Eksamen 28.11.2012. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2012 MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål

Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal leverast inn seinast etter 5 timar. Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Rettleiing om vurderinga: Poeng i Del 1 og Del 2 er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser rekneferdigheiter og matematisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjonar kan bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 2 av 20

DEL 1 Utan hjelpemiddel På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlane nedanfor. Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) nk Talet på uavhengige forsøk er n. X er talet på gonger A inntreffer. P A p i kvart forsøk. Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er talet på element som blir trekte frå D. Oppgåve 1 (4 poeng) ABC har hjørne i punkta A (1, 0), B (7, 2), C (6, 5). a) Teikn ABC i eit koordinatsystem, og bestem AB, AC og BC. b) Gjer berekningar og avgjer om ABC er rettvinkla. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 3 av 20

Oppgåve 2 (4 poeng) Ei linje m er gitt på parameterform m : x 1t y 6 3t a) Finn skjeringspunkta mellom linja m og koordinataksane. b) Skriv likninga for linja m på forma y ax b. Oppgåve 3 (4 poeng) Per har seks T-skjorter i skapet. Fire av T-skjortene er kvite. To er blå. Per tek tilfeldig tre av T-skjortene. a) Bestem sannsynet for at han tek tre kvite T-skjorter. b) Bestem sannsynet for at han tek to kvite og éi blå T-skjorte. Oppgåve 4 (2 poeng) Eit fallskjermhopp kan delast inn i fire fasar. I kvar fase ser vi på farten fallskjermhopparen har loddrett nedover. Fase 1: Fase 2: Fase 3: Fase 4: Fallskjermhopparen forlèt flyet. Etter tre sekund er farten 25 m/s, og etter åtte sekund har fallskjermhopparen nådd den maksimale farten, som er 50 m/s. Fallskjermhopparen fell med maksimal fart i fire sekund. Fallskjermen løyser seg ut, og i løpet av eitt sekund minkar farten til 5 m/s. Fallskjermhopparen held fram med konstant fart 5 m/s i åtte sekund før han når bakken. Lag ei grafisk framstilling som viser korleis farten til fallskjermhopparen varierer med tida i løpet av hoppet. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 4 av 20

Oppgåve 5 (6 poeng) Siri lagar figurar av runde perler. Figurane ovanfor har ho kalla f 1, f 2 og f 3. a) Følg same mønster, og teikn figuren f 4. Kor mange perler vil det vere i figuren f 5 og i figuren f 6? b) Set opp ein modell som viser talet på perler i figuren f n, uttrykt ved n. Bruk modellen til å bestemme kor mange perler Siri treng for å lage figuren f 36. c) Kva er den største figuren f n Siri kan lage dersom ho har 1000 perler? Oppgåve 6 (4 poeng) Ein ABCD har hjørne i punkta A (0, 0), B (6, 2), C (4, 4) og D( 4, 6). a) Teikn ABCD i eit koordinatsystem, og bestem koordinatane til midtpunktet på kvar av sidene ved rekning. b) Vis ved rekning at firkanten som har hjørne i dei fire midtpunkta du fann i a), er eit parallellogram. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 5 av 20

DEL 2 Med hjelpemiddel Oppgåve 1 (4 poeng) Ein PIN-kode er sett saman tilfeldig og består av 4 siffer. a) Bestem sannsynet for at PIN-koden er 0119. b) Bestem sannsynet for at ingen av sifra i PIN-koden er like. Oppgåve 2 (4 poeng) Sannsynet for at Olav kjem for seint til skolen ein tilfeldig dag er 0,24. Sannsynet for at Stein kjem for seint ein tilfeldig dag er 0,40. Sannsynet for at begge gutane kjem for seint ein tilfeldig dag er 0,15. Ein dag ringjer Olav og seier at han kjem for seint. a) Bestem sannsynet for at Stein også kjem for seint denne dagen. b) Kjem Olav og Stein for seint uavhengig av kvarandre? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 6 av 20

Kjelde: Utdanningsdirektoratet Oppgåve 3 (6 poeng) Per skal lage ein boks med lokk. Boksen skal ha form som ein sylinder og romme 1,0 L. a) Set radius i sylinderen lik x dm, og vis at overflata av sylinderen da er gitt ved O( x) 2x x 2 2 b) Bestem radius slik at overflata av sylinderen blir 10 dm 2. c) Bestem radius og høgd i sylinderen slik at overflata blir minst mogleg. Oppgåve 4 (4 poeng) Ved ein flyplass er det parkeringsplassar i eit parkeringshus og ute. 20 % av bilførarane parkerer i parkeringshuset. Resten parkerer ute. 5 % av bilane i parkeringshuset står parkerte i meir enn to døgn. 60 % av bilane som står parkerte ute, står parkerte i meir enn to døgn. a) Bestem sannsynet for at ein bil står parkert ved flyplassen i meir enn to døgn. b) Bestem sannsynet for at ein bil som står parkert i meir enn to døgn, står parkert i parkeringshuset. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 7 av 20

