Verdens beste håndball-lag?
|
|
- Mette Antonsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Klassebesøk i matematikk Verdens beste håndball-lag? Litt om håndball, kombinatorikk og optimering Geir Dahl, Matematisk inst. og Inst. for informatikk, Universitetet i Oslo et problem fra håndball tilordningsproblemet: hva er det? en smart metode! Jessheim videregående skole, 23.mars 2000 Håndball, kombinatorikk og optimering: #1 of 17
2 Håndball Har vi det beste håndball-landslaget? keeper: alternerer Leganger og Tjugum utespillere velges fra de 13 spillerne Hilmo, Larsen, Duvholt, Sørlie, Davidsen, Rokne, Sættem, Eriksen, Grini, Hundvin, Goksør, Haltvik og Hausmann 6 uteplasser: H VING, V VING, H BEKK, V BEKK, M BEKK og SENTER hver spiller har en viss kvalitet på hver plass hvilket lag er best, og hvem spiller hvor? antall kombinasjoner: = Dette er et kombinatorisk optimeringsproblem! Håndball, kombinatorikk og optimering: #2 of 17
3 Håndball param kvalitet: H V V V H B V B M B SENT := Hilmo Larsen Duvholt Sørlie Davidsen Rokne Sættem Eriksen Grini Hundvin Goksør Haltvik Hausmann Man kan finne den beste løsningen ved hjelp av en viss matematisk metode som programmeres på datamaskin. Kommer tilbake til dette. Håndball, kombinatorikk og optimering: #3 of 17
4 Håndball Men hva med litt sunn fornuft!? Ja, man kan finne en optimal løsning her direkte ved åsepå hvilken spiller som passer best på hver plass + litt drøfting. Betyr dette at alle slike problemer er enkle å løse direkte? Nei, det var enkle data som gjorde det mulig her. Et problem: Grini kan være er best på flere plasser. Hvilken bør hun spille på? Videre: å finne bestemann på en gitt plass kan gi dårlig løsning, avhengig av rekkefølgen man velger for plassene: Plass 1 Plass 2 Spiller Spiller < 18 Håndball, kombinatorikk og optimering: #4 of 17
5 Hvilke firma bør vi velge? Oslo kommune skal sette igang 18 ulike byggeprosjekter 18 firmaer gir anbud på hvert byggeprosjekt hvert firma kan bare ta på seg ett prosjekt (fordi det er store prosjekt) Prosjekt F1: F2: F3: F17: F18: Håndball, kombinatorikk og optimering: #5 of 17
6 Tilordningsproblemet Tabell (matrise): størrelse 4 4 Vi kan ha tabeller av ulike størrelser, 5 5 eller 6 6osv.(n n) Vannrett linje i tabellen: Loddrett linje i tabellen: Håndball, kombinatorikk og optimering: #6 of 17
7 Tilordning: et utvalg med nøyaktig ett tall fra hver vannrett linje og fra hver loddrett linje. Hvilke er tilordninger? Den første tilordningen har sum: = 310. Oppgave: finn noen andre tilordninger regn ut summen for hver tilordning hvor mange tall er det i en tilordning? Håndball, kombinatorikk og optimering: #7 of 17
8 Tilordningsproblemet: finn en tilordning med lavest mulig sum. Spørsmål: hvordan løse tilordningsproblemet? Direkte metode: finn først alle tilordninger og regn ut summen for hver. Velg en med lavest sum! Dette går greit for små tabeller, men blir håpløst for større tabeller. F.eks. for en 7 7tabellerdet 5040 ulike tilordninger. En bedre metode kommer nå! Håndball, kombinatorikk og optimering: #8 of 17
9 Prinsipp: gjør en rekke linjeforenklinger inntil løsningen er opplagt! Poenget er altså å forenkle problemet Linjeforenkling: trekk fra samme tall (her : 75) overalt i en linje. Når vi trekker fra det minste tallet i linjen dukker det opp nuller. MERK: en linjeforenkling betyr at alle tilordninger får en lavere sum (her:75), men rekkefølgen på tilordningene (basert på summen) er den samme!!!! Vi fortsetter og linjeforenkler også i de to siste vannrette linjene. Resultat: Håndball, kombinatorikk og optimering: #9 of 17
