Introduksjon til Hoare-logikk. og abstrakte typer. Kompendium nr 55 IN 217. Ole Christian Lingj rde. Universitetet i Oslo. Institutt for informatikk

Transkript

1 Introduksjon til Hoare-logikk og abstrakte typer Kompendium nr 55 IN 217 av Ole Christian Lingj rde Universitetet i Oslo Institutt for informatikk Januar 1997

2

3 Forord Dette kompendiet omtaler endel emner som er relevante for kurset IN217. S rlig i f rste kapittel er det lagt noe mer vekt p skillet mellom spr kdelen og tolkingsdelen av logikk enn det som er vanlig i IN217. Hensikten har blant annet v rt gj re det lettere forst hvordan en kan mekanisere logikk. Ved praktisk bruk av logikk kan det imidlertid v re hensiktsmessig identisere spr klige konstruksjoner med det vi nsker tolke dem som. Dette gjenspeiler seg i eksemplene i de vrige kapitler og i l reboka Veriable Programming av Ole-Johan Dahl (denne boka omtales heretter som Dahl). Forh pentlig er kompendiet egnet til repetisjon og selvstudium. Stoet som behandles i f rste kapittel bygger p boka Innf ring i matematisk logikk av Jens Erik Fenstad og Dag Normann, Forelesninger i logikk av Hermann Ruge Jervell, samt (Dahl). Stoet som behandles i de vrige kapitler er utelukkende basert p (Dahl). Ideen til kompendiet er for vrig hentet fra Kompendium IN215 av Jens M rkang J rgensen og undertegnede (1988). Utgaven du n holder i h nden er i det vesentlige uendret fra f rsteutgaven fra En stor takk g r til Ole-Johan Dahl og Asle Olufsen for ha lest gjennom kompendiet og funnet mange sm og store feil og mangler. Eventuelle gjenv rende feil og un yaktigheter er naturligvis ene og alene mitt ansvar. Dersom du har kommentarer til innholdet vil jeg gjerne h re om det ( ole@i.uio.no) slik at nye opptrykk kan bli bedre! Institutt for informatikk 10. januar 1997 Ole Christian Lingj rde iii

4

5 Innhold 1 Forkunnskaper Innledning Utsagnslogikk Spr ket Tolkingsregler Tautologier F rsteordens logikk Spr ket Tolkinger Sannhet og gyldighet Logisk konsekvens Bruk av bevissystemer Ikke-logiske aksiomer Flersortig logikk Bevissystemene ND og BPC Nyttige regneregler Stoppeproblemet (the halting problem) Ordninger 26 2 Hoare-logikk 31 v

6 2.1 Innledning Predikater og programtilstander Predikater som tilstandsmengder Predikater som funksjoner Bestanddelene i Hoare-logikk Hoare-setninger En presis tolkning En alternativ tolkning Bevissystem for Hoare-logikk Veldenerte uttrykk Bruk av predikater Regler for veldenerthet Strikt likhet og streng likhet Approksimasjoner Tolking av udenerte predikater i Hoare-setninger Aksiomer og slutningsregler Kommentarer til slutningsreglene Eksempler p bruk av slutningsregler Oppgaver Terminering Adaptering Eektfunksjoner 82 3 Abstrakte typer Innledning Abstrakt type Algebraisk spesikasjon av typer Syntaktisk representasjon av verdier 89

7 3.3.2 Syntaktisk representasjon av funksjoner En-entydighet Likhetsrelasjoner Teknikker for denere likhet TGI-denisjoner Veien videre 99

8 0

9 Kapittel 1 Forkunnskaper 1.1 Innledning Hensikten med dette kapittelet er gi en kort oversikt over noen begreper som kan gj re det lettere forst endel av stoet som presenteres i IN217. Vi snakker endel om logikk i IN217, men hva er n egentlig logikk? En forbinder det kanskje med formler, beviser, teoremer osv, og kanskje ogs med begreper som tolkinger, gyldighet og logisk konsekvens. Men mange har nok ikke helt klart for seg sammenhengen mellom disse begrepene. Dette er kanskje ikke s rart, for deler av logikk er veldig konkret, mens andre deler er mer abstrakt, og det er ingen opplagt sak hvordan disse delene forholder seg til hverandre. Den konkrete delen best r av det formelle spr ket og bevissystemene, mens den abstrakte delen omfatter begreper som tolkinger, gyldighet og sannhet. Hvis man begynner losofere p hva enskal mene med en tolking kan en fort havne p dypt vann. Da kan en fort st te p matematiske grunnlagsproblemer som f.eks. sp rsm let om eksistensen av uendelige objekter. Dette er imidlertid helt uinteressant iv r sammenheng vi skal alltid ta for gitt at f.eks. de naturlige tall eksisterer, slik at vi kan tolke en variabel i en formel som et naturlig tall n r vi m tte nske det. Felles for alle logikker er at de er bygget opp rundt et formelt spr k, dvs et spr k som er denert p en helt presis m te. Eksempler p formelle spr k som vi tidligere har st tt p er programmeringsspr k, mens eksempler p ikkeformelle spr k er naturlige spr k som norsk og spansk. Setninger i logikkspr k skal modellere logiske utsagn (p stander) som det gir mening snakke om sannhetsverdien til. 1

10 2 Forkunnskaper Generelt best r de logikkene vi skal se p av tre komponenter: Et formelt spr k. Tolkingsregler. En tolking T angir hvordan setninger i spr ket skal tolkes. Hvis s er en setning s er T (s) =sann eller T (s) =falsk, dvst tilordner en sannhetsverdi til alle setninger i spr ket. Tolkingsreglene sier hvilke egenskaper funksjonen T skal ha. Prinsipielt kan vi tenke oss to muligheter: 1. Tolkingsreglene spesiserer T fullstendig. Dvs det er bare n tolkning T som tilfredsstiller tolkingsreglene. Vi kan lett konstruere et slikt eksempel anta at det formelle spr ket bare inneholder setningene s 1,s 2,...,s n. F lgende (temmelig uinteressante) tolkingsregler spesiserer T fullstendig: T (s 1 ) = falsk T (s 2 ) = sann T (s 3 ) = falsk T (s n ) = sann. 2. Tolkingsregelen spesiserer T delvis. Dvs det er ere tolkinger som tilfredsstiller tolkingsreglene. Dette er det normale tilfellet som vi skal se. Vanligvis vil det v re slik at noen symboler i spr ket alltid skal tolkes p en fast, predenert m te, mens andre symboler kan tolkes mer fritt. Et bevissystem (beviskalkyle). La T v re mengden av tolkinger, dvs mengden av alle tolkefunksjoner T som tilfredsstiller tolkingsreglene. Det er nyttig skille mellom to typer setninger i det formelle spr ket: 1. Setninger som tolkes til sann av allet 2T 2. Alle andre setninger Vi vil ofte v re interessert i nne ut om en gitt setning er av type 1 eller type 2. Dette kan ofte v re vanskelig avgj re bare ved bruke tolkingsreglene. Problemet er at det kan v re mange (kanskje uendelig mange) tolkinger T, og vi blir aldri ferdig hvis vi skal brukehver av disse etter tur p den gitte setningen. Det er her bevissystemet kommer inn. Dette kan brukes til konstruere setninger som garantert er av type 1. Dersom vi klarer konstruere den gitte setningen med bevissystemet vet vi derfor at denne er av type 1. Vig rn over til se litt n rmere p to velkjente logikker: utsagnslogikk og f rsteordens logikk.

