Eksamen 24.11.2010 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål
Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal leverast inn seinast etter 5 timar. Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Rettleiing om vurderinga: Poeng i Del 1 og Del 2 er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser reknedugleik og matematisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjonar kan bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 2 av 20
DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (14 poeng) a) Løys likningssystemet x y 4 3x y 8 b) Trekk saman og skriv så enkelt som mogleg 3 24 2 x 4 x 16 c) Løys ulikskapen x 2 2x 8 0 d) I klasse 2A er det 12 elevar. To av elevane skal vere med og pynte kantina til jul. På kor mange måtar kan dei to veljast ut? e) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der 5 tan C. 12 Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 3 av 20
f) I ein twistpose er det 25 twistbitar. Per liker 16 av desse. Vi trekkjer tilfeldig to twistbitar frå posen. 1) Finn sannsynet for at Per liker begge twistbitane vi trekkjer. 2) Finn sannsynet for at Per berre liker éin av twistenbitane vi trekkjer. Oppgåve 2 (6 poeng) Kjelde: Utdanningsdirektoratet Ein funksjon f er gitt ved 1 3 2 f ( x ) x x 7 3 a) Finn den momentane vekstfarten når x 1. b) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå x 0 til x 3. Kan du ut fra dette avgjere om grafen til f har ekstremalpunkt i intervallet 0,3? Grunngi svaret. c) Finn koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f ved rekning. Oppgåve 3 (4 poeng) Gitt punkta A 1, 1, B 5,1 og C 3,4 i eit koordinatsystem. a) Teikn trekant ABC og finn ved rekning koordinatane til midtpunktet M1 midtpunktet M2 på BC. på AB og b) Undersøk ved rekning om linja gjennom M 1 og M2 er parallell med linja gjennom A og C. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 4 av 20
DEL 2 Med hjelpemiddel Oppgåve 4 (6 poeng) Kjelde: http://www.kaupang.uio.no/funn/2000.html 1 (25.09.2009) Funksjonen T gitt ved T ( x ) 100 0,5 5730 x viser kor mange prosent av opphavleg mengd C-14 det er igjen i ein plante x år etter at planten er død. a) Teikn grafen til T for x 0, 12000. b) Kor lang tid tek det før opphavleg mengd C-14 i ein plante er halvert? På biletet ser du restar av ein gammal trebrønn som blei funne under utgravingar i Vestfold. Målingar viste at treverket inneheldt 86,5 % av opphavleg mengd C-14. c) Omtrent kor gammal var brønnen da målingane blei gjorde? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 5 av 20
Oppgåve 5 (4 poeng) Ei undersøking viser at 95 % av elevane ved dei vidaregåande skolane i eit fylke har profil på Facebook. Vi vel tilfeldig 25 elevar frå desse skolene. a) Finn sannsynet for at alle 25 elevane har profil på Facebook. Kilde: http://userlogos.org/ taxonomy/term/316?page=1 b) Finn sannsynet for at fleire enn 20 av de 25 elevane har profil på Facebook. Oppgåve 6 (8 poeng) Gitt punkta A 0,0, B 5,1, C 5,5 og D a) Teikn firkanten ABCD og finn AD og DC. b) Undersøk ved rekning om ADC 90 2,6 i eit koordinatsystem. c) Finn ei parameterframstilling for linja m gjennom A og C og ei parameterframstilling for linja n gjennom B og D. Diagonalane AC og BD skjer kvarandre i punktet S. d) Finn ASB ved rekning. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 6 av 20
Oppgåve 7 (6 poeng) CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) er ein europeisk organisasjon for forsking innan kjernefysikk, kjernekjemi og elementærpartikkelfysikk. CERN-laboratoriet ligg ved den fransk-sveitsiske grensa like utanfor Genève. Kjelde: http://www.flekkefjord.vgs.no/hoved.aspx?m=715&amid=1783 (14.03.2010) Ved ein vidaregåande skule er det eit år dobbelt så mange elevar i fysikkgruppene på Vg2 som i fysikkgruppene på Vg3. a) Finn sannsynet for at ein tilfeldig vald elev som tek fysikk ved denne skulen, går i ei Vg3-gruppe. Skulen vil arrangere ein tur til CERN-laboratoriet for elevar som tek fysikk. Ei undersøking viser at 75 % av elevane i fysikkgruppene på Vg2 ønskjer å vere med på turen, mens 90 % av elevane i fysikkgruppene på Vg3 ønskjer å vere med. Vi vel tilfeldig ein elev blant alle elevane som tek fysikk ved skulen. b) Finn sannsynet for at eleven ønskjer å vere med på turen. Vi vel så tilfeldig ein elev blant elevane som ønskjer å vere med på turen. c) Finn sannsynet for at eleven går i ei Vg2-gruppe. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 7 av 20