10 Har nå minst en null i hver vannrette linje. Fortsettelse: linjeforenkler i hver loddrette linje. Har allerede nuller i de tre første, men må fikseden siste linjen ved å trekke fra 5. Får: En god idé: Hvis vi klarer å finne en tilordning med bare nuller, så har vi løst problemet! Hvorfor? Men: det fins ingen tilordning med bare nuller. Synd! Men nå skal vi fortsette med linjeforenklinger inntil det fins en tilordning med bare nuller!!!! Håndball, kombinatorikk og optimering: #10 of 17
11 1. Dekk over alle nullene med færrest mulig linjer! Vi klarer dette med tre linjer som vi kaller blå linjer : Finn det minste tallet som ikke er dekket! Det er Trekk 20 fra alle udekkede tall (svarte tall over). 4. Legg 20 til alle tall som ligger i kryssene (de tallene som dekkes både av en vannrett og en loddrett linje, her er det 15 og 35). Resultat: Håndball, kombinatorikk og optimering: #11 of 17
12 Forklaring: Det vi gjør i skritt 2 og 3 er det samme som 3. trekke 20 fra hver hver vannrett linje som ikke er ensfarvet blå, og 4. legge 20 til hver dekket loddrett linje som er ensfarvet blå. Altså: vi har igjen bare brukt linjeforenkling. Hvordan fortsetter vi nå? Svar: Vi gjentar skrittene 1 4 foran: DEKK-FINN-TREKK-LEGG! 1. DEKK: Tre blå linjer nok en gang FINN: minste udekkede tall er 5. Håndball, kombinatorikk og optimering: #12 of 17
13 3 og 4.TREKK og LEGG:Resultatet blir Etter dette starter vi på endaenny DEKK-FINN-TREKK-LEGG-runde. Men nå ser vi at det må 4 linjer til for å dekke alle nullene! Da kan vi stoppe, for nå fins en tilordning med bare nuller. Den er da (optimal) løsning! Finner derfor løsningen (i opprinnelig tabell) og summen er 275. (Kan dere finne en annen optimal tilordning?) Håndball, kombinatorikk og optimering: #13 of 17
14 Dere har lært den ungarske tilordningsalgoritmen! Denne kan programmeres på datamaskin og (med litt endringer) er en av de raskeste måtene å løse tilordningsproblemet på. Mye brukt! Tilordningsproblemet er et eksempel på et optimeringsproblem. Verdenerfullav optimeringsproblemer! Slike problemer er bl.a. viktige i økonomi. Nobel prisen i økonomi har blitt gitt til arbeid med optimeringsproblemer som minner om transportproblemet (T.J.Koopmans og L.V.Kantorovich, 1975). H. Markowitz fikk Nobel prisen i økonomi i 1990 for sitt arbeid med porteføljeoptimering (finn beste sammensetning av aksjer). Håndball, kombinatorikk og optimering: #14 of 17
15 Håndball Modell: set SPILLER; set PLASS; param kvalitet {SPILLER,PLASS}; var Bruk {SPILLER,PLASS} 0; maximize total kvalitet: sum {i in SPILLER, j in PLASS} kvalitet[i,j] * Bruk[i,j]; subject to spillerbruk {i in SPILLER}: sum {j in PLASS}Bruk[i,j] 1; subject to plassbruk {j in PLASS}: sum {i in SPILLER} Bruk[i,j] = 1; Data: set SPILLER := Hilmo Larsen Duvholt Sørlie Davidsen Rokne Sættem Eriksen Grini Hundvin Goksør Haltvik Hausmann; set PLASS := H VING V VING H BEKK V BEKK M BEKK SENTER; Håndball, kombinatorikk og optimering: #15 of 17
16 Håndball Verdens beste håndball-landslag (!!???) ampl: display Bruk: H B H V M B SENT V B V V:= Davidsen Duvholt Eriksen Goksør Grini Haltvik Hausmann Hilmo Hundvin Larsen Rokne Sættem Sørlie Score: 28.5 (regnetid 1/100 sek.) Laget: Sørlie Hundvin Grini Haltvik Sættem Duvholt Håndball, kombinatorikk og optimering: #16 of 17
17 Avsluttende kommentarer matematiske problemer er viktige! kombinere matematikk, informatikk, økonomi studier ved Universitetet i Oslo svært gode jobbmuligheter!!!! velg full fordypning i matematikk Matematisk institutt, UiO: Institutt for Informatikk, UiO: Geir Dahl, telefon , Webside: geird/ Inneholder div. informasjon om optimering, forskning, studier, Web optimering. Også dette foredraget. Håndball, kombinatorikk og optimering: #17 of 17
Moderne optimering mer enn å derivere!!