11 Utsagnslogikk Utsagnslogikk Spr ket Setninger i utsagnslogikk kalles utsagn. Et utsagn kan inneholde f lgende tegn: x,y,z,...(konstantsymboler) f og t (predenerte konstantsymboler) :(negasjonssymbolet) ^(konjunksjonssymbolet) _(disjunksjonssymbolet) )(implikasjonssymbolet) I tillegg kan det brukes parenteser. Symbolene :, ^, _ og ) kalles konnektiver. Ikke alle kombinasjoner av tegnene ovenfor kalles utsagn. Denisjonen av utsagn er som f lger: 1. x, y, z,... er utsagn. 2. f og t er utsagn. 3. Hvis A og B er utsagn s er (A), :A, A ^ B, A _ B og A ) B utsagn. Ingen andre symbolsekvenser enn disse er utsagn. I (Dahl) er det innf rt noen ekstra symboler som vi kan tenke p som forkortelser: A, B er forkortelse for (A ) B) ^ (B ) A) if A then B else C er forkortelse for (A ) B) ^ (:A ) C) Merk at, har lavere presedens enn noen av de andre operatorene, dvs et utsagn, skal oppfattes som (), (). (Dahl) innf rer ogs et symbol=sombetyr det samme som,, ogetsymbol 6= som er negasjonen. Disse skal ha h yere presedens enn alle andre operatorer. Det betyr f.eks. at :a = b ^ c skal oppfattes som :(a = b) ^ c, mens :a, b ^ c skal oppfattes som (:a), (b ^ c).

12 4 Forkunnskaper Tolkingsregler Forel pig er det ikke sagt noe om hva utsagn er ment representere. De er med andre ord bare sekvenser av symboler uten noen spesiell mening. Det skal vi n rette p. Vi lar Bool angi mengden av de to sannhetsverdiene sann og falsk. Disse to sannhetsverdiene har ingenting gj re med det formelle spr ket i utsagnslogikk denert ovenfor vi kan tenke p dem som virkelige sannhetsverdier. F.eks. er p standen det ns uendelig mange naturlige tall sann, mens p standen en student erikke en student falsk. Vi skal n angi hva det vil si tolke utsagn i utsagnslogikk. Noen av symbolene i spr ket skal alltid tolkes p n bestemt m te, mens andre skal kunne tolkes p ere m ter. Vi starter med si hvordan konstant-symbolene skal tolkes: Hvis x er et konstantsymbol og T er en tolking s skal T (x) =sann eller T (x) = falsk. Det er alts to mulige tolkinger av etkonstantsymbol. Alle andre symboler har bare n mulig tolking. F.eks. skal f lgende gjelde for de predenerte konstantsymbolene (T angir en vilk rlig tolking): T(f) =falsk T(t) =sann La oss g videre og se hvordan konnektivene skal tolkes. Det enkleste tilfellet er negasjonssymbolet: T(:A)= { falsk, sann, hvis T (A) = sann hvis T (A) = falsk Negasjonssymbolet snur alts sannhetsverdien til et utsagn i en tolking. Konjunksjonssymbolet tolkes slik: T(A ^ B) = { sann, falsk, hvis T (A) = sann og T (B) = sann ellers Slik kan en fortsette denere hvordan alle konnektivene skal tolkes. Legg merke til at tolkingen av f.eks. A ^ B er entydig gitt n r vi kjenner tolkingene av A og B. Konnektivene selv kan ikke tolkes p ere m ter. Det

13 Utsagnslogikk 5 betyr at T (A) erentydig gitt hvis A er et utsagn uten (ikke-predenerte) konstantsymboler. F.eks. har vi at T (t ^ f ) f) =sann i enhver tolking T. Et utsagn med ett konstantsymbol x har to mulige tolkinger avhengig av hvilken tolking vi gir x. Et utsagn med to konstantsymboler x og y har re mulige tolkinger avhengig av om vi tolker paret (x, y) som(sann,sann), (sann,falsk), (falsk,sann) eller (falsk,falsk). Generelt har et utsagn med n konstantsymboler ialt 2 n tolkinger. Dette betyr f.eks. at et utsagn U med 20 konstantsymboler har over en million tolkinger! Men i en hvilken som helst av disse tolkingene vil naturligvis T (U) = sann eller T (U) = falsk Tautologier De aller este utsagn vil v re sann i noen tolkinger og falsk i noen tolkinger. Det enkleste eksemplet p et slikt utsagn er x. Et mer komplisert eksempel er x ) y ^z ) y. Noen utsagn har derimot samme sannhetverdi i alle tolkinger. Hvis et utsagn A er sann i enhver tolking sier vi at A er en tautologi. Hvis A er falsk i enhver tolking s er naturligvis :A en tautologi. Fins det noen m te nne ut om et gitt utsagn er en tautologi eller ikke? Svaret er ja. Siden det bare er et endelig antall tolkinger og vi har oversikt over dem alle, kan vi bare pr ve hver enkelt av dem og sjekke hver gang om utsagnet f r sannhetsverdien sann. Mer presist setter vi inn en sannhetsverdi for hvert konstantsymbol, og bruker tolkingsreglene ovenfor til nne sannhetsverdien til hele utsagnet. En systematisk m te gj re dette p er sette opp en s kalt sannhetsverditabell, f.eks. x y :x :x _ y t t f t t f f f f t t t f f t t Her setter en inn sannhetsverdi-symbolene t og f i alle mulige kombinasjoner for konstantsymbolene a og b, og nner tolkingen i hvert enkelt tilfelle. Tolkingen av de predenerte konstantsymbolene i h yre kolonne viser tolkingen av hele utsagnet i hvert av tilfellene. Legg merke til at ikke alle elementene i h yre kolonne er t. Dette viser at tolkingen av utsagnet ikke alltid er sann, og utsagnet :x _ y er derfor ingen tautologi. Sannhetsverditabellen

14 6 Forkunnskaper x y x ) y :x :x _ y ((x ) y) ) (:x _ y) t t t f t t t f f f f t f t t t t t f f t t t t viser p sin side at (x ) y) ) (:x _ y) er en tautologi. 1.3 F rsteordens logikk Spr ket Lovlige setninger i f rsteordens logikk kalles formler (ogs kalt utsagn. Vi velger brukeordetformel for skille dem fra utsagnslogiske utsagn). Hvilke tegn som skal f lov til forekomme i en formel vil variere. F lgende tegn er imidlertid alltid med i spr ket: x,y,z,...(variabelsymboler) :, ^, _, ) (konnektiver) 8(allkvantor-symbolet) 9(eksistenskvantor-symbolet) Dessuten tillates parenteser og komma. Legg merke til at det er uendelig mange tegn i spr ket, siden vi alltid kan innf re nye variabelsymboler etter behov. Vi kan kalle disse variabelsymbolene hva vi vil, bare det ikke oppst r noen navnekonikt med andre tegn i spr ket. Det er s ledes ingenting i veien for innf re variabelsymboler bestefar og x 3.Ved behovkan en utvide spr ket med ett eller ere symboler for funksjoner Avhengig av hvilke slike symboler som er med i spr ket, f r vi ulike formelle systemer. Hvert av disse systemene vil v re en f rsteordens logikk, s i realiteten har vi uendelig mange f rsteordens logikker. Vi skal se eksempler p noen av disse senere i kapittelet. Det er vanlig skille mellom tre typer symboler for funksjoner, avhengig av hva slags funksjoner de skal f lov til tolkes som. Disse kalles henholdvis

