CMOS billedsensorer ENERGIBÅND. Orienteringsstoff AO 03V 2.1

Transkript

1 NRGIBÅND Orienteringsstoff AO 03V 2.1

2 nergibånd Oppsplitting av energitilstander i krystallstruktur Atom (H) Molekyl Krystallstruktur Sentrifugal potensial ffektivt potensial Columb potensial a a a a Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.2

3 nergibånd nergitetthet 6 x ( ν) 8πhν c hν kt e ºK 4000 ºK 3000 ºK 2000 ºK λ [m] x 10-6 Synlig lys: 450 nm nm Planck: Atomene opptrer som harmoniske oscillatorer, hver oscillator kan absorbere eller emittere energi proporsjonalt med dens frekvens: hν (2.1) der ν er frekvens, h er Plancks konstant: x Js h h/2π x Js nergien til oscillatorene er kvantisert. n nhν der n er positive heltall. Kinetisk energi og moment p: cp λν p hν Der bølgelengen λ c/ν Innfører begrepet bølgetall k 2π/λ λ : h ω hω 2π p p -- h λ h k 2π hk (2.2) (2.3) Vanlig symbol for h: h Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.3

4 nergibånd lektronet i potensialbrønn ψ(x) ψ(x) 2 lektronet bundet til et ion ψ(x) 2 lektronets dualitet: Både partikkelnatur og bølgenatur. Bølgefunksjon, amplituden til materiefelt: Ψ(x) Sannsynlighet tetthetsfunksjon: Px ( ) Ψx ( ) Ψ( x) Ψx ( ) 2 I 3 dimensjoner: P(x) Ψ(x,y,z) 2 Bølgefunksjon for elektronet i en dynamisk tilstand: p m p ( x) p 2 2m [ p ( x) ] I kvantemekanikken gjelder Schrödingers ligning: h d2 Ψ m dx 2 + p ( x)ψ Ψ Sannsynliggjøres ved å se på ligningen for en stående bølge: d 2 ξ dx 2 + k 2 ξ 0 ξ( x)er amplituden k 2π λ (2.4) (2.5) (2.6) Setter inn bølgefunksjonen og bruker ligning (2.3) og (2.5): d Ψ dx 2 + 2m h 2 [ p ( x) ]Ψ 0 (2.7) som lett omformes til ligning (2.6). Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.4

5 nergibånd t fritt elektron uten påvirkning fra felt, dvs p (x) 0. Løser (2.6), dvs (2.7): h d2 Ψ m e dx 2 Ψ d 2 Ψ dx 2 2m Ψ h 2 0 d 2 Ψ dx 2 + k 2 0 Differensial-ligningen har løsningene: Ψ 1 ( x) C 1 e ikx Ψ 2 ( x) C 2 e ikx (2.8) t elektron beveger seg fritt i ledningsbåndet i en krystall. Bølgefunksjonen finnes ved å løse (2.7). Antar en uendelig krystall, og ser først bort ifra det periodiske potensialet. Fra (2.3) og (2.5): h 2 k m e (2.9) Sannsynligheten for å finne et fritt elektron er like stor over hele krystallet: Ψ( x) Ψ( x) Ψx ( ) k Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.5

6 nergibånd ndelig krystall (lineær) med lengde L Antall ioner: N ioner Avstanden mellom ionene: a LNa. Stående bølger: n(λ / 2)L (n er positivt heltall). k π nπ λ L nπ Na dn d Grunntilstand ved 0 ºK F max F max For nn: k maks (2.10) Høyeste besatte energinivå når elektronene fyller alle de laveste nivåene kalles Fermi energien, F. π -- a h 2 π 2 maks m e a 2 Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.6 dn d ksitert tilstand F max F max

7 nergibånd lektronet i periodisk struktur: Ψ( x) e ikx ux ( ) ux ( + a ) ux ( ) Bølgefunksjon (krystall, 8 ioner) Høyest nivå k er fremdeles elektronets bølgetall og hk blir midlere moment 4. nivå 2. nivå Lavest nivå u(x) Separat for hvert ion AO 03V 2.7 a Ref: Alonso - Finn

8 nergibånd Bragg-refleksjon: 2asinΘ nλ (2.1) Θ a Θ asinθ For Θ π/2: 2a 2a nλ n π k k 2πn n π -- 2a a (2.2) Θ π/2 a For k nær nπ/2 hindres elektronets bevegelse. Det betyr diskontinuitet i energien vs. bølgefunksjon, dvs energigap i båndet. Området -π/ π/2 til π/2 kalles 1. Brillouin sone Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.8

9 nergibånd Uniformt potensial nergibånd krystall 2. Brillouin sone 1. Brillouin sone. -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a. k -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a k.... k -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a k -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a Ref: Alonso - Finn / Kittel AO 03V 2.9

