STK1000 Innføring i anvendt statistikk

Transkript

1 01. november 2018 STK1000 Innføring i anvendt statistikk Obligatorisk oppgave 2 av 2 GEO Innleveringsfrist Torsdag 15. november 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og scanner besvarelsen eller om du skriver løsningen direkte inn på datamaskin (for eksempel ved bruk av L A TEX). Besvarelsen skal leveres som én PDF-fil. Scannede ark må være godt lesbare. Besvarelsen skal inneholde navn, emne og oblignummer. Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige begrunnelser. Husk å inkludere alle relevante plott og figurer. Studenter som ikke får sin opprinnelige besvarelse godkjent, men som har gjort et reelt forsøk på å løse oppgavene, vil få én mulighet til å levere en revidert besvarelse. Samarbeid og alle slags hjelpemidler er tillatt, men den innleverte besvarelsen skal være skrevet av deg og reflektere din forståelse av stoffet. Er vi i tvil om du virkelig har forstått det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegjørelse. I oppgaver der du blir bedt om å programmere må du legge ved programkoden og levere den sammen med resten av besvarelsen. Det er viktig at programkoden du leverer inneholder et kjøreeksempel, slik at det er lett å se hvilket resultat programmet gir. Søknad om utsettelse av innleveringsfrist Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger å søke om utsettelse av innleveringsfristen, må du ta kontakt med studieadministrasjonen ved Matematisk institutt (e-post: studieinfo@math.uio.no) i god tid før innleveringsfristen. For å få adgang til avsluttende eksamen i dette emnet, må man bestå alle obligatoriske oppgaver i ett og samme semester. For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske oppgaver, se her: LYKKE TIL! 1

2 Oppgave 1 Et jordskjelv er den umiddelbare utløsningen av mekaniske spenninger i jordskorpen. Senteret av jordskjelvet kalles hyposenteret og når utløsingen av spenning skjer, dannes det bølger som beveger seg vekk fra hyposenteret og gjennom jorden. Disse bølgene treffer etterhvert målestasjoner der styrken til jordskjelvet blir målt. Den målte styrken i jordskjelvet angis med verdier etter Richters skala. Richters skala er logaritmisk oppbygd, og ett trinn opp på skalaen innebærer at energien i skjelvet øker 32 ganger. Skjelv under fem på Richters skala gjør liten skade. Skjelv mellom seks og syv gjør stor skade. Skjelv over syv på skalaen kan gi enorm skade. Datasettet vi skal bruke i denne oppgaven inneholder styrken til 713 jordskjelv i USA mellom 1980 og 1982 [2]. Datafilen kan leses inn i R på følgende måte: data <- " earthquakes <- read.table(data, header=true) Datafilen består av én linje for hver av de 713 jordskjelvene. I første kolonne er følgende variabel gitt: magnitude: Jordskjelvets styrke (Richters skala). I oppgaven ser vi nærmere på fordelingen til gjennomsnittet av tilfeldige utvalg fra datasettet. a) Plott et histogram av styrken til jordskjelvene. Vurder om styrken i jordskjelvene er tilnærmet normalfordelt. Hent først magnitude-variabelen ved magnitude <- earthquakes$magnitude Bruk deretter R-funksjonene hist(), qqnorm() og qqline(). b) Regn ut gjennomsnittlig størrelse og standardavvik av alle jordskjelvene i datasettet. Bruk R-funksjonene mean() og sd(). c) Trekk et tilfeldig utvalg av femti jordskjelv fra datasettet. Regn ut gjennomsnittlig størrelse x på skjelvene i utvalget og sammenlign med svaret i b). Bruk følgende R-kode til å trekke et tilfeldig utvalg fra datasettet: sample(magnitude, 50). d) Bruk R-koden under til å trekke hundre utvalg som i c) og regn ut gjennomsnittet x for hvert utvalg. Plott deretter et histogram av disse simulerte gjennomsnittene. Hva kan du si om fordelingen av x? Bruk følgende R-kode: meanvec <- rep(0, 100) for(i in 1:100) { sample.now <- sample(magnitude, 50) meanvec[i] <- mean(sample.now) } e) I denne deloppgaven bruker vi svarene fra b) som estimater av µ og σ. Bruk først sentralgrenseteoremet til å finne µ x og σ x. Beregn deretter det empiriske gjennomsnittet og standardavviket av de hundre simulerte gjennomsnittene. Bruk funksjonene mean(meanvec) og sd(meanvec) til å gjøre dette. Sammenlign de teoretiske og de empiriske verdiene. f) Gjenta oppgave d) og e) med både ti og hundre jordskjelv i hvert utvalg. Kommenter kort resultatet du får. g) Hva er sannsynligheten for at du trekker et utvalg med gjennomsnitt større enn 4.5? Regn ut dette for n = 10, 50, 100 og sammenlign. Bruk gjerne R-kommandoen pnorm(). 2