15 F rsteordens logikk 7 konstantsymboler, relasjonssymboler (ogs kalt predikatsymboler) og funksjonssymboler. Detsomikke framg r av listen over, men som ogs er en del av symbol-denisjonen, er at hvert relasjonssymbol R har et antall argumentplasser, antarg(r) 0. hvert funksjonssymbol f har et antall argumentplasser, antarg(f) 0. Antall argumentplasser til et funksjonssymbol kalles gjerne ariteten til symbolet. Denisjonen av term er som f lger: 1. Variabelsymboler og konstantsymboler er termer. 2. Hvis f er et funksjonssymbol med n argumentplasser og t 1,...,t n er termer, s er f(t 1,...,t n ) en term. Her er den presise denisjonen av formel: 1. Hvis R er et relasjonssymbol med m argumentplasser og t 1,...,t m er termer, s er R(t 1,...,t m ) en formel. 2. Hvis A og B er formler s er (A), :A, A ^ B, A _ B og A ) B formler. 3. Hvis A er en formel og x en variabel, s er 8x A og 9x A formler. Ingen andre symbolsekvenser enn disse er formler. Forskjellen mellom termer og formler er, som vi snart skal se, at formler alltid skal tolkes som sannhetsverdier, mens termer kan ha helt andre tolkinger. Eksempel 1.1 Vi bruker denisjonene til vise at 9x R(x, y) ) V er en formel, hvor R er et relasjonssymbol med to argumentplasser og V er et relasjonssymbol med null argumentplasser: x og y er termer Dermed er R(x, y) en formel V er en formel Dermed er R(x, y) ) V en formel Dermed er 9x R(x, y) ) V en formel

16 8 Forkunnskaper 2 F rsteordens logikkene i IN217 I IN217 skal vi alltid anta at spr ket i f rsteordens logikk er utvidet med f lgende symboler:,,=,6= (relasjonssymboler med 2 argumentplasser) ifthenelse (funksjonssymbol med 3 argumentplasser) Argumentene til,,=og6= m enten begge to v re termer eller begge to formler. F rste argument til if skal v re en formel, mens de to siste argumentene enten begge er termer eller begge er formler. Relasjonssymbolet, har lavere presedens enn alle andre symboler, mens = og 6= har h yere presedens enn alle andre symboler. pne og lukkede formler La Q angi en av kvantorene 8 eller 9. Skopet til Qx i formelen Qx A er delformelen A. Med en forekomst av en variabel i formelen Qx A menes en forekomst av variabelen i A (alts i skopet til Qx). Det betyr f.eks. at 8x y = z har forekomster av y og z (men ikke x), mens 8y x = y har forekomster av x og y. En variabelforekomst x sies v re fri hvis det ikke ernoenkvantor Q slik at x er i skopet til Qx. Det betyr at det er en fri forekomst av x i(8y 0 < y) ^ x 6= 0, mens formelen 8x x = x ikke har noen fri forekomster av x. I (Dahl) innf res det en funksjon V som gir de frie variable til et uttrykk. Dvs hvis e er et uttrykk s er V[e] mengden av frie variable i e. Se (Dahl, side 12) for en induktiv denisjon av denne syntaktiske funksjonen (operatoren). En term eller formel uten frie variable kalles lukket. En term eller formel som ikke erlukket, er pen. Eksempel 1.2 La i det f lgende a, b v re konstantsymboler, x, y, z variabelsymboler, f et funksjonssymbol (med to argumentplasser) og R et relasjonssymbol (med to argumentplasser). Her er noen eksempler p termer: 1. a er lukket 2. x er pen 3. f(x, y) er pen

17 F rsteordens logikk 9 4. f(a, b) erlukket 5. f(x, f(f(a, y),b)) er pen F lgende er eksempler p formler: 1. R(a, b) erlukket 2. R(x, y) eren pen 3. 8x R(x, f(a, b)) er lukket 4. 9x 8y R(f(x, y),z)er pen 5. 8x R(a, b) er lukket 2 Merk: Vi har lov til skrive 8x A selv om x ikke forekommer i A Tolkinger P samme m te som i utsagnslogikk lar vi Bool angi mengden av deto sannhetsverdiene sann og falsk. Men istedet for stoppe der tenker vi oss at det til hver tolking T er assosiert en mengde U (ofte kalt mengdeunivers eller bare univers). Elementene i denne mengden har (p samme m te som elementene i Bool) ingenting gj re med det formelle spr ket i f rsteordens logikk. Derimot skal vi tenke p dem som virkelige ting, f.eks. personer, biler, programmer eller tall. Hva viskal tenke p elementene som, vil avhenge av situasjonen. En kan sp rre seg hva som er hensikten med innf re en s upresist denert mengde som U i en diskusjon om formell logikk. Svaret p dette er at vi nsker kunne tolke symbolstrengene i spr ket som virkelige ting. Ved etablere en korrespondanse mellom symbolstrenger og ting i virkeligheten, kan vi resonnere og pr ve uthypoteser om virkeligheten ved jobbe p symbolstrengene (det er ikke sikkert personer hadde likt at vi hadde testet ut hypoteser direkte p dem!). Vi skal n se hva det vil si tolke en formel i f rsteordens logikk. Noen av symbolene i spr ket skal (som i utsagnslogikk) alltid tolkes p n bestemt m te, mens andre skal kunne tolkes p mange forskjellige m ter. Formelen som helhet tolkes som enten sann eller falsk. Vi ser f rst p konstantsymbolene:

18 10 Forkunnskaper et konstantsymbol skal tolkes som et (fast) element i U Hvis U er mengden av naturlige tall og a er et konstantsymbol, kan vi alts i n tolking T 1 ha at T 1 (a) = 1, mens vi i en annen tolking T 2 kan ha T 2 (a) = 845. N r vi har bestemt oss for en tolking har vi alts bestemt hva hvert konstantsymbol skal tolkes som. For variabelsymboler er situasjonen en annen. I en gitt tolking skal et variabelsymbol kunne angi et vilk rlig element iu: et variabelsymbol tolkes som en variabel som tar vilk rlige verdier i U Hvis U er mengden av de naturlige tall og x er et variabelsymbol, s kan alts x i en gitt tolking angi hvilket som helst av de naturlige tall. Det betyr at x =5verken er sant eller galt i en tolking 1.Hvisa er et konstantsymbol vil derimot a = 5 i en tolking enten v re sant (hvis a svarer til 5 i denne tolkingen) eller galt (hvis a ikke svarer til 5 i denne tolkingen). Konnektivene skal p samme m te som i utsagnslogikk tolkes p en helt bestemt m te, bestemt av sannhetsverditabellene for konnektivene. Dvs hvis T er en vilk rlig tolkning, s gjelder: T(:A)= { T(A ^ B) = osv. falsk, sann, { sann, falsk, hvis T (A) = sann hvis T (A) = falsk hvis T (A) = sann og T (B) = sann ellers Den viktigste forskjellen mellom utsagnslogikk og f rsteordens logikk er at en i f rsteordens logikk innf rer kvantorsymboler. P samme m te som konnektivene skal de tolkes p en helt bestemt m te. Hvis T er en tolking og A en formel (som kanskje inneholder x) s skal T(8x A) = T(9x A) = { { sann, falsk, sann, falsk, hvis T (A x k u )=sann for alle u 2 U ellers hvis T (A x k u )=sann for minst n u 2 U ellers 1 Strengt tatt har derfor ikke formelen x = 5 noen tolking, siden vi har forlangt at formler skal tolkes som sann eller falsk. Vi slipper dette problemet ved bare tolke lukkede formler.

