UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk
Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) La A = {1, 2, {1, 3}} og B = {1, 3, {1, 2}}. (a) [4 poeng] Er følgende påstander sanne eller usanne? 1. 3 A 2. 3 B 3. {1, 3} A 4. {1, 3} B 1. Usann. 2. Sann. 3. Usann. 4. Sann. (b) [4 poeng] Regn ut: 1. A \ B 2. A B 3. A B 3. P(A) 1. A \ B = {1, 2, {1, 3}} \ {1, 3, {1, 2}} = {2, {1, 3}} 2. A B = {1, 2, {1, 3}} {1, 3, {1, 2}} = {1} 3. A B = {1, 2, {1, 3}} {1, 3, {1, 2}} = {1, 2, 3, {1, 2}, {1, 3}} 3. P(A) = {, {1}, {2}, {{1, 3}}, {1, 2}, {1, {1, 3}}, {2, {1, 3}}, {1, 2, {1, 3}}} (c) [1 poeng] Regn ut {1, 2} {1, 3}. {1, 2} {1, 3} = { 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3 } (d) [1 poeng] Hva er kardinaliteten til {1, 2} {1, 3}. Begrunn svaret ditt. Vi har at kardinaliteten til {1, 2} {1, 3} er lik kardinaliteten til {1, 3} multiplisert med kardinaliteten til {1, 3} Vi får dermed 2 2 = 4. 2
Oppgave 2 Relasjoner (10 poeng) La R = { 1, 2, 2, 3 } og S = { 1, 2, 2, 1, 3, 4 } være binære relasjoner på {1, 2, 3, 4, 5}. (a) [2 poeng] Hva er den symmetriske tillukningen av R? R { 2, 1, 3, 2 } (b) [2 poeng] Hva er den refleksive tillukningen av R? R { 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 } (c) [2 poeng] Hva er den transitive tillukningen av S? S { 1, 1, 2, 2 } (d) [2 poeng] Hva er den symmetriske og transitive tillukningen av S? S { 1, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4 } (e) [2 poeng] Hva er den refleksive, symmetriske og transitive tillukningen av S? S { 1, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5 } 3
Oppgave 3 Funksjoner (10 poeng) La f : {a, b, c} {1, 2, 3} være gitt ved { a, 1, b, 3, c, 2 }. (a) [2 poeng] Er f injektiv, surjektiv, bijektiv eller ingen av delene? Funksjonen er bijektiv. La A, B, C, D være delmengder av {1, 2, 3} og f : A B og g : C D funksjoner. (b) [4 poeng] Velg A, B og f slik at f er injektiv, men ikke surjektiv. La A = {1} og B = {1, 2} og f = { 1, 1 }. (c) [4 poeng] Velg C, D og g slik at g er surjektiv, men ikke injektiv. La C = {1, 2} og D = {1} og g = { 1, 1, 2, 1 }. 4
Oppgave 4 Utsagnslogikk (10 poeng) (a) [2 poeng] Sett opp sannhetsverditabellen for P Q. P Q P Q 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 For hver av følgende formler, skriv hvilke av de fire egenskapene gyldig, kontradiktorisk, oppfyllbar og falsifiserbar formelen har. Du trenger ikke å begrunne svaret. (b) [2 poeng] (P Q) P (c) [2 poeng] P (Q P) (b) Oppfyllbar og falsifiserbar. (c) Oppfyllbar og gyldig. Hvis F og G er utsagnslogiske formler, så skriver vi F G når G er en logisk konsekvens av mengden som består av formelen F. (d) [2 poeng] Vis at er en transitiv relasjon. For å vise at er transitiv, må vi vise at hvis F G og G H, så F H. Anta derfor (1) at F G og (2) at G H. For å vise at F H, anta at F er sann. Da følger det fra (1) at G er sann, og da følger det fra (2) at H er sann. (e) [2 poeng] Vis at ikke er en anti-symmetrisk relasjon. La F = P og G = P. Da vil F G og G F, men F G. 5
Oppgave 5 Førsteordens logikk (10 poeng) (a) [5 poeng] Her er noen førsteordens formler. Sett -piler som angir hvilke formler som er logiske konsekvenser av hvilke formler. For eksempel, sett en pil fra F til G hvis G er en logisk konsekvens av F. Det er ikke nødvendig å sette en pil fra en formel til seg selv. Her er formlene med piler. x yrxy y xrxy x yrxy y xrxy x yrxy x yrxy x yrxy x yrxy Formelen x yrxy har alle de andre formlene som logisk konsekvens; M = x yrxy betyr at x, y R M for alle x, y M, eller med andre ord at R M er lik M M. Enhver modell som gjør denne formelen sann må også gjør de tre andre formlene sanne. y xrxy x yrxy: Anta at M = y xrxy. Da finnes det et element a M slik at for alle x M, så M = R xā. For å vise at M = x yrxy, velg et vilkårlig element x M. Ved antakelsen følger det at M = R xā, og dermed at M = yr xy. Fordi x var vilkårlig valgt har vi at M = x yrxy. Formelen x yrxy er en logisk konsekvens av alle de andre formlene; M = x yrxy betyr at det finnes x, y M slik at x, y R M, og det er tilfellet for enhver modell som gjør en av de andre formlene sanne. (b) [5 poeng] Spesifiser en førsteordens modell M med domene {1, 2, 3} som oppfyller følgende formler, men som er slik at R ikke tolkes som en refleksiv relasjon. Du trenger ikke å begrunne at modellen oppfyller formlene. La R M = { 1, 3, 2, 3, 3, 3 }. x y(rxy) 6 x y(rxy Ryy)