3 h) Med utgangspunkt i hva du nå har funnet ut om gjennomsnitt og standardavik til tilfeldige utvalg, forklar kort begrepene bias og varians av en observator. Oppgave 2 Ozon (O 3 ) er en gass man finner i atmosfæren. Ozongass oppstår i reaksjonen mellom vanlig oksygengass (O 2 ) og ultrafiolett stråling. Den høyeste konsentrasjonen av ozongass finnes i stratosfæren; det meste av UV-strålingen fra sola absorberes i ozonlaget. Ozon forekommer imidlertid også i mindre konsentrasjoner på bakkenivå. Her dannes gassen i en kjemisk reaksjon mellom nitrogenoksid (NO 2 ) og O 2. På grunn av sin oksiderende virkning, er ozongass skadelig for mennesker; stort inntak kan føre til redusert lungefunksjon og diverese luftveissykdommer. I denne oppgaven skal vi analysere ozonnivået i New York på syttitallet. Datasettet består av 111 målinger av ozonkonsentrasjon i tidsrommet mai - september 1973 [1]. Datafilen kan leses inn i R på følgende måte: data <- " newyork <- read.table(data,header=true) Datafilen består av én linje for hver av de 111 observasjonene fra sommeren Følgende variable er gitt i fire kolonner: Ozone: Gjennomsnittlig ozon-nivå (ppb). Temp: Gjennomsnittlig temperatur (Fahrenheit) Month: Indikator for måned. Day: Indikator for dag i måned. Oppgaven går ut på å gjøre tester og å lage konfidensintervaller. a) Gi en oppsummering av ozonnivået i New York 1973 med relevante tall og figurer. Vurder om det daglige ozonnivået er normalfordelt. Du henter ozonvariabelen i datasettet ved å skrive newyork$ozone i R. b) Lag et histogram av det logtransformerte ozonnivået. Vurder om dette er normalfordelt. Du kan definere det logtransformerte ozonnivået ved følgende R-kode: logoz <- log(newyork$ozone) c) Vi skal i denne oppgaven bruke data til å trekke slutninger om forventet ozonnivå i New York om sommeren. For å gjøre det skal vi regne ut konfidensintervaller ved t-prosedyre. Oppgi antagelsene som ligger til grunn for t-prosedyren. Forklar hvorfor vi bør bruke de logtransformerte dataene. Forklar også hvorfor vi bør bruke t-prosedyre og ikke z- prosedyre. d) Finn et 95%-konfidensintervall for forventet logtransformert ozonnivå ved funksjonen t.test(). Bruk deretter funksjonen exp() på øvre og nedre grense i log-konfidensintervallet til å finne et tilnærmet 95%-konfidensintervall for forventet ozonnivå i New York. e) Lag også 90%- og 99%-konfidensintervaller. Sammenlign disse med 95%-konfidensintervallet fra oppgave d). Hva endrer seg? Gi en intuitiv forklaring på forskjellen. Du kan bruke argumentet conf.level = <sett inn konfidensnivå> i t.test() for å endre konfidensnivået. 3