Oppgåve 5 (6 poeng) Tor heller kaffi i ein kopp. Tabellen nedanfor viser temperaturen x minutt etter at han blei helt i koppen. T C til kaffien x (minutt) T ( C ) 5 10 15 20 25 30 65,5 46,3 35,6 29,6 26,2 24,5 a) Framstill datamaterialet frå tabellen ovanfor som punkt i eit koordinatsystem. Tor veit at eit uttrykk på forma T ( x) ab 22 x kan brukast som modell for temperaturen T Han legg til ei ny rad i tabellen. Sjå nedanfor. C i kaffien etter x minutt. x (minutt) T ( C ) 5 10 15 20 25 30 65,5 46,3 35,6 29,6 26,2 24,5 T 22 ( C ) 43,5 b) Fyll inn verdiane for T 22 i den nye rada i tabellen, og bruk regresjon til å bestemme verdiar for a og b i uttrykket for T( x ). c) Bruk uttrykket du fann i b), til å bestemme temperaturen i kaffien da han blei helt opp i koppen. d) Kva var temperaturen i rommet der kaffikoppen stod? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 8 av 20

Oppgåve 6 (4 poeng) Gitt trekanten ovanfor. a) Uttrykk c ved hjelp av a og b og bruk dette til å vise at 2 2 2 c a 2 ab b b) Vis at 2 2 2 a b c a b Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 9 av 20

Oppgåve 7 (8 poeng) Kurva s gitt ved parameterframstillinga s : x 0,71v t y 0,71v t 4,9t 2 gir banen til ei kanonkule som blir skoten ut frå bakkenivå over eit horisontalt underlag med startfarten v m/s. Etter t sekund er den horisontale avstanden frå staden der kula blir skoten ut, x meter. Kula er da y meter over bakken. Ei kanonkule blir skoten ut over eit horisontalt underlag. Startfarten er 50 m/s. a) Bestem ved rekning kor lang tid det går frå kula blir skoten ut, til ho landar. Bestem ved rekning kor langt frå utskytingsstaden kula landar. b) Teikn banen til kanonkula i eit koordinatsystem. 200 m frå staden der kula blir skoten ut, står ein mur. Muren er 20 m høg. c) Vis ved rekning at kula kjem over muren. d) Kva er den minste startfarten v kula kan ha dersom ho skal kunne komme over muren? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 10 av 20

Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Veiledning om vurderingen: Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 11 av 20

DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor. Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) nk Antall uavhengige forsøk er n. X er antall ganger A inntreffer. P A p i hvert forsøk. Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k P( X k ) n r m elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er antall elementer som trekkes fra D. Oppgave 1 (4 poeng) ABC har hjørner i punktene A (1, 0), B (7, 2), C (6, 5). a) Tegn ABC i et koordinatsystem, og bestem AB, AC og BC. b) Gjør beregninger og avgjør om ABC er rettvinklet. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 12 av 20

Oppgave 2 (4 poeng) En linje m er gitt på parameterform m : x 1t y 6 3t a) Finn skjæringspunktene mellom linjen m og koordinataksene. b) Skriv likningen for linjen m på formen y ax b. Oppgave 3 (4 poeng) Per har seks T-skjorter i skapet. Fire av T-skjortene er hvite. To er blå. Per tar tilfeldig tre av T-skjortene. a) Bestem sannsynligheten for at han tar tre hvite T-skjorter. b) Bestem sannsynligheten for at han tar to hvite og én blå T-skjorte. Oppgave 4 (2 poeng) Et fallskjermhopp kan deles inn i fire faser. I hver fase ser vi på farten fallskjermhopperen har loddrett nedover. Fase 1: Fase 2: Fase 3: Fase 4: Fallskjermhopperen forlater flyet. Etter tre sekunder er farten 25 m/s, og etter åtte sekunder har fallskjermhopperen nådd den maksimale farten, som er 50 m/s. Fallskjermhopperen faller med maksimal fart i fire sekunder. Fallskjermen løses ut, og i løpet av ett sekund minker farten til 5 m/s. Fallskjermhopperen fortsetter med konstant fart 5 m/s i åtte sekunder før han når bakken. Lag en grafisk framstilling som viser hvordan farten til fallskjermhopperen varierer med tiden i løpet av hoppet. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 13 av 20