Oppgave 6 Naturlig deduksjon (10 poeng) (a) [5 poeng] Gi et bevis for formelen A (B C) (A C) i naturlig deduksjon. 1 A (B C) B C E E A C I A C I 1 A (B C) (A C) 1 A (B C) E (b) [5 poeng] Gi et bevis for formelen P (P Q) i naturlig deduksjon. 1 2 P E P Q I 1 P Q I 2 P (P Q) 7
Oppgave 7 Induksjon og rekursjon (10 poeng) La A være alfabetet {a, c, e}. La språket U være den minste mengden slik at følgende holder: I denne oppgaven skulle A være {a, c, a, c, e}. e U Hvis x U og y U, så er xy U. (a) [1 poeng] Er aea U? (b) [1 poeng] Er aea U? Hvis x U, så er axa U. Hvis x U, så er cxc U. (c) [1 poeng] Er acac U? (d) [1 poeng] Er acecceca U? (a) Nei. (b) Ja. (c) Nei. (d) Ja. Vi definerer nå funksjonen f : U Z ved rekursjon på følgende måte. f(e) = 0 f(xy) = f(x) + f(y) (e) [1 poeng] Regn ut f(aeacaeac). f(axa) = f(x) f(cxc) = 2 f(x) f(aeacaeac) = f(aea) + f(caeac) = f(e) + 2 f(aea) = f(e) + 2 ( f(e)) = 0 + 2 ( 0) (f) [5 poeng] Vis ved strukturell induksjon på U at f(x) = 0 for alle x U. = 0 8
Basissteget er å sjekke at påstanden holder for alle elementene i basismengden {e}. Det stemmer, fordi f(e) = 0 per definisjon av f. Induksjonssteget. Anta at påstanden holder for x og y, det vil si at både f(x) = 0 og f(y) = 0. Dette er induksjonshypotesen. Vi må denne antakelsene vise at påstanden også holder for xy, axa og cxc: f(xy) = f(x) + f(y) (per definsjon av f) = 0 + 0 (ved induksjonshypotesen) = 0 (ved vanlig regning) f(axa) = f(x) (per definsjon av f) = 0 (ved induksjonshypotesen) = 0 (ved vanlig regning) f(cxc) = 2 f(x) (per definsjon av f) = 2 0 (ved induksjonshypotesen) = 0 (ved vanlig regning) Ved strukturell induksjon på U kan vi konkludere med at påstanden holder for alle elementer i U. f(x) = 0 9
Oppgave 8 Grafteori og trær (10 poeng) Et tre er en sammenhengende, asyklisk graf. En node med grad én i et tre kalles en løvnode. (a) [2 poeng] Tegn alle trær med fire noder. (b) [3 poeng] Tegn et tre som har seks noder, hvorav nøyaktig to er løvnøder. (c) [5 poeng] Bevis at hvis du har et tre og legger til en kant, har du ikke lenger et tre. Anta at du har et tre T og legger til en kant mellom nodene e og f. Et tre er per definisjon sammenhengende. Det betyr at det eksisterte en vandring fra e til f før den nye kanten ble lagt til. Etter at den nye kanten har blitt lagt til, vil vi enten ha fått en graf som ikke er enkel eller som inneholder en sykel, og derfor ikke er et tre. 10
Oppgave 9 Abstrakt algebra (10 poeng) Finn førsteordens formler som representerer følgende utsagn. Anta at signaturen er e ; + ; = og at + og = begge har aritet 2. (a) [2 poeng] Operasjonen + er kommutativ. x y(x + y = y + x) (b) [2 poeng] Operasjonen + er assosiativ. x y z(x + (y + z) = (x + y) + z) (c) [2 poeng] Elementet e er et identitetselement for operasjonen +. y(e + y = y y + e = y) (d) [2 poeng] Alle elementer har en invers. x y(x + y = e y + x = e) (e) [2 poeng] Den unære operasjonen f er idempotent. x(f(x) = f(f(x)) 11
Oppgave 10 Automater / ekvivalensklasser (10 poeng) La A være alfabetet {1, 2, 3} og la følgende være en deterministisk, endelig tilstandsmaskin. La S være mengden av alle strenger som aksepteres av denne tilstandsmaskinen, det vil si språket som denne tilstandsmaskinen definerer. start 1 2 3 (a) [4 poeng] Finn ett regulært uttrykk som representerer S. (1 2 3)(Λ 1 2 3)(Λ 1 2 3) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1,2,3 La relasjonen på strenger være definert slik at (s t) holder nøyaktig når t fremkommer fra s ved å flytte tegnet lengst til venstre slik at det havner lengst til høyre. For eksempel vil 123 231 og 311 113. Mer generelt vil (xs sx) holde for alle strenger s og tegn x. La være den transitive tillukningen av. Denne relasjonen blir en ekvivalensrelasjon på S. For eksempel har vi at 123 312 og 11 11. Denne ekvivalensrelasjonen gir opphav til mange ekvivalensklasser. (b) [3 poeng] Hva er ekvivalensklassen til 123? [123] = {123, 231, 312} (c) [3 poeng] Hvilke ekvivalensklasser har nøyaktig to elementer? [12] = {12, 21} [13] = {13, 31} [23] = {23, 32} 12