valide konklusjonar ut frå slike modellar. Sett Y X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 16 X 17 X 18 X 19 X 20 X 21 X 22 X 23 X 24 X 25 X 26 X 27 X 28 X 29 X 30 X 31 X 32 X 33 X 34 X 35 E.inntekt Alder Alder**2 Kvinne Kvinne*Alder E.utdanning Kvinne*E.utd Fulltidsarbeid Off. sektor Off. sekt*fullt Kvinne*Fulltid Før gift Aldri gift Uoppgitt e. sta Sentrum storby Forstad storby Småby Tettstad Uoppg bostad Varehandel Kommunikasjon Jord-/ skogbruk Helse- og sosia Undervisning/ f Finans Forretningsmess Offentlege tene Anna næring Utan yrke Uoppgitt næring Funksjonær Sjølvstendig Elev/ student Pensjon/ trygd Anna (arbeidsla Uoppgitt ktl Med dei symbola som er definert ovanfor har vi i modell 1-3 estimert 3 variantar av populasjonsmodellen Y i β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + β 3 X i3 + β 4 X i4 + β 5 X i5 + β 6 X i6 + β 7 X i7 + β 8 X i8 + β 9 X i9 + β 10 X i10 + β 11 X i11 + β 12 X i12 + β 13 X i13 + β 14 X i14 + β 15 X i15 + β 16 X i16 + β 17 X i17 + β 18 X i18 + β 19 X i19 + β 20 X i20 + β 21 X i21 + β 22 X i22 + β 23 X i23 + β 24 X i24 + β 25 X i25 + β 26 X i26 + β 27 X i27 + β 28 X i28 + β 29 X i29 + β 30 X i30 + β 31 X i31 + β 32 X i32 + β 33 X i33 + β 34 X i34 + β 35 X i35 + ε i, 4

5 5 der residualane, ε i, er uavhengige og identiske normalfordelte og indeksen i går over heile populasjonen. Lar vi Y i * b 0 * + b 1 * X i1 + b 2 * X i2 + b 3 * X i3 + b 4 * X i4 + b 5 * X i5 + b 6 * X i6 + b 7 * X i7 + b 8 * X i8 + b 9 * X i9 + b 10 * X i10 + b 11 * X i11 + b 12 * X i12 + b 13 * X i13 + b 14 * X i14 + b 15 * X i15 + b 16 * X i16 + b 17 * X i17 + b 18 * X i18 + b 19 * X i19 + b 20 * X i20 + b 21 * X i21 + b 22 * X i22 + b 23 * X i23 + b 24 * X i24 + b 25 * X i25 + b 26 * X i26 + b 27 * X i27 + b 28 * X i28 + b 29 * X i29 + b 30 * X i30 + b 31 * X i31 + b 32 * X i32 + b 33 * X i33 + b 34 * X i34 + b 35 * X i35 + e i *, der residualane, e i *, er uavhengige og identiske normalfordelte og lar * stå for model nr 1, 2 eller 3 (dvs. Y i 1 E.inntekt, Y i 2 (E.inntekt) 0,1 og Y i 3 (E.inntekt) 0,1 ), vil indeksen for utvalsobservasjonen, i, gå frå 1 til 2634 i model 1 og 2 og frå 1 til 2632 i model 3 (2 case mindre). Modelestimata gir ein beskrivelse av utvalet. For å kunne dra valide konklusjonar om tilhøva i populasjonen, må føresetnadene om at modellen er rett og at feillekkane, ε i, er uavhengige og identisk normalfordelte, vere rette. Desse føresetnadene kan presiserast til: i. Modellen er korrekt, dvs.: alle relevante variablar er med ingen irrelevante er med modellen er lineær i parametrane ii. Gauss-Markov krava for «Best Linear Unbiased Estimates» (BLUE), dvs.: Faste x-verdiar. Feilleddet har forventning 0 for alle i, dvs: E(εi )0 for alle i. Feilleddet har konstant varians (homoskedastisitet) dvs: var(εi )σ 2 for alle i. Feilledda er ukorrelerte med kvarandre (ikkje autokorrelasjon) dvs: cov(εi,εj ) 0 for alle i j. iii. Normalfordelingskravet, dvs.: Feilleddet er normalfordelt, dvs: εi ~ N(0, σ 2 ) for alle i. Når desse føresetnadene er stetta vil OLS regresjonen gi oss dei estimata som har minst varians av alle forventningsrette estimat og vi kan uttale oss med kjent grad av sikkerhet om parameterverdiar i populasjonsmodellen. 5