Faglig pedagogisk dag 2000, 4. januar Moderne optimering mer enn å derivere!! Geir Dahl, Prof. matematikk, Matematisk inst. og Inst. for informatikk aksjer - eksempel på LP (lineær programmering) noen
DetaljerLP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2
LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 Vi tar siste runde om (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Skal oppsummere algoritmen. Se på noen detaljer. Noen kombinatorisk anvendelser
DetaljerKombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerRepetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon
Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 10: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. april 2008 Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Oppgave 7.23 Løs
DetaljerLP. Leksjon 4. Kapittel 4: effektivitet av simpleksmetoden
LP. Leksjon 4 Kapittel 4: effektivitet av simpleksmetoden hvordan måle effektivitet? verste tilfelle analyse, Klee-Minty kuben gjennomsnittsanalyse og i praksis 1 / 18 Status Hvor langt er vi kommet i
DetaljerLegg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.
Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:41) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 2
ECON360 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 30. august 0 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON360 Forelesning 30. august
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerForelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf
Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt
DetaljerVelkommen til plenumsregning for MAT1030. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Eksempel fra boka. Eksempel
Velkommen til plenumsregning for MAT1030 MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang
DetaljerBeregninger i ingeniørutdanningen
Beregninger i ingeniørutdanningen John Haugan, Høyskolen i Oslo og Akershus Knut Mørken, Universitetet i Oslo Dette notatet oppsummerer Knuts innlegg om hva vi mener med beregninger og Johns innlegg om
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17 22:38) Forelesning 29: Kompleksitetsteori
DetaljerForelesning 29: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)
DetaljerTelle i kor steg på 120 frå 120
Telle i kor steg på 120 frå 120 Erfaringer fra utprøving Erfaringene som er beskrevet i det følgende er gjort med lærere og elever som gjennomfører denne typen aktivitet for første gang. Det var fire erfarne
DetaljerMIDTSEMESTERPRØVE I FAG TMA4140 DISKRET MATEMATIKK Mandag 20. oktober 2003 Tid : INSTRUKSJONER:
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 MIDTSEMESTERPRØVE I FAG TMA4140 DISKRET MATEMATIKK Mandag 20. oktober 2003 Tid : 1515-1700 Tillatte hjelpemidler
DetaljerKan micro:biten vår brukes som en terning? Ja, det er faktisk ganske enkelt!
Microbit PXT: Terning Skrevet av: Geir Arne Hjelle Kurs: Microbit Språk: Norsk bokmål Introduksjon Kan micro:biten vår brukes som en terning? Ja, det er faktisk ganske enkelt! Steg 1: Vi rister løs Vi
DetaljerLP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden
LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden Dette emnet gir en innføring i lineær optimering og tilgrensende felt. hva er LP (lin.opt.=lin.programmering) mer generelt: matematisk optimering
DetaljerSLIK LØSER DU OPPGAVENE
SIRA er et registrert varemerke (T.M.) for tallspill. SIRA tallspillene er oppfunnet av en nordmann, og han har dermed copyright for alle disse tallspillene. SLIK LØSER DU OPPGAVENE SUDOKU I SUDOKU pusslespillet
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.
MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200
DetaljerPlenumsregning 1. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon: Algoritmer og pseudokode. Velkommen til plenumsregning for MAT1030
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo Plenumsregning 1 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT3 Diskret Matematikk Forelesning 2: Mer kombinatorikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 3. april 2 (Sist oppdatert: 2-4-3 4:3) Kapittel 9: Mer kombinatorikk MAT3 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 3: Ukeoppgaver fra kapittel 2 & 3 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 31. januar 2008 Oppgave 2.7 - Horners metode (a) 7216 8 : 7 8+2 58
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-02 14:21) Plenumsregning 1 MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk
DetaljerTallinjen FRA A TIL Å
Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerUndervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Kilde: www.clipart.com 1 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Statistikk, sannsynlighet og
DetaljerKengurukonkurransen 2015
Kengurukonkurransen 2015 «Et sprang inn i matematikken» Ecolier (4. 5. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for 11. gang i Norge. Dette heftet inneholder: Informasjon til læreren
DetaljerK A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo
K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
Detaljer2 Om statiske variable/konstanter og statiske metoder.
Litt om datastrukturer i Java Av Stein Gjessing, Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Innledning Dette notatet beskriver noe av det som foregår i primærlageret når et Javaprogram utføres.
DetaljerForelesning 30: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 30: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 30: Kompleksitetsteori 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19
DetaljerElevenes egenvurdring,
Elevenes egenvurdring, knyttet til arbeidet med TFO-1 (november 2014) Hva tenker du om din framføring av oppgavearbeidet? Hva var bra? Hva kan bli bedre? Jeg syns jeg hadde med mye bra detaljer. Fremføringen
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet Økt forståelse for matematikk ved bruk av programmering Sinusseminar 2019
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Økt forståelse for matematikk ved bruk av programmering Sinusseminar 2019 Henrik Hillestad Løvold Institutt for Informatikk, UiO Program 1. Hva er programmering?
