2. en tolkning av alle ikke-logiske symboler i spraket. n i 2 RM. 1 ; : : : ; t M. 1.2 Sprak og modeller - et komplekst forhold

Transkript

1 Forelesning 7: Frsteordens logikk { seantikk og sekventkalkyle Roger Antonsen - 6. ars Frsteordens logikk og seantikk 1.1 Repetisjon En odell M for et sprak L bestar av 1. en ikke-to engde jmj, kalt doenet til M, og 2. en tolkning av alle ikke-logiske syboler i spraket. For eksepel, hvis L er spraket h y, x, K ; I ; ~, i, sa a en odell M gi et doene og en tolkning til alle sybolene. ym, x M og K M a vre eleenter i doenet. IM a vre en funksjon pa doenet ~M og M a vre relasjoner pa doenet. Husk pa ariteten til sybolene. (I har aritet 2; ~ og har aritet 1.) Hvis M er en odell og ' er en lukket forel, sa denerte vi M j= '.Vi brukte det utvidete spraket - ed konstanter for hvert eleent i doenet - for a gjre dette. For atore forler: M j= R(t 1 ; : : : ; t n ) hvis htm 1 ; : : : ; t M n i 2 RM. M j= :' hvis det ikke er tilfelle at M j= '. M j= ' ^ hvis M j= ' og M j=. M j= ' _ hvis M j= ' eller M j=. M j= '! hvis M j= ' ipliserer M j=. M j= 8x' hvis M j= '[a=x] for alle a i jmj. M j= 9x' hvis M j= '[a=x] for inst en a i jmj. 1.2 Sprak og odeller - et koplekst forhold Ved frsteordens sprak har vi fatt betydelig strre uttrykkskraft. Modeller kan vre rike pa struktur. Det er et ikke-trivielt forhold ello sprak og odeller. Noe av det vi er interessert i: 1

2 { Sjekke o en forel er sann i en odell. (Modellsjekking) { Sjekke o en forel er oppfyllbar eller falsiserbar. { Sjekke o en forel er gyldig. { Sjekke o forler er uavhengige av hverandre. { Bruke spraket til a beskrive odeller, forske a \fange inn" og beskrive virkeligheten. 1.3 En utvidelse av gurspraket Ator forel Sirkel(x) Firkant(x) Trekant(x) Stor(x) Liten(x) Mindre(x; y ) Over(x; y ) Under(x; y ) VenstreFor(x; y ) HoyreFor(x; y ) Inntil(x; y ) Mello(x; y ; z) Intendert tolkning x er en sirkel x er en rkant x er en trekant x er stor x er liten x er indre enn y x er nrere toppen enn y x er nrere bunnen enn y x er lenger til venstre enn y x er lenger til hyre enn y x er rett ved siden av, rett over eller rett under y x, y og z er i sae kolonne, rad eller diagonal, og x er ello y og z Forklarende eksepler til seantikken: d am =, b M =, c M =, d M = (vi antar at dette er alle konstantene) c Trekant M = f ; g a b Stor M = f ; g Liten M = f ; g M j= Under(a; c) fordi ham ; c M i = h ; i 2 Under M M j= :Under(a; b) M j= VenstreFor(a; c) ^ :VenstreFor(b; c) M j= Inntil(a; b) ^ :Inntil(a; c) M j= Mello(c; a; d) ^ :Mello(c; b; d) 2

3 1.4 Oppfyllbarhet av frsteordens forler Er det slik at M 9xLiten(x)? For a svare, a vi se pa denisjonen av j=. M j= 9xLiten(x) det ns en a 2 jmj slik at M j= Liten(a) det ns en a 2 jmj slik at am 2 Liten M det ns en a 2 jmj slik at a 2 Liten M Siden Liten M = f ; g, kan vi konkludere ed JA. Er det slik at M j= 8xStor(x)? For a svare, a vi se pa denisjonen av j=. M j= 8xStor(x) for alle a 2 jmj sa M j= Stor(a) for alle a 2 jmj sa am 2 Stor M for alle a 2 jmj sa a 2 Stor M Siden jmj = f ; ; g og Stor M = f ; g, sa kan vi konkludere ed NEI. 3

4 M j= 8x(Stor(x)! Sirkel(x)) for alle a 2 jmj sa M j= Stor(a)! Sirkel(a) for alle a 2 jmj sa M j= Stor(a) ipliserer M j= Sirkel(a) for alle a 2 jmj sa hvis a 2 Stor M, sa a 2 Sirkel M \alle store objekter er sirkler" Pastander holder ikke. M j= 8x(Sirkel(x)! 9y9zMello(x; y ; z)) for alle a 2 jmj sa M j= Sirkel(a)! 9y9zMello(a; y ; z) for alle sirkler a 2 jmj sa M j= 9y9zMello(a; y ; z) for alle sirkler a 2 jmj sa ns b; c 2 M slik at M j= Mello(a; b; c) Pastanden holder, fordi M j= Mello( ; ; ) og M j= Mello( ; ; ). 4