6 6 b) Drøft i kva grad føresetnadene er oppfyllt for desse tre modellane. Kravet om at modellen skal vere rett kan ikkje testast. Den beste kontrollen på dette ligg i ein truverdig teori. Om vi ser bort frå den teoretiske drøftinga merkar vi oss likevel at model 1 forklarer så mye som 61% av variasjonen i observasjonane. Dette er i alle fall ein indikasjon på at modellen er forholdvis god. Og i modell 2 og 3 vert omlag 67% av variasjonen forklart. Modellen har 35 variablar som er laga med utgangspunkt i dei 9 substansielle variablane Alder, Kvinne, Eiga utdanning, Fulltid, Offentleg sektor, Ekteskapsstatus, Bostad, Næring og Kjelde til livsopphald. Alder er inkludert som andregradspolynom. Dette fører til at det vil vere multikollinearitetsproblem mellom dei to elementa i andregradspolynomet. (1/tolerasne VIF variansinflasjonsfaktoren 47 og 50; dvs.ca 98% av variasjonen er felles for Alder og Alder**2) Men sidan vi aldri er interessert i dei separate effektane av dei to ledda i polynomet er dette uinteressant. Kvinne er med i 3 interaksjonsledd. Dei er med Alder, Eiga utdanning og Fulltid. Det er og eit interaksjonsledd mellom Offentleg sektor og Fulltid. Trass i effekten av multikollinearitet ser vi at både kvinne og alle interasksjonsledda bidrar signifikant til modellen på 5% nivå. Offentleg sektor bidrar imidlertid ikkje signifikant til modellen aleine. Men truleg er den nødvendig for å estimere interaksjon mellom Offentleg sektor og Fulltid rett. Det er ikkje gitt nok opplysningar til å teste dette. Det ser ut til at multikollinearitetsproblema har lita substansiell betydning. Den konsekvensen vi må trekke fra eksistensen av multikollinearitet er at vi ikkje kan tale om dei separate effektane av dei variablane som korrelerer. Vi må drøfte effekten av dei under eitt. Dersom testane våre er truverdige vil vi kunne oppdage om irrelevante variablar er med. Mange av variablane i dei dummykoda kategoriske variablane har ikkje effektar som er signifikant ulik referansekategorien sin. Men så lenge effekten av minst ein variabel er signifikant ulik referansekategorien sin effekt må alle inkluderte kategoriar testast under eitt. Ein bør her kunne gå ut frå at slike testar er gjort og at det ikkje er irrelevante variablar med i model 1. Ein kan undersøke om modellen er lineær i parametrane. Alder er inkludert med eit andregradspolynom slik at den ikkje-lineære samanhengen mellom alder og inntekt er teken vare på. Normalt vil plottet av residualen mot predikert y-verdi vere ein god innfallsport for å sjå på mogeleg kurve-samband i modellen. Men med dei få verdiane vi har på den avhengige variabelen vert dette plottet lite informativt. Andre former for testar er ikkje rapporteret i vedlegget. Vi får tru at det er lite kurvelinearitet ut over sambandet mellom alder og inntekt. 6