DetaljerÅrsplan Matematikk Skoleåret 2015/2016
Årsplan Matematikk Skoleåret 2015/2016 Mål for faget Elevene elsker matematikk og gleder seg over hver time de skal ha i faget. Elevene skal kjenne tallsymbolene fra 0 til 20. Elevene skal beherske å skrive
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerTall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY)
Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Oslo, 16.-17.10.14 Astrid Bondø 19-Nov-15 Bygda Alvfjord Eksamen har i dag 5000 innbyggere. 2P 2014 Man regner med at innbyggertallet vil
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
DetaljerSannsynlighet for alle.
Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030
DetaljerKapittel 4: effektivitet av simpleksmetoden
LP. Leksjon 4 Kapittel 4: effektivitet av simpleksmetoden hvordan måle effektivitet? verste tilfelle analyse, Klee-Minty kuben gjennomsnittsanalyse og i praksis LP. Leksjon 4: #1 of 14 Status Hvor langt
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 9. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2009 nynorsk Namn: Gruppe: Informasjon Oppgåvesettet består av to delar der du skal svare på alle oppgåvene. Del 1 og del 2 blir delte ut samtidig, men
DetaljerProgramevaluering av bachelorprogram i informatikk-matematikkøkonomi
Programevaluering av bachelorprogram i informatikk-matematikkøkonomi Bachelorprogrammet i IMØ er et tverrfakultært program som har eksistert siden 2003. Studentene tar kurs på Institutt for informatikk,
DetaljerReale damer: Matematikk Matematisk tenkemåte
: Matematikk Kristina Rognlien Dahl institutt, Universitetet i Oslo 7. mars, 2014 1/17 Hvor brukes matematikk i virkeligheten? Bilde Singulærverdidekomposisjon Kryptering 2/17 Det brukes enda mer matematikk
DetaljerSkriftlig innlevering
2011 Skriftlig innlevering Spørre undersøkelse VG2 sosiologi Vi valgte temaet kantinebruk og ville finne ut hvem som handlet oftest i kantinen av første-, andre- og tredje klasse. Dette var en problem
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
Oppgave 1.1 MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 2: Ukeoppgaver fra kapittel 1 & 2 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. januar 2008 Modifiser algoritmen fra 1.2.1 slik at
DetaljerDAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans?
SETT 12 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Hvilket av følgende tall er delelig med 9? A) 309 B) 456 C) 696 D) 783 E) 939 2. To esker inneholder to røde og to hvite kuler hver. Vi tar en tilfeldig
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Skriv på standardform 1) 533 milliarder ) 0,000 533 b) Regn ut 1) 8 ) 3 3 c) I en klasse er det 10 elever. På en matematikkprøve fikk elevene karakterene
DetaljerDiscrete Optimization Methods in Maritime and Road-based Transportation
Discrete Optimization Methods in Maritime and Road-based Transportation Forskningsprosjekt med støtte fra Norges Forskningsråd Samarbeidspartnere Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Institutt
DetaljerOppgave: BOW Bowling. Regler for Bowling. norwegian. BOI 2015, dag 1. Tilgjengelig minne: 256 MB. 30.04.2015
Oppgave: BOW Bowling norwegian BOI 0, dag. Tilgjengelig minne: 6 MB. 30.04.0 Byteasar er glad i både bowling og statistikk. Han har skrevet ned resultatene sine fra noen av gangene han har spilt bowling.