Oppgåve 8 (8 poeng) Jon har i fleire år målt høgda på eit tre. Sjå tabellen nedanfor. Første gongen han målte, var treet 1,00 m høgt. År etter første måling Høgda på treet (målt i meter) 0 1 2 3 4 5 6 1,00 1,25 1,55 1,94 2,46 3,04 3,83 a) Framstill datamaterialet frå tabellen ovanfor i eit koordinatsystem. Jon vil finne ein matematisk modell som viser høgda på treet. Han er usikker på kva type modell som passar best. Han legg til ei ekstra rad i tabellen. Sjå nedanfor. År etter første måling Høgda på treet (målt i meter) 0 1 2 3 4 5 6 1,00 1,25 1,55 1,94 2,46 3,04 3,83 Prosentvis endring frå året før b) Teikn av denne tabellen i svaret ditt. Fyll inn tala som skal stå i dei kvite felta. Bruk desse tala til å grunngi kva type modell Jon bør velje. c) Bruk for eksempel regresjon til å finne modellen. Teikn grafen til modellen i same koordinatsystem som du brukte i a). d) Denne modellen er laga på grunnlag av data frå ein periode på seks år. Vurder om modellen kan brukast til å seie noko om kor mykje treet har vakse før og etter denne perioden. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 8 av 20
Oppgåve 9 (4 poeng) I denne oppgåva skal du velje anten alternativ I eller alternativ II. Dei to alternativa tel like mykje ved sensuren. Ein funksjon f er gitt ved Alternativ I f ( x ) 2x ax 4 a) Finn f '( x ). Bruk den deriverte til å finne toppunktet til f når a 2. b) For kva verdi av a har y - koordinaten til toppunktet lågast verdi? 2 Alternativ II Kjelde: Utdanningsdirektoratet Rolf har ei 6,0 m lang jernstong. Han vil bruke stonga til å lage ein rettvinkla trekant. Den eine kateten skal vere 2,0 m lang. a) Rekn ut lengda av dei to andre sidene i trekanten. Rolf finn ei ny stong som er 6,0 m lang. Av denne stonga vil han lage ein trekant der ein vinkel er 120 og ein av de tilstøytande sidene er 2,0 m lang. b) Rekn ut lengda av dei to andre sidene i denne trekanten. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 9 av 20
Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Veiledning om vurderingen: Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 10 av 20
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Løs likningssystemet x y 4 3x y 8 b) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig 3 24 2 x 4 x 16 c) Løs ulikheten x 2 2x 8 0 d) I klasse 2A er det 12 elever. To av elevene skal være med og pynte kantina til jul. På hvor mange måter kan de to velges ut? e) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 5 tan C. 12 Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 11 av 20
f) I en twistpose er det 25 twistbiter. Per liker 16 av disse. Vi trekker tilfeldig to twistbiter fra posen. 1) Finn sannsynligheten for at Per liker begge twistbitene vi trekker. 2) Finn sannsynligheten for at Per bare liker én av twistbitene vi trekker. Oppgave 2 (6 poeng) Kilde: Utdanningsdirektoratet En funksjon f er gitt ved 1 3 2 f ( x ) x x 7 3 a) Finn den momentane vekstfarten når x 1. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x 0 til x 3. Kan du ut fra dette avgjøre om grafen til f har ekstremalpunkt i intervallet 0,3? Begrunn svaret. c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f ved regning. Oppgave 3 (4 poeng) Gitt punktene A 1, 1, B 5,1 og C 3,4 i et koordinatsystem. a) Tegn trekant ABC og finn ved regning koordinatene til midtpunktet M1 midtpunktet M2 på BC. på AB og b) Undersøk ved regning om linjen gjennom M 1 og M2 er parallell med linjen gjennom A og C. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 12 av 20
DEL 2 Med hjelpemidler Oppgave 4 (6 poeng) Kilde: http://www.kaupang.uio.no/funn/2000.html 2 (25.09.2009) Funksjonen T gitt ved T ( x ) 100 0,5 5730 x viser hvor mange prosent av opprinnelig mengde C-14 det er igjen i en plante x år etter at planten er død. a) Tegn grafen til T for x 0, 12000. b) Hvor lang tid tar det før opprinnelig mengde C-14 i en plante er halvert? På bildet ser du rester av en gammel trebrønn som ble funnet under utgravinger i Vestfold. Målinger viste at treverket inneholdt 86,5 % av opprinnelig mengde C-14. c) Omtrent hvor gammel var brønnen da målingene ble gjort? Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 13 av 20