7 7 Model 2 er identisk med model 1 utanom at den avhengige variabelen er transformert til 0,1 potensen av Y. I model 3 er identisk med model 2, men 2 case er utelatt i estimeringa. Ser vi på model 2 og 3 er den viktigaste skilnaden at Kvinne og interaksjonen mellom Kvinne og Eiga utdanning ikkje lenger bidrar signifikant til modellen. Ein kan altså ikkje tale om reine kjønnseffektar i desse modellane. Vi må heile tida ha med interaksjonane med andre variablar Ser vi på Gauss Markov krava vil vi ikkje kunne teste om x-ane faktisk er utan målefeil eller om feilledda faktisk har eit gjennomsnitt på 0. Autokorrelasjon kan ein teste for. Men i eit tilfeldig utval av personar i den norske befolkninga er det vanskeleg å gi noka truverdig hypotese om kva som skulle føre til autokorrelasjon. Det er da ikkje grunnlag for å sette opp ein test. Heteroskedastisitet kan også testast. Heteroskedastisitet er systematisk variasjon i storleiken til residualen (spredninga av residualen) etter verdien av x. Stundom kan dette oppdagast i plottet av residualen mot estimert y-verdi (som er lik ein vekta sum av x-verdiane). For model 1 er det to grunnar for å seie at det er problem med heteroskedastisitet. Vi har for det første systematisk variasjon i residualen innan kvar av dei 8 ulike verdiane på den avhengige variabelen. I tillegg ser vi at dei 8 linjene med residualar fordeler seg slik at spredninga blir tydeleg større til større verdi estimert y-verdi har. Særleg vil residualene på linja øverst til høgre i plottet dra spredninga på residualane opp for store verdiar av berekna y. Testane av om regresjonkoeffesianten er ulik null, som vi drøfta ovanfor, er dermed ikkje truverdige. Standardfeilen til regresjonskoeffesientane vert skeivt estimert og t og F verdiar vert feil. Model 2 og 3 har nokså like plott av residual mot berekna y-verdi og her er situasjonen noko betre. Særleg ser vi at transformasjonen har redusert dei residualane vi merka oss som problematiske i model 1. Testane i model 2 og 3 er dermed meir truverdige enn i model 1. Kravet om at residualane skal vere normalfordelt kan testast. Ser vi på fordelinga av residualene i dei tre modellane ser vi av kvantil-normalplottet frå model 1 at dei der er fordelt usymmetrisk (medianen -6.55, gjennomsnittet er sjølvsagt lik 0) og med tyngre halar enn i normalfordelinga (IQR/ /1, mot standardavviket på 49,1; ca 30% tyngre halar). I model 2 og 3 er dei residualane (nesten) symmetriske, men framleis har dei noko tyngre halar enn normalfordelinga (IQR/ ,044 mot st avvik 0,051 i model 2 og IQR/1.35 0,044 mot st.avvik 0,050 i model 3; ca 16% tyngre halar). Den større graden av tilnærming til normalfordelings gjer at vi har større tillit til testane i model 2 og 3 enn i model 1. 7

8 8 Ein av grunnane til at vi har problem med heteroskedastisitet og ikkjenormalfordelte residualar kan vere utliggarar og innflytelsesrike case, Boks-plottet av residualen i model 1 viser tydeleg at vi har mange alvorlege utliggarar på høgre sida av fordelinga: Q 3 + 3IQR 174,23, men ingen på venstre sida: Q 1-3IQR -180,95. Det er imidlertid ikkje klare gap mellom casa. Plottet av h(i) viser ei gruppe på 5 case som skil seg ut med relativt mye høgare verdi enn dei andre. Maksimumsverdien 0,23261 er imidlertid berre litt større enn grensa på 0,2 som Hamilton (side 130) foreslår som grense for kritisk prøving av mogeleg innverknad (influence). Ser vi på Cook s D(i) finn vi at maksimumsverdien 0,04528 er mye større enn 4/n 0,00152 som er foreslått som grense for svært stor innverknad. Maksimumsverdien er meir enn dobbelt så stor som mest største på 0, og tydar på at caset har stor innverknad. Også mellom nest største og tredje største er det eit tydeleg sprang. Avstadane mellom casa vidare nedover ser meir jamn ut. Det er med andre ord 2 case i model 1 som skil seg ut og som sannsynlegvis har stor innverknad. Ser vi på boksplottet av residualen i model 2 ser det her ut til at vi har fått redusert dei mange alvorlege utliggarane til 4 {Q 1-3IQR -0,20935 og Q 3 + 3IQR 0,2054}. Plottet av h(i) viser sjølvsagt framleis 5 case som potensielt kan ha innverknad. Plottet av Cook s D(i) viser framleis mange case med verdi over 0,00152, men berre 3 case skil seg ut med verdi over 0,1. Maksimumsverdien er 0, Dette er det samme caset (nr 2603) som det som hadde høgast verdi i modell 1 i følge tabellen over dei 5 casa med høgast Cook s D(i) i modell 1. Det case som har nest høgast verdi i boksplottet frå model 2 ( verdi mellom 0,017 og 0,018) er og det som har nest størst verdi i model 1. I model 3 er 2 case utelatt. Det er ikkje opplyst kva case dette er. Ut frå boks plottet av residualen ser vi imidlertid at talet på alvorlege utliggarar er redusert til 3 ( Q 1-3IQR -0,20935 og Q 3 + 3IQR 0,2054 ) og i plottet over Cook s D(i) er det 2 case som skil seg ut. Maksimumsverdien er no ned i 0,01729, men verdien for nr 3 ligg på under 0,009. Det er framleis svart mange med verdi over 4/n 0, Samanliknar vi regresjonskoeffesientane i model 2 og 3 ser vi at vi har større endring i koeffesientane for Kvinne, Kvinne*E.utd og Kommunikasjon. Største endring har vi for Kvinne som aukar frå -0, til +0, Koeffesienten for Kvinne*E.utd minkar med 64% og koeffesienten for Kommunikasjon minkar med 56%. Ingen av desse koeffesientane er imidlertid signifikante aleine, og dei store relative edndringane kan oppvegast av mindre 8