10 nergibånd nergigap og bølgetall er bestemmende for sannsynligheten for absorbsjon og emmitering av fotoner. Ved direkte båndgap: Transisjon for fotoner med ubetydelig k. Foton med g ωh (eller større) absorberes (moment ~ 0). Ved indirekte båndgap: Transisjonen involverer moment i tillegg. Krever mer totalenergi enn g ωh ωh g + hω, der Ω er frekvensen til et utsendt fonon. Krystallen tilføres varme. Ved høyere temperaturer kan fononer absorberes fra krystallen slik at nødvendig fotonenergi er ωh g - hω Direkte båndgap Indirekte båndgap Ledningsbånd Ledningsbånd Ω ω ω Valensbånd Valensbånd k k Ref: Kittel AO 03V 2.10

11 nergibånd Båndstrukturer for reelle krystaller : Indirekte båndgap GaAs: Direkte båndgap AO 03V 2.11

12 HALVLDR AO 03V 2.12

13 Halvledere Ledningsbånd T0 ºK T273 ºK Valensbånd C Ge r nergi-gap Materiale ev lektroner Diamant 5.33 lisium 1.14 Germanium 0.67 Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.13

14 Halvledere Lav temperatur Høy temperatur AO 03V 2.14

15 Halvledere Konsentrasjonen av frie ladningsbærere i intrinsik halvleder Ref: Grove AO 03V 2.15

16 Halvledere Tilsetting av fremmedatomer: Doping av halvlederen Donornivå... Akseptornivå Donoratom Akseptoratom As B AO 03V 2.16

17 Halvledere n-type p-type majoritetsbærere minoritetsbærere... minoritetsbærere majoritetsbærere AO 03V 2.17

18 Halvledere Fermi-energien Metall i grunntilstand, T0 ºK Antall elektroner < antall tilstander lektronene fyller opp tilstander til energinivået F Fermi-energien lektronene eksiteres til høyere energinivåer ved høyere temperatur. Ved romtemperatur: kt0.026v << F dn d F max F max Ref: Alonso - Finn AO 03V 2.18

19 Halvledere Fermi-Dirac statistikk: f ( ) ( 1 e f ( F) kt F ) f(): fordelingsfunksjon som angir sannsynligheten for at et energinivå er okkupert av et elektron. For Fermi-nivået er sannsynlighet for okkupasjon lik 1/2. Intrinsik P-type N-type c c c F i v F v v 1/2 1 f() 1/2 1 f() 1/2 1 f() Ref: Grove AO 03V 2.19

20 Halvledere Sannsynligheten for å finne et elektron ved energien : f ( ) ( 1 e F) kt + For e (- F)/kT > 1 og e (- F)/kT < 1 dvs. en energidifferanse (+/-) på noen få kt: a ) b ) ( f ( ) e F) kt > F ( F ) kt f ( ) 1 e < F (2.11) (2.12) ste ledd i b) ligning (2.12) representerer sannsynligheten for besettelse av hull ved energien. N C er tettheten av energitilstander på kanten av ledningsbåndet. og N V tettheten av energitilstander på kanten av valensbåndet. Ladningstettheten kan uttrykkes som: Symmetrisk formel: Intrinsik halvleder: np, F i N v ( e c i ) kt ( e i v ) kt N c N ln v N c ( c i ) + i v kt Bruker (2.14) og omskriver (2.13): 1 i -- ( 2 c + v ) 1 --kt N v ln ( 2 N c 2 c + v ) n i 2 ( n n i e F i ) kt ( p n i e i F ) kt pn N c N v e G kt (2.14) (2.15) (2.16) n ( N c e C F ) kt p ( N v e F V ) kt (2.13) Ref: Grove AO 03V 2.20

21 Halvledere Fermi-nivå som funksjon av temperatur og dopekonsentrasjon Ref: Grove AO 03V 2.21

22 Halvledere Ladningsnøytralitet ρ qp ( n + N D N A ) 0 impliserer at p n N A N D N-type P-type Majoritetsbærere: 2 n n n N D N A + p N D N i A n n 2 2 n n n n [ N D N A ] n i 0 Majoritetsbærere: 2 n p p N A N D + n N A N i D p p 2 2 p p p p [ N A N D ] n i 0 1 n n -- N 2 D N A ( N D N A ) n i (2.17) 1 p p -- N 2 A N D ( N A N D ) n i (2.19) n n N D N A for N D N A» n i p p N A N D for N A N D» n i Minoritetsbærere: Minoritetsbærere: 2 2 n p i n n i n n N D N A (2.18) 2 2 n n i n p i p p N A N D (2.20) AO 03V 2.22

23 Halvledere Konsentrasjon av majoritetsbærere i N-type halvleder som funksjon av temperatur AO 03V 2.23

24 Referanser: Alonso - Finn Fundamental University Physics, Volume III Marcelo Alonso, dward J. Finn Addison - Wesley Publishing Comany Grove Physics and Technology of Semiconductor Devices A.S. Grove John Wiley & sons Kittel Introduction to Solid State Physics Charles Kittel John Wiley & sons inc. AO 03V 2.24