19 F rsteordens logikk 11 hvor k u er et konstantsymbol som skal tolkes som u, dvst (k u )=u. Denisjonene over sier at 8 skal tolkes som for alle (elementer i U), og 9 skal tolkes som det ns (element i U). Det gjenst r forklare hvordan relasjonssymboler og funksjonssymboler kan tolkes. Litt forenklet skal de tolkes som henholdsvis virkelige relasjoner (boolske funksjoner) og virkelige funksjoner. et relasjonssymbol med n argumentplasser skal tolkes som en funksjon U U! Bool Et relasjonssymbol med 0 argumentplasser skal tolkes som en av konstantfunksjonene sann eller falsk, og kan f lgelig sammenliknes med konstantsymboler i utsagnslogikk. et funksjonssymbol med n argumentplasser skal tolkes som en funksjon U U! U Et konstantsymbol i f rsteordens logikk er ikke annet en et funksjonssymbol med 0 argumentplasser, siden begge deler skal tolkes som et (fast) element iu. F rsteordens logikkene i IN217 Symbolene,, =,6= og if fi skal tolkes slik: T(A, B) =T (A = B) T(A = B) = T(A 6= B) = { { sann, falsk, sann, falsk, T(if A then B else C ) = hvis T (A) = T (B) hvis T (A) 6= T (B) hvis T (A) 6= T (B) hvis T (A) = T (B) { T (B), hvis T (A) =sann T (C), hvis T (A) =falsk Sannhet og gyldighet En lukket formel vil i en tolking v re enten sann eller falsk. Visieraten lukket formel er gyldig hvis den er sann i alle tolkinger. Hvis A er en lukket formel som er falsk i alle tolkinger, er naturligvis :A gyldig.

20 12 Forkunnskaper Gyldighet kan ses p som en videref ring av begrepet tautologi i utsagnslogikk. Men det er en viktig forskjell: n har vi med universet U og kan ha uendelig mange tolkinger. Variabelsymboler tolkes fritt innenfor U, og U er et uspesisert univers som i prinsippet kan representere hva som helst (personer, tr r, tall,...). Hvordan kan vi da nne ut om en formel er gyldig eller ikke? I utsagnslogikken brukte vi sannhetsverditabeller for avgj re tautologier, men denne ideen er ubrukelig for avgj re gyldighet vi trenger n rad i tabellen for hver tolking, og hvis det er uendelig mange tolkinger er det umulig skrive opp tabellen. Vi skal se p en mer lovende l sning lenger ned. For spesielt interesserte Slik vi har denert tolking i dette kompendiet, skal formler alltid tolkes som sann eller falsk. Siden det ikke er rimelig si at en formel med frie variable er sann eller falsk i en tolking (de frie variable representerer ikke noe bestemt individ i en tolking), har vi ingen tolking av pne formler. Hvis A derimot er en lukket formel, og T er en tolking, s er alltid T (A) = sann eller T (A) =falsk. Det er ikke noeiveien for utvide denisjonen av tolking slik at ogs pne formler har tolkinger. Da er det vanlig skille mellom tre niv er (mot tidligere to): sannhet, gyldighet og logisk gyldighet. La T v re en tolking. Sannhet er akkurat som f r, dvs en lukket formel er sann eller falsk i T.EnformelA med frie variable x er gyldig i T hvis og bare hvis 8x A er sann i T. A er logisk gyldig dersom A er gyldig i alle tolkinger. Det nye begrepet er alts gyldighet i en gitt tolking Logisk konsekvens Logisk konsekvens kan ses p som en generalisering av gyldighet.laγ angi en vilk rlig samling formler. En formel P er en logisk konsekvens av formlene i Γ dersom P alltid er sann n r formlene i Γ er sanne. Sagt p en annen m te: hvis vi ser p de tolkingene hvor formlene i Γ er sanne, s skal P v re sann i alle disse. Legg merke til at i det spesialtilfellet hvor Γ er tom s er logisk konsekvens det samme som gyldighet. P samme m te som med gyldighet er det naturlig sp rre om det ns noen m te avgj re om en formel er logisk konsekvens av Γ eller ikke. Metoden vi skal se p er den samme som for gyldighet, og er hovedtema for neste avsnitt.

21 F rsteordens logikk Bruk av bevissystemer Et bevissystem er et (syntaktisk) regelverk som kan brukes til nne gyldige formler og logiske konsekvenser. Et bevissystem best r av to ting: Visse formler som (intuitivt) er gyldige eller som er logiske konsekvenser av hverandre (logiske aksiomer). Slutningsregler som (intuitivt) leder fra logiske konsekvenser til logiske konsekvenser. Ved bruke de logiske aksiomene som premisser i slutningsreglene f r vi laget nye logiske konsekvenser. Etterp kan vi bruke disse igjen til lage enda ere logiske konsekvenser. Hvis vi p denne m ten klarer vise at P er en logisk konsekvens av Γ, s sier vi at P er bevisbar fra Γ. Hvis Γ er tom sier vi bare at P er bevisbar (evt at P er et teorem). Da er det klart at P er gyldig. Vi kan n gi den presise denisjonen av bevisbarhet: Alle logiske aksiomer er bevisbare. Hvis premissene i en av slutningsreglene er bevisbare, s er konklusjonen ogs bevisbar. Som forkortelse for utsagnet P er bevisbar fra Γ bruker vi symbolet Γ j- P. Symbolet j- er det s kalte sekventtegnet. Eksempel 1.3 Det er selvinnlysende at P er en logisk konsekvens av P.For i enhver tolking hvor P er sann, s m P v re sann. Dermed kan et bevissystem bruke f lgende som logisk aksiom: Γ j- P n r Γ inneholder formelen P Hvis P og Q er to vilk rlige formler, s er det ogs klart at P er en logisk konsekvens av Q, :Q. Kravet er jo at P er sann i enhver tolking hvor antagelsene Q og :Q begge er sanne men dette er trivielt oppfylt, siden det ikke ns noen slik tolking. Dermed kan et bevissystem godt bruke dette som et logisk aksiom: Γ j- P n r Γ inneholder Q og :Q 2

22 14 Forkunnskaper Eksempel 1.4 Hvis P er logisk konsekvens av Γ 1 og Q er logisk konsekvens av Γ 2 s er det innlysende at P ^ Q m v re en logisk konsekvens av Γ 1, Γ 2 (alts unionen av alle antagelsene i Γ 1 og Γ 2 ). Dermed kan f lgende slutningsregel brukes: Γ 1 j- P Γ 2 j- Q Γ 1, Γ 2 j- P ^ Q I situasjoner som dette, hvor antagelsen til konklusjonen rett og slett er unionen av antagelsene til premissene, pleier man ikke skrive opp antagelsene i slutningsregelen. En skriver da istedet (og underforst r at konklusjonen arver antagelsene fra premissene): 2 j- P j- Q j- P ^ Q Slik sekventtegnet er denert ovenfor vil en formel P alltid v re gyldig hvis vi kan vise j- P. Det motsatte er imidlertidikke sikkert. Det kan godt tenkes at en formel Q er gyldig, men at ikke Q er bevisbar innenfor bevissystemet vi har satt opp. Is fall kan vi pr ve utvide bevissystemet med nye slutningsregler eller logiske aksiomer, slik at Q kan bevises. Vi sier at et bevissystem er komplett dersom alle gyldige utsagn (som kan formuleres i formelspr ket) har et bevis. Kompletthet er en nyttig egenskap ved et bevissystem. Anta vi har gitt et utsagn og nsker sjekke om det er gyldig eller ikke ved hjelp av et ikke-komplett bevissystem. Hvis bevissystemet nner et bevis er det greit. Da er utsagnet gyldig. Hvis det ikke nner et bevis vil vi ikke vite om det skyldes at utsagnet ikke er gyldig, eller om det skyldes at systemet ikke er komplett. Eksempel 1.5 Bevissystemene ND og BPC, utvidet med SC, (se avsnitt 1.3.8) er komplette. Beviset for at det er slik ligger utenfor pensum i IN217. Men det er en viktig observasjon at det i det hele tatt eksisterer komplette bevissystemer for f rsteordens logikk. 2