Oppgave 5 (4 poeng) En undersøkelse viser at 95 % av elevene ved de videregående skolene i et fylke har profil på Facebook. Vi velger tilfeldig 25 elever fra disse skolene. Kilde: http://userlogos.org/ taxonomy/term/316?page=1 a) Finn sannsynligheten for at alle 25 elevene har profil på Facebook. b) Finn sannsynligheten for at flere enn 20 av de 25 elevene har profil på Facebook. Oppgave 6 (8 poeng) Gitt punktene A 0,0, B 5,1, C 5,5 og D a) Tegn firkanten ABCD og finn AD og DC. b) Undersøk ved regning om ADC 90 2,6 i et koordinatsystem. c) Finn en parameterframstilling for linjen m gjennom A og C og en parameterframstilling for linjen n gjennom B og D. Diagonalene AC og BD skjærer hverandre i punktet S. d) Finn ASB ved regning. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 14 av 20
Oppgave 7 (6 poeng) CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) er en europeisk organisasjon for forskning innen kjernefysikk, kjernekjemi og elementærpartikkelfysikk. CERN-laboratoriet ligger ved den fransk-sveitsiske grensen like utenfor Genève. Kilde: http://www.flekkefjord.vgs.no/hoved.aspx?m=715&amid=1783 (14.03.2010) Ved en videregående skole er det et år dobbelt så mange elever i fysikkgruppene på Vg2 som i fysikkgruppene på Vg3. a) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev som tar fysikk ved denne skolen, går i en Vg3-gruppe. Skolen vil arrangere en tur til CERN-laboratoriet for elever som tar fysikk. En undersøkelse viser at 75 % av elevene i fysikkgruppene på Vg2 ønsker å være med på turen, mens 90 % av elevene i fysikkgruppene på Vg3 ønsker å være med. Vi velger tilfeldig en elev blant alle elevene som tar fysikk ved skolen. b) Finn sannsynligheten for at eleven ønsker å være med på turen. Vi velger så tilfeldig en elev blant elevene som ønsker å være med på turen. c) Finn sannsynligheten for at eleven går i en Vg2-gruppe. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 15 av 20
Oppgave 8 (8 poeng) Jon har i flere år målt høyden til et tre. Se tabellen nedenfor. Første gang han målte, var treet 1,00 m høyt. Antall år etter første måling Treets høyde (målt i meter) 0 1 2 3 4 5 6 1,00 1,25 1,55 1,94 2,46 3,04 3,83 a) Framstill datamaterialet fra tabellen ovenfor i et koordinatsystem. Jon vil finne en matematisk modell som viser treets høyde. Han er usikker på hvilken type modell som passer best. Han legger til en ekstra rad i tabellen. Se nedenfor. Antall år etter første måling Treets høyde (målt i meter) 0 1 2 3 4 5 6 1,00 1,25 1,55 1,94 2,46 3,04 3,83 Prosentvis endring fra året før b) Tegn av denne tabellen i besvarelsen din. Fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Bruk disse tallene til å begrunne hvilken type modell Jon bør velge. c) Bruk for eksempel regresjon til å finne modellen. Tegn grafen til modellen i samme koordinatsystem som du brukte i a). d) Denne modellen er laget på grunnlag av data fra en periode på seks år. Vurder om modellen kan brukes til å si noe om treets vekst før og etter denne perioden. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 16 av 20
Oppgave 9 (4 poeng) I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren. Alternativ I En funksjon f er gitt ved f ( x ) 2x ax 4 2 a) Finn f '( x ). Bruk den deriverte til å finne toppunktet til f når a 2. b) For hvilken verdi av a har y - koordinaten til toppunktet lavest verdi? Alternativ II Kilde: Utdanningsdirektoratet Rolf har en 6,0 m lang jernstang. Han vil bruke stangen til å lage en rettvinklet trekant. Den ene kateten skal være 2,0 m lang. a) Regn ut lengden av de to andre sidene i trekanten. Rolf finner en ny stang som er 6,0 m lang. Av denne stangen vil han lage en trekant der en vinkel er 120 og en av de tilstøtende sidene er 2,0 m lang. b) Regn ut lengden av de to andre sidene i denne trekanten. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 17 av 20
Blank side. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 18 av 20
Blank side. Eksamen MAT1008 Matematikk 2T Haust/Høst 2010 Side 19 av 20
Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 23 30 12 00 www.utdanningsdirektoratet.no