9 9 relative endringar i større koeffesientar vi må nytte for å sjå på samla effekt av t.d. Kvinne. Utelatinga av dei 2 casa ser altså ikkje ut til å ha stor substansiell verknad for estimata. Den beste modellen for sambandet mellom inntekt og sosial bakgrunn ser dermed ut til å vere model 2. c) Drøft sambandet mellom kjønn og inntekt slik det kjem til uttrykk i model 1. Vi er her bedt om å drøfte sambandet mellom kjønn og inntekt i model 1 trass i at model 2 ser ut til å vere ein betre model. Dette er gjort for å unngå dei ekstra komplikasjonane i tolkninga som transformasjonen representerer. I model 1 finn vi følgand samband mellom eiga inntekt og sosial bakgrunn -54, , * Alder -0, * Alder**2 +26, * Kvinne -0, * Kvinne*Alder +6, * E.utdanning -1, * Kvinne*E.utd +74, * Fulltidsarbeid +2, * Off. sektor -14,97005 * Off. sekt*fullt -26,09408 * Kvinne*Fulltid +8, * Før gift -6, * Aldri gift -18,59747 * Uoppgitt e. sta +8, * Sentrum storby +14, * Forstad storby +7, * Småby +6, * Tettstad +5, * Uoppg bostad -7, * Varehandel +2, * Kommunikasjon -20,14779 * Jord-/ skogbruk -2, * Helse- og sosia +0, * Undervisning/ f +5, * Finans +4, * Forretningsmess -9, * Offentlege tene -8, * Anna næring -8, * Utan yrke -12,74361 * Uoppgitt næring +28, * Funksjonær +24, * Sjølvstendig -21,39925 * Elev/ student -3, * Pensjon/ trygd -4, * Anna (arbeidsla +11, * Uoppgitt ktl 9

10 10 Alder er inkludert med eit polynom. Den marginale samanhengen mellom alder og inntekt er føresett å vere kurvelineær. Det er vidare eit interaksjonsledd mellom alder og kvinne. Vi ser her at interaksjonen ikkje er fullstendig spesifisert. Det kan sjå ut som at leddet «Kvinne*Alder**2» burde vore inkludert. At det ikkje er med har likevel lite å seie for drøftinga vidare. Dersom vi held Kjelde til livsopphald, Næring, Bostad, Ekteskapsstatus og Offentleg sektor konstante vil den marginale samanhengen mellom kjønn og inntekt i modell 1 vere gitt ved -54, , * Alder -0, * Alder**2 +26, * Kvinne -0, * Kvinne*Alder +6, * E.utdanning -1, * Kvinne*E.utd +74, * Fulltidsarbeid -26,09408 * Kvinne*Fulltid For kvinner blir den marginale samanhengen -54, , * Alder -0, * Alder**2 +26, * 1-0, * 1*Alder +6, * E.utdanning -1, * 1*E.utd +74, * Fulltidsarbeid -26,09408 * 1*Fulltid -27, ,65223 * Alder - 0, * Alder**2 + 4,44956 * E.utdanning + 48,4331 * Fulltidsarbeid For menn blir den marginale samanehengen -54, , *Alder - 0,037302*Alder**2 + 6, *E.utdanning + 74,527148*Fulltidsarbeid Om vi rundar av til 1 desimal kan vi skrive For menn er E.innt -54,2 + 4,4*Alder - 0,0373*Alder**2 + 6,3*E.utdanning + 74,5*Fulltidsarb For kvinner er E.innt-27,3 + 3,7*Alder - 0,0373*Alder**2 + 4,4*E.utdanning + 48,4*Fulltidsarb Vi ser ut frå dette at når kvinner og menn har samme alder, utdanning, arbeidstid, kjelde til livsopphald, næring, type bostad, ekteskapsstatus og sektor i arbeidslivet vil kvinner i høve til menn i gjennomsnitt få betalt eit ekstratillegg i lønna på 800 kroner ved å ta fulltidsarbeid [(-54,2 +74,5) - (-27,3 +48,4) -0,8 ] 10