23 F rsteordens logikk 15 Praktiske krav til bevissystemer Som diskutert ovenfor er det et absolutt krav til slutningsreglene i et bevissystem at konklusjonen holder n r premissene holder. Det er nettopp derfor vi kaller dem slutningsregler: de er syntaktiske regler som skal uttrykke v r intuitive forst else av logiske slutninger. Avhengig av hvilke egenskaper vi vil at bevissystemet skal ha, kan vi ogs legge andre krav p slutningsreglene. Her er noen eksempler p egenskaper som kan v re nyttige ved et bevissystem: Bevisstegene oppfattes av mennesker som naturlige slutninger Bevisene er korte Bevisene er lette lage mekanisk Bevissystemet ND (= Naturlig Deduksjon) er konstruert for oppfylle den f rste egenskapen. Betrakt f.eks. ND-regelen fe: fe : P j- f j- P Regelen svarer til vise noe ved motsigelse hvis P gir en motsigelse (alts f), s m :P v re sann. ND er derimot mindre egnet til lage beviser mekanisk. Da b r reglene v re slik at en kan ta utgangspunkt i utsagnet som skal bevises og ved rentmekaniske (syntaktiske) regler nne fram til et bevis (hvis det ns). Hvilkekrav som da b r settes til slutningsreglene nner du i (Dahl, side 24). Hvis alle slutningsreglene oppfyller disse kravene, er det forholdsvis lett lage en algoritme som anvender reglene til bevise teoremer. Dessverre er det ikke mulig lage regler for eksistenskvantorer (i teoremdelen) og allkvantorer (i antagelsesdelen) som oppfyller alle disse kravene. Behandlingen av likhetsrelasjonen = gir tilsvarende problemer. Dette har teoretiske rsaker. P den annen side gir teorien ogs hint omhvordan disse termene b r behandles ved beviskonstruksjon. Dette er diskutert i (Dahl, side 28). Bevissystemet BPC (= Backward Proof Construction) er konstruert med tanke p kunne mekanisere beviskonstruksjonen. Systemet har regler for behandle konnektiver og kvantorer b de p antagelsessiden og teoremsiden av sekventtegnet Ikke-logiske aksiomer F rsteordens logikk er et verkt y som kan brukes i mange sammenhenger. N r en har spesielle anvendelser i sikte, er det ofte slik at det er visse antagelser

24 16 Forkunnskaper Γ 0 som en nsker alltid skal gjelde. N r en jobber med tallteori er det f.eks. naturlig oppfatte x<yog y>xsom ekvivalente, dvs vi nsker en antagelse 8x 8y x<y, y>x. Istedet for skrive opp disse antagelsene i hver eneste sekvent i bevisene v re (alts Γ 0 j- )s kan vi si at de skal v re ikke-logiske aksiomer. Det er det samme som si at de alle er bevisbare (de skal med andre ord f kunne opptre som bladnoder i bevistr r, p lik linje med logiske aksiomer). N r en har ikke-logiske aksiomer, m denisjonen av bevisbarhet endres til: Alle aksiomer (logiske og ikke-logiske) er bevisbare. Hvis premissene i en av slutningsreglene er bevisbare, s er konklusjonen ogs bevisbar. Mens vi f r m tte skrive Γ 0 j- P n r vi mente P har et bevis fra Γ 0, s kan vi alts n si at Γ 0 skal v re ikke-logiske aksiomer og istedet skrive j- P. Eksempel 1.6 Anta vi har to relasjonssymboler F og B (begge med to argumentplasser) i spr ketsomvialltid nsker tenke p som henholdvis forelder og barn. Da kan vi innf re f lgende ikke-logiske aksiomer: 8x 8y F (x, y) ) B(y, x) 8x 8y B(x, y) ) F (y, x) Hvis vi har to konstantsymboler Jon og Kari s vil vi da (f.eks. i BPC) kunne vise F (Jon,Kari) j- B(Kari,Jon). Hvis vi ikke hadde hatt de ikke-logiske aksiomene ovenfor, m tte vi istedet ha skrevet 2 8x 8y F (x, y) ) B(y, x),f(jon,kari) j- B(Kari,Jon) Uten ikke-logiske aksiomer visste vi at formler som hadde bevis var sanne i enhver tolking. Med ikke-logiske aksiomer kan vi ikke lenger si dette. Noen av formlene vil naturligvis v re sanne i enhver tolking det svarer til at bevisene ikke bruker noen av deikke-logiske aksiomene. Men de formlene som bevises ved hjelp av Γ 0 er ikke n dvendigvis sanne i alle tolkinger. Derimot vet vi at de er logiske konsekvenser av Γ 0 alts at de er sanne i enhver tolking hvor Γ 0 er sann. Generelt har vi derfor at formler som har bevis helt sikkert er sanne i noen tolkinger nemlig de hvor aksiomene er sanne. Vi kan tenke p innf ring av ikke-logiske aksiomer som en m te legge krav p tolkingene. N r vi innf rer Γ 0 som ikke-logisk aksiom s sier vi p en m te : n skal

25 F rsteordens logikk 17 vi bare se p de tolkingene hvor Γ 0 er sann, og se p hvilke formler som er sanne i ihvertfall disse tolkingene. Generelt vil dette v re ere formler enn de som er sanne i alle tolkinger, s innf ring av ikke-logiske aksiomer gj r ere formler bevisbare. Eksempel 1.7 Anta at vi har en f rsteordens logikk med relasjonssymbolet R (hvor R har to argumentplasser) og et bevissystem (f.eks. BPC+SC). Her er noen mulige tolkinger av universet U og relasjonen R: 1. U : de naturlige tall, R(x, y) :x er mindre enn y. 2. U : de naturlige tall, R(x, y) :x er mindre enn eller lik y. 3. U : studentene ved informatikk, R(x, y) :x tar samme kurser som y. La oss se hva som skjer n r vi innf rer det ikke-logiske aksiomet A1. 8x R(x, x) Den f rste av tolkingene faller n ut, siden ingen naturlige tall er mindre enn seg selv. Derimot er alle tall mindre enn eller lik seg selv, s tolking 2 er fortsatt mulig. Tolking 3 er heller ikke i strid med A1. Vi innf rer n et ikke-logisk aksiom til: A2. 8x 8y R(x, y) ) R(y, x) N faller ogs tolking 2 ut, for vi har f.eks. at 3 5ersant, mens 5 3er galt. Tolking 3 er derimot ikke i strid med A2. 2 Hvis vi ville kunne vi i eksemplet over fortsette legge til nye aksiomer for f ringet inn akkurat den tolkingen vi var ute etter. Da ville vi klare bevise ere og ere ting som gjelder i akkurat denne tolkingen. Vi f r med andre ord et sterkere bevissystem men samtidig ogs et mer spesialisert et, som viser sanne formler i en bestemt tolking. Ikke-logiske aksiomer kan brukes for sinoeomhvordan konstantsymboler, relasjonssymboler og funksjonssymboler skal tolkes. Hvis vi f.eks. nsker ha med likhetsrelasjonen = i spr ket, s kan vi bruke aksiomer til si at denne relasjonen skal oppf re seg som vanlig likhet, dvs at den skal v re reeksiv, symmetrisk og transitiv:

26 18 Forkunnskaper E1. 8x x = x E2. 8x 8y x = y ) y = x E3. 8x 8y 8z x = y ^ y = z ) x = z Hvis en vil kan en erstatte E2 og E3 ovenfor med f lgende aksiomskjema, som uttrykker at en kan substituere like for like: E4. 8x 8y P α y ^ x = y ) P α x (kongruens) Det er lett bevise E2 og E3 i ND/BPC n r en har E4. Ofte velger en istedet gi egne slutningsregler for likhet. F.eks. erstatter reglene TEQ og AEQ (se avsnitt 1.3.8) aksiomskjemaet E4. for si noe om selve universet U. Anta likhetsrelasjonen er fullt ut denert (enten ved aksiomer eller ved slutningsregler). Da sier f lgende aksiomer tilsammen at U skal ha to elementer (som f.eks. utelukker at U tolkes som mengden av de naturlige tall): A1. 8x 9y :(x = y) A2. 9x 9y 8z z = x _ z = y A1 sier at det ihvertfall er to elementer i U. A2 sier at det ihvertfall ikke er mer enn to elementer i U. I mange tilfeller brukes ikke-logiske aksiomer b de for sinoeomu og om relasjonssymboler, funksjonssymboler og konstantsymboler. Eksempler p dette er aksiomsystemer som gj r det mulig vise mange sanne formler i tallteori. Eksempel 1.8 Betrakt det formelle systemet som best r av f rsteordens logikk med likhet, samt f lgende konstantsymboler, relasjonssymboler og funksjonssymboler: 0 (et konstantsymbol) tallet 0 S (en funksjon U! U) etterf lger < (en relasjon U U! BOOL) mindre enn + (en funksjon U U! U) addisjon (en funksjon U U! U) multiplikasjon Den nskede eller intenderte tolkingen av symbolene ovenfor er angitt i kursiv. Den intenderte tolkingen av f.eks. S0 blir da etterf lgeren til tallet 0, alts tallet 1. Mens den intenderte tolkingen av S0+SS0 blir regnestykket 1+2. Den intenderte tolkingen av universet U er de naturlige tall, inkludert 0. Vi kan pr ve nne aksiomer som fanger inn akkurat denne tolkingen. Disse aksiomene m uttrykke ting som er karakteristisk nettopp for tall, addisjon, multiplikasjon osv. Ett mulig valg av aksiomer er

27 F rsteordens logikk xy (Sx = Sy ) x = y) 2. 8x (:x =0) (9y x = Sy)) 3. 8x :0 =Sx 4. 8x :x <0 5. 8xy (x <Sy) (x = y _ x<y)) 6. 8x x +0=x 7. 8xy x + Sy = S(x + y) 8. 8x x 0=0 9. 8xy x (Sy)=(xy)+x Dette systemet kalles Robinsons system for tallteori eller Robinson aritmetikk. G gjennom listen av aksiomer og overbevis deg selv (uformelt!) om at ingen av dem strider mot den intenderte tolkingen. 2 I eksemplet ovenfor er det mulig nne andre tolkinger som ikke er i strid med aksiomene. Siden form let med aksiomene ovenfor var sitte igjen med bare den intenderte tolkingen, kalles disse andre tolkingene gjerne for ikkeintenderte. Det er mulig vise at uansett hvor mange aksiomer vi utvider systemet ovenfor med (bare vi kan avgj re om noe er et aksiom eller ei), s vil det nnes ikke-intenderte tolkinger som ihvertfall har litt andre egenskaper enn den nskede tolkingen. Dvs det vil alltid v re mulig nne en formel som er sann i tallteori, men som ikke er sann i en av de ikke-intenderte tolkingene. Siden vi bare kan bevise formler som er sanne i alle tolkinger (hvor aksiomene holder) s vil det derfor alltid nnes formler som er sanne i tallteori, men som ikke er bevisbare. Dette er et dypt resultat i logikken som kalles G dels ufullstendighetsteorem Flersortig logikk Vi har tidligere sett at det til hver tolking h rer en mengde U, og at f.eks. alle konstantsymboler skal tolkes som elementer i U, variabelsymboler skal tolkes som variable i U, funksjonssymboler skal tolkes som funksjoner med argumenter i U og funksjonsverdi i U osv. Anta at vi nsker tolkenoenkonstantsymboler som tall og andre konstantsymboler som personer. Da hadde

28 20 Forkunnskaper det v rt bedre med to mengder en mengde U 1 av tall og en annen mengde U 2 av personer. Med ere mengder er det imidlertid ikke lenger opplagt hvordan konstantsymboler, variabelsymboler osv kan tolkes (skal konstantsymbolet a tolkes som et element iu 1 eller som et element iu 2?). Dette retter vi p ved innf re noen nye symboler som kan brukes i formler. Disse kalles sorter eller typer. For eksempel er det i formelen 9x : T 1 9y : T 2 x = y spesisert at x er av sorten T 1 og y av type T 2. Hvis T er en tolking hvor T (T 1 )=U 1 og T (T 2 )=U 2 f r vi f lgende tolking av formelen ovenfor: U 1 og U 2 har minst ett felles element. N r vi har ere sorter m vi for hvert funksjonssymbol angi sortene til argumentene og funksjonsverdien. Vi kan f.eks. angi at f har to argumenter, begge av type T, og funksjonsverdi av type S, slik: f : T T! S I (Dahl) har vi en grunnsort Bool som alltid skal tolkes som mengden Bool av sannhetsverdier. Hvis T er en sort kan vi f.eks. denere et funksjonssymbol f : Bool T T! T Dette inneb rer alts at f kan tolkes som en funksjon hvor noen argumenter er sannhetsverdier og andre argumenter ikke er det. Dette var ikke mulig slik vi denerte tolkinger tidligere (avsnitt 1.3.2). Dette er en praktisk utvidelse som bl.a. trengs for kunne kalles ifthenelse et funksjonssymbol (slik vi gjorde i avsnitt 1.3.1). Eksempel 1.9 Anta at vi har gitt to sorter med disse intenderte tolkingene: M: mennesker S : studenter Alle studenter er mennesker kan uttrykkes slik: 8x : S 9y : M x = y Ikke alle mennesker er studenter kan uttrykkes slik: 9x : M 8y : S :(x = y) 2

29 F rsteordens logikk 21 Eksempel 1.10 Anta at vi har en f rsteordens logikk med sortene T og SET T, og med f lgende konstantsymbol og funksjonssymbol med predenerte tolkinger: (et konstantsymbol) den tomme mengde add (et funksjonssymbol SET T T! SET T ) add r element til mengden Den predenerte tolkingen av symbolene er angitt i kursiv. Anta at konstantsymbolet a i en tolking T angir symbolet a, dvs T (a) =a.daert (add(,a)) (den virkelige) mengden som best r av symbolet a.hvisb er et konstantsymbol med T (b) =b, blirt (add(add(,a),b)) mengden som inneholder symbolene a og b. Tolkingen av add(add(,b),a) blir naturligvis den samme. 2