4 f) Er det forskjell på ozonnivået i juni og juli? Formuler nullhypotese og alternativ hypotese. Test med signifikansnivå α = 0.05, deretter med α = Konkluder. Logaritmen av ozonnivået i juni og juni kan defineres i R med følgende kode: logoz.juni <- logoz[newyork$month == 6] logoz.july <- logoz[newyork$month == 7] Test ved å bruke funksjonen t.test(logoz.juni, logoz.july) Oppgave 3 I visse avsetningsmiljøer kan sand, silt og leire avsettes i vekslende lag slik at det dannes en diskontinuerlig stratigrafi. I slike tilfeller vil det være nyttig å vite andelen sand, silt og leire i de ulike lagene. I denne oppgaven skal vi analysere leirinnholdet i 147 jordprofil-observasjoner fra regnskogen i det sørvestlige Kamerun [3]. Datafilen kan leses inn i R på følgende måte: data <- " cameroon <- read.table(data,header=true) Datafilen består av én linje for hver av de 147 observasjonene. Følgende variabler er gitt i to kolonner: clay1: Prosentandel leire i det øverste laget (0-10 cm). clay5: Prosentandel leire i det femte laget (40-50 cm). Oppgaven går ut på å tilpasse en lineær modell for leirinnholdet i de ulike lagene. a) Lag et spredningsplott med clay1 på x-aksen og clay5 på y-aksen. Sett navn på aksene, i tillegg til å gi plottet en passende tittel. Er det grunn til å tro at det er et lineært forhold mellom variablene på bakgrunn av plottet? Begrunn svaret. Bruk følgende R-kode: clay1 <- cameroon$clay1 clay5 <- cameroon$clay5 plot(clay1, clay5, xlim = c(10, 80), ylim = c(10, 90), xlab = "navn x-akse", ylab = "navn y-akse", main = "tittel") b) Lag en lineær modell med clay5 som responsvariabel. Tegn regresjonalinjen i spredningsplottet fra a). Bruk følgende R-kode: fit <- lm(clay5 ~ clay1) abline(fit) c) Hvilke antagelser ligger til grunn for en enkel lineær regresjonsmodell? Vurder om disse antagelsene er oppfyllt for den tilpassede modellen. Følgende R-kode kan være nyttig: res <- residuals(fit) plot(clay1, res) abline(h = 0) qqnorm(res) qqline(res) d) Bruk summary(fit) til å finne modellens skjæringspunkt og stigningstall. Ifølge modellen, hvor mye øker den forventede prosentandelen av leire i lag fem når prosentandelen av leire i lag en øker med 1 %? e) Summary()-utskriften til den lineære modellen viser at modellens stigningstall har en veldig lav p-verdi. Hvordan skal dette tolkes? Hva er nullhypotesen i denne sammenhengen? 4

5 f) Finn et 95%-konfidensintervall for stigningstallet i modellen. Gi en tolkning av resultatet. Bruk følgende R-kode: b1 <- summary(fit)$coefficients[2, 1] se.b1 <- summary(fit)$coefficients[2, 2] df <- fit$df.residual lower <- b1 + qt(0.05, df) * se.b1 upper <- b1 + qt(0.95, df) * se.b1 g) Plott modellens prediksjonsintervall og konfidensintervall for forventet respons. Forklar hvordan disse to intervallene skal tolkes. Forklar også hvorfor det ene intervallet er bredere enn det andre. Bruk følgende R-kode: plot(clay1, clay5, xlim = c(10, 80), ylim = c(10, 90), xlab = "navn x-akse", ylab = "navn y-akse", main = "tittel") abline(fit) xval <- seq(0, 100, by = 0.01) new <- data.frame(clay1 = xval) pred.int <- predict(fit, newdata = new, interval = "prediction") mean.int <- predict(fit, newdata = new, interval = "confidence") matlines(xval, cbind(pred.int[, 2], pred.int[, 3]), lty = 2, col = "steelblue") matlines(xval, cbind(mean.int[, 2], mean.int[, 3]), lty = 2, col = "tomato") h) Det tas en jordprofil fra et nytt sted i regnskogen i det sørøstlige Kamerun. Leirinnholdet i det øverste laget av denne profilen er 60%. Bruk plottet fra forrige oppgave til å lese av et 95%-prediksjonsintervall for innholdet i det femte laget på dette stedet. 5

6 Referanser [1] J. M. Chambers, W. S. Cleveland, B. Kleiner, and P. A. Tukey. Graphical Methods for Data Anlaysis. Duxbury Press, Belmont, CA: Wadsworth, [2] U.S.Geological Survey. U.s earthquake database. Tilgjengelig fra: usgs.gov/earthquakes/search/. [3] M. Yemefack. Modelling and monitoring soil and land use dynamics within shifting agricultural mosaic systems ITC Dissertation