11 11 Kvinnene har imidlertid 1900 kroner mindre enn menn pr år utdanning ( 6,3-4,4) og dei har 700 kroner mindre pr år i alderstillegg. Lønnsforskjellen mellom menn og kvinner etter alder reknar vi ut ved {(4,4*Alder -0,0373*Alder**2) - (3,7*Alder - 0,0373*Alder**2)} {4,4*Alder -3,7*Alder - 0,0373*Alder**2 + 0,0373*Alder**2} 0,7*Alder Dette tyder at for personar som er 50 år, har 20 års utdanning og er i fulltidsarbeid vil kvinner i gjennomsnitt tene (1900* *50-800) ( ) kroner mindre enn menn om dei er i samme sektor og næring, har samme kjelde til livsopphald, bor på samme type bostad og har samme ekteskapsstatus. Lønnsskilnadene ser ut til å komme av at menn får ein ekstra lønnspremie for både alder og utdanning. I eit diagram i oppgåva er samanhengen mellom alder og inntekt plotta både for model 1 og 2 for gifte kvinner og menn busett i forstad til storby, med 12 års utdanning og fulltids arbeid i funksjonæryrke i offentleg sektor. For slike personar vil kjønnsskilnaden i inntekt vere omlag kroner i 20 årsalderen og den vil vere aukande fram til pensjonsalderen. Deretter held den seg omlag konstant. I model 2 ser det ut til at inntektsskilnadene i utgangspunktet er mindre enn i model 1 men veks raskare og er større frå ca 40 årsalderen. Den største skilnaden i model 2 ser det ut til å vere omkring 60-års alderen der skilnaden i lønn ligg på ca kroner i året. c) Skriv ut likninga som gir eit betinga effekt plott for sambandet mellom alder og inntekt for gifte kvinner busett i forstad til storby med 12 års utdanning og fulltids arbeid i funksjonæryrker innan undervisning/ forskning i offentleg sektor i modell 2. Når den avhengige variabelen er transformert vil alle effektane i modellen vere interaksjonseffektar. Det tyder her at alle variabelverdiane vil ha betydning for verknaden av alder. I den inverse transformasjonen (Y 0,1 ) 10 (b b 2 1 X i1 + b 2 2 X i2 + b 2 3 X i3 + b 2 4 X i4 + b 2 5 X i5 + b 2 6 X i6 + b 2 7 X i7 + b 2 8 X i8 + b 2 9 X i9 + b 2 10 X i10 + b 2 11 X i11 + b 2 12 X i12 + b 2 13 X i13 + b 2 14 X i14 + b 2 15 X i15 + b 2 16 X i16 + b 2 17 X i17 + b 2 18 X i18 + b 2 19 X i19 + b 2 20 X i20 + b 2 21 X i21 + b 2 22 X i22 + b 2 23 X i23 + b 2 24 X i24 + b 2 25 X i25 + b 2 26 X i26 + b 2 27 X i27 + b 2 28 X i28 + b 2 29 X i29 + b 2 30 X i30 + b 2 31 X i31 + b 2 32 X i32 + b 2 33 X i33 + b 2 34 X i34 + b 2 35 X i35 ) 10 vil konstantleddet vere avgjerande for korleis sambandet mellom inntekt og alder ser ut. 11

12 12 Model 2 viser at inntekta til kvinner slik dei er estimert i denne modellen vil Y**0,1 E.inntekt **0,1 +1, , , * Alder +0, * Alder -0, * Alder**2-0, * Alder**2-0, * Kvinne -0, * 1-0, * Kvinne*Alder -0, * 1*Alder +0, * E.utdanning +0, * 12 +0, * Kvinne*E.utd +0, * 1*12 +0, * Fulltidsarbeid +0, * 1 +0, * Off. sektor +0, * 1-0,01727 * Off. sekt*fullt -0,01727 * 1*1-0, * Kvinne*Fulltid -0, * 1*1 +0, * Før gift +0-0, * Aldri gift +0-0, * Uoppgitt e. sta +0 +0, * Sentrum storby +0 +0, * Forstad storby +0, * 1 +0, * Småby +0 +0, * Tettstad +0 +0, * Uoppg bostad +0-0, * Varehandel +0 +0, * Kommunikasjon +0-0, * Jord-/ skogbruk +0-0, * Helse- og sosia +0-0, * Undervisning/ f -0, * 1 +0, * Finans +0 +0, * Forretningsmess +0-0, * Offentlege tene +0-0, * Anna næring +0-0, * Utan yrke +0-0, * Uoppgitt næring +0 +0, * Funksjonær +0, * 1 +0, * Sjølvstendig +0-0, * Elev/ student +0-0, * Pensjon/ trygd +0-0, * Anna (arbeidsla +0-0, * Uoppgitt ktl +0 +1, , * Alder -0, * Alder**2-0, , * Alder +0, , , , , , , , , , , *Alder - 0,000045*Alder**2 12