30 22 Forkunnskaper Bevissystemene ND og BPC ND: ^I : _I : )I : 8I : 9I : fi : j- P j- Q j- P Q j- P j- eller j- Q P Q P j- Q j- P Q j- P j- x P j- P x t j- x P j- P j- P j- f () j- P Q ^E : _E : )E : 8E : 9E : fe : j- P Q j- P Q eller j- P j- Q j- P Q P j- R Q j- R j- R j- P Q j- P j- Q j- x P j- Pt x j- x P P j- Q j- Q P j- f j- P () BPC: T ^ : T _ : T): T 8 : T 9 : T : : j- P j- Q j- P Q P j- Q j- P Q P j- Q j- P Q j- P j- x P j- P x t x P j- x P Q j- P P j- Q eller Q j- P j- P Q () A^ : A_ : A): A8 : A9 : A: : P,Q j- R P Q j- R P j- R P Q j- R P j- R Q j- R Q j- R P Q j- R Pt x, x P j- Q x P j- Q P j- Q x P j- Q Q j- P P j- Q () I 8I og T 8 betyr () atingenantagelser i premissen (eller konklusjonen) skal ha frie forekomster av x. I9E og A9 betyr () atip j- Q kan x bare forekomme fritt i P. Disse reglene/aksiomene kan brukes i begge bevissystemer: j- P AI : (venstretynning) SC: Q j- P Γ j- P VI : (variabelinstansiering) Γ x t j- Pt x RF L : P j- P (logisk aksiom) j- P P j- Q TRN : (snitt) j- Q EAX : j- 8x x = x (reeksivitet) AEQ : TEQ: B =: P α j- t Q j- t=t Pt α j- Q j- P α t j- t=t j- Pt α P j- Q Q j- P j- P =Q

31 F rsteordens logikk Nyttige regneregler De f rste reglene vi skal se p gjelder b de for utsagnslogikk og f rsteordens logikk. Hvis vi tenker oss at det er utsagn i utsagnslogikk, er a, b og c konstantsymboler. Hvis vi tenker oss at det er formler i f rsteordens logikk, er a, b og c betrakte som relasjonssymboler med aritet (a ^ a), a 2. (a _ a), a 3. (a ^ b), (b ^ a) 4. (a _ b), (b _ a) 5. (a ) b), (:a _ b) 6. (a ) b), (:b ):a) 7. (a _ (b ^ c)), ((a _ b) ^ (a _ c)) 8. (a ^ (b _ c)), ((a ^ b) _ (a ^ c)) 9. ((a _ b) ^ c), ((a ^ c) _ (b ^ c)) 10. ((a ^ b) _ c), ((a _ c) ^ (b _ c)) Regnereglene under gjelder bare i f rsteordens logikk. De behandler kvantorer i formler. 1. Vi kan skrive om (a) 8x P til 8y Py x (b) 9x Q til 9y Q x y 2. Vi kan skrive om (a) :9x P til 8x :P (b) :8x P til 9x :P 3. Vi kan skrive om (a) (9x P ) _ Q til 9x (P _ Q), hvis x ikke er fri i Q (b) (8x P ) _ Q til 8x (P _ Q), hvis x ikke er fri i Q (c) (9x P ) ^ Q til 9x (P ^ Q), hvis x ikke er fri i Q

32 24 Forkunnskaper (d) (8x P ) ^ Q til 8x (P ^ Q), hvis x ikke er fri i Q (e) P _ (9x Q) til 9x (P _ Q), hvis x ikke er fri i P (f) P _ (8x Q) til 8x (P _ Q), hvis x ikke er fri i P (g) P ^ (9x Q) til 9x (P ^ Q), hvis x ikke er fri i P (h) P ^ (8x Q) til 8x (P ^ Q), hvis x ikke er fri i P 4. Vi kan skrive om (a) P )9x Q til 9x (P ) Q), hvis x ikke erfriip (b) P )8x Q til 8x (P ) Q), hvis x ikke erfriip (c) (9x P ) ) Q til 8x (P ) Q), hvis x ikke er fri i Q (d) (8x P ) ) Q til 9x (P ) Q), hvis x ikke er fri i Q 5. Vi kan skrive om (a) 8x P ^8x Q til 8x (P ^ Q) (b) 9x P _9x Q til 9x (P _ Q) 1.4 Stoppeproblemet (the halting problem) Stoet som behandles i dette avsnittet er ikke pensum i IN217. Det er tatt med fordi stoppeproblemet omtales ere steder i pensumlitteraturen og sannsynligvis er ukjent for mange. Anta at vi er interessert i lage en metode som anvendt p en vilk rlig prosedyre proc p(val a, var x) ==S kan fortelle om et kall (la oss si call p(e, v)) vil terminere. Dette problemet kalles gjerne stoppeproblemet eller the halting problem. En delvis l sning p problemet ville v re eksekvere kallet. Dersom det terminerer er det greit da vet vi at p vil terminere for de gitte aktualparametrene. Dersom det ikke terminerer er det verre. Vi kan ikke konkludere at kallet aldri vil terminere, for kanskje ville det terminere hvis vi bare ventet litt til. En kunne tenke seg at det fantes en bedre metode enn dette, som kikket p programmet og aktualparametrene og var i stand til se at dette umulig kunne terminere. Vi kunne f.eks. sjekke om programteksten hadde noen setninger p formen while t do S od og is fall slutte at programmet under

33 Stoppeproblemet (the halting problem) 25 gitte betingelser (bl.a. at en eksekvering vil n fram til denne l kka) ikke vil terminere. Dette ville utvilsomt gj re det mulig si for noen prosedyrer at de ikke vil terminere n r de kalles med gitte aktualparametre. Men det er p ingen m te klart om dette kan utvides til en metode som virker i alle situasjoner (dvs for alle prosedyrer og alle valg av aktualparametre). Faktum at det ikke er mulig nne en desisjonsprosedyre som avgj r for alle prosedyrer og alle valg av aktualparametre om de vil terminere. Dette er et resultat med mange viktige konsekvenser, og en kan gi et (tilsynelatende) enkelt argument for at det m v re slik. La oss anta at programmer og data er representert p samme m te for eksempel som tall. Dette medf rer at en prosedyre(-beskrivelse) ogs kan spille rollen som f.eks. en parameter til en prosedyre. Vi innf rer f lgende skrivem te for at et kall p en prosedyre p med aktualparametre e 1,...,e n terminerer og gir svaret s: p(e 1,...,e n ) 7! s Merk: vi tenker oss n at alle parametre er verdiparametre. Anta n at stoppeproblemet er l st. Da ns en prosedyre a som for alle mulige aktualparametre x og y terminerer og leverer svaret 0 hvis x(y) dvs prosedyren x anvendt p aktualparameteren y terminerer, og leverer svaret 1 hvis x(y) ikke terminerer: 8x, y : a(x, y) 7! La b(x) =a(x, x). Da har vi at 8x : b(x) 7! { 0 x(y) terminerer 1 x(y) terminerer ikke { 0 x(x) terminerer 1 x(x) terminerer ikke Legg merke til at dette svarer til den noe spesielle situasjonen at prosedyren x alltid kalles med seg selv som parameter (eller mer presist : med en beskrivelse av seg selv som parameter). Vi f yer n p en evig l kke som utf res hver gang b(x) 7! 0. Da f r vi en prosedyre c som er slik at c(x) terminerer ikke n r x(x) terminerer c(x) 7! 1 n r x(x) ikke terminerer Men hva skjer da n r vi kaller c med aktualparameteren c? Vi f r at c(c) terminerer ikke n r c(c) terminerer c(c) terminerer (med verdi 1) n r c(c) ikke terminerer