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 25 29. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-29 00:28) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 2: Ukeoppgaver fra kapittel 1 & 2 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. januar 2008 Oppgave 1.1 Modifiser algoritmen fra 1.2.1 slik at
DetaljerNasjonal kvalitetsindikator: Bistand til å delta i arbeid og utdanning
Hele landet 2009 Registrering mangler.. 3,7. Hele landet 2009 Ja, mottar bistand 92,2 76,5 58 79,4 Hele landet 2009 Ja, mottar bistand, men udekket behov 4,3 6,6 14,7 6,4 Hele landet 2009 Nei, mottar ikke
DetaljerMAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09
MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 6: Grafer Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 6 1 / 31 Dagens plan:
DetaljerIntegrere beregninger på datamaskin gjennom hele bachelor-studiet? UiO er ledende
Integrere beregninger på datamaskin gjennom hele bachelor-studiet? UiO er ledende Mange realistiske spørsmål kan vi ikke svare på uten å bruke beregninger: Hva vil havnivået være om 30 år? Hvordan kan
DetaljerLP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer
LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,
DetaljerMatematisk julekalender for trinn, 2014
Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2014 Årets julekalender for 8.-10. trinn består av 9 enkeltstående oppgaver som kan løses uavhengig av hverandre. Alle oppgavene har flere svaralternativer, hvorav
DetaljerVåre favorittspill for matematikktimene
Realfagskonferansen 2014 et verksted for barnetrinnet Våre favorittspill for matematikktimene Gerd Åsta Bones og Mike Naylor Matematikksenteret Trondheim, Norway 9 2 4 6 7 8013 5 Najonalt Senter for Matematikk
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 30. april 2008 Oppsummering Mandag så vi på hvordan vi kan finne uttrykk og termer på infiks form,
DetaljerMatematisk julekalender for 5.-7. trinn, 2011
Matematisk julekalender for 5.-7. trinn, 2011 Årets julekalender for 5.-7. trinn består av 9 enkeltstående oppgaver som kan løses uavhengig av hverandre. Oppgavene 4, 6, 8 og 9 er delt i to nivåer slik
DetaljerKapittel 3: Litt om representasjon av tall
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 3: Litt om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 3: Litt om representasjon av tall 26. januar 2010 (Sist oppdatert:
DetaljerEneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014
Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet
DetaljerMP-treffet Mandag 7.desember 2015. Gjennomgang av spill. Av: Kristoffer Hegge
MP-treffet Mandag 7.desember 2015 Gjennomgang av spill Av: Kristoffer Hegge Meldesystem Spill 2: Øst/Nord-Syd I denne gjennomgangen brukes et naturlig meldesystem som baserer seg på 5-kort major, beste
DetaljerBrann i matteboken. Elevhefte Tall og regning
Elevhefte Til eleven. Du skal i en periode arbeide med fotball og matematikk. Først skal dere besøke VilVite, hvor dere får flere praktiske oppgaver som dere skal gjøre. Dere skal for eksempel: måle hastigheten
DetaljerForelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
DetaljerMAT1030 Forelesning 23
MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter
DetaljerSTK1100 våren 2017 Kombinatorikk
STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige
DetaljerANGREP DELTEMA: AVSLUTNINGER
ANGREP DELTEMA: AVSLUTNINGER AVSLUTINGER OPPVARMING Alder A, U19, U17, U15, U13 AVSLUTNING spillere: 4-16 - en spiller i midtsirkelen spiller en lang pasning i luften - hans lagkamerat må få kontroll over
DetaljerObligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16
Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
DetaljerElev ID: Elevspørreskjema. 8. årstrinn. Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo
Elev ID: Elevspørreskjema 8. årstrinn Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA, 2005 Veiledning
Detaljer2.3 Delelighetsregler
2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2016, forelesning 5 1 / 49
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 26: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 5. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 MAT1030 Diskret Matematikk 5.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret
DetaljerADDISJON FRA A TIL Å
ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger
DetaljerPong. Oversikt over prosjektet. Steg 1: En sprettende ball. Plan. Sjekkliste. Introduksjon
Pong Introduksjon Pong er et av de aller første dataspillene som ble laget, og det første dataspillet som ble en kommersiell suksess. Selve spillet er en forenklet variant av tennis hvor to spillere slår
DetaljerSnake Expert Scratch PDF
Snake Expert Scratch PDF Introduksjon En eller annen variant av Snake har eksistert på nesten alle personlige datamaskiner helt siden slutten av 1970-tallet. Ekstra populært ble spillet da det dukket opp
DetaljerKengurukonkurransen 2013
Kengurukonkurransen 2013 «Et sprang inn i matematikken» ECOLIER (4. 5. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2013 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for niende gang i Norge.
DetaljerHvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
DetaljerDet er frivillig å delta i spørreundersøkelsen, ingen skal vite hvem som svarer hva, og derfor skal du ikke skrive navnet ditt på skjemaet.
7 Vedlegg 4 Spørreskjema for elever - norskfaget Spørsmålene handler om forhold som er viktig for din læring. Det er ingen rette eller gale svar. Vi vil bare vite hvordan du opplever situasjonen på din
DetaljerRealfag. Invitasjon. Gyldendals realfagsdager 2015. 20. 21. april 2015 Gyldendalhuset, Oslo
Realfag Invitasjon Gyldendals realfagsdager 2015 20. 21. april 2015 Gyldendalhuset, Oslo Om foredragene mandag 20. april Boknytt Sigma-forfatterne Forfatterne presenterer nye Sigma R2 og Sigma S2. Vi vil
Detaljer