13 13 For gifte kvinner busett i forstad til storby med 12 års utdanning og fulltids arbeid i funksjonæryrker innan undervisning/ forskning i offentleg sektor finn vi i modell 2 følgande samanheng mellom Eiga inntekt og alder: Y (1, , *Alder - 0,000045*Alder**2) 10 Dette sambandet er plotta i den nederste kurva i vedlegget til oppgåve 2 (side 180). 13

14 14 Oppgåve 3A og 3B (tel 20% av karakteren alle) I vedlagte tabellar er det estimert ein hierarkisk stimodell av Vassdragsutbygging med forklaringsvariablane E.inntekt, E.utdanning, Alder, Kvinne og Offentleg sektor. Sett Y 1 Vassdragsutbygging Y 2 E.inntekt Y 3 E.utdanning X 1 Alder X 2 Kvinne X 3 Offentleg sektor Då er den fullspesifiserte rekursive modellen definert ved Y 1 γ 13 X 3 + γ 12 X 2 + γ 11 X 1 + ζ 1, Y 2 β 21 Y 1 + γ 23 X 3 + γ 22 X 2 + γ 21 X 1 + ζ 2 og Y 3 β 32 Y 2 + β 31 Y 1 + γ 33 X 3 + γ 32 X 2 + γ 31 X 1 + ζ 3, der vi antar at variablane er standardiserte z-skårar, at restledda ζ 1, ζ 2, og ζ 3 stettar krava til OLS-regresjon og at dei er ukorrelerte med kvarandre. a) Teikn opp stidiagrammet og skriv inn stikoeffesientane som høyrer til. ζ 2 X 1 Alder -0,34 0,17 X 3 Offentleg sektor 0,12 Y 2 Eiga inntekt 0,21-0,06 0,04 ζ 3 Y 3 Vassdragsutbygging -0,33-0,06 X 2 Kvinne -0,05 0,34 Y 1 Eiga utdannning -0,04 ζ 1 14

15 15 b) Finn ved hjelp av diagrammet den totale kausaleffekten av Kvinne på Vassdragsutbygging Total kausaleffekt direkte kausaeffekt + indirekte kausaleffekt -0,06 (direkte) -0,33*0,04 (indirekte via eiga inntekt) -0,05*(-0,04) (indirekte via eiga utdanning) -0,05*0,34*0,04 (indirekte via eiga utdannning og eiga inntekt) -0,07188 Reknar ein eksakt blir dette -0,05653 (direkte) -0, (indirekte via eiga inntekt) +0, (indirekte via eiga utdanning) -0, (indirekte via eiga utdannning og eiga inntekt) -0, Korrelasjonen mellom Kvinne og Vassdragsutbygging er på -0,0856. Den totale kausaleffekten utgjer såleis ein stor del av korrelasjonen. 15