34 26 Forkunnskaper Dette er klart en motsigelse, og viser at det ikke kan eksistere en prosedyre a som l ser stoppeproblemet. En presis formulering av stoppeproblemet kan gj res ved hjelp av teorien for Turing-maskiner. Dette vil ikke bli tatt opp her. 1.5 Ordninger Begrepene som deneres her brukes noen steder i l reboka i forbindelse med abstrakte data typer. En ordning p en mengde forteller noe om rekkef lgen p elementene i mengden. Vi innf rer ordninger p mengder bl.a. for kunne snakke om minste element og st rste element i mengden etterf lgeren til et element alle elementer som er st rre enn et gitt element osv. Den presise denisjonen av ordning er som f lger. La M v re en vilk rlig mengde (f.eks. de naturlige tall). En ordning! p M er en bin rrelasjon (alts en boolsk funksjon med to argumenter) som oppfyller kravene (for alle x, y, z 2 M): (1) x! x (2) x! y og y! x medf rer at x = y (3) x! y og y! z medf rer at x! z Dersom (2) og (3) er oppfylt, kalles! en partiell ordning p M. Enordning er derfor alltid ogs en partiell ordning. Vi ser p noen eksempler f r vi g r videre. Eksempel 1.11 Hvis M er de naturlige tall og! er (dvs relasjonen mindre enn eller lik), s er! en ordning p M. For hvis x, y og z er naturlige tall s har vi at x x x y og y x medf rer at x = y

35 Ordninger 27 x y og y z medf rer at x z 2 Eksempel 1.12 Hvis vi i eksemplet ovenfor erstatter med <, f r vi en partiell ordning (men ikke en ordning). For hvis x, y og z er naturlige tall s har vi at 2 x<yog y<xmedf rer at x = y x<yog y<zmedf rer at x<z Eksempel 1.13 Hvis M er en vilk rlig samling mengder og! er (dvs relasjonen inneholdt i), s er! en ordning p M. HvisA, B og C er mengder i M, s harvi nemlig 2 A A A B og B A medf rer at A = B A B og B C medf rer at A C Det er en viktig forskjell mellom f rste og siste eksempel ovenfor. Hvis x og y er naturlige tall, s vil en alltid ha x y eller y x (eller begge). Hvis A og B er mengder, s kan det hende at en verken har A B eller B A. Vi sier at de naturlige tall er totalt ordnet under siden to vilk rlige elementer alltid vil v re ordnet i forhold til hverandre. Mer presist denerer vi at en partiell ordning! p en mengde M er total dersom minst n av x! y og y! x er sann for vilk rlige x og y i mengden. Vi skal n se hvordan en kan denere ordninger p par (eller mer generelt n-tupler).

36 28 Forkunnskaper Eksempel 1.14 La Nat angi de naturlige tall. Som tidligere nevnt er en total ordning p Nat.Anta at vi er interessert i nne en ordning p Nat Nat, alts mengden av par(m, n) av naturlige tall. En mulighet ville v re denere at (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 )hvis x 1 x 2 og y 1 y 2 Dette er en ordning, men ikke en total ordning. Vi har f.eks. verken (1, 3) (4, 2) eller (4, 2) (1, 3) med denne denisjonen. Anta istedet at en denerer at (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 )hvis (x 1 <x 2 ) eller (x 1 = x 2 og y 1 y 2 ) Det er lett vise at dette er en total ordning av Nat Nat, og det kalles en leksikogrask ordning. Det svarer til at parene er f rstesortert med hensyn p f rstekomponent i paret, og par med samme f rstekomponent er sortert med hensyn p annenkomponenten. Dette svarer n yaktig til hvordan ordene i et leksikon er sortert: f rst med hensyn p f rste bokstav i ordet, deretter med hensyn p annen bokstav osv. 2 Betrakt de to ordningene < og p mengden av de naturlige tall Nat.Legg merke til at krav (1)ovenfor aldri vil v re oppfylt for <, dvs det ns ingen x slik at x<x.krav (1) vil derimot alltid v re oppfylt for. En partiell ordning hvor (1) aldri er oppfylt, kalles en strikt ordning. Hvis! er en partiell ordning p mengden M og A M s sier vi at m 2 A er et minimalt element i A dersom (for alle x 2 A): x! m ) x = m Dersom! er en strikt og total ordning for M hvor alle A M har et minimalt element, sier vi at! er en velordning for M. Eksempel 1.15 Det er lett vise at < er en strikt og total ordning p Nat. Siden enhver delmengde A Nat har et minimalt element under denne ordningen, er < en velordning p Nat. 2

37 Ordninger 29 Eksempel 1.16 Det er lett overbevise seg om at < er en strikt og total ordning p mengden av hele tall (ikke bare positive) Int.Hvism er et helt tall s kan ikke m v re et minimalt element for Int,form ; 1 er ogs et helt tall, og m ; 1 <m. Alts ns det ikke noe minimalt element for hele Int, og det betyr at < ikke er en velordning av Int. 2 Eksempel 1.17 P intervallet [0, 1] er < en strikt og total ordning. Det er derimot ikke en velordning, for vi har f.eks. at det pne intervallet (0, 1) [0, 1] ikke har noe minimalt element. For anta at m 2 (0, 1) var et slikt minimalt element. Da er m/2 2 (0, 1) og m/2 <m, som er en motsigelse. 2 Hvis! er en velordning p M s vil den tilh rende leksikograske ordningen p M M v re en velordning. Dette er ikke vanskelig vise, men vi gj r det ikke her.

38 30 Forkunnskaper

39 Kapittel 2 Hoare-logikk 2.1 Innledning En fullstendig denisjon av et programmeringsspr k m ihvertfall angi syntaksen til spr ket, dvs strukturen til setningene i spr ket, slik at en kan avgj re om en setning er med i spr ket eller ikke. semantikken til spr ket, dvs meningsinnholdet til setninger i spr ket. Syntaksen kan man f.eks. angi ved spesisere en formell grammatikk for spr ket. Dette er imidlertid emnet for andre kurser og vil ikke bli tatt opp her. Her vil vi istedet se p problemet nne en formell beskrivelse av semantikken til programmeringsspr k. Det er ere mulige veier g for l se dette problemet ett eksempel er denotasjonell semantikk (som behandles i kurset IN306). I IN217 skal vi istedet se p en s kalt aksiomatisk metode som vi skal kalle Hoare-logikk. Utsagnslogikk og predikatlogikk er eksempler p logikker som er sv rt generelle og som i en begrenset forstand kan modellere utsagn i naturlige spr k. Hoare-logikk er en mer spesialisert logikk som kan brukes til angi presist hva et program er ment gj re (i form av en ekstern spesikasjon som best r av en forbetingelse og en bakbetingelse til programmet) vise formelt at spesikasjonen er riktig (dvs vise at programmet faktisk gj r det som er angitt i spesikasjonen) 31