Oppgave 5 (6 poeng) Siri lager figurer av runde perler. Figurene ovenfor har hun kalt f 1, f 2 og f 3. a) Følg samme mønster, og tegn figuren f 4. Hvor mange perler vil det være i figuren f 5 og i figuren f 6? b) Sett opp en modell som viser antall perler i figuren f n, uttrykt ved n. Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler Siri trenger for å lage figuren f 36. c) Hva er den største figuren f n Siri kan lage dersom hun har 1000 perler? Oppgave 6 (4 poeng) En ABCD har hjørner i punktene A (0, 0), B (6, 2), C (4, 4) og D( 4, 6). a) Tegn ABCD i et koordinatsystem, og bestem koordinatene til midtpunktet på hver av sidene ved regning. b) Vis ved regning at firkanten som har hjørner i de fire midtpunktene du fant i a), er et parallellogram. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 14 av 20

DEL 2 Med hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeng) En PIN-kode er satt sammen tilfeldig og består av 4 siffer. a) Bestem sannsynligheten for at PIN-koden er 0119. b) Bestem sannsynligheten for at ingen av sifrene i PIN-koden er like. Oppgave 2 (4 poeng) Sannsynligheten for at Olav kommer for sent til skolen en tilfeldig dag er 0,24. Sannsynligheten for at Stein kommer for sent en tilfeldig dag er 0,40. Sannsynligheten for at begge guttene kommer for sent en tilfeldig dag er 0,15. En dag ringer Olav og sier at han kommer for sent. a) Bestem sannsynligheten for at Stein også kommer for sent denne dagen. b) Kommer Olav og Stein for sent uavhengig av hverandre? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 15 av 20

Kilde: Utdanningsdirektoratet Oppgave 3 (6 poeng) Per skal lage en boks med lokk. Boksen skal ha form som en sylinder og romme 1,0 L. a) Sett radius i sylinderen lik x dm, og vis at overflaten av sylinderen da er gitt ved O( x) 2x x 2 2 b) Bestem radius slik at overflaten av sylinderen blir 10 dm 2. c) Bestem radius og høyde i sylinderen slik at overflaten blir minst mulig. Oppgave 4 (4 poeng) Ved en flyplass er det parkeringsplasser i et parkeringshus og ute. 20 % av bilførerne parkerer i parkeringshuset. Resten parkerer ute. 5 % av bilene i parkeringshuset står parkert i mer enn to døgn. 60 % av bilene som står parkert ute, står parkert i mer enn to døgn. a) Bestem sannsynligheten for at en bil står parkert ved flyplassen i mer enn to døgn. b) Bestem sannsynligheten for at en bil som står parkert i mer enn to døgn, står parkert i parkeringshuset. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 16 av 20

Oppgave 5 (6 poeng) Tor heller kaffe i en kopp. Tabellen nedenfor viser temperaturen x minutter etter at den ble helt i koppen. T C til kaffen x (minutter) T ( C ) 5 10 15 20 25 30 65,5 46,3 35,6 29,6 26,2 24,5 a) Framstill datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tor vet at et uttrykk på formen T ( x) ab 22 x kan brukes som modell for temperaturen T Han legger til en ny rad i tabellen. Se nedenfor. C i kaffen etter x minutter. x (minutter) T ( C ) 5 10 15 20 25 30 65,5 46,3 35,6 29,6 26,2 24,5 T 22 ( C ) 43,5 b) Fyll inn verdiene for T 22 i den nye raden i tabellen, og bruk regresjon til å bestemme verdier for a og b i uttrykket for T( x ). c) Bruk uttrykket du fant i b), til å bestemme temperaturen i kaffen da den ble helt opp i koppen. d) Hva var temperaturen i rommet der kaffekoppen stod? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 17 av 20

Oppgave 6 (4 poeng) Gitt trekanten ovenfor. a) Uttrykk c ved hjelp av a og b og bruk dette til å vise at 2 2 2 c a 2 ab b b) Vis at 2 2 2 a b c a b Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 18 av 20

Oppgave 7 (8 poeng) Kurven s gitt ved parameterframstillingen s : x 0,71v t y 0,71v t 4,9t 2 gir banen til en kanonkule som skytes ut fra bakkenivå over et horisontalt underlag med startfarten v m/s. Etter t sekunder er den horisontale avstanden fra stedet der kulen skytes ut, x meter. Kulen er da y meter over bakken. En kanonkule skytes ut over et horisontalt underlag. Startfarten er 50 m/s. a) Bestem ved regning hvor lang tid det går fra kulen skytes ut, til den lander. Bestem ved regning hvor langt fra utskytingsstedet kulen lander. b) Tegn kanonkulens bane i et koordinatsystem. 200 m fra stedet der kulen skytes ut, står en mur. Muren er 20 m høy. c) Vis ved regning at kulen kommer over muren. d) Hva er den minste startfarten v kulen kan ha dersom den skal kunne komme over muren? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2012 Side 19 av 20

Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 23 30 12 00 www.utdanningsdirektoratet.no