16 16 Oppgåve 3C og 3D (tel 20% av karakteren for SOS31/ SOS311) c) Gjer greie for kvifor det i den estimerte modellen er utelatt ein sti samanlikna med den fullspesifiserte modellen. I den estimerte modellen er det ikkje tatt med nokon sti mellom offentleg sektor og eiga utdannning. Det er ikkje rimeleg å tru at sektor kan ha kausal verknad på mengda utdanning ein person har. For dei aller fleste vil utdanning komme før arbeid. Det vil da vere galt (modellen blir feil spesifisert) å sette inn ein sti mellom offentleg sektor og eiga utdanning. Vi kunne hatt offentleg sektor som mellomliggande variabel mellom utdanning og eiga inntekt. Men sidan offentleg sektor er ein dikotom variabel vil den ikkje kunne vere avhengig variabel i ein OLS regresjon. Den er derfor nytta som eksogen variabel. Også dette er ein feilspesifikasjon av modellen. Dei manglande stiane frå Eiga utdanning, Alder og Kvinne til Offentleg sektor vil påverke estimata av dei inkluderte stiane. Dei vil jamnt over vise større effektar enn om alle stiane var inkludert. d) Vurder om det i dekomponeringa av korrelasjonar i denne modellen er grunnlag for å operere med felleseffektar mellom nokon av variablane. Vis i alle fall korleis ein kan finne ein av felleseffektane i korrelasjonen mellom Vassdragsutbygging og E. inntekt. Felleseffektar er effektar som skuldast at eksogene variablar korrelerer. Om vi set grensa for korrelasjon med substansiell interesse til 0,1 finn vi at Kvinne og Offentleg sektor korrelerer med 0,13. Det kan dermed vere grunnlag for å ta med felleseffektar mellom desse to variablane i dekomponeringa av korrelasjonar som t.d. korrelasjonen mellom Kvinne og Vassdragsutbygging eller E.inntekt og Vassdragsutbygging som det her er spurt etter. Dersom vi kallar korrelasjonen mellom X 2 ( Kvinne) og X 3 ( Offentleg sektor) for ρ 23 vil vi i korrelasjonen mellom Vassdragsutbygging og E.inntekt, finne 4 ulike bidrag til felleseffekten mellom Kvinne og Offentleg sektor (alle ulike stiar (jfr. Wrights reglar) mellom Vassdragsutbygging og E.inntekt som inkluderer korrellasjonen og dei to variablane). Felleseffekten er summen av desse tre bidraga: γ 32 *ρ 23 *γ 23 + γ 33 *ρ 23 *γ 22 + γ 23 *ρ 23 *β 31 *γ 12 + γ 33 *ρ 23 *β 21 *γ 12 0,12*0,13*(-0,06) + (-0,06)*0,13*(-0,33) + 0,12*0,13*(-0,05) *(-0,04) + (-0,06)*0,13*(-0,05) *0,34-0, , , ,

17 17 Oppgåve 4 (tel 20% av karakteren for SOS301) a) Forklar kva ein logit er for noko, korleis den kan nyttast i logistisk regresjon og kva føresetnader som må vere oppfyllt for at estimata av samanhengane i modellen skal vere truverdige. Ein «logit» er den naturlege logaritmen (dvs. logaritmen med grunntalet «e») til ein odds. Den naturlege logaritmen til talet x vert anten skrive log e (x) eller ln(x). Oddsen for hendinga «A» (t.d at ein person kjøper ein familiebil) er lik raten mellom sannsynet for hendinga «A» og sannsynet for hendinga «ikkje-a». Dersom sannsynet for hendinga «A» Pr{A} P, vil sannsynet for hendinga «ikkje A» ver lik (1-Pr{A} 1-P). Oddsen for A kan da skrivast som (A) Pr{A}/(1- Pr{A}) P/(1-P) og logiten som L log e (A) log e [Pr{A}/(1- Pr{A})] log e [P/(1-P)] ln[p/(1-p)]. Dette tyder at e L P/(1-P) som og kan skrivast PPr{A} [1/{1+e -L }] Vi ser at P er ein logistisk funksjon av logiten L (sjå Hamilton side 166). Logiten er ein eintydig transformasjon av sannsynet for ei hending. Sidan sannsynet varierer mellom 0 og 1 vil logiten variere mellom - og +. Logiten vil dermed vere ein intervallskalavariabel utan avgrensingar og kan nyttast som avhengig variabel i ein lineær regresjonsmodell. Transformasjonen gjer at sambandet mellom logiten og sannsynet er ikkje-lineært. Dersom vi har ein dikotom avhengig variabel i den teoretiske modellen vår, vil ein i logit regresjon (eller logistisk regresjon) gå ut frå at logiten til hendinga som den dikotome avhengige variabelen gir kunnskap om, er ein lineær funksjon i parametrane til forklaringsvariablane. OLS-regresjon med logiten som avhengig variabel vil ikkje gi gode parameterestimat. Derfor nyttar ein vanlegvis «maximum likelihood» metoden for å finne parameterestimata. 17