5 1. Stor(a) ^ Liten(b) Er flgende forler oppfyllbare satidig? a 2. 8x(Trekant(x)) 3. 8x(Inntil(x; a) _ Inntil(x; b)) b 4. :9x(VenstreFor(x; a) _ HoyreFor(x; a)) 5. 8x(Stor(x)! 9yOver(y ; x)) Svaret er JA! Er flgende forler oppfyllbare? 1. :Sirkel(a) ^ :Trekant(a) ^ :Firkant(a)) a Svaret er JA! La jmj = f g og am =. 2. Liten(a) ^ Stor(a) Svaret er JA! La jmj = f g, am = og Liten M = Stor M = f g 5

6 1.5 Bruke spraket til a beskrive odeller Gi en engde forler so beskriver denne odellen nyaktig, dvs. so har denne og (essensielt) ingen andre odeller. 1. Sirkel(a) ^ Firkant(b) 2. 8xLiten(x) a b 3. VenstreFor(a; b) 4. 8x(Inntil(x; a) _ Inntil(x; b)) 5. 8x(:Over(x; a) ^ :Under(x; a)) 6. 8x(:VenstreFor(x; a) ^ :HoyreFor(x; b)) Ganske vanskelig... 2 Noen lse trader: denisjoner, notasjon og bevisteknikker 2.1 Bevisbarhet Denisjon 2.1. Et bevis for en forel ' er et bevis for sekventen ` '. Eksepel. Et bevis for forelen P _ :P er Notasjon. P ` P ` P; :P ` P _ :P Forelen ' er (LK-)bevisbar: ` ' `LK ' Sekventen ` er (LK-)bevisbar: ` ` `LK ` Hva ` ' betyr a vre tydelig i konteksten! 2.2 Oppfyllbarhet og konsistens Denisjon 2.2. En engde av forler er oppfyllbar hvis det ns en odell so oppfyller alle forlene i engden. Eksepel. Mengden fp _ Q; :Pg er oppfyllbar. La f.eks. v vre en valuasjon so gjr Q sann og P usann. Denisjon 2.3. En engde er konsistent hvis sekventen ` ikke er bevisbar. Eksepel. Mengden fp _ Q; :P g er konsistent. 6

7 P ` P P _ Q ` P P _ Q; :P ` Q ` P Sunnhet og kopletthet - andre foruleringer Sunnhet: Kopletthet: enhver oppfyllbar engde er konsistent. enhver konsistent engde er oppfyllbar. Oppgave. Vis at disse foruleringene er ekvivalente ed de vanlige foruleringene. 2.3 Notasjon Notasjon. Forelen ' er gyldig: j= ' Sekventen ` er gyldig: j= ` Notasjon. Hvis og er engder eller ultiengder av forler, har vi ogsa flgende. : enhver odell so gjr alle forlene i sanne, gjr ogsa inst en av forlene i sann. ': enhver odell so gjr alle forlene i sanne, gjr ogsa ' sann. 2.4 Bevisteknikker Siden noe av det viktigste vi gjr i dette kurset er a bevise pastander, kan det vre greit a si noe o hvordan vi gjr det. Oppgave. Vis at hvis 1, sa Et direkte bevis. Forsk alltid dette frst. Anta 1 og vis klart og tydelig hvorfor denne antakelsen frer til Et otsigelsesbevis. Hvis et direkte bevis ikke er ulig. Anta for otsigelse at pastanden ikke holder, dvs. at 1 og ikke 2. Vis klart og tydelig hvorfor denne antakelsen frer til en otsigelse. Konkluder ed at pastanden a holde. 3. Et bevis for den kontrapositive pastanden: hvis ikke 2, sa ikke 1. Dette er essensielt det sae so en otsigelsesbevis. Noen fordeler ed direkte bevis: Er so regel enklere a lese. Kan inneholde er inforasjon. 7

8 Er er konstruktivt. Kan gi er intuisjon o grunnene for at noe holder. Noen fordeler ed otsigelsesbevis: Kan vre enklere a gjennofre. Kan vre kortere enn direkte bevis. Oppgave. Vis at ikke X. Anta X og vis klart og tydelig hvorfor denne antakelsen frer til en otsigelse. Dette er ikke et otsigelsesbevis, en et direkte bevis. :A.? A A.? :A 8