18 18 For å kunne dra konklusjonar om sambandet mellom forklaringsvariablane og sannsynet for hendinga «A» i populasjonen som utvalet er henta frå, må følgande føresetnader vere oppfyllt: 1. Modellen må vere rett. Dette tyder at sannsynet for hendinga «A» for gitte verdiar av x-variablane faktisk er ein logistisk funksjon av forklaringsvariablane alle relevante variablar er med i modellen ingen irrelevante variablar er med i modellen 2. X-variablane er utan målefeil 3. Observasjonane i utvalet er uavhengige av kvarandre 4. Det er ikkje perfekt multikollinearitet mellom forklaringsvariablane. I vedlagte tabellar 1 er det estimert tre logit modellar for kjøp av biltypen «familiebil» med forklaringsvariablane «Alder», «Kvinne», og «Ekteskapsstatus» til kjøparen, og «Storleik» og «Land for produksjon» av bilen. b) Test om «Land for produksjon» bidrar signifikant til forklaringa av valet av familiebil. Finn oddsen for å kjøpe ein liten familiebil for ein 25 år gammal ikkje gift person. Finn oddsraten for å kjøpe liten familiebil mellom gifte og ikkje gifte. Forskjellen mellom model 1 og 2 er to dummyvariablar frå variabelen «land for produksjon», «Laga i Japan» og «Laga i Europa». Den ekskluderte referansekategorien er «Laga i USA». Vi kan teste om dei to «Laga i Japan» og «Laga i Europa» bidrar signifikant til modellen ved å sjå på skilnaden i LogLikelihood (jfr. Hamilton 1992 side 225). Dersom vi har ein modell med K parametrart og ein modell med H færre parametrar (K-H parametrar) vil storleiken χ 2 H -2 {log e K-H - log e K } vere kjikvadratfordelt med H fridomsgrader dersom log e K er loglikelihooden for den større modellen med K parametrar og log e K-H er loglikelihooden i modellen med K-H parametrar. I model 2 med 7 parametrar finn vi at loglikelihooden, log e 7-181,47789 og i model 1 med 5 parametrar (H2) finn vi at den er, log e 5-183, I estimatet av modellen er definisjonen av Y vorten feil: Y1 tyder at personen ikkje kjoper familiebil 18

19 19 Dermed vil vi ha at χ {log e 5 - log e 7 } -2(-183, (-181,47789)) 4,18084 I tabell A4.3 i Hamilton (1992, side 354) finn vi at 5% fraktilen i kjikvadratfordelinga med 2 fridomsgrader er lik 5,991. Det tyder at det er eit sannsyn på 0,05 for å finne ein så stor eller større kjikvadratverdi dersom nullhypotesa er rett. Nullhypotesa vår er at dei to ekstra variablane i model 2 ikkje bidrar til modellen. Sidan sjansen for å finne ein kjikvadratverdi på 4,18 eller over er større enn 0,05, kan vi ikkje med 5% signifikansnivå forkaste nullhypotesa. Heller ikkje variabelen Kvinne i model 3 bidrar signifikant til modellen av «Biltype». Kjikvadratet for skilnaden mellom model 2 og model 3 blir 0, % fraktilen i kjikvadratfordelinga med 1 fridomsgrad er lik 3,841. Den beste modellen for å vurdere samanhengar mellom forklaringsvariablar og «Biltype» er dermed model 1. I model 1 finn vi at estimat av logiten til observert person i er estimert til L i E [L i ] b 0 + b 1 X i1 + b 2 X i2 + b 3 X i3 + b 4 X i4 der Y i 1 dersom person i ikkje 2 kjøpte familiebil, 0 elles, X i1 alder til person i, X i2 1 dersom person i er gift, 0 elles X i3 1 dersom person i kjøper stor bil, 0 elles, og X i4 1 dersom person i kjøper middels stor bil, 0 elles. I følge utvalet på 303 personar vil samanhengen mellom biltype og sosial bakgrunn i den logistiske modellen vere estimert til L i 3, ,06575 X i1 0,99439 X i2 1,31367 X i3 1,01938 X i4 Vi finn oddsen for ikkje å kjøpe ein liten familiebil for ein 25 år gammal ikkje gift person ved å sette inn tilsvarande variabelverdiar i uttrykket for oddsen: (ikkje kjøp av liten familebil for ein 25 år gammal ikkje-gift person) e L i exp{ 3, , , , , } exp{1,57017} 4,80747 Med andre ord er sjansen for at ein 25 årig ikkje-gift person skal velge noko anna enn ein liten familiebil 4,8 gonger større enn sjansen for at vedkommande skal velge ein liten familiebil. Oddsraten for ikkje å velge familiebil for gifte i høve til ikkje-gifte er Ω e -0, , Dette tyder at oddsen for ikkje å velge familiebil mellom gifte er 37% av oddsen for ikkje-gifte personar (eller 63% mindre enn oddsen for ikkje-gifte). 2 Sjå note 1 ovanfor 19